Institución educativa municipal "Escuela secundaria Khvastovichi"
"El método de intervalos para resolver ecuaciones y desigualdades con múltiples módulos"
trabajo de investigacion en matematicas
Terminado:
estudiante de décimo grado
Golysheva Evgenia
Supervisor:
profesor de matematicas
Shapenskaya E.N.
Introducción…………………………………………………………………………………… … ….3 Capítulo 1. Métodos para resolver problemas con varios módulos…… …………… …............4 1.1.Definición de módulo. Solución por definición.........4 1.2 Resolver ecuaciones con múltiples módulos usando el método de intervalo......5 1.3. Problemas con múltiples módulos. Métodos de solución………………………………....7 1.4. Método de intervalos en problemas con módulos……………………………………...9 Capítulo 2. Ecuaciones y desigualdades que contienen módulos………………………….….11 2.1 Resolver ecuaciones con varios módulos usando el método de intervalos.….11 2.2 Resolver desigualdades con varios módulos usando el método de intervalos.…13 Conclusión…………………………………………………… … ……………………...15 Literatura……………………………………………………………………………….………….…. 16
Introducción
El concepto de valor absoluto es una de las características más importantes de un número, tanto en el ámbito de los números reales como en el de los complejos. Este concepto se usa ampliamente no solo en varias secciones del curso de matemáticas de la escuela, sino también en cursos de matemáticas superiores, física y ciencias técnicas que se estudian en las universidades. Los problemas relacionados con los valores absolutos se encuentran a menudo en las Olimpíadas de matemáticas, los exámenes de acceso a la universidad y el Examen Estatal Unificado.
Sujeto:"El método de intervalos para resolver ecuaciones y desigualdades con múltiples módulos mediante el método de intervalos".
Área objetivo: matemáticas.
Objeto de estudio: Resolver ecuaciones y desigualdades con módulo.
Tema de investigación: Método de intervalo para resolver con varios módulos.
Propósito del estudio: Identificar la efectividad de resolver ecuaciones y desigualdades con varios módulos utilizando el método de intervalo.
Hipótesis: Si utiliza el método de intervalos para resolver desigualdades y ecuaciones con varios módulos, puede simplificar significativamente su trabajo.
Métodos de trabajo: recopilación de información y su análisis.
Tareas:
Estudie la literatura sobre este tema.
Considere soluciones a desigualdades y ecuaciones con múltiples módulos.
Identificar la solución más efectiva.
Enfoque práctico del proyecto:
Este trabajo se puede utilizar como material didáctico para estudiantes y como material didáctico para profesores.
Capítulo 1.
1.1.Definición de módulo. Solución por definición.
Por definición, el módulo, o valor absoluto, de un número no negativo a coincide con el número mismo, y el módulo de un número negativo es igual al número opuesto, es decir, a:
El módulo de un número siempre es no negativo. Veamos ejemplos.
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación |–x| = –3.
No es necesario analizar casos aquí, porque el valor absoluto de un número siempre es no negativo, y esto significa que esta ecuación no tiene soluciones.
Escribamos la solución de estas ecuaciones más simples en forma general:
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación |x| = 2 – x.
Solución. En x 0 tenemos la ecuación x = 2 – x, es decir x = 1. Como 1 0, x = 1 es la raíz de la ecuación original. En el segundo caso (x
Respuesta: x = 1.
Ejemplo 3. Resuelve la ecuación 3|x – 3| + x = –1.
Solución. Aquí la división en casos está determinada por el signo de la expresión x – 3. Para x – 3 ³ 0 tenemos 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Pero 2 – 3 0.
Respuesta: la ecuación no tiene raíces.
Ejemplo 4. Resuelve la ecuación |x – 1| = 1 – x.
Solución. Dado que 1 – x = – (x – 1), se deduce directamente de la definición del módulo que la ecuación se satisface con aquellos y sólo aquellos x para los cuales x – 1 0. Esta ecuación se ha reducido a una desigualdad, y la la respuesta es todo el intervalo (rayo).
Respuesta:x1.
