Invierta el método gaussiano en línea. El método gaussiano o por qué los niños no entienden matemáticas

Hoy veremos el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Puede leer sobre qué son estos sistemas en el artículo anterior dedicado a resolver los mismos SLAE utilizando el método Cramer. El método Gauss no requiere ningún conocimiento específico, sólo se necesita atención y constancia. A pesar de que, desde el punto de vista matemático, la formación escolar es suficiente para aplicarlo, los estudiantes suelen tener dificultades para dominar este método. ¡En este artículo intentaremos reducirlos a nada!

método de gauss

METRO método gaussiano– el método más universal para resolver SLAE (con la excepción de sistemas muy grandes). A diferencia de lo comentado anteriormente, es adecuado no sólo para sistemas que tienen una única solución, sino también para sistemas que tienen un número infinito de soluciones. Hay tres opciones posibles aquí.

1. El sistema tiene una solución única (el determinante de la matriz principal del sistema no es igual a cero);
2. El sistema tiene un número infinito de soluciones;
3. No hay soluciones, el sistema es incompatible.

Entonces tenemos un sistema (que tenga una solución) y lo vamos a resolver usando el método gaussiano. ¿Cómo funciona esto?

El método de Gauss consta de dos etapas: directa e inversa.

Trazo directo del método gaussiano.

Primero, escribamos la matriz extendida del sistema. Para hacer esto, agregue una columna de miembros libres a la matriz principal.

La esencia del método de Gauss es llevar esta matriz a una forma escalonada (o, como también se dice, triangular) mediante transformaciones elementales. De esta forma, sólo debería haber ceros debajo (o encima) de la diagonal principal de la matriz.

Qué puedes hacer:

1. Puedes reorganizar las filas de la matriz;
2. Si hay filas iguales (o proporcionales) en una matriz, puede eliminar todas menos una;
3. Puedes multiplicar o dividir una cadena por cualquier número (excepto cero);
4. Se eliminan las filas nulas;
5. Puede agregar una cadena multiplicada por un número distinto de cero a una cadena.

Método gaussiano inverso

Después de transformar el sistema de esta manera, una incógnita xn se conoce, y puedes encontrar todas las incógnitas restantes en orden inverso, sustituyendo las x ya conocidas en las ecuaciones del sistema, hasta la primera.

Cuando Internet está siempre a mano, puedes resolver un sistema de ecuaciones utilizando el método gaussiano. en línea. Sólo necesitas ingresar los coeficientes en la calculadora en línea. Pero debes admitir que es mucho más agradable saber que el ejemplo no lo resolvió un programa de computadora, sino tu propio cerebro.

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones usando el método de Gauss.

Y ahora, un ejemplo para que todo quede claro y comprensible. Sea un sistema de ecuaciones lineales y debe resolverlo usando el método de Gauss:

Primero, escribamos la matriz extendida:

Ahora hagamos las transformaciones. Recordamos que necesitamos lograr una apariencia triangular de la matriz. Multipliquemos la primera línea por (3). Multiplica la segunda línea por (-1). Agregue la segunda línea a la primera y obtenga:

Luego multiplica la tercera línea por (-1). Agreguemos la tercera línea a la segunda:

Multipliquemos la primera línea por (6). Multipliquemos la segunda línea por (13). Agreguemos la segunda línea a la primera:

Listo: el sistema adopta la forma adecuada. Queda por encontrar las incógnitas:

El sistema en este ejemplo tiene una solución única. Consideraremos la resolución de sistemas con un número infinito de soluciones en un artículo aparte. Quizás al principio no sepa por dónde empezar a transformar la matriz, pero después de la práctica adecuada lo dominará y descifrará los SLAE utilizando el método gaussiano como nueces. Y si de repente te encuentras con un SLA que resulta demasiado difícil de descifrar, ¡contacta a nuestros autores! Puede hacerlo dejando una solicitud en la Oficina de Correspondencia. ¡Juntos solucionaremos cualquier problema!

