Matemáticas es un símbolo de la sabiduría de la ciencia,

un modelo de rigor científico y sencillez,

el estándar de excelencia y belleza en la ciencia.

El filósofo ruso, profesor A.V. Volóshínov

Desigualdades con módulo

Los problemas más difíciles de resolver en matemáticas escolares son las desigualdades, que contiene variables bajo el signo del módulo. Para resolver con éxito tales desigualdades, es necesario tener un buen conocimiento de las propiedades del módulo y tener las habilidades para utilizarlas.

Conceptos y propiedades básicos.

Módulo (valor absoluto) de un número real denotado por y se define de la siguiente manera:

Las propiedades simples de un módulo incluyen las siguientes relaciones:

Y .

Nota, que las dos últimas propiedades son válidas para cualquier grado par.

Además, si, dónde, entonces y

Propiedades de módulo más complejas, que se puede utilizar eficazmente al resolver ecuaciones y desigualdades con módulos, se formulan a través de los siguientes teoremas:

Teorema 1.Para cualquier función analítica Y la desigualdad es cierta.

Teorema 2. Igualdad equivale a desigualdad.

Teorema 3. Igualdad equivale a desigualdad.

Las desigualdades más comunes en matemáticas escolares, que contiene variables desconocidas bajo el signo del módulo, son desigualdades de la forma y donde alguna constante positiva.

Teorema 4. Desigualdad es equivalente a la doble desigualdad, y la solución a la desigualdadse reduce a resolver un conjunto de desigualdades Y .

Este teorema es un caso especial de los teoremas 6 y 7.

Desigualdades más complejas, que contienen un módulo son desigualdades de la forma, Y .

Los métodos para resolver tales desigualdades se pueden formular utilizando los siguientes tres teoremas.

Teorema 5. Desigualdad es equivalente a la combinación de dos sistemas de desigualdades

yo (1)

Prueba. Desde entonces

Esto implica la validez de (1).

Teorema 6. Desigualdad es equivalente al sistema de desigualdades

Prueba. Porque , entonces de la desigualdad resulta que . Bajo esta condición, la desigualdady en este caso el segundo sistema de desigualdades (1) resultará inconsistente.

El teorema ha sido demostrado.

Teorema 7. Desigualdad es equivalente a la combinación de una desigualdad y dos sistemas de desigualdades

yo (3)

Prueba. Puesto que , entonces la desigualdad siempre ejecutado, Si .

Dejar entonces la desigualdadserá equivalente a la desigualdad, de donde se sigue un conjunto de dos desigualdades Y .

El teorema ha sido demostrado.

Veamos ejemplos típicos de resolución de problemas sobre el tema "Desigualdades"., que contiene variables bajo el signo del módulo."

Resolver desigualdades con módulo.

El método más simple para resolver desigualdades con módulo es el método, basado en la expansión del módulo. Este método es universal., sin embargo, en el caso general, su uso puede dar lugar a cálculos muy engorrosos. Por tanto, los estudiantes deben conocer otros métodos y técnicas (más eficaces) para resolver este tipo de desigualdades. En particular, es necesario tener habilidades en la aplicación de teoremas, dado en este artículo.

Ejemplo 1.Resolver desigualdad

. (4)

Solución.Resolveremos la desigualdad (4) usando el método "clásico": el método de revelar módulos. Para ello dividimos el eje numérico puntos y en intervalos y considere tres casos.

1. Si , entonces , , , y la desigualdad (4) toma la forma o .

Dado que el caso se considera aquí, es una solución a la desigualdad (4).

2. Si, entonces de la desigualdad (4) obtenemos o . Desde la intersección de intervalos Y esta vacio, entonces en el intervalo de solución considerado no hay desigualdad (4).

3. Si, entonces la desigualdad (4) toma la forma o . Es obvio que también es una solución a la desigualdad (4).

Respuesta: , .

Ejemplo 2. Resolver desigualdad.

Solución. Supongamos eso. Porque , entonces la desigualdad dada toma la forma o . Desde entonces y de aquí se sigue o .

Sin embargo, por lo tanto o.

Ejemplo 3. Resolver desigualdad

. (5)

Solución. Porque , entonces la desigualdad (5) es equivalente a las desigualdades o . Desde aquí, según el teorema 4, tenemos un conjunto de desigualdades Y .

Respuesta: , .

Ejemplo 4.Resolver desigualdad

. (6)

Solución. Denotemos. Luego de la desigualdad (6) obtenemos las desigualdades , , o .

Desde aquí, usando el método del intervalo, obtenemos . Porque , entonces aquí tenemos un sistema de desigualdades

La solución a la primera desigualdad del sistema (7) es la unión de dos intervalos Y , y la solución a la segunda desigualdad es la doble desigualdad. De esto se desprende, que la solución al sistema de desigualdades (7) es la unión de dos intervalos Y .

Respuesta: ,

Ejemplo 5.Resolver desigualdad

. (8)

Solución. Transformemos la desigualdad (8) de la siguiente manera:

O .

Usando el método del intervalo, obtenemos una solución a la desigualdad (8).

Respuesta: .

Nota. Si ponemos y en las condiciones del Teorema 5, obtenemos .

Ejemplo 6. Resolver desigualdad

. (9)

Solución. De la desigualdad (9) se sigue. Transformemos la desigualdad (9) de la siguiente manera:

O

Desde entonces o .

Respuesta: .

Ejemplo 7.Resolver desigualdad

. (10)

Solución. Desde y , entonces o .

A este respecto y la desigualdad (10) toma la forma

O

. (11)

De ello se deduce que o . Dado que , entonces la desigualdad (11) también implica o .

Respuesta: .

Nota. Si aplicamos el Teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (10), entonces obtenemos . De esto y de la desigualdad (10) se sigue, qué o . Porque , entonces la desigualdad (10) toma la forma o .

Ejemplo 8. Resolver desigualdad

. (12)

Solución. Desde entonces y de la desigualdad (12) se sigue o . Sin embargo, por lo tanto o. De aquí obtenemos o .

Respuesta: .

Ejemplo 9. Resolver desigualdad

. (13)

Solución. Según el Teorema 7, la solución a la desigualdad (13) es o .

Déjalo ser ahora. en ese caso y la desigualdad (13) toma la forma o .

Si combinas los intervalos Y , entonces obtenemos una solución a la desigualdad (13) de la forma.

Ejemplo 10. Resolver desigualdad

. (14)

Solución. Reescribamos la desigualdad (14) en una forma equivalente: . Si aplicamos el Teorema 1 al lado izquierdo de esta desigualdad, obtenemos la desigualdad.