1.2. Resolver ecuaciones con módulo mediante sistemas.
Los ejemplos analizados anteriormente nos permiten formular reglas para eliminar el signo del módulo en ecuaciones. Para ecuaciones de la forma |f(x)| = g(x) existen dos reglas de este tipo:
1.ª regla: |f(x)| = g(x) Û (1)
Segunda regla: |f(x)| = g(x) Û (2)
Expliquemos la notación utilizada aquí. Las llaves representan sistemas y los corchetes representan agregados.
Las soluciones de un sistema de ecuaciones son valores de una variable que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.
Las soluciones de un conjunto de ecuaciones son todos valores de una variable, cada una de las cuales es la raíz de al menos una de las ecuaciones del conjunto.
Dos ecuaciones son equivalentes si cualquier solución de cada una de ellas es también solución de la otra, es decir, si los conjuntos de sus soluciones coinciden.
Si la ecuación contiene varios módulos, entonces puedes deshacerte de ellos uno por uno, usando las reglas dadas. Pero suele haber caminos más cortos. Los conoceremos más adelante, pero ahora veamos cómo resolver la más simple de estas ecuaciones:
|f(x)| = |g(x)| Û
Esta equivalencia se deriva del hecho obvio de que si los valores absolutos de dos números son iguales, entonces los números mismos son iguales u opuestos.
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
Solución. Deshacernos del módulo de dos maneras descritas anteriormente:
1.ª vía: 2.ª vía:
Como ves, en ambos casos tenemos que resolver las mismas dos ecuaciones cuadráticas, pero en el primer caso van acompañadas de desigualdades cuadráticas, y en el segundo de lineales. Por tanto, el segundo método para esta ecuación es más sencillo. Resolviendo ecuaciones cuadráticas, encontramos las raíces de la primera, ambas raíces satisfacen la desigualdad. El discriminante de la segunda ecuación es negativo, por lo tanto la ecuación no tiene raíces.
Respuesta: .
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación |x 2 – x – 6| = |2x 2 + x – 1|.
Solución. Ya sabemos que aquí no es necesario considerar (hasta 4) variantes de la distribución de signos de expresiones bajo módulos: esta ecuación es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones cuadráticas sin desigualdades adicionales: Lo que equivale a: La La primera ecuación del conjunto de soluciones no tiene (su discriminante es negativo), la segunda la ecuación tiene dos raíces.
1.3. Problemas con múltiples módulos. Métodos de solución.
Ampliación secuencial de módulos.
Hay dos enfoques principales para resolver ecuaciones y desigualdades que contienen múltiples módulos. Podemos llamarlos "en serie" y "paralelos". Ahora conozcamos el primero de ellos.
Su idea es que primero uno de los módulos se aísle en una parte de la ecuación (o desigualdad) y se revele usando uno de los métodos descritos anteriormente. Luego se repite lo mismo con cada una de las ecuaciones resultantes con módulos y así sucesivamente hasta deshacernos de todos los módulos.
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación: +
Solución. Aislamos el segundo módulo y lo expandimos usando el primer método, es decir, simplemente determinando el valor absoluto:
A las dos ecuaciones resultantes aplicamos el segundo método de extracción del módulo:
Finalmente, resolvemos las cuatro ecuaciones lineales resultantes y seleccionamos aquellas raíces que satisfacen las desigualdades correspondientes. Como resultado, solo quedan dos valores: x = –1 y .
Respuesta: -1; .
Ampliación paralela de módulos.
Puedes eliminar todos los módulos en una ecuación o desigualdad a la vez y escribir todas las combinaciones posibles de signos de expresiones submodulares. Si hay n módulos en la ecuación, entonces habrá 2 n opciones, porque cada una de las n expresiones debajo del módulo, al quitar el módulo, puede recibir uno de dos signos: más o menos. En principio, necesitamos resolver las 2 n ecuaciones (o desigualdades), libres de módulos. Pero sus soluciones también serán soluciones al problema original sólo si se encuentran en regiones donde la ecuación correspondiente (desigualdad) coincide con la original. Estas áreas están definidas por los signos de las expresiones debajo de los módulos. Ya hemos resuelto la siguiente desigualdad, por lo que puedes comparar diferentes enfoques para resolverla.
