En el capítulo anterior se demostró que, eligiendo un determinado sistema de coordenadas en el plano, podemos expresar analíticamente las propiedades geométricas que caracterizan los puntos de la línea considerada mediante una ecuación entre las coordenadas actuales. Así obtenemos la ecuación de la recta. Este capítulo analizará las ecuaciones en línea recta.
Para crear una ecuación para una línea recta en coordenadas cartesianas, es necesario establecer de alguna manera las condiciones que determinan su posición con respecto a los ejes de coordenadas.
Primero, introduciremos el concepto de coeficiente angular de una línea, que es una de las cantidades que caracterizan la posición de una línea en un plano.
Llamemos al ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje Ox el ángulo mediante el cual se debe girar el eje Ox para que coincida con la línea dada (o sea paralelo a ella). Como es habitual, consideraremos el ángulo teniendo en cuenta el signo (el signo está determinado por el sentido de rotación: en sentido contrario a las agujas del reloj o en el sentido de las agujas del reloj). Dado que una rotación adicional del eje Ox en un ángulo de 180° lo alineará nuevamente con la línea recta, el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje no se puede elegir de manera inequívoca (hasta un término que sea múltiplo de ) .
La tangente de este ángulo se determina de forma única (ya que cambiar el ángulo no cambia su tangente).
La tangente del ángulo de inclinación de la recta al eje Ox se llama coeficiente angular de la recta.
El coeficiente angular caracteriza la dirección de la línea recta (aquí no distinguimos entre dos direcciones de la línea recta mutuamente opuestas). Si la pendiente de una recta es cero, entonces la recta es paralela al eje x. Con un coeficiente angular positivo, el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje Ox será agudo (aquí consideramos el valor positivo más pequeño del ángulo de inclinación) (Fig. 39); Además, cuanto mayor es el coeficiente angular, mayor es el ángulo de su inclinación con respecto al eje Ox. Si el coeficiente angular es negativo, entonces el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje Ox será obtuso (Fig. 40). Tenga en cuenta que una línea recta perpendicular al eje Ox no tiene coeficiente angular (la tangente del ángulo no existe).
Continuación del tema, la ecuación de una recta en un plano se basa en el estudio de una recta de las lecciones de álgebra. Este artículo proporciona información general sobre el tema de la ecuación de una línea recta con pendiente. Consideremos las definiciones, obtengamos la ecuación en sí e identifiquemos la conexión con otros tipos de ecuaciones. Todo se discutirá utilizando ejemplos de resolución de problemas.
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Antes de escribir una ecuación de este tipo, es necesario definir el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje O x con su coeficiente angular. Supongamos que se da un sistema de coordenadas cartesiano O x en el plano.
Definición 1
El ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje O x, ubicado en el sistema de coordenadas cartesianas O x y en el plano, este es el ángulo que se mide desde la dirección positiva O x hasta la línea recta en sentido antihorario.
Cuando la recta es paralela a O x o coincide en ella, el ángulo de inclinación es 0. Entonces el ángulo de inclinación de la recta α dada se define en el intervalo [ 0 , π) .
Definición 2
Pendiente directa es la tangente del ángulo de inclinación de una recta dada.
La designación estándar es k. De la definición encontramos que k = t g α . Cuando la recta es paralela a Ox, dicen que la pendiente no existe, ya que llega al infinito.
La pendiente es positiva cuando la gráfica de la función aumenta y viceversa. La figura muestra varias variaciones en la ubicación del ángulo recto con respecto al sistema de coordenadas con el valor del coeficiente.
Para encontrar este ángulo, es necesario aplicar la definición del coeficiente angular y calcular la tangente del ángulo de inclinación en el plano.
Solución
De la condición tenemos que α = 120°. Por definición, se debe calcular la pendiente. Encontrémoslo a partir de la fórmula k = t g α = 120 = - 3.
Respuesta: k = - 3 .
Si se conoce el coeficiente angular y es necesario encontrar el ángulo de inclinación con respecto al eje de abscisas, entonces se debe tener en cuenta el valor del coeficiente angular. Si k > 0, entonces el ángulo recto es agudo y se encuentra mediante la fórmula α = a r c t g k. si k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Ejemplo 2
Determine el ángulo de inclinación de la línea recta dada hacia O x con un coeficiente angular de 3.
