Datos de referencia para tangente (tg x) y cotangente (ctg x). Definición geométrica, propiedades, gráficas, fórmulas. Tabla de tangentes y cotangentes, derivadas, integrales, desarrollos de series. Expresiones a través de variables complejas. Conexión con funciones hiperbólicas.
Definición geométrica
|BD|
- longitud del arco de una circunferencia con centro en el punto A.
α es el ángulo expresado en radianes. tangente () bronceado α
es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud del cateto adyacente |AB| .) Cotangente (
ctg α
es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| . Tangente
Dónde
.
;
;
.
norte
- entero.
es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| . Tangente
En la literatura occidental, la tangente se denota de la siguiente manera:
.
Gráfica de la función tangente, y = tan x
;
;
.
Cotangente
En la literatura occidental, la cotangente se denota de la siguiente manera:
También se aceptan las siguientes notaciones:
Gráfica de la función cotangente, y = ctg x Propiedades de tangente y cotangente. Periodicidad Funciones y = tgx
y y =
ctg x
son periódicos con período π.
Paridad a la longitud del cateto opuesto |BC| . Las funciones tangente y cotangente son impares.
| Áreas de definición y valores, crecientes, decrecientes. Propiedades de tangente y cotangente. | Áreas de definición y valores, crecientes, decrecientes. Funciones y = | |
| Las funciones tangente y cotangente son continuas en su dominio de definición (ver prueba de continuidad). Las principales propiedades de la tangente y la cotangente se presentan en la tabla ( | ||
| - entero). | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| y = | - | |
| Alcance y continuidad | - | |
| Rango de valores | - | - |
| Creciente 0 | ||
| Descendente 0 | Áreas de definición y valores, crecientes, decrecientes. 0 | - |
Extremos
Ceros, y =
;
;
;
;
;
Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x =
Fórmulas
Expresiones usando seno y coseno
Fórmulas para tangente y cotangente a partir de suma y diferencia
Las fórmulas restantes son fáciles de obtener, por ejemplo 
Producto de tangentes
Fórmula para la suma y diferencia de tangentes.
;
;
Esta tabla presenta los valores de tangentes y cotangentes para ciertos valores del argumento.
; .
.
Expresiones usando números complejos
.
Expresiones mediante funciones hiperbólicas.
Derivados
Derivada de enésimo orden con respecto a la variable x de la función:
Deducir fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > > Integrales Expansiones de serie Para obtener el desarrollo de la tangente en potencias de x, es necesario tomar varios términos del desarrollo en una serie de potencias para las funciones y dividir estos polinomios entre sí, .
Esto produce las siguientes fórmulas.
En .
en . Dónde mil millones
;
;
- Números de Bernoulli. Se determinan a partir de la relación de recurrencia:
Dónde . 
O según la fórmula de Laplace:
Funciones inversas
Las funciones inversas de tangente y cotangente son arcotangente y arcocotangente, respectivamente.
Arctangente, arctg a la longitud del cateto opuesto |BC| . Tangente
, Dónde
Arctangente, arctg a la longitud del cateto opuesto |BC| . Tangente
Arccotangente, arcctg
Literatura usada:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matemáticas para científicos e ingenieros, 2012.
El seno es una de las funciones trigonométricas básicas, cuyo uso no se limita únicamente a la geometría. Las tablas para calcular funciones trigonométricas, como las calculadoras de ingeniería, no siempre están disponibles y, a veces, es necesario calcular el seno para resolver diversos problemas. En general, calcular el seno ayudará a consolidar las habilidades de dibujo y el conocimiento de las identidades trigonométricas.
Juegos con regla y lápiz.
Una tarea sencilla: ¿cómo encontrar el seno de un ángulo dibujado en papel? Para resolverlo, necesitarás una regla normal, un triángulo (o compás) y un lápiz. La forma más sencilla de calcular el seno de un ángulo es dividiendo el cateto lejano de un triángulo con un ángulo recto por el lado largo: la hipotenusa. Por lo tanto, primero debes completar el ángulo agudo con la forma de un triángulo rectángulo trazando una línea perpendicular a uno de los rayos a una distancia arbitraria del vértice del ángulo. Necesitaremos mantener un ángulo de exactamente 90°, para lo cual necesitamos un triángulo de oficina.