De esto y del Teorema 1 se sigue, esa desigualdad (14) se satisface para cualquier valor.

Respuesta: cualquier número.

Ejemplo 11. Resolver desigualdad

. (15)

Solución. Aplicando el Teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (15), obtenemos . Esto y la desigualdad (15) producen la ecuación, que tiene la forma.

Según el teorema 3, ecuación equivale a desigualdad. De aquí obtenemos.

Ejemplo 12.Resolver desigualdad

. (16)

Solución. De la desigualdad (16), según el Teorema 4, obtenemos un sistema de desigualdades

Al resolver la desigualdadUsemos el teorema 6 y obtengamos un sistema de desigualdades.de donde se sigue.

Considere la desigualdad. Según el teorema 7, obtenemos un conjunto de desigualdades Y . La segunda desigualdad poblacional es válida para cualquier situación real..

Por eso , la solución a la desigualdad (16) es.

Ejemplo 13.Resolver desigualdad

. (17)

Solución. Según el teorema 1, podemos escribir

(18)

Teniendo en cuenta la desigualdad (17), concluimos que ambas desigualdades (18) se convierten en igualdades, es decir hay un sistema de ecuaciones

Según el teorema 3, este sistema de ecuaciones es equivalente al sistema de desigualdades

o

Ejemplo 14.Resolver desigualdad

. (19)

Solución. Desde entonces. Multipliquemos ambos lados de la desigualdad (19) por la expresión , que toma solo valores positivos para cualquier valor. Luego obtenemos una desigualdad que es equivalente a la desigualdad (19), de la forma

Desde aquí llegamos o , dónde . Desde y entonces la solución a la desigualdad (19) es Y .

Respuesta: , .

Para un estudio más profundo de los métodos para resolver desigualdades con módulo, recomendamos consultar los libros de texto., figura en la lista de literatura recomendada.

1. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Paz y Educación, 2013. – 608 p.

2. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos para resolver y demostrar desigualdades. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 p.

3. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos no estándar para la resolución de problemas. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.

¿Aún tienes preguntas?

Para obtener ayuda de un tutor, regístrese.

sitio web, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente.

