Vídeotutorial 2: Problema de pirámide. Volumen de la pirámide
Vídeotutorial 3: Problema de la pirámide. Pirámide correcta
Conferencia: Pirámide, su base, nervaduras laterales, altura, superficie lateral; pirámide triangular; pirámide regular
Pirámide, sus propiedades.Pirámide Es un cuerpo tridimensional que tiene un polígono en su base y todas sus caras están formadas por triángulos.
Un caso especial de pirámide es un cono con un círculo en su base.
Veamos los elementos principales de la pirámide:
Apotema- este es un segmento que conecta la parte superior de la pirámide con la mitad del borde inferior de la cara lateral. En otras palabras, esta es la altura del borde de la pirámide.
En la figura puedes ver los triángulos ADS, ABS, BCS, CDS. Si miras de cerca los nombres, puedes ver que cada triángulo tiene una letra común en su nombre: S. Es decir, esto significa que todas las caras laterales (triángulos) convergen en un punto, que se llama la cima de la pirámide. .
El segmento OS que conecta el vértice con el punto de intersección de las diagonales de la base (en el caso de triángulos, en el punto de intersección de las alturas) se llama altura de la pirámide.
Una sección diagonal es un plano que pasa por la cima de la pirámide, así como por una de las diagonales de la base.
Dado que la superficie lateral de la pirámide está formada por triángulos, para encontrar el área total de la superficie lateral es necesario encontrar el área de cada cara y sumarlas. El número y la forma de las caras depende de la forma y el tamaño de los lados del polígono que se encuentra en la base.
El único plano de una pirámide que no pertenece a su vértice se llama base pirámides.
En la figura vemos que la base es un paralelogramo, sin embargo, puede ser cualquier polígono arbitrario.
Propiedades:
Consideremos el primer caso de una pirámide, en la que tiene aristas de la misma longitud:
- Se puede dibujar un círculo alrededor de la base de dicha pirámide. Si proyecta la cima de dicha pirámide, su proyección estará ubicada en el centro del círculo.
- Los ángulos en la base de la pirámide son iguales en cada cara.
- En este caso, una condición suficiente para que se pueda describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, y también que todas las aristas sean de diferentes longitudes, pueden considerarse los mismos ángulos entre la base y cada arista de las caras.
Si te encuentras con una pirámide en la que los ángulos entre las caras laterales y la base son iguales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
- Podrás describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, cuyo vértice se proyecta exactamente en el centro.
- Si dibuja cada borde lateral de la altura hasta la base, tendrán la misma longitud.
- Para encontrar el área de la superficie lateral de dicha pirámide, basta con encontrar el perímetro de la base y multiplicarlo por la mitad de la altura.
- S pb = 0,5P oc H.
- Tipos de pirámide.
- Dependiendo de qué polígono se encuentre en la base de la pirámide, pueden ser triangulares, cuadrangulares, etc. Si en la base de la pirámide hay un polígono regular (con lados iguales), dicha pirámide se llamará regular.
Pirámide triangular regular
Definición
Pirámide es un poliedro compuesto por un polígono \(A_1A_2...A_n\) y \(n\) triángulos con un vértice común \(P\) (que no se encuentra en el plano del polígono) y lados opuestos a él, coincidiendo con el lados del polígono.
Designación: \(PA_1A_2...A_n\) .
Ejemplo: pirámide pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Triángulos \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. son llamados caras laterales pirámides, segmentos \(PA_1, PA_2\), etc. – costillas laterales, polígono \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, punto \(P\) – arriba.
Altura Las pirámides son una perpendicular que desciende desde la cima de la pirámide hasta el plano de la base.
Una pirámide con un triángulo en su base se llama tetraedro.
La pirámide se llama correcto, si su base es un polígono regular y se cumple una de las siguientes condiciones:
\((a)\) los bordes laterales de la pirámide son iguales;
\((b)\) la altura de la pirámide pasa por el centro del círculo circunscrito cerca de la base;
\((c)\) las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.
\((d)\) las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.
tetraedro regular Es una pirámide triangular, todas cuyas caras son triángulos equiláteros iguales.