Usar una brújula es un poco más preciso, pero llevará más tiempo. En uno de los rayos, debe marcar 2 puntos a cierta distancia, establecer un radio en la brújula aproximadamente igual a la distancia entre los puntos y dibujar semicírculos con centros en estos puntos hasta obtener las intersecciones de estas líneas. Al conectar los puntos de intersección de nuestros círculos entre sí, obtenemos una perpendicular estricta al rayo de nuestro ángulo, solo queda extender la línea hasta que se cruce con otro rayo;
En el triángulo resultante, debes usar una regla para medir el lado opuesto a la esquina y el lado largo de uno de los rayos. La relación entre la primera dimensión y la segunda será el valor deseado del seno del ángulo agudo.
Para un ángulo obtuso la tarea no es mucho más difícil. Necesitamos dibujar un rayo desde el vértice en dirección opuesta usando una regla para formar una línea recta con uno de los rayos del ángulo que nos interesa. El ángulo agudo resultante debe tratarse como se describió anteriormente; los senos de los ángulos adyacentes que juntos forman un ángulo inverso de 180° son iguales.
Calcular el seno usando otras funciones trigonométricas
Además, es posible calcular el seno si se conocen los valores de otras funciones trigonométricas del ángulo o al menos las longitudes de los lados del triángulo. Las identidades trigonométricas nos ayudarán con esto. Veamos ejemplos comunes.
¿Cómo encontrar el seno con un coseno conocido de un ángulo? La primera identidad trigonométrica, basada en el teorema de Pitágoras, establece que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un mismo ángulo es igual a uno.
¿Cómo encontrar el seno de una tangente conocida a un ángulo? La tangente se obtiene dividiendo el lado lejano por el lado cercano o dividiendo el seno por el coseno. Así, el seno será el producto del coseno y la tangente, y el cuadrado del seno será el cuadrado de este producto. Reemplazamos el coseno cuadrado con la diferencia entre la unidad y el seno cuadrado según la primera identidad trigonométrica y, mediante simples manipulaciones, reducimos la ecuación al cálculo del seno cuadrado a través de la tangente, en consecuencia, para calcular el seno, se necesitará; Hay que extraer la raíz del resultado obtenido.
¿Cómo encontrar el seno de una cotangente conocida de un ángulo? El valor de la cotangente se puede calcular dividiendo la longitud del cateto más cercano al ángulo por la longitud del más lejano, así como dividiendo el coseno por el seno, es decir, la cotangente es una función inversa a la tangente relativa. al número 1. Para calcular el seno, puedes calcular la tangente usando la fórmula tg α = 1 / ctg α y usar la fórmula en la segunda opción. También puedes derivar una fórmula directa por analogía con la tangente, que se verá así.
Cómo encontrar el seno de tres lados de un triángulo
Existe una fórmula para encontrar la longitud del lado desconocido de cualquier triángulo, no solo de un triángulo rectángulo, a partir de dos lados conocidos usando la función trigonométrica del coseno del ángulo opuesto. Ella se parece a esto.
Una de las áreas de las matemáticas con las que más luchan los estudiantes es la trigonometría. No es de extrañar: para dominar libremente esta área del conocimiento, es necesario el pensamiento espacial, la capacidad de encontrar senos, cosenos, tangentes, cotangentes mediante fórmulas, simplificar expresiones y poder utilizar el número pi en cálculos. Además, es necesario poder utilizar la trigonometría al demostrar teoremas, y esto requiere una memoria matemática desarrollada o la capacidad de derivar cadenas lógicas complejas.
Orígenes de la trigonometría
Para familiarizarse con esta ciencia, debe comenzar con la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo, pero primero debe comprender qué hace la trigonometría en general.
Históricamente, el principal objeto de estudio en esta rama de la ciencia matemática fueron los triángulos rectángulos. La presencia de un ángulo de 90 grados permite realizar diversas operaciones que permiten determinar los valores de todos los parámetros de la figura en cuestión utilizando dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. En el pasado, la gente notó este patrón y comenzó a usarlo activamente en la construcción de edificios, navegación, astronomía e incluso en el arte.
Etapa inicial
Al principio, la gente hablaba de la relación entre ángulos y lados únicamente utilizando el ejemplo de los triángulos rectángulos. Luego se descubrieron fórmulas especiales que permitieron ampliar los límites de uso en la vida cotidiana de esta rama de las matemáticas.