Solución
De la condición tenemos que el coeficiente angular es positivo, lo que significa que el ángulo de inclinación hacia O x es menor de 90 grados. Los cálculos se realizan utilizando la fórmula α = a r c t g k = a r c t g 3.
Respuesta: α = a r c t g 3 .
Ejemplo 3
Encuentre el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje O x si la pendiente = - 1 3.
Solución
Si tomamos la letra k como designación del coeficiente angular, entonces α es el ángulo de inclinación de una línea recta dada en la dirección positiva O x. Por lo tanto k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
Respuesta: 5 π 6 .
Una ecuación de la forma y = k x + b, donde k es la pendiente y b es algún número real, se llama ecuación de una recta con pendiente. La ecuación es típica de cualquier línea recta que no sea paralela al eje O y.
Si consideramos en detalle una línea recta sobre un plano en un sistema de coordenadas fijo, que se especifica mediante una ecuación con un coeficiente angular que tiene la forma y = k x + b. En este caso, significa que la ecuación corresponde a las coordenadas de cualquier punto de la recta. Si sustituimos las coordenadas del punto M, M 1 (x 1, y 1) en la ecuación y = k x + b, entonces en este caso la línea recta pasará por este punto, de lo contrario el punto no pertenece a la línea.
Ejemplo 4
Se da una recta con pendiente y = 1 3 x - 1. Calcula si los puntos M 1 (3, 0) y M 2 (2, - 2) pertenecen a la recta dada.
Solución
Es necesario sustituir las coordenadas del punto M 1 (3, 0) en la ecuación dada, luego obtenemos 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. La igualdad es verdadera, lo que significa que el punto pertenece a la recta.
Si sustituimos las coordenadas del punto M 2 (2, - 2), obtenemos una igualdad incorrecta de la forma - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Podemos concluir que el punto M 2 no pertenece a la recta.
Respuesta: M 1 pertenece a la línea, pero M 2 no.
Se sabe que la recta está definida por la ecuación y = k · x + b, pasando por M 1 (0, b), al sustituir obtuvimos una igualdad de la forma b = k · 0 + b ⇔ b = b. De esto podemos concluir que la ecuación de una recta con un coeficiente angular y = k x + b en el plano define una recta que pasa por el punto 0, b. Forma un ángulo α con la dirección positiva del eje O x, donde k = t g α.
Consideremos, como ejemplo, una línea recta definida utilizando un coeficiente angular especificado en la forma y = 3 · x - 1. Obtenemos que la recta pasará por el punto de coordenadas 0, - 1 con pendiente α = a r c t g 3 = π 3 radianes en el sentido positivo del eje O x. Esto muestra que el coeficiente es 3.
Ecuación de una recta con pendiente que pasa por un punto dado
Es necesario resolver un problema donde es necesario obtener la ecuación de una recta con una pendiente dada que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1).
La igualdad y 1 = k · x + b puede considerarse válida, ya que la recta pasa por el punto M 1 (x 1, y 1). Para eliminar el número b, es necesario restar la ecuación con la pendiente de los lados izquierdo y derecho. De esto se deduce que y - y 1 = k · (x - x 1) . Esta igualdad se llama ecuación de una línea recta con una pendiente k dada, que pasa por las coordenadas del punto M 1 (x 1, y 1).
Ejemplo 5
Escribe una ecuación para una línea recta que pasa por el punto M 1 con coordenadas (4, - 1), con un coeficiente angular igual a - 2.
Solución
Por condición tenemos que x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. A partir de aquí la ecuación de la recta se escribirá de la siguiente manera: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
Respuesta: y = - 2 x + 7 .
Ejemplo 6
Escribe la ecuación de una recta con coeficiente angular que pasa por el punto M 1 de coordenadas (3, 5), paralela a la recta y = 2 x - 2.
Solución
Por condición, tenemos que las rectas paralelas tienen ángulos de inclinación idénticos, lo que significa que los coeficientes angulares son iguales. Para encontrar la pendiente de esta ecuación, debes recordar su fórmula básica y = 2 x - 2, se deduce que k = 2. Hacemos una ecuación con el coeficiente de pendiente y obtenemos:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Respuesta: y = 2 x - 1 .