Teorema
Las condiciones \((a), (b), (c), (d)\) son equivalentes.
Prueba
Encontremos la altura de la pirámide \(PH\) . Sea \(\alpha\) el plano de la base de la pirámide.
1) Demostremos que de \((a)\) se sigue \((b)\) . Sea \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Porque \(PH\perp \alpha\), entonces \(PH\) es perpendicular a cualquier línea que se encuentre en este plano, lo que significa que los triángulos son rectángulos. Esto significa que estos triángulos son iguales en el cateto común \(PH\) y la hipotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Esto significa \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Esto significa que los puntos \(A_1, A_2, ..., A_n\) están a la misma distancia del punto \(H\), por lo tanto, se encuentran en el mismo círculo con el radio \(A_1H\). Este círculo, por definición, está circunscrito al polígono \(A_1A_2...A_n\) .
2) Demostremos que \((b)\) implica \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulares e iguales sobre dos patas. Esto significa que sus ángulos también son iguales, por lo tanto, \(\ángulo PA_1H=\ángulo PA_2H=...=\ángulo PA_nH\).
3) Demostremos que \((c)\) implica \((a)\) .
Similar al primer punto, los triángulos \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangular tanto a lo largo del cateto como en ángulo agudo. Esto significa que sus hipotenusas también son iguales, es decir, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Demostremos que \((b)\) implica \((d)\) .
Porque en un polígono regular, los centros de los círculos circunscritos e inscritos coinciden (en general, este punto se llama centro de un polígono regular), entonces \(H\) es el centro del círculo inscrito. Dibujemos perpendiculares desde el punto \(H\) a los lados de la base: \(HK_1, HK_2\), etc. Estos son los radios del círculo inscrito (por definición). Luego según TTP (\(PH\) es perpendicular al plano, \(HK_1, HK_2\), etc. son proyecciones perpendiculares a los lados) inclinadas \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular a los lados \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivamente. Entonces, por definición \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H\) iguales a los ángulos entre las caras laterales y la base. Porque triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectangulares en dos lados), entonces los ángulos \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H, ...\) son iguales.
5) Demostremos que \((d)\) implica \((b)\) .
Similar al cuarto punto, los triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectangulares a lo largo del cateto y ángulo agudo), lo que significa que los segmentos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) son igual. Esto significa, por definición, \(H\) es el centro de un círculo inscrito en la base. Pero porque Para polígonos regulares, los centros de los círculos inscritos y circunscritos coinciden, entonces \(H\) es el centro del círculo circunscrito. Chtd.
Consecuencia
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales.
Definición
La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde su vértice se llama apotema.
Las apotemas de todas las caras laterales de una pirámide regular son iguales entre sí y también son medianas y bisectrices.
Notas importantes
1. La altura de una pirámide triangular regular cae en el punto de intersección de las alturas (o bisectrices o medianas) de la base (la base es un triángulo regular).
2. La altura de una pirámide cuadrangular regular cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un cuadrado).
3. La altura de una pirámide hexagonal regular cae en el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un hexágono regular).
4. La altura de la pirámide es perpendicular a cualquier línea recta que se encuentre en la base.
Definición
La pirámide se llama rectangular, si uno de sus bordes laterales es perpendicular al plano de la base.
Notas importantes
1. En una pirámide rectangular, el borde perpendicular a la base es la altura de la pirámide. Es decir, \(SR\) es la altura.
2. Porque \(SR\) es perpendicular a cualquier línea desde la base, entonces \(\triángulo SRM, \triángulo SRP\)– triángulos rectángulos.
3. Triángulos \(\triángulo SRN, \triángulo SRK\)- también rectangular.
Es decir, cualquier triángulo formado por esta arista y la diagonal que sale del vértice de esta arista situada en la base será rectangular.
\[(\Large(\text(Volumen y superficie de la pirámide)))\]
Teorema
El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura de la pirámide: \
Consecuencias
Sea \(a\) el lado de la base, \(h\) la altura de la pirámide.