El estudio de la trigonometría en la escuela hoy comienza con los triángulos rectángulos, después de lo cual los estudiantes utilizan los conocimientos adquiridos en física y la resolución de ecuaciones trigonométricas abstractas, que comienzan en la escuela secundaria.
trigonometría esférica
Más tarde, cuando la ciencia alcanzó el siguiente nivel de desarrollo, en la geometría esférica comenzaron a usarse fórmulas con seno, coseno, tangente y cotangente, donde se aplican diferentes reglas y la suma de los ángulos en un triángulo es siempre superior a 180 grados. Este apartado no se estudia en la escuela, pero es necesario conocer su existencia, al menos porque la superficie de la Tierra, y la superficie de cualquier otro planeta, es convexa, lo que significa que cualquier marca en la superficie tendrá "forma de arco" en espacio tridimensional.
Toma el globo y el hilo. Conecte el hilo a dos puntos cualesquiera del globo para que quede tenso. Tenga en cuenta que ha adquirido la forma de un arco. La geometría esférica se ocupa de estas formas y se utiliza en geodesia, astronomía y otros campos teóricos y aplicados.
triangulo rectángulo
Habiendo aprendido un poco sobre las formas de usar la trigonometría, volvamos a la trigonometría básica para comprender mejor qué son el seno, el coseno y la tangente, qué cálculos se pueden realizar con su ayuda y qué fórmulas usar.
El primer paso es comprender los conceptos relacionados con un triángulo rectángulo. Primero, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados. Es el más largo. Recordamos que según el teorema de Pitágoras, su valor numérico es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Por ejemplo, si los dos lados miden 3 y 4 centímetros respectivamente, la longitud de la hipotenusa será de 5 centímetros. Por cierto, los antiguos egipcios lo sabían hace unos cuatro mil quinientos años.
Los dos lados restantes, que forman un ángulo recto, se llaman catetos. Además, debemos recordar que la suma de los ángulos de un triángulo en un sistema de coordenadas rectangular es igual a 180 grados.
Definición
Finalmente, con una comprensión firme de la base geométrica, se puede recurrir a la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo.
El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto (es decir, el lado opuesto al ángulo deseado) y la hipotenusa. El coseno de un ángulo es la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa.
¡Recuerda que ni el seno ni el coseno pueden ser mayores que uno! ¿Por qué? Debido a que la hipotenusa es por defecto la más larga, no importa qué tan largo sea el cateto, será más corta que la hipotenusa, lo que significa que su proporción siempre será menor que uno. Así, si en tu respuesta a un problema obtienes un seno o coseno con un valor mayor a 1, busca un error en los cálculos o razonamientos. Esta respuesta es claramente incorrecta.
Finalmente, la tangente de un ángulo es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente. Dividir el seno por el coseno dará el mismo resultado. Mira: según la fórmula, dividimos la longitud del lado por la hipotenusa, luego dividimos por la longitud del segundo lado y multiplicamos por la hipotenusa. Por tanto, obtenemos la misma relación que en la definición de tangente.
La cotangente, por tanto, es la relación entre el lado adyacente a la esquina y el lado opuesto. Obtenemos el mismo resultado dividiendo uno por la tangente.
Entonces, hemos visto las definiciones de qué son seno, coseno, tangente y cotangente y podemos pasar a las fórmulas.
Las fórmulas más simples.
En trigonometría no puedes prescindir de fórmulas: ¿cómo encontrar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente sin ellas? Pero esto es exactamente lo que se requiere al resolver problemas.
La primera fórmula que debes saber al empezar a estudiar trigonometría dice que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a uno. Esta fórmula es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras, pero ahorra tiempo si necesitas saber el tamaño del ángulo en lugar del lado.
Muchos alumnos no recuerdan la segunda fórmula, que también es muy popular a la hora de resolver problemas escolares: la suma de uno y el cuadrado de la tangente de un ángulo es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno del ángulo. Mire más de cerca: esta es la misma afirmación que en la primera fórmula, solo que ambos lados de la identidad fueron divididos por el cuadrado del coseno. Resulta que una simple operación matemática hace que la fórmula trigonométrica sea completamente irreconocible. Recuerde: sabiendo qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente, las reglas de transformación y varias fórmulas básicas, podrá derivar en cualquier momento las fórmulas más complejas necesarias en una hoja de papel.
Fórmulas para ángulos dobles y suma de argumentos.
Dos fórmulas más que debes aprender están relacionadas con los valores del seno y el coseno para la suma y diferencia de ángulos. Se presentan en la siguiente figura. Tenga en cuenta que en el primer caso, el seno y el coseno se multiplican ambas veces, y en el segundo, se suma el producto por pares del seno y el coseno.