Ejemplo 2.+
Solución.
Consideremos 4 posibles conjuntos de símbolos para expresiones bajo módulos.
Sólo la primera y la tercera de estas raíces satisfacen las desigualdades correspondientes y, por tanto, la ecuación original.
Respuesta: -1; .
Del mismo modo, puedes solucionar cualquier problema con varios módulos. Pero, como cualquier método universal, esta solución no siempre es óptima. A continuación veremos cómo se puede mejorar.
1.4. Método de intervalo en problemas con módulos.
Observando más de cerca las condiciones que especifican diferentes opciones para la distribución de signos de expresiones submodulares en la solución anterior, veremos que una de ellas, 1 – 3x
Imaginemos que estamos resolviendo una ecuación que incluye tres módulos de expresiones lineales; por ejemplo, |x – a| + |x – b| + |x – c| = metro.
El primer módulo es igual a x – a para x ³ a y a – x para x b y x
Forman cuatro espacios. En cada uno de ellos, cada una de las expresiones bajo los módulos conserva su signo, por lo tanto, la ecuación en su conjunto después de expandir los módulos tiene la misma forma en cada intervalo. Entonces, de 8 opciones teóricamente posibles para abrir módulos, ¡solo 4 resultaron ser suficientes para nosotros!
También puedes solucionar cualquier problema con varios módulos. Es decir, el eje numérico se divide en intervalos de signo constante de todas las expresiones bajo los módulos, y luego en cada uno de ellos se resuelve la ecuación o desigualdad en la que se convierte el problema dado en este intervalo. En particular, si todas las expresiones bajo los módulos son racionales, entonces basta con marcar sus raíces en el eje, así como los puntos donde no están definidos, es decir, las raíces de sus denominadores. Los puntos marcados definen los intervalos requeridos de signo constante. Actuamos exactamente de la misma manera al resolver desigualdades racionales utilizando el método del intervalo. Y el método que describimos para resolver problemas con módulos tiene el mismo nombre.
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación.
Solución. Encontremos los ceros de la función, de dónde. Resolvemos el problema en cada intervalo:
Entonces, esta ecuación no tiene soluciones.
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación.
Solución. Encontremos los ceros de la función. Resolvemos el problema en cada intervalo:
1) (sin soluciones);
Ejemplo 3. Resuelve la ecuación.
Solución. Las expresiones bajo el signo de valor absoluto desaparecen en . En consecuencia, debemos considerar tres casos:
2) - raíz de la ecuación;
3) es la raíz de esta ecuación.
Capítulo 2. Ecuaciones y desigualdades que contienen módulos.
2.1 Resolución de ecuaciones con varios módulos mediante el método de intervalos.
Ejemplo 1.
Resuelve la ecuación:
|x+2| = |x-1|+x-3
-(x+2) = -(x-1) + x-3
X-2=-x+1+x-3
x=2 – no satisface
condición x
sin soluciones
2. Si -2≤х
x+2 = -(x-1)+x-3
satisface
condición -2
3. Si x≥1, entonces
Respuesta:x=6
Ejemplo 2.
Resuelve la ecuación:
1) Encuentra ceros de expresiones submodulares.
Los ceros de las expresiones submodulares dividen el eje numérico en varios intervalos. Ordenamos los signos de expresiones submodulares en estos intervalos.
En cada intervalo abrimos los módulos y resolvemos la ecuación resultante. Tras encontrar la raíz comprobamos que pertenece al intervalo en el que estamos trabajando actualmente.
1. :
- encaja.
2. :
– no encaja.
3. :
– encaja.
4. :
– no encaja. Respuesta:
2.2 Resolver desigualdades con varios módulos mediante el método de intervalos.
Ejemplo 1.
Resuelve la desigualdad:
|x-1| + |x-3| 4
-(x-1) - (x-3) 4
2. Si 1≤x
x-1– (x-3) 4
24 no es correcto
sin soluciones
3. Si x≥3, entonces
Respuesta: xЄ (-∞;0) U (4;+∞)
Ejemplo 2.