1. El volumen de una pirámide triangular regular es \(V_(\text(triángulo rectángulo.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. El volumen de una pirámide hexagonal regular es \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. El volumen de un tetraedro regular es \(V_(\text(tetr. derecha))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Teorema
El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema.
\[(\Grande(\text(Frustum)))\]
Definición
Considere una pirámide arbitraria \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Dibujemos un plano paralelo a la base de la pirámide que pase por un cierto punto que se encuentra en el borde lateral de la pirámide. Este plano dividirá la pirámide en dos poliedros, uno de los cuales es una pirámide (\(PB_1B_2...B_n\)), y el otro se llama pirámide truncada(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\)).
La pirámide truncada tiene dos bases: los polígonos \(A_1A_2...A_n\) y \(B_1B_2...B_n\) que son similares entre sí.
La altura de una pirámide truncada es una perpendicular trazada desde algún punto de la base superior al plano de la base inferior.
Notas importantes
1. Todas las caras laterales de una pirámide truncada son trapecios.
2. El segmento que conecta los centros de las bases de una pirámide truncada regular (es decir, una pirámide obtenida por sección transversal de una pirámide regular) es la altura.
Seguimos considerando las tareas incluidas en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Ya hemos estudiado problemas donde se da la condición y se requiere encontrar la distancia entre dos puntos dados o un ángulo.
Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono, el resto de caras son triángulos y tienen un vértice común.
Una pirámide regular es una pirámide en cuya base se encuentra un polígono regular y su vértice se proyecta hacia el centro de la base.
Una pirámide cuadrangular regular: la base es un cuadrado. La cima de la pirámide se proyecta en el punto de intersección de las diagonales de la base (cuadrado).
ML - apotema
∠MLO - ángulo diédrico en la base de la pirámide
∠MCO - ángulo entre el borde lateral y el plano de la base de la pirámide
En este artículo veremos problemas para resolver una pirámide regular. Necesitas encontrar algún elemento, superficie lateral, volumen, altura. Por supuesto, necesitas conocer el teorema de Pitágoras, la fórmula para el área de la superficie lateral de una pirámide y la fórmula para encontrar el volumen de una pirámide.
en el articulo "" presenta las fórmulas que son necesarias para resolver problemas en estereometría. Entonces, las tareas:
SABCD punto oh- centro de la base,S vértice, ENTONCES = 51, C.A.= 136. Encuentra el borde lateralCarolina del Sur.
En este caso la base es un cuadrado. Esto significa que las diagonales AC y BD son iguales, se cruzan y son bisecadas por el punto de intersección. Tenga en cuenta que en una pirámide regular la altura que cae desde su cima pasa por el centro de la base de la pirámide. Entonces SO es la altura y el triángulo.SOCrectangular. Entonces según el teorema de Pitágoras:
Cómo extraer la raíz de un número grande.
Respuesta: 85
Decide por ti mismo:
En una pirámide cuadrangular regular SABCD punto oh- centro de la base, S vértice, ENTONCES = 4, C.A.= 6. Encuentra el borde lateral Carolina del Sur.
En una pirámide cuadrangular regular SABCD punto oh- centro de la base, S vértice, Carolina del Sur = 5, C.A.= 6. Encuentra la longitud del segmento. ENTONCES.
En una pirámide cuadrangular regular SABCD punto oh- centro de la base, S vértice, ENTONCES = 4, Carolina del Sur= 5. Encuentra la longitud del segmento. C.A..
SABC R- mitad de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que AB= 7, un S.R.= 16. Encuentra el área de la superficie lateral.
El área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema (la apotema es la altura de la cara lateral de una pirámide regular extraída de su vértice):
O podemos decir esto: el área de la superficie lateral de la pirámide es igual a la suma de las áreas de las tres caras laterales. Las caras laterales de una pirámide triangular regular son triángulos de igual área. En este caso:
Respuesta: 168
Decide por ti mismo:
En una pirámide triangular regular SABC R- mitad de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que AB= 1, un S.R.= 2. Calcula el área de la superficie lateral.
En una pirámide triangular regular SABC R- mitad de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que AB= 1, y el área de la superficie lateral es 3. Encuentra la longitud del segmento S.R..