También hay fórmulas asociadas con argumentos de doble ángulo. Se derivan completamente de los anteriores; como práctica, intente obtenerlos usted mismo tomando el ángulo alfa igual al ángulo beta.
Finalmente, tenga en cuenta que las fórmulas de ángulos dobles se pueden reorganizar para reducir la potencia del seno, coseno y tangente alfa.
Teoremas
Los dos teoremas principales de la trigonometría básica son el teorema del seno y el teorema del coseno. Con la ayuda de estos teoremas, podrás entender fácilmente cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente, y por tanto el área de la figura, y el tamaño de cada lado, etc.
El teorema del seno establece que dividir la longitud de cada lado de un triángulo por el ángulo opuesto da como resultado el mismo número. Además, este número será igual a dos radios del círculo circunscrito, es decir, del círculo que contiene todos los puntos de un triángulo dado.
El teorema del coseno generaliza el teorema de Pitágoras, proyectándolo sobre cualquier triángulo. Resulta que de la suma de los cuadrados de los dos lados, reste su producto multiplicado por el doble coseno del ángulo adyacente; el valor resultante será igual al cuadrado del tercer lado. Por tanto, el teorema de Pitágoras resulta ser un caso especial del teorema del coseno.
Errores descuidados
Incluso sabiendo qué es el seno, el coseno y la tangente, es fácil equivocarse por despiste o por un error en los cálculos más simples. Para evitar este tipo de errores, echemos un vistazo a los más populares.
En primer lugar, no debes convertir fracciones a decimales hasta que obtengas el resultado final; puedes dejar la respuesta como una fracción a menos que se indique lo contrario en las condiciones. Tal transformación no puede considerarse un error, pero conviene recordar que en cada etapa del problema pueden aparecer nuevas raíces que, según la idea del autor, conviene reducir. En este caso, perderá el tiempo en operaciones matemáticas innecesarias. Esto es especialmente cierto para valores como la raíz de tres o la raíz de dos, porque se encuentran en los problemas en cada paso. Lo mismo ocurre con el redondeo de números "feos".
Además, tenga en cuenta que el teorema del coseno se aplica a cualquier triángulo, ¡pero no al teorema de Pitágoras! Si por error olvidas restar el doble del producto de los lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos, no sólo obtendrás un resultado completamente erróneo, sino que además demostrarás una total falta de comprensión del tema. Esto es peor que un error por descuido.
En tercer lugar, no confunda los valores de los ángulos de 30 y 60 grados con senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Recuerda estos valores, porque el seno de 30 grados es igual al coseno de 60, y viceversa. Es fácil confundirlos, por lo que inevitablemente obtendrá un resultado erróneo.
Solicitud
Muchos estudiantes no tienen prisa por empezar a estudiar trigonometría porque no comprenden su significado práctico. ¿Qué es el seno, el coseno y la tangente para un ingeniero o astrónomo? Se trata de conceptos que permiten calcular la distancia a estrellas lejanas, predecir la caída de un meteorito o enviar una sonda de investigación a otro planeta. Sin ellos, es imposible construir un edificio, diseñar un automóvil, calcular la carga sobre una superficie o la trayectoria de un objeto. ¡Y estos son sólo los ejemplos más obvios! Después de todo, la trigonometría de una forma u otra se utiliza en todas partes, desde la música hasta la medicina.
En conclusión
Entonces eres seno, coseno, tangente. Puedes utilizarlos en cálculos y resolver con éxito problemas escolares.
El objetivo de la trigonometría se reduce al hecho de que utilizando los parámetros conocidos de un triángulo es necesario calcular las incógnitas. Hay seis parámetros en total: la longitud de tres lados y el tamaño de tres ángulos. La única diferencia en las tareas es que se proporcionan diferentes datos de entrada.
Ahora sabes cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente basándose en las longitudes conocidas de los catetos o la hipotenusa. Dado que estos términos no significan más que una razón, y una razón es una fracción, el objetivo principal de un problema de trigonometría es encontrar las raíces de una ecuación o sistema de ecuaciones ordinario. Y aquí las matemáticas escolares habituales te ayudarán.
Los conceptos de seno, coseno, tangente y cotangente son las principales categorías de la trigonometría, una rama de las matemáticas, y están indisolublemente ligados a la definición de ángulo. El dominio de esta ciencia matemática requiere la memorización y comprensión de fórmulas y teoremas, así como un pensamiento espacial desarrollado. Por eso los cálculos trigonométricos suelen causar dificultades a escolares y estudiantes. Para superarlos, debes familiarizarte más con las funciones y fórmulas trigonométricas.