Resolvamos la desigualdad.
Solución. Los puntos y (las raíces de las expresiones bajo el módulo) dividen todo el eje numérico en tres intervalos, en cada uno de los cuales se deben expandir los módulos.
1) Cuando , y la desigualdad tiene la forma , es decir, . En este caso la respuesta es.
2) Cuando , la desigualdad tiene la forma , es decir . Esta desigualdad es válida para cualquier valor de la variable y, teniendo en cuenta que la resolvemos en conjunto, obtenemos la respuesta en el segundo caso.
3) Cuando , la desigualdad se transforma en , y la solución en este caso es . La solución general a la desigualdad es combinar las tres respuestas obtenidas.
Así, para resolver ecuaciones y desigualdades que contengan varios módulos, conviene utilizar el método de intervalos. Para hacer esto, necesita encontrar los ceros de todas las funciones submodulares y designarlos en la ODZ de ecuaciones y desigualdades.
Conclusión
Recientemente, en matemáticas se han utilizado ampliamente métodos para simplificar la solución de problemas, en particular el método de intervalo, que puede acelerar significativamente los cálculos. Por tanto, resulta relevante el estudio del método de intervalos para la resolución de ecuaciones y desigualdades con varios módulos.
En el proceso de trabajar en el tema "Resolver ecuaciones y desigualdades que contienen una incógnita bajo el signo del módulo utilizando el método del intervalo", yo: estudié la literatura sobre este tema, me familiaricé con el enfoque algebraico y gráfico para resolver ecuaciones y desigualdades que contienen una desconocido bajo el signo del módulo, y llegó a la conclusión:
En algunos casos, al resolver ecuaciones con módulo, es posible resolver las ecuaciones de acuerdo con las reglas y, a veces, es más conveniente utilizar el método de intervalo.
Al resolver ecuaciones y desigualdades que contienen un módulo, el método de intervalo es más visual y comparativamente más simple.
Mientras escribía mi trabajo de investigación, descubrí muchos problemas que pueden resolverse utilizando el método de intervalos. La tarea más importante es resolver ecuaciones y desigualdades con múltiples módulos.
En el curso de mi trabajo para resolver desigualdades y ecuaciones con varios módulos utilizando el método de intervalo, descubrí que la velocidad de resolución de problemas se duplicaba. Esto le permite acelerar significativamente el proceso de trabajo y reducir los costos de tiempo. Así, se confirmó mi hipótesis “si utilizas el método de intervalos para resolver desigualdades y ecuaciones con varios módulos, puedes simplificar significativamente tu trabajo”. Mientras trabajaba en la investigación, adquirí experiencia en la resolución de ecuaciones y desigualdades con múltiples módulos. Creo que los conocimientos adquiridos me permitirán evitar errores a la hora de tomar decisiones.
Literatura
http://yukhym.com
http://www.tutoronline.ru
http://fizmat.by
http://diffur.kemsu.ru
http://solverbook.com
Zelensky A.S., Panfilov. Resolución de ecuaciones y desigualdades con el módulo I.I. M.: Editorial Factorial, 2009. - 112 p.
Olehnik S.N. Potapov M.K. Ecuaciones y desigualdades. Métodos de solución no estándar. M.: Editorial Factorial, 1997. - 219 p.
Sevryukov P.F., Smolyakov A.N. Ecuaciones y desigualdades con módulos y métodos para resolverlas. M.: Editorial Ilustración 2005. - 112 p.
Sadovnichy Yu.V. Examen del Estado Unificado. Taller de matemáticas. Resolver ecuaciones y desigualdades. Conversión de expresiones algebraicas. M.: Editorial Legión 2015 - 128 p.
Shevkin A.V. Desigualdades cuadráticas. Método de intervalo. M.: LLC “Palabra rusa - Libro educativo”, 2003. – 32 p.
http://padabum.com
Cuanto más comprende una persona, más fuerte es su deseo de comprender.