Solicitud

Resolver desigualdades en línea en Math24.biz para que estudiantes y escolares consoliden el material que han cubierto. Y entrenando tus habilidades prácticas. La desigualdad en matemáticas es una afirmación sobre el tamaño relativo o el orden de dos objetos (un objeto es más pequeño o no mayor que el otro), o que dos objetos no son iguales (negación de igualdad). En matemáticas elementales se estudian las desigualdades numéricas; en álgebra general, análisis y geometría, también se consideran las desigualdades entre objetos de naturaleza no numérica. Para resolver una desigualdad, ambas partes deben determinarse con uno de los signos de desigualdad entre ellas. Las desigualdades estrictas implican desigualdad entre dos objetos. A diferencia de las desigualdades estrictas, las desigualdades no estrictas permiten la igualdad de los objetos incluidos en ella. Para empezar, las desigualdades lineales son las expresiones más simples y se utilizan las técnicas más simples para resolver dichas desigualdades. El principal error que cometen los estudiantes al resolver desigualdades en línea es que no distinguen entre las características de las desigualdades estrictas y no estrictas, lo que determina si los valores límite se incluirán o no en la respuesta final. Varias desigualdades interconectadas por varias incógnitas se denominan sistema de desigualdades. La solución a las desigualdades del sistema es un área determinada en un plano, o una figura tridimensional en un espacio tridimensional. Además, se abstraen de espacios de n dimensiones, pero a la hora de resolver este tipo de desigualdades a menudo es imposible prescindir de ordenadores especiales. Para cada desigualdad por separado, debes encontrar los valores de la incógnita en los límites del área de solución. El conjunto de todas las soluciones a la desigualdad es su respuesta. La sustitución de una desigualdad por otra equivalente a ella se denomina transición equivalente de una desigualdad a otra. Se encuentra un enfoque similar en otras disciplinas porque ayuda a llevar las expresiones a una forma estándar. Apreciará todos los beneficios de resolver desigualdades en línea en nuestro sitio web. Una desigualdad es una expresión que contiene uno de los signos =>. Esencialmente esta es una expresión lógica. Puede ser verdadero o falso, dependiendo de lo que haya a derecha e izquierda en esta desigualdad. En varios cursos, así como en la escuela, se estudia una explicación del significado de las desigualdades y las técnicas básicas para resolverlas. Resolver cualquier desigualdad en línea: desigualdades con módulo, desigualdades algebraicas, trigonométricas y trascendentales en línea. Las desigualdades idénticas, como las estrictas y las no estrictas, simplifican el proceso para lograr el resultado final y son una herramienta auxiliar para resolver el problema. La solución de cualquier desigualdad y sistema de desigualdades, ya sean logarítmicas, exponenciales, trigonométricas o cuadráticas, se garantiza mediante un enfoque inicialmente correcto de este importante proceso. La solución de desigualdades en línea en el sitio siempre está disponible para todos los usuarios y es totalmente gratuita. Las soluciones a una desigualdad en una variable son los valores de la variable que la convierten en una expresión numérica correcta. Ecuaciones y desigualdades con módulo: el módulo de un número real es el valor absoluto de ese número. El método estándar para resolver estas desigualdades es elevar ambos lados de la desigualdad a la potencia deseada. Las desigualdades son expresiones que indican la comparación de números, por lo que resolverlas correctamente garantiza la precisión de dichas comparaciones. Pueden ser estrictos (mayor que, menor que) y no estrictos (mayor o igual que, menor o igual que). Resolver una desigualdad significa encontrar todos aquellos valores de variables que, cuando se sustituyen en la expresión original, la convierten en la representación numérica correcta. El concepto de desigualdad, su esencia y características, clasificación y variedades: esto es lo que determina las características específicas de la desigualdad. esta sección matemática. Las propiedades básicas de las desigualdades numéricas, aplicables a todos los objetos de esta clase, deben ser estudiadas por los estudiantes en la etapa inicial de familiarización con este tema. Las desigualdades y los tramos de las rectas numéricas están muy relacionados cuando se trata de resolver desigualdades en línea. La designación gráfica de la solución a una desigualdad muestra claramente la esencia de tal expresión; queda claro por qué uno debe esforzarse al resolver un problema determinado; El concepto de desigualdad implica comparar dos o más objetos. Las desigualdades que contienen una variable se resuelven como ecuaciones compuestas de manera similar, después de lo cual se hace una selección de intervalos que se tomarán como respuesta. Puede resolver fácil e instantáneamente cualquier desigualdad algebraica, desigualdad trigonométrica o desigualdades que contengan funciones trascendentales utilizando nuestro servicio gratuito. Un número es solución a una desigualdad si al sustituir este número en lugar de una variable obtenemos la expresión correcta, es decir, el signo de desigualdad muestra el concepto verdadero. Resolver desigualdades en línea en el sitio todos los días para que los estudiantes estudien completamente el material cubierto y consolidar sus habilidades prácticas. A menudo, los escolares estudian el tema de la desigualdad en línea en matemáticas después de completar la sección de ecuaciones. Como era de esperar, se aplican todos los principios de solución para determinar los intervalos de solución. Encontrar una respuesta en forma analítica puede resultar más difícil que hacer lo mismo en forma numérica. Sin embargo, este enfoque ofrece una imagen más clara y completa de la integridad de la solución a la desigualdad. Pueden surgir dificultades en la etapa de construir la línea de abscisas y trazar los puntos de solución para una ecuación similar. Después de esto, la resolución de desigualdades se reduce a determinar el signo de la función en cada intervalo identificado para determinar el aumento o disminución de la función. Para hacer esto, debe sustituir alternativamente los valores contenidos dentro de cada intervalo en la función original y verificar si su valor es positivo o negativo. Ésta es la esencia de encontrar todas las soluciones, incluidos los intervalos de solución. Cuando resuelvas la desigualdad tú mismo y veas todos los intervalos con soluciones, comprenderás cuán aplicable es este enfoque para acciones futuras. El sitio web lo invita a verificar los resultados de sus cálculos utilizando una poderosa calculadora moderna en esta página. Puede identificar fácilmente imprecisiones y deficiencias en sus cálculos utilizando un solucionador de desigualdades único. Los estudiantes a menudo se preguntan dónde encontrar un recurso tan útil. Gracias a un enfoque innovador para la capacidad de determinar las necesidades de los ingenieros, la calculadora se crea sobre la base de potentes servidores informáticos que utilizan únicamente nuevas tecnologías. Básicamente, resolver desigualdades en línea implica resolver una ecuación y calcular todas las raíces posibles. Las soluciones resultantes se marcan en la línea y luego se realiza una operación estándar para determinar el valor de la función en cada intervalo. Pero, ¿qué hacer si las raíces de la ecuación resultan ser complejas? ¿Cómo se puede en este caso resolver la desigualdad en su forma completa, que cumpliría todas las reglas para escribir el resultado? La respuesta a esta y muchas otras preguntas puede responderse fácilmente en nuestro sitio web de servicios, para el cual nada es imposible al resolver problemas matemáticos en línea. A lo anterior sumamos lo siguiente: todo aquel que se dedique seriamente al estudio de una disciplina como las matemáticas está obligado a estudiar el tema de las desigualdades. Hay diferentes tipos de desigualdades, y resolverlas en línea a veces no es fácil, ya que es necesario conocer los principios de enfoque de cada una de ellas. Esta es la base del éxito y la estabilidad. Por ejemplo, podemos considerar tipos como desigualdades logarítmicas o desigualdades trascendentales. Generalmente se trata de un tipo especial de tareas, a primera vista complejas, para los estudiantes, especialmente para los escolares. Los docentes del instituto dedican mucho tiempo a capacitar a los alumnos para que adquieran habilidades profesionales en su trabajo. Incluimos desigualdades trigonométricas entre los mismos tipos y denotamos un enfoque general para resolver muchos ejemplos prácticos de un problema planteado. En algunos casos, primero es necesario reducir todo a una ecuación, simplificarla, descomponerla en diferentes factores, en resumen, llevarla a una forma completamente clara. En todo momento, la humanidad se ha esforzado por encontrar el enfoque óptimo en cualquier empresa. Gracias a las tecnologías modernas, la humanidad ha logrado un gran avance hacia su desarrollo futuro. Las innovaciones llegan a nuestras vidas cada vez con más frecuencia, día tras día. La base de la tecnología informática fueron, por supuesto, las matemáticas con sus propios principios y un enfoque estricto de los negocios. El sitio es un recurso matemático general que incluye una calculadora de desigualdades desarrollada y muchos otros servicios útiles. Utilice