Conceptos de trigonometria
Para comprender los conceptos básicos de trigonometría, primero debe comprender qué son un triángulo rectángulo y un ángulo en un círculo, y por qué todos los cálculos trigonométricos básicos están asociados con ellos. Un triángulo en el que uno de los ángulos mide 90 grados es rectangular. Históricamente, esta figura fue utilizada a menudo por personas en arquitectura, navegación, arte y astronomía. En consecuencia, al estudiar y analizar las propiedades de esta figura, la gente llegó a calcular las proporciones correspondientes de sus parámetros.
Las principales categorías asociadas con los triángulos rectángulos son la hipotenusa y los catetos. La hipotenusa es el lado de un triángulo opuesto al ángulo recto. Las piernas, respectivamente, son los otros dos lados. La suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre 180 grados.
La trigonometría esférica es una sección de la trigonometría que no se estudia en la escuela, pero en ciencias aplicadas como la astronomía y la geodesia, los científicos la utilizan. La peculiaridad de un triángulo en trigonometría esférica es que siempre tiene una suma de ángulos superior a 180 grados.
Ángulos de un triángulo
En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto al ángulo deseado y la hipotenusa del triángulo. En consecuencia, el coseno es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Ambos valores siempre tienen una magnitud menor que uno, ya que la hipotenusa siempre es más larga que el cateto.
La tangente de un ángulo es un valor igual a la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente del ángulo deseado, o seno a coseno. La cotangente, a su vez, es la relación entre el lado adyacente del ángulo deseado y el lado opuesto. La cotangente de un ángulo también se puede obtener dividiendo uno por el valor de la tangente.
Círculo unitario
Un círculo unitario en geometría es un círculo cuyo radio es igual a uno. Dicho círculo se construye en un sistema de coordenadas cartesiano, donde el centro del círculo coincide con el punto de origen y la posición inicial del vector de radio se determina a lo largo de la dirección positiva del eje X (eje de abscisas). Cada punto del círculo tiene dos coordenadas: XX e YY, es decir, las coordenadas de la abscisa y la ordenada. Al seleccionar cualquier punto del círculo en el plano XX y trazar una perpendicular desde él al eje de abscisas, obtenemos un triángulo rectángulo formado por el radio hasta el punto seleccionado (indicado por la letra C), la perpendicular dibujada al eje X. (el punto de intersección se indica con la letra G), y el segmento que el eje de abscisas está entre el origen de coordenadas (el punto se indica con la letra A) y el punto de intersección G. El triángulo resultante ACG es un triángulo rectángulo inscrito en un círculo, donde AG es la hipotenusa y AC y GC son los catetos. El ángulo entre el radio del círculo AC y el segmento del eje de abscisas con la designación AG se define como α (alfa). Entonces, cos α = AG/AC. Considerando que AC es el radio del círculo unitario, y es igual a uno, resulta que cos α=AG. Asimismo, sen α=CG.
Además, conociendo estos datos, puedes determinar la coordenada del punto C en el círculo, ya que cos α=AG y sen α=CG, lo que significa que el punto C tiene las coordenadas dadas (cos α;sen α). Sabiendo que la tangente es igual a la relación entre el seno y el coseno, podemos determinar que tan α = y/x y cot α = x/y. Al considerar ángulos en un sistema de coordenadas negativo, puedes calcular que los valores de seno y coseno de algunos ángulos pueden ser negativos.
Cálculos y fórmulas básicas.
Valores de funciones trigonométricas
Habiendo considerado la esencia de las funciones trigonométricas a través del círculo unitario, podemos derivar los valores de estas funciones para algunos ángulos. Los valores se enumeran en la siguiente tabla.
Las identidades trigonométricas más simples.
Las ecuaciones en las que hay un valor desconocido bajo el signo de la función trigonométrica se llaman trigonométricas. Identidades con el valor sin x = α, k - cualquier número entero:
- pecado x = 0, x = πk.
- 2. pecado x = 1, x = π/2 + 2πk.
- pecado x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- pecado x = a, |a| > 1, sin soluciones.
- pecado x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcosin α + πk.
Identidades con el valor cos x = a, donde k es cualquier número entero:
- porque x = 0, x = π/2 + πk.
- porque x = 1, x = 2πk.