Una de las formas más sencillas de resolver un sistema de ecuaciones lineales es una técnica basada en el cálculo de determinantes ( regla de cramer). Su ventaja es que permite registrar inmediatamente la solución, lo que resulta especialmente conveniente en los casos en que los coeficientes del sistema no son números, sino algunos parámetros. Su desventaja es la complejidad de los cálculos en el caso de un gran número de ecuaciones; además, la regla de Cramer no es directamente aplicable a sistemas en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de incógnitas. En tales casos, se suele utilizar método gaussiano.

Los sistemas de ecuaciones lineales que tienen el mismo conjunto de soluciones se llaman equivalente. Obviamente, el conjunto de soluciones de un sistema lineal no cambiará si se intercambian algunas ecuaciones, o si una de las ecuaciones se multiplica por algún número distinto de cero, o si una ecuación se suma a otra.

método de gauss (método de eliminación secuencial de incógnitas) es que con la ayuda de transformaciones elementales el sistema se reduce a un sistema equivalente de tipo escalonado. Primero, usando la primera ecuación, eliminamos incógnita 1 de todas las ecuaciones posteriores del sistema. Luego, usando la segunda ecuación, eliminamos incógnita 2 de la tercera y todas las ecuaciones posteriores. Este proceso, llamado método gaussiano directo, continúa hasta que solo queda una incógnita en el lado izquierdo de la última ecuación xn. Después de esto se hace inverso del método gaussiano– resolviendo la última ecuación, encontramos xn; después de eso, usando este valor, a partir de la penúltima ecuación calculamos xn–1, etc encontramos el ultimo incógnita 1 de la primera ecuación.

Es conveniente realizar transformaciones gaussianas realizando transformaciones no con las ecuaciones en sí, sino con las matrices de sus coeficientes. Considere la matriz:

llamado matriz extendida del sistema, porque además de la matriz principal del sistema, incluye una columna de términos libres. El método gaussiano se basa en reducir la matriz principal del sistema a una forma triangular (o trapezoidal en el caso de sistemas no cuadrados) mediante transformaciones de filas elementales (!) de la matriz extendida del sistema.

Ejemplo 5.1. Resuelva el sistema usando el método gaussiano:

Solución. Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando la primera fila, luego restableceremos los elementos restantes:

obtenemos ceros en las filas 2, 3 y 4 de la primera columna:

Ahora necesitamos que todos los elementos de la segunda columna debajo de la segunda fila sean iguales a cero. Para hacer esto, puedes multiplicar la segunda línea por –4/7 y sumarla a la tercera línea. Sin embargo, para no tratar con fracciones, creemos una unidad en la segunda fila de la segunda columna y solo

Ahora, para obtener una matriz triangular, necesitas restablecer el elemento de la cuarta fila de la 3ra columna, para hacer esto, puedes multiplicar la tercera fila por 8/54 y sumarla a la cuarta; Sin embargo, para no tratar con fracciones, intercambiaremos las filas 3 y 4 y las columnas 3 y 4 y solo después restableceremos el elemento especificado. Tenga en cuenta que al reorganizar las columnas, las variables correspondientes cambian de lugar y esto debe recordarse; ¡No se pueden realizar otras transformaciones elementales con columnas (suma y multiplicación por un número)!

La última matriz simplificada corresponde a un sistema de ecuaciones equivalente al original:

A partir de aquí, usando el inverso del método gaussiano, encontramos en la cuarta ecuación incógnita 3 = –1; desde el tercero incógnita 4 = –2, a partir del segundo incógnita 2 = 2 y de la primera ecuación incógnita 1 = 1. En forma matricial, la respuesta se escribe como

Consideramos el caso en el que el sistema es definido, es decir cuando sólo hay una solución. Veamos qué sucede si el sistema es inconsistente o incierto.

Ejemplo 5.2. Explore el sistema usando el método gaussiano:

Solución. Escribimos y transformamos la matriz extendida del sistema.