nuestro sitio y tendrá confianza en la corrección de los problemas resueltos. Se sabe por la teoría que los objetos de naturaleza no numérica también se estudian utilizando desigualdades en línea, solo que este enfoque representa una forma especial de estudiar esta sección en álgebra, geometría y otras áreas de las matemáticas. Las desigualdades se pueden resolver de diferentes maneras; la verificación final de las soluciones permanece sin cambios, y la mejor manera de hacerlo es sustituir valores directamente en la desigualdad misma. En muchos casos, la respuesta dada es obvia y fácil de comprobar mentalmente. Supongamos que se nos pide que resuelvamos una desigualdad fraccionaria en la que las variables deseadas están presentes en los denominadores de las expresiones fraccionarias. Entonces, la resolución de desigualdades se reducirá a llevar todos los términos a un denominador común, moviéndolo primero todo hacia los lados izquierdo y derecho de la desigualdad. A continuación, debes resolver la ecuación homogénea obtenida en el denominador de la fracción. Estas raíces numéricas serán puntos no incluidos en los intervalos de la solución general de la desigualdad, o también se les llama puntos pinchados en los que la función llega al infinito, es decir, la función no está definida, pero solo se puede obtener su límite. valor en un punto dado. Habiendo resuelto la ecuación obtenida en el numerador, trazamos todos los puntos en el eje numérico. Sombreemos aquellos puntos en los que el numerador de la fracción llega a cero. En consecuencia, dejamos todos los demás puntos vacíos o perforados. Encontremos el signo de fracción en cada intervalo y luego escribamos la respuesta final. Si hay puntos sombreados en los límites del intervalo, entonces incluimos estos valores en la solución. Si hay puntos perforados en los límites del intervalo, no incluimos estos valores en la solución. Después de resolver la desigualdad, deberás verificar tu resultado. Puede hacer esto manualmente, sustituir cada valor de los intervalos de respuesta uno por uno en la expresión inicial e identificar errores. El sitio web le dará fácilmente todas las soluciones a la desigualdad e inmediatamente comparará las respuestas que recibió con la calculadora. Sin embargo, si se produce un error, le resultará muy útil resolver desigualdades en línea en nuestro recurso. Recomendamos que todos los estudiantes primero comiencen no resolviendo la desigualdad directamente, sino que primero obtengan el resultado en el sitio web, porque en el futuro será mucho más fácil hacer el cálculo correcto usted mismo. En los problemas planteados, la solución casi siempre se reduce a componer un sistema de desigualdades con varias incógnitas. Nuestro recurso te ayudará a resolver la desigualdad en línea en cuestión de segundos. En este caso, la solución será producida por un potente programa informático con alta precisión y sin errores en la respuesta final. Por lo tanto, puedes ahorrar una gran cantidad de tiempo resolviendo ejemplos con esta calculadora. En varios casos, los escolares experimentan dificultades cuando se encuentran con desigualdades logarítmicas en la práctica o en el trabajo de laboratorio, y peor aún cuando ven desigualdades trigonométricas con expresiones fraccionarias complejas con senos, cosenos o incluso funciones trigonométricas inversas. Digan lo que digan, será muy difícil arreglárselas sin la ayuda de una calculadora de desigualdades y es posible que se cometan errores en cualquier etapa de la resolución del problema. Utilice el recurso del sitio de forma totalmente gratuita, está disponible para todos los usuarios todos los días. Es una muy buena idea comenzar a utilizar nuestro servicio de asistente, ya que existen muchos análogos, pero solo unos pocos servicios verdaderamente de alta calidad. Garantizamos la precisión de los cálculos cuando la búsqueda de una respuesta lleva unos segundos. Todo lo que necesita hacer es escribir las desigualdades en línea y nosotros, a su vez, le proporcionaremos inmediatamente el resultado exacto de resolver la desigualdad. Buscar un recurso de este tipo puede ser una tarea inútil, ya que es poco probable que encuentre el mismo servicio de alta calidad que el nuestro. Puede prescindir de la teoría sobre la resolución de desigualdades en línea, pero no puede prescindir de una calculadora rápida y de alta calidad. ¡Te deseamos éxito en tus estudios! Elegir verdaderamente la solución óptima a una desigualdad en línea a menudo implica un enfoque lógico a una variable aleatoria. Si descuidamos la pequeña desviación del campo cerrado, entonces el vector del valor creciente es proporcional al valor más pequeño en el intervalo de la línea de ordenadas decreciente. El invariante es proporcional al doble de las funciones asignadas junto con el vector saliente distinto de cero. La mejor respuesta siempre contiene la precisión del cálculo. Nuestra solución a las desigualdades tomará la forma de una función homogénea de subconjuntos numéricos sucesivamente conjugados de la dirección principal. Para el primer intervalo, tomaremos exactamente el valor de peor precisión de nuestra representación de la variable. Calculemos la expresión anterior para la desviación máxima. Utilizaremos el servicio a discreción de las opciones propuestas según sea necesario. Si se encontrará una solución a las desigualdades en línea utilizando una buena calculadora en su clase es una pregunta retórica, por supuesto, los estudiantes solo se beneficiarán de una herramienta de este tipo y traerán un gran éxito en matemáticas; Impongamos una restricción al área con un conjunto, que reduciremos a elementos con percepción de impulsos de voltaje. Los valores físicos de tales extremos describen matemáticamente el aumento y la disminución de funciones continuas por partes. En el camino, los científicos han encontrado evidencia de la existencia de elementos en diferentes niveles de estudio. Organicemos todos los subconjuntos sucesivos de un espacio complejo en una fila con objetos como una bola, un cubo o un cilindro. De nuestro resultado podemos sacar una conclusión inequívoca, y cuando resuelva la desigualdad, el resultado ciertamente arrojará luz sobre el supuesto matemático establecido sobre la integración del método en la práctica. En la situación actual, una condición necesaria será también una condición suficiente. Los criterios de incertidumbre a menudo causan desacuerdos entre los estudiantes debido a datos poco confiables. Los docentes universitarios, así como los docentes de escuela, deben responsabilizarse de esta omisión, ya que en la etapa inicial de educación también es necesario tener esto en cuenta. De la conclusión anterior, según personas experimentadas, podemos concluir que resolver una desigualdad en línea es una tarea muy difícil cuando se entra en una desigualdad de incógnitas de diferentes tipos de datos. Así lo afirmó en una conferencia científica celebrada en la región occidental, en la que se presentaron diversas justificaciones sobre los descubrimientos científicos en los campos de las matemáticas y la física, así como sobre el análisis molecular de sistemas construidos biológicamente. Para encontrar la solución óptima, absolutamente todas las desigualdades logarítmicas tienen valor científico para toda la humanidad. Examinemos este enfoque en busca de conclusiones lógicas con respecto a una serie de discrepancias en el nivel más alto de conceptos sobre un objeto existente. La lógica dicta algo diferente de lo que parece a primera vista para un estudiante inexperto. Debido al surgimiento de analogías a gran escala, será racional primero equiparar las relaciones con la diferencia entre los objetos del área en estudio y luego mostrar en la práctica la presencia de un resultado analítico común. La resolución de desigualdades depende absolutamente de la aplicación de la teoría y será importante que todos estudien esta rama de las matemáticas, que es necesaria para futuras investigaciones. Sin embargo, al resolver desigualdades, es necesario encontrar todas las raíces de la ecuación compilada y solo entonces trazar todos los puntos en el eje de ordenadas. Se pincharán algunos puntos y el resto se incluirán en intervalos con una solución general. Comencemos a estudiar la sección de matemáticas con los conceptos básicos de la disciplina más importante del plan de estudios escolar. Si las desigualdades trigonométricas son una parte integral de un problema planteado, entonces usar el recurso para calcular la respuesta es simplemente necesario. Ingrese correctamente los lados izquierdo y derecho de la desigualdad, presione el botón y obtenga el resultado en unos segundos. Para realizar cálculos matemáticos rápidos y precisos con coeficientes numéricos o simbólicos frente a incógnitas, necesitará, como siempre, una calculadora universal de desigualdades y ecuaciones que pueda proporcionarle la respuesta a su problema en cuestión de segundos. Si no tienes tiempo para escribir toda una serie de ejercicios escritos, la validez del servicio es innegable incluso a simple vista. Para los estudiantes, este enfoque es más óptimo y está justificado en términos de ahorro de recursos materiales y tiempo. Frente al cateto hay un ángulo, y para medirlo necesitas un compás, pero puedes usar las sugerencias en cualquier momento y resolver la desigualdad sin usar fórmulas de reducción. ¿Significa esto la finalización exitosa de la acción iniciada? La respuesta será definitivamente positiva.