- porque x = -1, x = π + 2πk.
- porque x = a, |a| > 1, sin soluciones.
- porque x = a, |a| ≦ 1, x = ±arcos α + 2πk.
Identidades con el valor tg x = a, donde k es cualquier número entero:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Identidades con el valor ctg x = a, donde k es cualquier número entero:
- cuna x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Fórmulas de reducción
Esta categoría de fórmulas constantes denota métodos con los que se puede pasar de funciones trigonométricas de la forma a funciones de un argumento, es decir, reducir el seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo de cualquier valor a los indicadores correspondientes del ángulo de el intervalo de 0 a 90 grados para mayor comodidad de los cálculos.
Las fórmulas para reducir funciones para el seno de un ángulo se ven así:
- pecado(900 - α) = α;
- pecado(900 + α) = cos α;
- pecado(1800 - α) = pecado α;
- pecado(1800 + α) = -sen α;
- pecado(2700 - α) = -cos α;
- pecado(2700 + α) = -cos α;
- pecado(3600 - α) = -sen α;
- pecado(3600 + α) = pecado α.
Para coseno de ángulo:
- cos(900 - α) = sen α;
- cos(900 + α) = -sen α;
- porque(1800 - α) = -cos α;
- porque(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sen α;
- cos(2700 + α) = sen α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
El uso de las fórmulas anteriores es posible sujeto a dos reglas. Primero, si el ángulo se puede representar como un valor (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), el valor de la función cambia:
- del pecado al cos;
- de cos al pecado;
- de tg a ctg;
- de ctg a tg.
El valor de la función permanece sin cambios si el ángulo se puede representar como (π ± a) o (2π ± a).
En segundo lugar, el signo de la función reducida no cambia: si inicialmente era positivo, sigue siéndolo. Lo mismo con las funciones negativas.
Fórmulas de suma
Estas fórmulas expresan los valores de seno, coseno, tangente y cotangente de la suma y diferencia de dos ángulos de rotación a través de sus funciones trigonométricas. Normalmente los ángulos se indican como α y β.
Las fórmulas se ven así:
- pecado(α ± β) = pecado α * cos β ± cos α * pecado.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sen α * sen.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Estas fórmulas son válidas para cualquier ángulo α y β.
Fórmulas de doble y triple ángulo.
Las fórmulas trigonométricas de ángulos dobles y triples son fórmulas que relacionan las funciones de los ángulos 2α y 3α, respectivamente, con las funciones trigonométricas del ángulo α. Derivado de fórmulas de suma:
- sen2α = 2senα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sen^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- pecado3α = 3senα - 4sen^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Transición de suma a producto
Considerando que 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), simplificando esta fórmula obtenemos la identidad sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. De manera similar sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + senα = √2sen(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Transición del producto a la suma
Estas fórmulas se derivan de las identidades de la transición de una suma a un producto:
- senα * senβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- senα * cosβ = 1/2*.
Fórmulas de reducción de grados.
En estas identidades, las potencias cuadradas y cúbicas del seno y el coseno se pueden expresar en términos del seno y el coseno de la primera potencia de un ángulo múltiple:
- pecado^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- pecado^3 α = (3 * pecadoα - pecado3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- pecado^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
sustitución universal
Las fórmulas de sustitución trigonométrica universal expresan funciones trigonométricas en términos de la tangente de un medio ángulo.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), con x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), donde x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), donde x = π + 2πn;
- cuna x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), con x = π + 2πn.
Casos especiales
A continuación se dan casos especiales de las ecuaciones trigonométricas más simples (k es cualquier número entero).
Cocientes para el seno:
| Valor sen x | valor x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk o 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk o -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk o 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk o -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk o 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk o -2π/3 + 2πk |
Cocientes para coseno:
| valor cos x | valor x |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Cocientes para tangente:
| tg x valor | valor x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Cocientes para cotangente:
| valor x ctg | valor x |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teoremas
Teorema de los senos
Hay dos versiones del teorema: simple y extendida. Teorema del seno simple: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. En este caso, a, b, c son los lados del triángulo y α, β, γ son los ángulos opuestos, respectivamente.
Teorema del seno extendido para un triángulo arbitrario: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. En esta identidad, R denota el radio del círculo en el que está inscrito el triángulo dado.
Teorema del coseno
La identidad se muestra de la siguiente manera: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. En la fórmula, a, b, c son los lados del triángulo y α es el ángulo opuesto al lado a.