Escribimos un sistema simplificado de ecuaciones:

Aquí, en la última ecuación resultó que 0=4, es decir contradicción. En consecuencia, el sistema no tiene solución, es decir ella incompatible. à

Ejemplo 5.3. Explora y resuelve el sistema usando el método gaussiano:

Solución. Escribimos y transformamos la matriz extendida del sistema:

Como resultado de las transformaciones, la última línea contiene sólo ceros. Esto significa que el número de ecuaciones ha disminuido en uno:

Así, después de las simplificaciones, quedan dos ecuaciones y cuatro incógnitas, es decir dos "extra" desconocidos. Que sean "superfluos" o, como dicen, variables libres, voluntad incógnita 3 y incógnita 4. Entonces

Creyendo incógnita 3 = 2a Y incógnita 4 = b, obtenemos incógnita 2 = 1–a Y incógnita 1 = 2b–a; o en forma matricial

Una solución escrita de esta manera se llama general, porque, dando parámetros a Y b valores diferentes, se pueden describir todas las soluciones posibles del sistema. a

1. Sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

1.1 El concepto de sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

Un sistema de ecuaciones es una condición que consiste en la ejecución simultánea de varias ecuaciones respecto de varias variables. Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (en adelante SLAE) que contiene m ecuaciones yn incógnitas se denomina sistema de la forma:

donde los números a ij se llaman coeficientes del sistema, los números b i se llaman términos libres, un ij Y b yo(i=1,…, m; b=1,…, n) representan algunos números conocidos, y x 1 ,…, x norte- desconocido. En la designación de coeficientes. un ij el primer índice i denota el número de la ecuación, y el segundo j es el número de la incógnita en la que se encuentra este coeficiente. Se deben encontrar los números x n. Es conveniente escribir dicho sistema en forma matricial compacta: HACHA=B. Aquí A es la matriz de coeficientes del sistema, llamada matriz principal;

– vector columna de incógnitas xj.
es un vector de columna de términos libres bi.

El producto de las matrices A*X está definido, ya que hay tantas columnas en la matriz A como filas en la matriz X (n piezas).

La matriz extendida de un sistema es la matriz A del sistema, complementada por una columna de términos libres

1.2 Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

La solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto ordenado de números (valores de variables), al sustituirlos en lugar de variables, cada una de las ecuaciones del sistema se convierte en una verdadera igualdad.

Una solución a un sistema son n valores de las incógnitas x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, tras la sustitución de los cuales todas las ecuaciones del sistema se convierten en verdaderas igualdades. Cualquier solución del sistema se puede escribir como una matriz de columnas.

Un sistema de ecuaciones se dice consistente si tiene al menos una solución e inconsistente si no tiene ninguna solución.

Un sistema consistente se dice determinado si tiene una única solución e indefinido si tiene más de una solución. En este último caso, cada una de sus soluciones se denomina solución particular del sistema. Al conjunto de todas las soluciones particulares se le llama solución general.

Resolver un sistema significa descubrir si es compatible o inconsistente. Si el sistema es consistente, encuentre su solución general.

Dos sistemas se llaman equivalentes (equivalentes) si tienen la misma solución general. En otras palabras, los sistemas son equivalentes si cada solución de uno de ellos es solución del otro, y viceversa.

Una transformación, cuya aplicación convierte un sistema en un nuevo sistema equivalente al original, se denomina transformación equivalente o equivalente. Ejemplos de transformaciones equivalentes incluyen las siguientes transformaciones: intercambiar dos ecuaciones de un sistema, intercambiar dos incógnitas junto con los coeficientes de todas las ecuaciones, multiplicar ambos lados de cualquier ecuación de un sistema por un número distinto de cero.

Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo si todos los términos libres son iguales a cero:

Un sistema homogéneo siempre es consistente, ya que x1=x2=x3=…=xn=0 es una solución del sistema. Esta solución se llama cero o trivial.

2. Método de eliminación gaussiano

2.1 La esencia del método de eliminación gaussiano

El método clásico para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales es el método de eliminación secuencial de incógnitas. método gaussiano(También se le llama método de eliminación gaussiano). Este es un método de eliminación secuencial de variables, cuando, mediante transformaciones elementales, un sistema de ecuaciones se reduce a un sistema equivalente de forma escalonada (o triangular), a partir del cual todas las demás variables se encuentran secuencialmente, comenzando por la última (por número) variables.