Hoy, amigos, no habrá mocos ni sentimentalismos. En cambio, te enviaré, sin hacer preguntas, a la batalla con uno de los oponentes más formidables en el curso de álgebra de octavo y noveno grado.

Sí, entendiste todo correctamente: estamos hablando de desigualdades con módulo. Analizaremos cuatro técnicas básicas con las que aprenderá a resolver aproximadamente el 90% de estos problemas. ¿Qué pasa con el 10% restante? Bueno, hablaremos de ellos en una lección aparte :)

Sin embargo, antes de analizar cualquiera de las técnicas, me gustaría recordarte dos datos que ya necesitas saber. De lo contrario, corre el riesgo de no comprender en absoluto el material de la lección de hoy.

Lo que ya necesitas saber

Captain Obviousness parece insinuar que para resolver desigualdades con módulo es necesario saber dos cosas:

1. Cómo se resuelven las desigualdades;
2. ¿Qué es un módulo?

Empecemos por el segundo punto.

Definición del módulo

Aquí todo es sencillo. Hay dos definiciones: algebraica y gráfica. Para empezar, es algebraico:

Definición. El módulo de un número $x$ es el número mismo, si no es negativo, o el número opuesto, si el $x$ original sigue siendo negativo.

Está escrito así:

\[\izquierda| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

En términos simples, un módulo es un "número sin menos". Y es en esta dualidad (en algunos lugares no tienes que hacer nada con el número original, pero en otros tendrás que eliminar algún tipo de signo negativo) donde radica toda la dificultad para los estudiantes principiantes.

También hay una definición geométrica. También es útil saberlo, pero recurriremos a él sólo en casos complejos y algunos especiales, donde el enfoque geométrico es más conveniente que el algebraico (spoiler: hoy no).

Definición. Sea el punto $a$ marcado en la recta numérica. Entonces el módulo $\left| x-a \right|$ es la distancia desde el punto $x$ al punto $a$ en esta línea.

Si haces un dibujo, obtendrás algo como esto:

Definición del módulo gráfico.

De una forma u otra, de la definición de un módulo se desprende inmediatamente su propiedad clave: el módulo de un número es siempre una cantidad no negativa. Este hecho será un hilo rojo que atravesará toda nuestra narrativa de hoy.

Resolver desigualdades. método de intervalo

Ahora veamos las desigualdades. Hay muchísimos de ellos, pero nuestra tarea ahora es poder resolver al menos el más simple de ellos. Las que se reducen a desigualdades lineales, así como al método de intervalos.

Tengo dos grandes lecciones sobre este tema (por cierto, muy, MUY útiles; recomiendo estudiarlas):

1. Método de intervalos para desigualdades (especialmente mire el video);
2. Las desigualdades racionales fraccionarias es una lección muy extensa, pero después no tendrás ninguna pregunta.

Si sabes todo esto, si la frase “pasemos de la desigualdad a la ecuación” no te provoca un vago deseo de darte contra la pared, entonces estás listo: bienvenido al infierno al tema principal de la lección :)

1. Desigualdades de la forma “El módulo es menor que la función”

Este es uno de los problemas más comunes con los módulos. Se requiere resolver una desigualdad de la forma:

\[\izquierda| Miedo| \ltg\]

Las funciones $f$ y $g$ pueden ser cualquier cosa, pero normalmente son polinomios. Ejemplos de tales desigualdades:

\[\begin(alinear) & \left| 2x+3 \derecha| \ltx+7; \\ & \izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \izquierda| ((x)^(2))-2\izquierda| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Todos ellos se pueden resolver literalmente en una línea según el siguiente esquema:

\[\izquierda| Miedo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \derecha.\derecha)\]

Es fácil ver que nos deshacemos del módulo, pero a cambio obtenemos una doble desigualdad (o, lo que es lo mismo, un sistema de dos desigualdades). Pero esta transición tiene en cuenta absolutamente todos los problemas posibles: si el número bajo el módulo es positivo, el método funciona; si es negativo, todavía funciona; e incluso con la función más inadecuada en lugar de $f$ o $g$, el método seguirá funcionando.

Naturalmente, surge la pregunta: ¿no podría ser más sencillo? Lamentablemente, no es posible. Este es el objetivo del módulo.

Pero basta ya de filosofar. Resolvamos un par de problemas:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| 2x+3 \derecha| \ltx+7\]

Solución. Entonces, tenemos ante nosotros una desigualdad clásica de la forma “el módulo es menor”: ni siquiera hay nada que transformar. Trabajamos según el algoritmo:

\[\begin(alinear) & \left| Miedo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \izquierda| 2x+3 \derecha| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

No te apresures a abrir los paréntesis precedidos por un "menos": es muy posible que debido a tu prisa cometas un error ofensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

El problema se redujo a dos desigualdades elementales. Observemos sus soluciones en rectas numéricas paralelas:

Intersección de conjuntos

La intersección de estos conjuntos será la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solución. Esta tarea es un poco más difícil. Primero, aislamos el módulo moviendo el segundo término hacia la derecha:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Obviamente, nuevamente tenemos una desigualdad de la forma “el módulo es más pequeño”, por lo que nos deshacemos del módulo usando el algoritmo ya conocido:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ahora atención: alguien dirá que soy un poco pervertido con todos estos paréntesis. Pero permítanme recordarles una vez más que nuestro objetivo clave es resuelve correctamente la desigualdad y obtén la respuesta. Posteriormente, cuando hayas dominado perfectamente todo lo descrito en esta lección, podrás pervertirte como quieras: abrir corchetes, añadir menos, etc.

Para empezar, simplemente nos desharemos del doble menos de la izquierda:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\izquierda(x+1 \derecha)\]

Ahora abramos todos los corchetes en la doble desigualdad:

Pasemos a la doble desigualdad. Esta vez los cálculos serán más serios:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( alinear)\derecha.\]

Ambas desigualdades son cuadráticas y se pueden resolver usando el método del intervalo (por eso digo: si no sabes qué es esto, mejor no tomar módulos todavía). Pasemos a la ecuación de la primera desigualdad:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(alinear)\]

Como puede ver, el resultado es una ecuación cuadrática incompleta, que se puede resolver de forma elemental. Ahora veamos la segunda desigualdad del sistema. Allí tendrás que aplicar el teorema de Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(alinear)\]

Marcamos los números resultantes en dos líneas paralelas (separadas para la primera desigualdad y separadas para la segunda):

Nuevamente, dado que estamos resolviendo un sistema de desigualdades, nos interesa la intersección de los conjuntos sombreados: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ésta es la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Creo que después de estos ejemplos el esquema de solución es sumamente claro:

1. Aísle el módulo moviendo todos los demás términos al lado opuesto de la desigualdad. Así obtenemos una desigualdad de la forma $\left| miedo\derecho| \ltg$.
2. Resuelva esta desigualdad deshaciéndose del módulo según el esquema descrito anteriormente. En algún momento será necesario pasar de la doble desigualdad a un sistema de dos expresiones independientes, cada una de las cuales ya puede resolverse por separado.
3. Finalmente, todo lo que queda es intersecar las soluciones de estas dos expresiones independientes, y eso es todo, obtendremos la respuesta final.