Teorema tangente
La fórmula expresa la relación entre las tangentes de dos ángulos y la longitud de los lados opuestos a ellos. Los lados están etiquetados como a, b, c, y los ángulos opuestos correspondientes son α, β, γ. Fórmula del teorema de la tangente: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Teorema de la cotangente
Une el radio de un círculo inscrito en un triángulo con la longitud de sus lados. Si a, b, c son los lados del triángulo y A, B, C, respectivamente, son los ángulos opuestos a ellos, r es el radio del círculo inscrito y p es el semiperímetro del triángulo, se tiene lo siguiente Las identidades son válidas:
- cuna A/2 = (p-a)/r;
- cuna B/2 = (p-b)/r;
- cuna C/2 = (p-c)/r.
Solicitud
La trigonometría no es sólo una ciencia teórica asociada a fórmulas matemáticas. Sus propiedades, teoremas y reglas se utilizan en la práctica en diversas ramas de la actividad humana: astronomía, navegación aérea y marítima, teoría musical, geodesia, química, acústica, óptica, electrónica, arquitectura, economía, ingeniería mecánica, trabajos de medición, gráficos por computadora, cartografía, oceanografía y muchos otros.
Seno, coseno, tangente y cotangente son los conceptos básicos de la trigonometría, con la ayuda de los cuales se pueden expresar matemáticamente las relaciones entre los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo, y encontrar las cantidades requeridas mediante identidades, teoremas y reglas.
La trigonometría es una rama de la ciencia matemática que estudia las funciones trigonométricas y su uso en geometría. El desarrollo de la trigonometría comenzó en la antigua Grecia. Durante la Edad Media, científicos de Medio Oriente y la India hicieron importantes contribuciones al desarrollo de esta ciencia.
Este artículo está dedicado a los conceptos básicos y definiciones de trigonometría. Se analizan las definiciones de las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente y cotangente. Su significado se explica e ilustra en el contexto de la geometría.
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Inicialmente, las definiciones de funciones trigonométricas cuyo argumento es un ángulo se expresaban en términos de la razón de los lados de un triángulo rectángulo.
Definiciones de funciones trigonométricas
El seno de un ángulo (sen α) es la relación entre el cateto opuesto a este ángulo y la hipotenusa.
Coseno del ángulo (cos α): la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Ángulo tangente (t g α): la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.
Ángulo cotangente (c t g α): la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
¡Estas definiciones se dan para el ángulo agudo de un triángulo rectángulo!
Pongamos una ilustración.
En el triángulo ABC con ángulo recto C, el seno del ángulo A es igual a la razón entre el cateto BC y la hipotenusa AB.
Las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente te permiten calcular los valores de estas funciones a partir de las longitudes conocidas de los lados del triángulo.
¡Importante recordar!
El rango de valores del seno y el coseno es de -1 a 1. En otras palabras, el seno y el coseno toman valores de -1 a 1. El rango de valores de la tangente y la cotangente es la recta numérica completa, es decir, estas funciones pueden tomar cualquier valor.
Las definiciones dadas anteriormente se aplican a ángulos agudos. En trigonometría se introduce el concepto de ángulo de rotación, cuyo valor, a diferencia de un ángulo agudo, no se limita a 0 a 90 grados. El ángulo de rotación en grados o radianes se expresa mediante cualquier número real desde - ∞ hasta + ∞.
En este contexto, podemos definir seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo de magnitud arbitraria. Imaginemos un círculo unitario con centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano.
El punto inicial A con coordenadas (1, 0) gira alrededor del centro del círculo unitario un cierto ángulo α y va al punto A 1. La definición se da en términos de las coordenadas del punto A 1 (x, y).
Seno (pecado) del ángulo de rotación.
El seno del ángulo de rotación α es la ordenada del punto A 1 (x, y). pecado α = y
Coseno (cos) del ángulo de rotación.
El coseno del ángulo de rotación α es la abscisa del punto A 1 (x, y). porque α = x
Tangente (tg) del ángulo de rotación
La tangente del ángulo de rotación α es la relación entre la ordenada del punto A 1 (x, y) y su abscisa. t g α = y x
Cotangente (ctg) del ángulo de rotación
La cotangente del ángulo de rotación α es la relación entre la abscisa del punto A 1 (x, y) y su ordenada. c t g α = x y
El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo de rotación. Esto es lógico, porque la abscisa y la ordenada de un punto después de la rotación se pueden determinar en cualquier ángulo. La situación es diferente con la tangente y la cotangente. La tangente no está definida cuando un punto después de la rotación va a un punto con abscisas cero (0, 1) y (0, - 1). En tales casos, la expresión para la tangente t g α = y x simplemente no tiene sentido, ya que contiene división por cero. La situación es similar con la cotangente. La diferencia es que la cotangente no está definida en los casos en que la ordenada de un punto tiende a cero.