El proceso de solución mediante el método de Gauss consta de dos etapas: movimientos hacia adelante y hacia atrás.

1. Trazo directo.

En la primera etapa se lleva a cabo el llamado movimiento directo, cuando, mediante transformaciones elementales a lo largo de las filas, se lleva el sistema a una forma escalonada o triangular, o se establece que el sistema es incompatible. Es decir, entre los elementos de la primera columna de la matriz, seleccione uno distinto de cero, muévalo a la posición superior reorganizando las filas y reste la primera fila resultante de las filas restantes después de la reorganización, multiplicándola por un valor. igual a la relación entre el primer elemento de cada una de estas filas y el primer elemento de la primera fila, poniendo así a cero la columna debajo de ella.

Una vez completadas las transformaciones indicadas, se tachan mentalmente la primera fila y la primera columna y se continúa hasta que quede una matriz de tamaño cero. Si en cualquier iteración no hay ningún elemento distinto de cero entre los elementos de la primera columna, vaya a la siguiente columna y realice una operación similar.

En la primera etapa (carrera directa), el sistema se reduce a una forma escalonada (en particular, triangular).

El siguiente sistema tiene una forma gradual:

,

Los coeficientes aii se denominan elementos principales (principales) del sistema.

(si a11=0, reorganice las filas de la matriz de modo que a 11 no era igual a 0. Esto siempre es posible, porque de lo contrario la matriz contiene una columna cero, su determinante es igual a cero y el sistema es inconsistente).

Transformemos el sistema eliminando la incógnita x1 en todas las ecuaciones excepto en la primera (usando transformaciones elementales del sistema). Para hacer esto, multiplica ambos lados de la primera ecuación por

y sumar término por término con la segunda ecuación del sistema (o de la segunda ecuación restar término por término por la primera, multiplicado por ). Luego multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por y los sumamos a la tercera ecuación del sistema (o de la tercera restamos la primera multiplicada por ). Por lo tanto, multiplicamos secuencialmente la primera línea por un número y sumamos a iª línea, para yo = 2, 3, …,norte.

Siguiendo este proceso obtenemos un sistema equivalente:

– nuevos valores de coeficientes para incógnitas y términos libres en las últimas m-1 ecuaciones del sistema, que están determinados por las fórmulas:

Por lo tanto, en el primer paso, se destruyen todos los coeficientes que se encuentran debajo del primer elemento principal a 11.

0, en el segundo paso se destruyen los elementos que se encuentran debajo del segundo elemento principal a 22 (1) (si a 22 (1) 0), etc. Continuando con este proceso, finalmente, en el paso (m-1), reducimos el sistema original a un sistema triangular.

Si, en el proceso de reducir el sistema a una forma escalonada, aparecen ecuaciones cero, es decir igualdades de la forma 0=0, se descartan. Si aparece una ecuación de la forma

entonces esto indica la incompatibilidad del sistema.

Aquí termina la progresión directa del método de Gauss.

2. Carrera inversa.

En la segunda etapa se lleva a cabo el llamado movimiento inverso, cuya esencia es expresar todas las variables básicas resultantes en términos de no básicas y construir un sistema fundamental de soluciones o, si todas las variables son básicas. , luego expresa numéricamente la única solución del sistema de ecuaciones lineales.

Este procedimiento comienza con la última ecuación, a partir de la cual se expresa la variable básica correspondiente (en ella sólo hay una) y se sustituye en las ecuaciones anteriores, y así sucesivamente, subiendo los “escalones”.

Cada línea corresponde exactamente a una variable base, por lo que en cada paso excepto el último (el superior), la situación repite exactamente el caso de la última línea.

Nota: en la práctica, es más conveniente trabajar no con el sistema, sino con su matriz extendida, realizando todas las transformaciones elementales en sus filas. Es conveniente que el coeficiente a11 sea igual a 1 (reordenar las ecuaciones o dividir ambos lados de la ecuación entre a11).

2.2 Ejemplos de resolución de SLAE utilizando el método gaussiano

En esta sección, utilizando tres ejemplos diferentes, mostraremos cómo el método gaussiano puede resolver SLAE.