Existe un algoritmo similar para desigualdades del siguiente tipo, cuando el módulo es mayor que la función. Sin embargo, hay un par de “peros” serios. Hablaremos ahora de estos “peros”.

2. Desigualdades de la forma “El módulo es mayor que la función”

Se ven así:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gtg\]

¿Parecido al anterior? Parece. Y, sin embargo, estos problemas se resuelven de una manera completamente diferente. Formalmente, el esquema es el siguiente:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

En otras palabras, consideramos dos casos:

1. Primero, simplemente ignoramos el módulo y resolvemos la desigualdad habitual;
2. Luego, en esencia, expandimos el módulo con el signo menos y luego multiplicamos ambos lados de la desigualdad por −1, mientras tengo el signo.

En este caso, las opciones se combinan con un corchete, es decir Tenemos ante nosotros una combinación de dos requisitos.

Tenga en cuenta nuevamente: esto no es un sistema, sino una totalidad, por lo tanto en la respuesta los conjuntos se combinan en lugar de cruzarse. ¡Ésta es una diferencia fundamental con respecto al punto anterior!

En general, muchos estudiantes están completamente confundidos con las uniones y las intersecciones, así que solucionemos este problema de una vez por todas:

• "∪" es un signo sindical. De hecho, se trata de una letra estilizada "U", que nos llegó del idioma inglés y es una abreviatura de "Unión", es decir. "Asociaciones".
• "∩" es la señal de intersección. Esta basura no surgió de ninguna parte, sino que simplemente apareció como un contrapunto a “∪”.

Para que sea aún más fácil de recordar, simplemente dibuje piernas en estos carteles para hacer anteojos (pero no me acuse ahora de promover la adicción a las drogas y el alcoholismo: si está estudiando seriamente esta lección, entonces ya es un drogadicto):

Diferencia entre intersección y unión de conjuntos.

Traducido al ruso, esto significa lo siguiente: la unión (totalidad) incluye elementos de ambos conjuntos, por lo tanto, de ninguna manera es menos que cada uno de ellos; pero la intersección (sistema) incluye solo aquellos elementos que están simultáneamente tanto en el primer conjunto como en el segundo. Por lo tanto, la intersección de conjuntos nunca es mayor que los conjuntos fuente.

¿Entonces quedó más claro? Genial. Pasemos a la práctica.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| 3x+1 \derecha| \gt 5-4x\]

Solución. Procedemos según el esquema:

\[\izquierda| 3x+1 \derecha| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ bien.\]

Resolvemos cada desigualdad de la población:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcamos cada conjunto resultante en la recta numérica y luego los combinamos:

unión de conjuntos

Es bastante obvio que la respuesta será $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Respuesta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \gtx\]

Solución. ¿Bien? Nada, todo es igual. Pasamos de una desigualdad con módulo a un conjunto de dos desigualdades:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Resolvemos cada desigualdad. Desafortunadamente, las raíces allí no serán muy buenas:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(alinear)\]

La segunda desigualdad también es un poco descabellada:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(alinear)\]

Ahora necesitas marcar estos números en dos ejes: un eje para cada desigualdad. Sin embargo, debes marcar los puntos en el orden correcto: cuanto mayor sea el número, más se moverá el punto hacia la derecha.

Y aquí nos espera una configuración. Si todo está claro con los números $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (los términos en el numerador del primer fracción son menores que los términos en el numerador de la segunda, por lo que la suma también es menor), con los números $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ tampoco habrá dificultades (un número positivo obviamente es más negativo), luego con el último par no todo está tan claro. ¿Cuál es mayor: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? La ubicación de los puntos en las rectas numéricas y, de hecho, la respuesta dependerán de la respuesta a esta pregunta.

Entonces comparemos:

\[\begin(matriz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriz)\]

Aislamos la raíz, obtuvimos números no negativos en ambos lados de la desigualdad, por lo que tenemos derecho a elevar al cuadrado ambos lados:

\[\begin(matriz) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriz)\]

Creo que es una obviedad que $4\sqrt(13) \gt 3$, entonces $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, los puntos finales de los ejes se colocarán así:

Un caso de raíces feas

Permítanme recordarles que estamos resolviendo una colección, por lo que la respuesta será una unión, no una intersección de conjuntos sombreados.

Respuesta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Como puede ver, nuestro esquema funciona muy bien tanto para problemas simples como para problemas muy difíciles. El único "punto débil" de este enfoque es que es necesario comparar correctamente los números irracionales (y créanme: no son sólo raíces). Pero se dedicará una lección aparte (y muy seria) a las cuestiones de comparación. Y seguimos adelante.

3. Desigualdades con “colas” no negativas

Ahora llegamos a la parte más interesante. Estas son desigualdades de la forma:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gt\izquierda| g\derecho|\]

En términos generales, el algoritmo del que hablaremos ahora es correcto sólo para el módulo. Funciona en todas las desigualdades donde se garantizan expresiones no negativas a la izquierda y a la derecha:

¿Qué hacer con estas tareas? Sólo recuerda:

En desigualdades con “colas” no negativas, ambos lados pueden elevarse a cualquier potencia natural. No habrá restricciones adicionales.

En primer lugar, nos interesará la cuadratura: quema módulos y raíces:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(alinear)\]

Pero no confundas esto con sacar la raíz de un cuadrado:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\izquierda| f \right|\ne f\]

¡Se cometieron innumerables errores cuando un estudiante olvidó instalar un módulo! Pero esta es una historia completamente diferente (son, por así decirlo, ecuaciones irracionales), por lo que no entraremos en esto ahora. Resolvamos mejor un par de problemas:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \derecha|\]

Solución. Notemos inmediatamente dos cosas:

1. Esta no es una desigualdad estricta. Se perforarán los puntos de la recta numérica.
2. Ambos lados de la desigualdad son obviamente no negativos (esta es una propiedad del módulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Por lo tanto, podemos elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad para deshacernos del módulo y resolver el problema usando el método de intervalo habitual:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(alinear)\]

En el último paso hice un poco de trampa: cambié la secuencia de términos, aprovechando la uniformidad del módulo (de hecho, multipliqué la expresión $1-2x$ por −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ derecha)\derecha)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Resolvemos usando el método del intervalo. Pasemos de la desigualdad a la ecuación:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(alinear)\]

Marcamos las raíces encontradas en la recta numérica. Una vez más: ¡todos los puntos están sombreados porque la desigualdad original no es estricta!