¡Importante recordar!
El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α.
La tangente se define para todos los ángulos excepto α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
La cotangente se define para todos los ángulos excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Al resolver ejemplos prácticos, no diga “seno del ángulo de rotación α”. Las palabras “ángulo de rotación” simplemente se omiten, lo que implica que ya queda claro por el contexto lo que se está discutiendo.
Números
¿Qué pasa con la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un número, y no el ángulo de rotación?
Seno, coseno, tangente y cotangente de un número.
Seno, coseno, tangente y cotangente de un número. t es un número que es respectivamente igual a seno, coseno, tangente y cotangente en t radián.
Por ejemplo, el seno del número 10 π es igual al seno del ángulo de rotación de 10 π rad.
Existe otro método para determinar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un número. Echemos un vistazo más de cerca.
cualquier número real t un punto en el círculo unitario está asociado con el centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano rectangular. El seno, el coseno, la tangente y la cotangente se determinan a través de las coordenadas de este punto.
El punto inicial del círculo es el punto A con coordenadas (1, 0).
numero positivo t
Número negativo t Corresponde al punto al que irá el punto de partida si se mueve alrededor del círculo en sentido antihorario y pasa por el camino t.
Ahora que se ha establecido la conexión entre un número y un punto en un círculo, pasamos a la definición de seno, coseno, tangente y cotangente.
Seno (pecado) de t
Seno de un número t- ordenada de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. pecado t = y
Coseno (cos) de t
coseno de un numero t- abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. porque t = x
Tangente (tg) de t
tangente de un numero t- la relación entre la ordenada y la abscisa de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. t g t = y x = sen t cos t
Las últimas definiciones están de acuerdo con y no contradicen la definición dada al principio de este párrafo. Punto en el círculo correspondiente al número. t, coincide con el punto al que va el punto de partida después de girar un ángulo t radián.
Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico.
Cada valor del ángulo α corresponde a un determinado valor del seno y coseno de este ángulo. Al igual que todos los ángulos α distintos de α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) corresponden a un determinado valor de tangente. La cotangente, como se indicó anteriormente, se define para todos los α excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Podemos decir que sin α, cos α, t g α, c t g α son funciones del ángulo alfa, o funciones del argumento angular.
De manera similar, podemos hablar de seno, coseno, tangente y cotangente como funciones de un argumento numérico. cada número real t Corresponde a un determinado valor del seno o coseno de un número. t. Todos los números distintos de π 2 + π · k, k ∈ Z, corresponden a un valor tangente. La cotangente, de manera similar, se define para todos los números excepto π · k, k ∈ Z.
Funciones básicas de trigonometría.
El seno, el coseno, la tangente y la cotangente son las funciones trigonométricas básicas.
Por lo general, del contexto queda claro con qué argumento de la función trigonométrica (argumento angular o argumento numérico) estamos tratando.
Volvamos a las definiciones dadas al principio y al ángulo alfa, que se encuentra en el rango de 0 a 90 grados. Las definiciones trigonométricas de seno, coseno, tangente y cotangente son totalmente consistentes con las definiciones geométricas dadas por las relaciones de aspecto de un triángulo rectángulo. Mostrémoslo.
Tomemos un círculo unitario con centro en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular. Giremos el punto inicial A (1, 0) en un ángulo de hasta 90 grados y dibujemos una perpendicular al eje de abscisas desde el punto resultante A 1 (x, y). En el triángulo rectángulo resultante, el ángulo A 1 O H es igual al ángulo de rotación α, la longitud del cateto O H es igual a la abscisa del punto A 1 (x, y). La longitud del cateto opuesto al ángulo es igual a la ordenada del punto A 1 (x, y), y la longitud de la hipotenusa es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario.
De acuerdo con la definición de geometría, el seno del ángulo α es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.
pecado α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Esto significa que determinar el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo a través de la relación de aspecto es equivalente a determinar el seno del ángulo de rotación α, con alfa en el rango de 0 a 90 grados.
De manera similar, se puede mostrar la correspondencia de definiciones para coseno, tangente y cotangente.
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