Hoy te contamos cómo encontrar la generatriz de un cono, lo que suele ser necesario en los problemas de geometría escolares.
El concepto de generatriz de cono.
Un cono rectángulo es una figura que se obtiene girando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. La base del cono forma un círculo. La sección vertical del cono es un triángulo, la sección horizontal es un círculo. La altura de un cono es el segmento que conecta la parte superior del cono con el centro de la base. La generatriz de un cono es un segmento que conecta el vértice del cono con cualquier punto de la recta del círculo base.
Dado que un cono se forma girando un triángulo rectángulo, resulta que el primer cateto de dicho triángulo es la altura, el segundo es el radio del círculo que se encuentra en la base y la hipotenusa es la generatriz del cono. No es difícil adivinar que el teorema de Pitágoras es útil para calcular la longitud del generador. Y ahora más sobre cómo encontrar la longitud de la generatriz del cono.
Encontrar el generador
La forma más sencilla de entender cómo encontrar un generador es con un ejemplo específico. Supongamos que se dan las siguientes condiciones del problema: la altura es de 9 cm, el diámetro del círculo base es de 18 cm. Es necesario encontrar una generatriz.
Entonces, la altura del cono (9 cm) es uno de los catetos del triángulo rectángulo con la ayuda del cual se formó este cono. El segundo cateto será el radio del círculo base. El radio es la mitad del diámetro. Así, dividimos el diámetro que nos dieron por la mitad y obtenemos la longitud del radio: 18:2 = 9. El radio es 9.
Ahora es muy fácil encontrar la generatriz del cono. Al ser hipotenusa, el cuadrado de su longitud será igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, la suma de los cuadrados del radio y la altura. Entonces, el cuadrado de la longitud del generador = 64 (el cuadrado de la longitud del radio) + 64 (el cuadrado de la longitud de la altura) = 64x2 = 128. Ahora sacamos la raíz cuadrada de 128. Como Como resultado, obtenemos ocho raíces de dos. Esta será la generatriz del cono.
Como puede ver, esto no tiene nada de complicado. Por ejemplo, tomamos condiciones simples del problema, pero en un curso escolar pueden ser más complejas. Recuerda que para calcular la longitud de la generatriz necesitas averiguar el radio del círculo y la altura del cono. Conociendo estos datos, es fácil encontrar la longitud de la generatriz.
Los cuerpos de rotación que se estudian en la escuela son el cilindro, el cono y la bola.
Si en un problema del Examen Estatal Unificado de matemáticas necesitas calcular el volumen de un cono o el área de una esfera, considérate afortunado.
Aplicar fórmulas para volumen y área de superficie de un cilindro, cono y esfera. Todos ellos están en nuestra mesa. Aprender de memoria. Aquí comienza el conocimiento de la estereometría.
A veces es bueno dibujar la vista desde arriba. O, como en este problema, desde abajo.
2. ¿Cuántas veces es mayor el volumen de un cono circunscrito a una pirámide cuadrangular regular que el volumen de un cono inscrito en esta pirámide?
Es simple: dibuja la vista desde abajo. Vemos que el radio del círculo mayor es veces mayor que el radio del círculo más pequeño. Las alturas de ambos conos son las mismas. Por tanto, el volumen del cono más grande será el doble.
Otro punto importante. Recordamos que en los problemas de la parte B del Examen Estatal Unificado de Matemáticas, la respuesta se escribe como un número entero o una fracción decimal final. Por lo tanto, no debería haber ninguno en su respuesta en la parte B. ¡Tampoco es necesario sustituir el valor aproximado del número! ¡Definitivamente debe encogerse! Es por ello que en algunos problemas la tarea se formula, por ejemplo, de la siguiente manera: "Encuentra el área de la superficie lateral del cilindro dividida por".
¿Dónde más se utilizan las fórmulas para el volumen y la superficie de los cuerpos de revolución? Por supuesto, en el problema C2 (16). También te lo contamos.
Sabemos qué es un cono, intentemos encontrar su superficie. ¿Por qué necesitas resolver tal problema? Por ejemplo, ¿necesita saber cuánta masa se necesita para hacer un cono de gofre? ¿O cuántos ladrillos se necesitan para hacer el techo de un castillo de ladrillos?
Simplemente no se puede medir el área de la superficie lateral de un cono. Pero imaginemos el mismo cuerno envuelto en tela. Para encontrar el área de un trozo de tela, debes cortarlo y colocarlo sobre la mesa. El resultado es una figura plana, podemos encontrar su área.
Arroz. 1. Sección de un cono a lo largo de la generatriz.
Hagamos lo mismo con el cono. "Cortemos" su superficie lateral a lo largo de cualquier generatriz, por ejemplo (ver Fig. 1).
Ahora "desenrollemos" la superficie lateral en un plano. Obtenemos un sector. El centro de este sector es el vértice del cono, el radio del sector es igual a la generatriz del cono y la longitud de su arco coincide con la circunferencia de la base del cono. Este sector se llama desarrollo de la superficie lateral del cono (ver Fig. 2).
Arroz. 2. Desarrollo de la superficie lateral.
Arroz. 3. Medición de ángulos en radianes
Intentemos encontrar el área del sector utilizando los datos disponibles. Primero, introduzcamos la notación: sea el ángulo en el vértice del sector en radianes (ver Fig. 3).
A menudo tendremos que lidiar con el ángulo en la parte superior del barrido en los problemas. Por ahora, intentemos responder a la pregunta: ¿este ángulo no puede llegar a tener más de 360 grados? Es decir, ¿no resultaría que el barrido se superpondría? Por supuesto que no. Demostremos esto matemáticamente. Deje que el escaneo se "superponga" sobre sí mismo. Esto significa que la longitud del arco de barrido es mayor que la longitud del círculo de radio. Pero, como ya se mencionó, la longitud del arco de barrido es la longitud del círculo de radio. Y el radio de la base del cono, por supuesto, es menor que la generatriz, por ejemplo, porque el cateto de un triángulo rectángulo es menor que la hipotenusa.
Entonces recordemos dos fórmulas del curso de planimetría: longitud de arco. Área sectorial: .
En nuestro caso, el papel lo juega el generador. , y la longitud del arco es igual a la circunferencia de la base del cono, es decir. Tenemos:
Finalmente obtenemos: .
Además de la superficie lateral, también se puede encontrar la superficie total. Para ello, suma el área de la base al área de la superficie lateral. Pero la base es un círculo de radio, cuya área según la fórmula es igual a .
Finalmente tenemos: , donde es el radio de la base del cilindro, es el generador.
Resolvamos un par de problemas usando las fórmulas dadas.
Arroz. 4. Ángulo requerido
Ejemplo 1. El desarrollo de la superficie lateral del cono es un sector con un ángulo en el vértice. Encuentre este ángulo si la altura del cono es de 4 cm y el radio de la base es de 3 cm (ver Fig. 4).
Arroz. 5. Triángulo rectángulo formando un cono
Por la primera acción, según el teorema de Pitágoras, encontramos el generador: 5 cm (ver Fig. 5). A continuación sabemos que .
Ejemplo 2. El área de la sección transversal axial del cono es igual a , la altura es igual a . Encuentre el área de superficie total (ver Fig. 6).