Deshacerse del signo del módulo

Permítanme recordarles a aquellos que son especialmente testarudos: tomamos los signos de la última desigualdad, que fue escrita antes de pasar a la ecuación. Y pintamos sobre las áreas requeridas en la misma desigualdad. En nuestro caso es $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Bueno, eso es todo. El problema está resuelto.

Respuesta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \derecha|\]

Solución. Hacemos todo igual. No haré comentarios, solo mira la secuencia de acciones.

Cuadrarlo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \derecha| \derecha))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \derecha))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ derecha))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Método de intervalo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flecha derecha x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Sólo hay una raíz en la recta numérica:

La respuesta es un intervalo completo.

Respuesta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Una pequeña nota sobre la última tarea. Como señaló con precisión uno de mis alumnos, ambas expresiones submodulares en esta desigualdad son obviamente positivas, por lo que el signo del módulo se puede omitir sin dañar la salud.

Pero este es un nivel de pensamiento completamente diferente y un enfoque diferente: convencionalmente se le puede llamar el método de las consecuencias. Sobre esto, en una lección separada. Ahora pasemos a la parte final de la lección de hoy y veamos un algoritmo universal que siempre funciona. Incluso cuando todos los enfoques anteriores fueron impotentes :)

4. Método de enumeración de opciones.

¿Qué pasa si todas estas técnicas no ayudan? ¿Si la desigualdad no se puede reducir a colas no negativas, si es imposible aislar el módulo, si en general hay dolor, tristeza, melancolía?

Entonces entra en escena la “artillería pesada” de todas las matemáticas: el método de la fuerza bruta. En relación con las desigualdades con módulo, se ve así:

1. Escriba todas las expresiones submodulares e igualelas a cero;
2. Resuelve las ecuaciones resultantes y marca las raíces encontradas en una recta numérica;
3. La línea recta se dividirá en varios tramos, dentro de los cuales cada módulo tiene un signo fijo y por tanto se revela de forma única;
4. Resuelva la desigualdad en cada una de estas secciones (puede considerar por separado los límites de las raíces obtenidos en el paso 2, para mayor confiabilidad). Combine los resultados: esta será la respuesta :)

Entonces ¿cómo? ¿Débil? ¡Fácilmente! Sólo por mucho tiempo. Veamos en la práctica:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| x+2 \derecha| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solución. Esta basura no se reduce a desigualdades como $\left| miedo\derecho| \lt g$, $\izquierda| miedo\derecho| \gt g$ o $\left| miedo\derecho| \lt \left| g \right|$, entonces actuamos con anticipación.

Escribimos expresiones submodulares, las igualamos a cero y encontramos las raíces:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Flecha derecha x=1. \\\end(alinear)\]

En total, tenemos dos raíces que dividen la recta numérica en tres secciones, dentro de las cuales cada módulo se revela de forma única:

Partición de la recta numérica por ceros de funciones submodulares

Veamos cada sección por separado.

1. Sea $x \lt -2$. Entonces ambas expresiones submodulares son negativas y la desigualdad original se reescribirá de la siguiente manera:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Tenemos una limitación bastante simple. Crucémoslo con la suposición inicial de que $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Obviamente, la variable $x$ no puede ser simultáneamente menor que −2 y mayor que 1,5. No hay soluciones en este ámbito.

1.1. Consideremos por separado el caso límite: $x=-2$. Simplemente sustituyamos este número en la desigualdad original y comprobemos: ¿es cierto?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\derecha|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Es obvio que la cadena de cálculos nos ha llevado a una desigualdad incorrecta. Por lo tanto, la desigualdad original también es falsa y $x=-2$ no está incluido en la respuesta.

2. Sea ahora $-2 \lt x \lt 1$. El módulo izquierdo ya se abrirá con un "más", pero el derecho todavía se abrirá con un "menos". Tenemos:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(alinear)\]

Nuevamente nos cruzamos con el requisito original:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Y nuevamente el conjunto de soluciones está vacío, ya que no hay números que sean menores que −2,5 y mayores que −2.

2.1. Y nuevamente un caso especial: $x=1$. Sustituimos en la desigualdad original:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ &\izquierda| 3\derecha| \lt \left| 0\derecha|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Al igual que en el “caso especial” anterior, el número $x=1$ claramente no está incluido en la respuesta.

3. La última parte de la línea: $x \gt 1$. Aquí todos los módulos se abren con un signo más:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Y nuevamente cruzamos el conjunto encontrado con la restricción original:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Bueno, ¡por fin! Hemos encontrado un intervalo que será la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Finalmente, una observación que puede salvarle de errores estúpidos al resolver problemas reales:

Las soluciones a desigualdades con módulos suelen representar conjuntos continuos en la recta numérica: intervalos y segmentos. Los puntos aislados son mucho menos comunes. Y con menos frecuencia sucede que el límite de la solución (el final del segmento) coincide con el límite del rango considerado.

En consecuencia, si los límites (los mismos “casos especiales”) no se incluyen en la respuesta, entonces es casi seguro que las áreas a la izquierda y a la derecha de estos límites no se incluirán en la respuesta. Y viceversa: la frontera entró en la respuesta, lo que significa que algunas áreas a su alrededor también serán respuestas.

Tenga esto en cuenta al revisar sus soluciones.

Esta calculadora matemática en línea te ayudará resolver una ecuación o desigualdad con módulos. Programa para resolver ecuaciones y desigualdades con módulos no sólo da la respuesta al problema, sino que conduce solución detallada con explicaciones

Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria en escuelas de educación general cuando se preparan para pruebas y exámenes, cuando prueban conocimientos antes del Examen Estatal Unificado y para que los padres controlen la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra.

¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres terminar tu tarea de matemáticas o álgebra lo más rápido posible? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.

De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de formación en el campo de la resolución de problemas.

|x|

Ingrese una ecuación o desigualdad con módulos

x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Resolver una ecuación o desigualdad
Se descubrió que algunos scripts necesarios para resolver este problema no estaban cargados y es posible que el programa no funcione.

Es posible que tengas habilitado AdBlock.
En este caso, desactívelo y actualice la página.
JavaScript está deshabilitado en su navegador.

Para que aparezca la solución, debe habilitar JavaScript.
Aquí hay instrucciones sobre cómo habilitar JavaScript en su navegador.
Porque Hay mucha gente dispuesta a solucionar el problema, tu solicitud ha quedado en cola. En unos segundos la solución aparecerá a continuación.

Espere por favor segundo... Si usted
Noté un error en la solución. , entonces puedes escribir sobre esto en el formulario de comentarios. no lo olvides indicar que tarea.

tu decides que

entrar en los campos

Nuestros juegos, rompecabezas, emuladores:

Un poco de teoría.