En una pirámide triangular regular SABC l- mitad de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que SL= 2, y el área de la superficie lateral es 3. Encuentra la longitud del segmento AB.
En una pirámide triangular regular SABC METRO. Área de un triángulo abecedario es 25, el volumen de la pirámide es 100. Encuentra la longitud del segmento EM.
La base de la pirámide es un triángulo equilátero.. Es por eso METROes el centro de la base, yEM- altura de una pirámide regularSABC. Volumen de la pirámide SABC es igual a: ver solución
En una pirámide triangular regular SABC las medianas de la base se cortan en el punto METRO. Área de un triángulo abecedario es igual a 3, EM= 1. Encuentra el volumen de la pirámide.
En una pirámide triangular regular SABC las medianas de la base se cortan en el punto METRO. El volumen de la pirámide es 1, EM= 1. Encuentra el área del triángulo. abecedario.
Terminemos aquí. Como puede ver, los problemas se resuelven en uno o dos pasos. En el futuro consideraremos otros problemas de esta parte, donde se dan cuerpos de revolución, ¡no te lo pierdas!
¡Buena suerte para ti!
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
Los estudiantes encuentran el concepto de pirámide mucho antes de estudiar geometría. La culpa la tienen las famosas grandes maravillas egipcias del mundo. Por eso, al empezar a estudiar este maravilloso poliedro, la mayoría de los estudiantes ya lo imaginan claramente. Todas las atracciones mencionadas anteriormente tienen la forma correcta. Qué ha pasado pirámide regular, y qué propiedades tiene se discutirán más a fondo.
Definición
Hay bastantes definiciones de pirámide. Desde la antigüedad ha sido muy popular.
Por ejemplo, Euclides lo definió como una figura corporal formada por planos que, partiendo de uno, convergen en un punto determinado.
Heron proporcionó una formulación más precisa. Insistió en que esa era la cifra que tiene una base y planos en forma de triángulos, convergiendo en un punto.
Según la interpretación moderna, la pirámide se representa como un poliedro espacial, que consta de ciertos k-gon y k figuras triangulares planas, que tienen un punto común.
Veámoslo con más detalle, de qué elementos se compone:
- El k-gon se considera la base de la figura;
- Las formas trigonales sobresalen como los bordes de la parte lateral;
- la parte superior de donde se originan los elementos laterales se llama ápice;
- todos los segmentos que conectan un vértice se llaman aristas;
- si una línea recta se baja desde el vértice al plano de la figura en un ángulo de 90 grados, entonces su parte contenida en el espacio interno es la altura de la pirámide;
- en cualquier elemento lateral, se puede trazar una perpendicular, llamada apotema, al lado de nuestro poliedro.
El número de aristas se calcula usando la fórmula 2*k, donde k es el número de lados del k-gon. Cuántas caras tiene un poliedro como una pirámide se pueden determinar usando la expresión k+1.
¡Importante! Una pirámide de forma regular es una figura estereométrica cuyo plano base es un k-gón de lados iguales.
Propiedades básicas
Pirámide correcta tiene muchas propiedades, que son únicos para ella. Enumeremoslos:
- La base es una figura de la forma correcta.
- Las aristas de la pirámide que limitan los elementos laterales tienen valores numéricos iguales.
- Los elementos laterales son triángulos isósceles.
- La base de la altura de la figura cae en el centro del polígono, siendo a la vez el punto central del inscrito y circunscrito.
- Todas las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.
- Todas las superficies laterales tienen el mismo ángulo de inclinación con respecto a la base.
Gracias a todas las propiedades enumeradas, realizar cálculos de elementos es mucho más sencillo. Con base en las propiedades anteriores, prestamos atención a dos signos:
- En el caso de que el polígono encaje en un círculo, las caras laterales tendrán ángulos iguales con la base.
- Al describir un círculo alrededor de un polígono, todos los bordes de la pirámide que emanan del vértice tendrán longitudes iguales y ángulos iguales con la base.
La base es un cuadrado.
Pirámide cuadrangular regular - un poliedro cuya base es un cuadrado.
Tiene cuatro caras laterales, que son de apariencia isósceles.