Tomás de Aquino
El método del intervalo le permite resolver cualquier ecuación que contenga un módulo. La esencia de este método es dividir el eje numérico en varias secciones (intervalos), y el eje debe dividirse por los ceros de las expresiones en los módulos. Luego, en cada una de las secciones resultantes, cada expresión submodular es positiva o negativa. Por tanto, cada uno de los módulos se puede abrir ya sea con un signo menos o con un signo más. Después de estos pasos, solo queda resolver cada una de las ecuaciones simples resultantes en el intervalo considerado y combinar las respuestas obtenidas.
Veamos este método usando un ejemplo específico.
|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.
1) Busquemos los ceros de las expresiones en los módulos. Para hacer esto, necesitamos igualarlos a cero y resolver las ecuaciones resultantes.
x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0
x = -1 2x = 4 x = -3
2) Coloque los puntos resultantes en el orden requerido en la línea de coordenadas. Dividirán todo el eje en cuatro secciones.
3) Determinemos en cada uno de los apartados resultantes los signos de las expresiones de los módulos. Para hacer esto, les sustituimos cualquier número de los intervalos que nos interesan. Si el resultado del cálculo es un número positivo, ponemos "+" en la tabla, y si el número es negativo, ponemos "-". Esto se puede representar así: 
4) Ahora resolveremos la ecuación en cada uno de los cuatro intervalos, revelando los módulos con los signos que se indican en la tabla. Entonces, veamos el primer intervalo:
Intervalo (-∞; -3). En él, todos los módulos se abren con un signo "-". Obtenemos la siguiente ecuación:
-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Presentemos términos similares, abriendo primero los paréntesis en la ecuación resultante:
X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6
La respuesta recibida no está incluida en el intervalo considerado, por lo que no es necesario escribirla en la respuesta final.
intervalo II [-3; -1). En este intervalo en la tabla hay signos “–”, “–”, “+”. Así es exactamente como abrimos los módulos de la ecuación original:
-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Simplifiquemos abriendo los corchetes:
X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Presentemos otras similares en la ecuación resultante:
x = 6/5. El número resultante no pertenece al intervalo considerado, por lo tanto no es la raíz de la ecuación original.
Intervalo III [-1; 2). Ampliamos los módulos de la ecuación original con los signos que aparecen en la tercera columna de la figura. Obtenemos:
(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Eliminemos los paréntesis y muevamos los términos que contienen la variable x al lado izquierdo de la ecuación, y los que no contienen x a el derecho. Tendremos:
x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6
El número 2 no está incluido en el intervalo considerado.
Intervalo IV): automáticamente considerarán esto como una respuesta incorrecta. Además, al realizar la prueba, si se da una desigualdad no estricta con módulos, busque áreas entre corchetes entre las soluciones.
En el intervalo (-3;0), ampliando el módulo, cambiamos el signo de la función al opuesto 
Teniendo en cuenta el área de divulgación de la desigualdad, la solución tendrá la forma
Junto con el área anterior esto dará dos medios intervalos.
Ejemplo 5. Encuentra una solución a la desigualdad.
9x^2-|x-3|>=9x-2 
Solución:
Se da una desigualdad no estricta cuya función submodular es igual a cero en el punto x=3.<3.
Para valores más pequeños es negativo, para valores más grandes es positivo. Expandir el módulo en el intervalo x.
Encontrar el discriminante de la ecuación. 
y raíces 
Sustituyendo el punto cero, encontramos que en el intervalo [-1/9;1] la función cuadrática es negativa, por lo tanto el intervalo es una solución. A continuación ampliamos el módulo en x>3 Matemáticas,
es un símbolo de la sabiduría de la ciencia,
un modelo de rigor científico y sencillez
el estándar de excelencia y belleza en la ciencia.
El filósofo ruso, profesor A.V. Volóshínov
Desigualdades con módulo, Los problemas más difíciles de resolver en matemáticas escolares son las desigualdades
que contiene variables bajo el signo del módulo. Para resolver con éxito tales desigualdades, es necesario tener un buen conocimiento de las propiedades del módulo y tener las habilidades para utilizarlas.