Ecuaciones y desigualdades con módulos.

En un curso de álgebra escolar básico, es posible que encuentres las ecuaciones y desigualdades con módulos más simples. Para resolverlos, puedes utilizar un método geométrico basado en el hecho de que \(|x-a| \) es la distancia en la recta numérica entre los puntos x y a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Por ejemplo, para resolver la ecuación \(|x-3|=2\) necesitas encontrar puntos en la recta numérica que estén distantes del punto 3 a una distancia de 2. Hay dos de esos puntos: \(x_1=1 \) y \(x_2=5\) .
Resolviendo la desigualdad \(|2x+7|
Pero la principal forma de resolver ecuaciones y desigualdades con módulos está asociada a la llamada “revelación del módulo por definición”:

si \(a \geq 0 \), entonces \(|a|=a \);
1) Si \(c > 0\), entonces la ecuación \(|f(x)|=c \) es equivalente al conjunto de ecuaciones: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Si \(c > 0 \), entonces la desigualdad \(|f(x)| 3) Si \(c \geq 0 \), entonces la desigualdad \(|f(x)| > c \) es equivalente a un conjunto de desigualdades: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Si ambos lados de la desigualdad \(f(x) EJEMPLO 1. Resuelve la ecuación \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Si \(x-1 \geq 0\), entonces \(|x-1| = x-1\) y la ecuación dada toma la forma
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Si \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Por tanto, la ecuación dada debe considerarse por separado en cada uno de los dos casos indicados.
1) Sea \(x-1 \geq 0 \), es decir \(x\geq 1\). De la ecuación \(x^2 +2x -8 = 0\) encontramos \(x_1=2, \; x_2=-4\).
La condición \(x \geq 1 \) se cumple únicamente con el valor \(x_1=2\).

2) Sea \(x-1 Respuesta: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EJEMPLO 2. Resuelve la ecuación \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\). primera manera
(expansión del módulo por definición).

Razonando como en el ejemplo 1, llegamos a la conclusión de que la ecuación dada debe considerarse por separado si se cumplen dos condiciones: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) o \(x^2-6x+7
1) Si \(x^2-6x+7 \geq 0 \), entonces \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) y la ecuación dada toma la forma \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Habiendo resuelto esta ecuación cuadrática, obtenemos: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Averigüemos si el valor \(x_1=6\) satisface la condición \(x^2-6x+7 \geq 0\). Para hacer esto, sustituya el valor indicado en la desigualdad cuadrática. Obtenemos: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), es decir \(7 \geq 0 \) es una desigualdad verdadera.

Esto significa que \(x_1=6\) es la raíz de la ecuación dada.

Averigüemos si el valor \(x_2=\frac(5)(3) \) satisface la condición \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Para hacer esto, sustituya el valor indicado en la desigualdad cuadrática. Obtenemos: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), es decir \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) es una desigualdad incorrecta. Esto significa que \(x_2=\frac(5)(3)\) no es una raíz de la ecuación dada. 2) Si \(x^2-6x+7 Valor \(x_3=3\) satisface la condición \(x^2-6x+7 Valor \(x_4=\frac(4)(3) \) no satisface la condición \ (x^2-6x+7 Entonces, la ecuación dada tiene dos raíces: \(x=6, \; x=3 \).
Ambas ecuaciones se resolvieron anteriormente (usando el primer método para resolver la ecuación dada), sus raíces son las siguientes: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). La condición \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) de estos cuatro valores se satisface solo con dos: 6 y 3. Esto significa que la ecuación dada tiene dos raíces: \(x=6 ,\;x=3\).

Tercera vía(gráfico).
1) Construyamos una gráfica de la función \(y = |x^2-6x+7| \). Primero, construyamos una parábola \(y = x^2-6x+7\).
Tenemos \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). La gráfica de la función \(y = (x-3)^2-2\) se puede obtener a partir de la gráfica de la función \(y = x^2\) desplazándola 3 unidades de escala hacia la derecha (a lo largo del eje x) y 2 unidades de escala hacia abajo (a lo largo del eje y).
La recta x=3 es el eje de la parábola que nos interesa. Como puntos de control para un trazado más preciso, es conveniente tomar el punto (3; -2): el vértice de la parábola, el punto (0; 7) y el punto (6; 7) simétrico con respecto al eje de la parábola. .

Para construir ahora una gráfica de la función \(y = |x^2-6x+7| \), debes dejar sin cambios aquellas partes de la parábola construida que no se encuentran debajo del eje x, y reflejar esa parte de la parábola construida. parábola que se encuentra debajo del eje x con respecto al eje x.

2) Construyamos una gráfica de la función lineal \(y = \frac(5x-9)(3)\). Es conveniente tomar los puntos (0; –3) y (3; 2) como puntos de control. Es importante que el punto x = 1,8 de la intersección de la línea recta con el eje de abscisas esté ubicado a la derecha del punto izquierdo de intersección de la parábola con el eje de abscisas; este es el punto \(x=3-\ sqrt(2) \) (ya que \(3-\sqrt(2 ) 3) A juzgar por el dibujo, las gráficas se cruzan en dos puntos: A(3; 2) y B(6; 7). Sustituyendo las abscisas de estas puntos x = 3 y x = 6 en la ecuación dada, estamos convencidos de que en ambos casos, en otro valor, se obtiene la igualdad numérica correcta. Esto significa que nuestra hipótesis fue confirmada: la ecuación tiene dos raíces: x = 3 y. x = 6. Respuesta: 3;

Comentario

EJEMPLO 2. Resuelve la ecuación \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
. El método gráfico, a pesar de su elegancia, no es muy fiable. En el ejemplo considerado, funcionó sólo porque las raíces de la ecuación son números enteros.

EJEMPLO 3. Resuelve la ecuación \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
La expresión 2x–4 se vuelve 0 en el punto x = 2, y la expresión x + 3 se vuelve 0 en el punto x = –3. Estos dos puntos dividen la recta numérica en tres intervalos: \(x
Considere el primer intervalo: \((-\infty; \; -3) \).

En el intervalo (-3;0), ampliando el módulo, cambiamos el signo de la función al opuesto

Teniendo en cuenta el área de divulgación de la desigualdad, la solución tendrá la forma

Junto con el área anterior esto dará dos medios intervalos.

Ejemplo 5. Encuentra una solución a la desigualdad.
9x^2-|x-3|>=9x-2

Solución:
Se da una desigualdad no estricta cuya función submodular es igual a cero en el punto x=3.<3.

Para valores más pequeños es negativo, para valores más grandes es positivo. Expandir el módulo en el intervalo x.

Encontrar el discriminante de la ecuación.

y raíces