Ejemplo 1. Resolver un SLAE de tercer orden.

Restablezcamos los coeficientes en

en la segunda y tercera línea. Para ello, multiplícalos por 2/3 y 1, respectivamente, y súmalos en la primera línea:

Sea un sistema de ecuaciones algebraicas lineales que debe resolverse (encuentre los valores de las incógnitas xi que conviertan cada ecuación del sistema en una igualdad).

Sabemos que un sistema de ecuaciones algebraicas lineales puede:

1) No tener soluciones (ser no conjunto).
2) Tener infinitas soluciones.
3) Tener una única solución.

Como recordamos, la regla de Cramer y el método matricial no son adecuados en los casos en que el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente. método de gauss – la herramienta más poderosa y versátil para encontrar soluciones a cualquier sistema de ecuaciones lineales, cual en todos los casos¡Nos llevará a la respuesta! El algoritmo del método en sí funciona igual en los tres casos. Si los métodos de Cramer y matriciales requieren conocimiento de los determinantes, entonces para aplicar el método de Gauss solo se necesitan conocimientos de operaciones aritméticas, lo que lo hace accesible incluso a los estudiantes de primaria.

Transformaciones matriciales aumentadas ( esta es la matriz del sistema - una matriz compuesta sólo por los coeficientes de las incógnitas, más una columna de términos libres) sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en el método de Gauss:

1) Con troki matrices Poder arreglar de nuevo en algunos lugares.

2) si aparecen (o existen) filas proporcionales (como caso especial, idénticas) en la matriz, entonces debería borrar de la matriz todas estas filas excepto una.

3) si aparece una fila cero en la matriz durante las transformaciones, entonces también debería ser borrar.

4) una fila de la matriz puede ser multiplicar (dividir) a cualquier número distinto de cero.

5) a una fila de la matriz puedes agregar otra cadena multiplicada por un número, diferente de cero.

En el método de Gauss, las transformaciones elementales no cambian la solución del sistema de ecuaciones.

El método de Gauss consta de dos etapas:

1. "Movimiento directo": mediante transformaciones elementales, lleva la matriz extendida de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales a una forma escalonada "triangular": los elementos de la matriz extendida ubicados debajo de la diagonal principal son iguales a cero (movimiento de arriba hacia abajo). Por ejemplo, a este tipo:

Para hacer esto, realice los siguientes pasos:

1) Consideremos la primera ecuación de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales y el coeficiente para x 1 es igual a K. La segunda, tercera, etc. Transformamos las ecuaciones de la siguiente manera: dividimos cada ecuación (coeficientes de incógnitas, incluidos los términos libres) por el coeficiente de la incógnita x 1, que está en cada ecuación, y multiplicamos por K. Después de esto, restamos el primero del segundo. ecuación (coeficientes para incógnitas y términos libres). Para x 1 en la segunda ecuación obtenemos el coeficiente 0. De la tercera ecuación transformada restamos la primera ecuación hasta que todas las ecuaciones excepto la primera, para x 1 desconocida, tengan un coeficiente 0.

2) Pasemos a la siguiente ecuación. Sea esta la segunda ecuación y el coeficiente para x 2 igual a M. Procedemos con todas las ecuaciones “inferiores” como se describió anteriormente. Por tanto, “debajo” de la incógnita x 2 habrá ceros en todas las ecuaciones.

3) Pasar a la siguiente ecuación y así sucesivamente hasta que quede una última incógnita y el término libre transformado.

1. El “movimiento inverso” del método de Gauss consiste en obtener una solución a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (el movimiento “de abajo hacia arriba”).

De la última ecuación “inferior” obtenemos una primera solución: la incógnita x n. Para hacer esto, resolvemos la ecuación elemental A * x n = B. En el ejemplo anterior, x 3 = 4. Sustituimos el valor encontrado en la siguiente ecuación "superior" y lo resolvemos con respecto a la siguiente incógnita. Por ejemplo, x 2 – 4 = 1, es decir x 2 = 5. Y así sucesivamente hasta encontrar todas las incógnitas.

Ejemplo.

Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss, como aconsejan algunos autores:

Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:
1 paso . A la primera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por –1. Es decir, multiplicamos mentalmente la segunda línea por –1 y sumamos la primera y la segunda línea, mientras que la segunda línea no cambió.

Ahora arriba a la izquierda aparece “menos uno”, lo que nos viene bastante bien. Cualquiera que quiera obtener +1 puede realizar una acción adicional: multiplicar la primera línea por –1 (cambiar su signo).

Paso 2 . La primera línea, multiplicada por 5, se añadió a la segunda línea. La primera línea, multiplicada por 3, se añadió a la tercera línea.

Paso 3 . La primera línea se multiplicó por –1, en principio, esto es por belleza. También se cambió el signo de la tercera línea y se pasó al segundo lugar, de modo que en el segundo “escalón” tuviéramos la unidad requerida.

Paso 4 . La tercera línea se sumó a la segunda línea, multiplicada por 2.

Paso 5 . La tercera línea se dividió por 3.

Una señal que indica un error en los cálculos (más raramente, un error tipográfico) es un resultado final “malo”. Es decir, si obtuvimos algo como (0 0 11 |23) a continuación y, en consecuencia, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, entonces con un alto grado de probabilidad podemos decir que se cometió un error durante la primaria. transformaciones.

Hagamos lo contrario; en el diseño de ejemplos, el sistema en sí a menudo no se reescribe, sino que las ecuaciones se “toman directamente de la matriz dada”. El movimiento inverso, les recuerdo, funciona de abajo hacia arriba. En este ejemplo, el resultado fue un regalo:

x3 = 1
x2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, por lo tanto x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Respuesta:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Resolvamos el mismo sistema usando el algoritmo propuesto. obtenemos

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Dividimos la segunda ecuación por 5 y la tercera por 3. Obtenemos:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Multiplicando la segunda y tercera ecuaciones por 4 obtenemos:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Reste la primera ecuación de la segunda y tercera ecuaciones, tenemos:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Divide la tercera ecuación por 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multiplica la tercera ecuación por 0,4.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Restando la segunda de la tercera ecuación, obtenemos una matriz extendida “escalonada”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Así, dado el error acumulado durante los cálculos, obtenemos x 3 = 0,96 o aproximadamente 1.

x2 = 3 y x1 = –1.

Resolviendo de esta forma, nunca te confundirás en los cálculos y, a pesar de los errores de cálculo, obtendrás el resultado.

Este método para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es fácil de programar y no tiene en cuenta las características específicas de los coeficientes para incógnitas, porque en la práctica (en cálculos económicos y técnicos) hay que lidiar con coeficientes no enteros.

¡Te deseo éxito! ¡Nos vemos en clase! Tutor.

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Dos sistemas de ecuaciones lineales se llaman equivalentes si el conjunto de todas sus soluciones coincide.

Las transformaciones elementales de un sistema de ecuaciones son:

1. Eliminar ecuaciones triviales del sistema, es decir aquellos para los cuales todos los coeficientes son iguales a cero;
2. Multiplicar cualquier ecuación por un número distinto de cero;
3. Sumar a cualquier ecuación i-ésima cualquier ecuación j-ésima multiplicada por cualquier número.

Una variable x i se llama libre si esta variable no está permitida, pero sí se permite todo el sistema de ecuaciones.

Teorema. Las transformaciones elementales transforman un sistema de ecuaciones en uno equivalente.

El significado del método gaussiano es transformar el sistema de ecuaciones original y obtener un sistema equivalente resuelto o equivalente inconsistente.

Entonces, el método gaussiano consta de los siguientes pasos:

1. Veamos la primera ecuación. Elijamos el primer coeficiente distinto de cero y dividamos toda la ecuación por él. Obtenemos una ecuación en la que entra alguna variable x i con coeficiente 1;
2. Restemos esta ecuación de todas las demás, multiplicándola por números tales que los coeficientes de la variable x i en las ecuaciones restantes se pongan a cero. Obtenemos un sistema resuelto respecto de la variable x i y equivalente al original;
3. Si surgen ecuaciones triviales (rara vez, pero sucede; por ejemplo, 0 = 0), las tachamos del sistema. Como resultado, hay una ecuación menos;
4. Repetimos los pasos anteriores no más de n veces, donde n es el número de ecuaciones del sistema. Cada vez seleccionamos una nueva variable para “procesar”. Si surgen ecuaciones inconsistentes (por ejemplo, 0 = 8), el sistema es inconsistente.