Conceptos y propiedades básicos. Módulo (valor absoluto) de un número real denotado por
y se define de la siguiente manera:
Las propiedades simples de un módulo incluyen las siguientes relaciones:
Y . Nota,
que las dos últimas propiedades son válidas para cualquier grado par.
Además, si, dónde, entonces y, Propiedades de módulo más complejas, que se puede utilizar eficazmente al resolver ecuaciones y desigualdades con módulos
se formulan a través de los siguientes teoremas:Teorema 1. Para cualquier función analítica Y.
la desigualdad es cierta Teorema 2. Igualdad.
equivale a desigualdad Teorema 3. Igualdad.
Igualdad, Las desigualdades más comunes en matemáticas escolares, que contiene variables desconocidas bajo el signo del módulo son desigualdades de la forma y donde
alguna constante positiva. Teorema 4. Desigualdad, es equivalente a la doble desigualdady la solución a la desigualdad se reduce a resolver un conjunto de desigualdades
Y .
Este teorema es un caso especial de los teoremas 6 y 7., Desigualdades más complejas que contienen un módulo son desigualdades de la forma
, Y .
Los métodos para resolver tales desigualdades se pueden formular utilizando los siguientes tres teoremas. Teorema 5. es equivalente a la combinación de dos sistemas de desigualdades
yo (1)
Prueba. Desde entonces
Esto implica la validez de (1).
Teorema 6. Desigualdad es equivalente al sistema de desigualdades
Prueba. Porque , entonces de la desigualdad resulta que . Bajo esta condición, la desigualdady en este caso el segundo sistema de desigualdades (1) resultará inconsistente.
El teorema ha sido demostrado.
Teorema 7. Teorema 5. es equivalente a la combinación de una desigualdad y dos sistemas de desigualdades
yo (3)
Prueba. Puesto que , entonces la desigualdad siempre ejecutado, Si .
Dejar entonces la desigualdadserá equivalente a la desigualdad, de donde se sigue un conjunto de dos desigualdades se reduce a resolver un conjunto de desigualdades
El teorema ha sido demostrado.
Veamos ejemplos típicos de resolución de problemas sobre el tema “Desigualdades, que contiene variables bajo el signo del módulo."
Resolver desigualdades con módulo.
El método más simple para resolver desigualdades con módulo es el método, basado en la expansión del módulo. Este método es universal., sin embargo, en el caso general, su uso puede dar lugar a cálculos muy engorrosos. Por tanto, los estudiantes deben conocer otros métodos y técnicas (más eficaces) para resolver este tipo de desigualdades. En particular, es necesario tener habilidades en la aplicación de teoremas, dado en este artículo.
Ejemplo 1.Resolver desigualdad
. (4)
Solución.Resolveremos la desigualdad (4) usando el método "clásico": el método de revelar módulos. Para ello dividimos el eje numérico puntos y en intervalos y considere tres casos.
1. Si , entonces , , , y la desigualdad (4) toma la forma o .
Dado que el caso se considera aquí, es una solución a la desigualdad (4).
2. Si, entonces de la desigualdad (4) obtenemos o . Desde la intersección de intervalos Para cualquier función analítica esta vacio, entonces, en el intervalo de soluciones considerado no hay desigualdad (4).
3. Si, entonces la desigualdad (4) toma la forma o . Es obvio que también es una solución a la desigualdad (4).
Respuesta: , .
Ejemplo 2. Resolver desigualdad.
Solución. Supongamos eso. Porque , entonces la desigualdad dada toma la forma o . Desde entonces y de aquí se sigue o .
Sin embargo, por lo tanto o.
Ejemplo 3. Resolver desigualdad
. (5)
Solución. Porque , entonces la desigualdad (5) es equivalente a las desigualdades o . Desde aquí, según el teorema 4, tenemos un conjunto de desigualdades se reduce a resolver un conjunto de desigualdades
Respuesta: , .
Ejemplo 4.Resolver desigualdad
. (6)
Solución. Denotemos. Luego de la desigualdad (6) obtenemos las desigualdades , , o .