Un cuadrado se representa en un plano, pero se basa en todas las propiedades de un cuadrilátero regular.
Por ejemplo, si es necesario relacionar el lado de un cuadrado con su diagonal, entonces usa la siguiente fórmula: la diagonal es igual al producto del lado del cuadrado por la raíz cuadrada de dos.
Se basa en un triángulo regular.
Una pirámide triangular regular es un poliedro cuya base es un triágono regular.
Si la base es un triángulo regular y los bordes laterales son iguales a los bordes de la base, entonces esa figura llamado tetraedro.
Todas las caras de un tetraedro son 3-gonos equiláteros. En este caso, es necesario conocer algunos puntos y no perder el tiempo en ellos a la hora de calcular:
- el ángulo de inclinación de las nervaduras con respecto a cualquier base es de 60 grados;
- el tamaño de todas las caras internas también es de 60 grados;
- cualquier rostro puede actuar como base;
- , dibujado dentro de la figura, estos son elementos iguales.
Secciones de un poliedro
En cualquier poliedro hay varios tipos de secciones departamento. A menudo, en un curso de geometría escolar se trabaja con dos:
- axial;
- paralelo a la base.
Una sección axial se obtiene cortando un poliedro con un plano que pasa por el vértice, las aristas laterales y el eje. En este caso, el eje es la altura extraída desde el vértice. El plano de corte está limitado por las líneas de intersección de todas las caras, lo que da como resultado un triángulo.
¡Atención! En una pirámide regular, la sección axial es un triángulo isósceles.
Si el plano de corte corre paralelo a la base, entonces el resultado es la segunda opción. En este caso tenemos una figura de sección similar a la base.
Por ejemplo, si hay un cuadrado en la base, entonces la sección paralela a la base también será un cuadrado, solo que de dimensiones más pequeñas.
Al resolver problemas bajo esta condición, utilizan signos y propiedades de similitud de figuras, basado en el teorema de Tales. En primer lugar, es necesario determinar el coeficiente de similitud.
Si el plano se traza paralelo a la base y corta la parte superior del poliedro, entonces se obtiene una pirámide truncada regular en la parte inferior. Entonces se dice que las bases de un poliedro truncado son polígonos semejantes. En este caso, las caras laterales son trapecios isósceles. La sección axial también es isósceles.
Para determinar la altura de un poliedro truncado es necesario dibujar la altura en la sección axial, es decir, en el trapezoide.
Áreas de superficie
Los principales problemas geométricos que hay que resolver en un curso de geometría escolar son Encontrar el área de la superficie y el volumen de una pirámide.
Hay dos tipos de valores de superficie:
- área de los elementos laterales;
- área de toda la superficie.
Por el propio nombre queda claro de qué estamos hablando. La superficie lateral incluye sólo los elementos laterales. De esto se deduce que para encontrarlo, simplemente es necesario sumar las áreas de los planos laterales, es decir, las áreas de 3 gónos isósceles. Intentemos derivar la fórmula para el área de los elementos laterales:
- El área de un 3-gón isósceles es igual a Str=1/2(aL), donde a es el lado de la base, L es la apotema.
- El número de planos laterales depende del tipo de k-gon en la base. Por ejemplo, una pirámide cuadrangular regular tiene cuatro planos laterales. Por lo tanto, es necesario sumar las áreas de cuatro figuras Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. La expresión se simplifica de esta forma porque el valor es 4a = Rosn, donde Rosn es el perímetro de la base. Y la expresión 1/2*Rosn es su semiperímetro.
- Entonces, concluimos que el área de los elementos laterales de una pirámide regular es igual al producto del semiperímetro de la base por la apotema: Sside = Rosn * L.
El área de la superficie total de la pirámide consiste en la suma de las áreas de los planos laterales y la base: Sp.p. = Slado + Sbas.
En cuanto al área de la base, aquí se utiliza la fórmula según el tipo de polígono.
Volumen de una pirámide regular. igual al producto del área del plano base por la altura dividido por tres: V=1/3*Sbas*H, donde H es la altura del poliedro.
¿Qué es una pirámide regular en geometría?
Propiedades de una pirámide cuadrangular regular