Como resultado, tras unos pocos pasos obtendremos un sistema resuelto (posiblemente con variables libres) o uno inconsistente. Los sistemas permitidos se dividen en dos casos:

1. El número de variables es igual al número de ecuaciones. Esto significa que el sistema está definido;
2. El número de variables es mayor que el número de ecuaciones. Recopilamos todas las variables libres a la derecha; obtenemos fórmulas para las variables permitidas. Estas fórmulas están escritas en la respuesta.

¡Eso es todo! ¡Sistema de ecuaciones lineales resuelto! Este es un algoritmo bastante simple y para dominarlo no es necesario contactar a un tutor de matemáticas superior. Veamos un ejemplo:

Tarea. Resuelve el sistema de ecuaciones:

Descripción de pasos:

1. Reste la primera ecuación de la segunda y la tercera: obtenemos la variable permitida x 1;
2. Multiplicamos la segunda ecuación por (−1) y dividimos la tercera ecuación por (−3); obtenemos dos ecuaciones en las que la variable x 2 entra con un coeficiente de 1;
3. Sumamos la segunda ecuación a la primera y restamos de la tercera. Obtenemos la variable permitida x 2 ;
4. Finalmente, restamos la tercera ecuación de la primera: obtenemos la variable permitida x 3;
5. Hemos recibido un sistema aprobado, anota la respuesta.

La solución general de un sistema simultáneo de ecuaciones lineales es un sistema nuevo, equivalente al original, en el que todas las variables permitidas se expresan en términos de libres.

¿Cuándo podría ser necesaria una solución general? Si tienes que hacer menos pasos que k (k es cuántas ecuaciones hay). Sin embargo, las razones por las que el proceso termina en algún paso l< k , может быть две:

1. Después del paso l, obtuvimos un sistema que no contiene una ecuación con el número (l + 1). De hecho, esto es bueno, porque... El sistema autorizado todavía se obtiene, incluso unos pasos antes.
2. Después del paso l, obtuvimos una ecuación en la que todos los coeficientes de las variables son iguales a cero y el coeficiente libre es diferente de cero. Esta es una ecuación contradictoria y, por tanto, el sistema es inconsistente.

Es importante comprender que la aparición de una ecuación inconsistente utilizando el método gaussiano es base suficiente para la inconsistencia. Al mismo tiempo, observamos que como resultado del décimo paso no pueden quedar ecuaciones triviales: todas se tachan en el proceso.

Descripción de pasos:

1. Resta la primera ecuación, multiplicada por 4, de la segunda. También sumamos la primera ecuación a la tercera: obtenemos la variable permitida x 1;
2. Resta la tercera ecuación, multiplicada por 2, de la segunda: obtenemos la ecuación contradictoria 0 = −5.

Entonces, el sistema es inconsistente porque se ha descubierto una ecuación inconsistente.

Tarea. Explore la compatibilidad y encuentre una solución general para el sistema:

Descripción de pasos:

1. Restamos la primera ecuación de la segunda (después de multiplicarla por dos) y la tercera: obtenemos la variable permitida x 1;
2. Resta la segunda ecuación de la tercera. Como todos los coeficientes de estas ecuaciones son iguales, la tercera ecuación se volverá trivial. Al mismo tiempo, multiplica la segunda ecuación por (−1);
3. Reste la segunda de la primera ecuación: obtenemos la variable permitida x 2. Ahora también está resuelto todo el sistema de ecuaciones;
4. Como las variables x 3 y x 4 son libres, las movemos hacia la derecha para expresar las variables permitidas. Ésta es la respuesta.

Entonces, el sistema es consistente e indeterminado, ya que hay dos variables permitidas (x 1 y x 2) y dos libres (x 3 y x 4).