Desde aquí, usando el método del intervalo, obtenemos . Porque , entonces aquí tenemos un sistema de desigualdades
La solución a la primera desigualdad del sistema (7) es la unión de dos intervalos Y , y la solución a la segunda desigualdad es la doble desigualdad. De esto se desprende, que la solución del sistema de desigualdades (7) es la unión de dos intervalos se reduce a resolver un conjunto de desigualdades
Respuesta: ,
Ejemplo 5.Resolver desigualdad
. (8)
Solución. Transformemos la desigualdad (8) de la siguiente manera:
O .
Usando el método del intervalo, obtenemos una solución a la desigualdad (8).
Respuesta: .
Nota. Si ponemos y en las condiciones del Teorema 5, obtenemos .
Ejemplo 6. Resolver desigualdad
. (9)
Solución. De la desigualdad (9) se sigue. Transformemos la desigualdad (9) de la siguiente manera:
O
Desde entonces o .
Respuesta: .
Ejemplo 7.Resolver desigualdad
. (10)
Solución. Desde y , entonces o .
A este respecto y la desigualdad (10) toma la forma
O
. (11)
De ello se deduce que o . Dado que , entonces la desigualdad (11) también implica o .
Respuesta: .
Nota. Si aplicamos el Teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (10), entonces obtenemos . De esto y de la desigualdad (10) se sigue, qué o . Porque , entonces la desigualdad (10) toma la forma o .
Ejemplo 8. Resolver desigualdad
. (12)
Solución. Desde entonces y de la desigualdad (12) se sigue o . Sin embargo, por lo tanto o. De aquí obtenemos o .
Respuesta: .
Ejemplo 9. Resolver desigualdad
. (13)
Solución. Según el Teorema 7, la solución a la desigualdad (13) es o .
Déjalo ser ahora. en ese caso y la desigualdad (13) toma la forma o .
Si combinas los intervalos Y , entonces obtenemos una solución a la desigualdad (13) de la forma.
Ejemplo 10. Resolver desigualdad
. (14)
Solución. Reescribamos la desigualdad (14) en una forma equivalente: . Si aplicamos el Teorema 1 al lado izquierdo de esta desigualdad, obtenemos la desigualdad.
De aquí y del Teorema 1 se sigue, esa desigualdad (14) se satisface para cualquier valor.
Respuesta: cualquier número.
Ejemplo 11. Resolver desigualdad
. (15)
Solución. Aplicando el Teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (15), obtenemos . Esto y la desigualdad (15) producen la ecuación, que tiene la forma.
Según el teorema 3, ecuación Igualdad. De aquí obtenemos.
Ejemplo 12.Resolver desigualdad
. (16)
Solución. De la desigualdad (16), según el Teorema 4, obtenemos un sistema de desigualdades
Al resolver la desigualdadUsemos el teorema 6 y obtengamos un sistema de desigualdades.de donde se sigue.
Considere la desigualdad. Según el teorema 7, obtenemos un conjunto de desigualdades Y . La segunda desigualdad poblacional es válida para cualquier situación real..
Por eso , la solución a la desigualdad (16) es.
Ejemplo 13.Resolver desigualdad
. (17)
Solución. Según el teorema 1, podemos escribir
(18)
Teniendo en cuenta la desigualdad (17), concluimos que ambas desigualdades (18) se convierten en igualdades, es decir hay un sistema de ecuaciones
Según el teorema 3, este sistema de ecuaciones es equivalente al sistema de desigualdades
o
Ejemplo 14.Resolver desigualdad
. (19)
Solución. Desde entonces. Multipliquemos ambos lados de la desigualdad (19) por la expresión , que toma solo valores positivos para cualquier valor. Luego obtenemos una desigualdad que es equivalente a la desigualdad (19), de la forma
Desde aquí llegamos o , dónde . Desde y entonces la solución a la desigualdad (19) es se reduce a resolver un conjunto de desigualdades
Respuesta: , .
Para un estudio más profundo de los métodos para resolver desigualdades con módulo, recomendamos consultar los libros de texto., figura en la lista de literatura recomendada.
1. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Paz y Educación, 2013. – 608 p.
2. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos para resolver y demostrar desigualdades. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 p.
3. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos no estándar para la resolución de problemas. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.
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