Transición de una ecuación en línea recta con pendiente a otros tipos de ecuaciones en línea recta y viceversa
Esta ecuación no siempre es aplicable para resolver problemas, ya que no está escrita de manera muy conveniente. Para hacer esto, debe presentarlo en una forma diferente. Por ejemplo, una ecuación de la forma y = k x + b no nos permite escribir las coordenadas del vector director de una recta o las coordenadas de un vector normal. Para hacer esto, necesitas aprender a representar con ecuaciones de otro tipo.
Podemos obtener la ecuación canónica de una recta en un plano usando la ecuación de una recta con un coeficiente de ángulo. Obtenemos x - x 1 a x = y - y 1 a y . Es necesario mover el término b hacia el lado izquierdo y dividirlo por la expresión de la desigualdad resultante. Luego obtenemos una ecuación de la forma y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
La ecuación de una recta con pendiente se ha convertido en la ecuación canónica de esta recta.
Ejemplo 7
Lleva la ecuación de una línea recta con un coeficiente angular y = - 3 x + 12 a forma canónica.
Solución
Calculémoslo y presentémoslo en forma de ecuación canónica de línea recta. Obtenemos una ecuación de la forma:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Respuesta: x 1 = y - 12 - 3.
La ecuación general de una línea recta es más fácil de obtener a partir de y = k · x + b, pero para ello es necesario hacer transformaciones: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Se realiza una transición de la ecuación general de la recta a ecuaciones de otro tipo.
Ejemplo 8
Dada una ecuación en línea recta de la forma y = 1 7 x - 2 . ¿Averiguar si el vector con coordenadas a → = (- 1, 7) es un vector lineal normal?
Solución
Para resolver es necesario pasar a otra forma de esta ecuación, para ello escribimos:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Los coeficientes delante de las variables son las coordenadas del vector normal de la recta. Escribámoslo así: n → = 1 7, - 1, por lo tanto 1 7 x - y - 2 = 0. Está claro que el vector a → = (- 1, 7) es colineal con el vector n → = 1 7, - 1, ya que tenemos la relación justa a → = - 7 · n →. De ello se deduce que el vector original a → = - 1, 7 es un vector normal de la recta 1 7 x - y - 2 = 0, lo que significa que se considera un vector normal de la recta y = 1 7 x - 2.
Respuesta: Es
Resolvamos el problema inverso de éste.
Es necesario pasar de la forma general de la ecuación A x + B y + C = 0, donde B ≠ 0, a una ecuación con un coeficiente angular. Para hacer esto, resolvemos la ecuación para y. Obtenemos A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
El resultado es una ecuación con una pendiente igual a -A B.
Ejemplo 9
Se da una ecuación en línea recta de la forma 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Obtener la ecuación de una recta dada con un coeficiente angular.
Solución
Según la condición, es necesario resolver y, luego obtenemos una ecuación de la forma:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Respuesta: y = 1 6 x + 1 4 .
De manera similar se resuelve una ecuación de la forma x a + y b = 1, que se llama ecuación de una recta en segmentos, o canónica de la forma x - x 1 a x = y - y 1 a y. Necesitamos resolverlo para y, sólo entonces obtenemos una ecuación con la pendiente:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
La ecuación canónica se puede reducir a una forma con un coeficiente angular. Para hacer esto:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Ejemplo 10
Hay una línea recta dada por la ecuación x 2 + y - 3 = 1. Reducir a la forma de una ecuación con un coeficiente angular.
Solución.
Según la condición, es necesario transformar, luego obtenemos una ecuación de la forma _fórmula_. Ambos lados de la ecuación deben multiplicarse por - 3 para obtener la ecuación de pendiente requerida. Transformando obtenemos:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Respuesta: y = 3 2 x - 3 .
Ejemplo 11
Reduzca la ecuación de línea recta de la forma x - 2 2 = y + 1 5 a una forma con un coeficiente angular.
Solución
Es necesario calcular la expresión x - 2 2 = y + 1 5 como proporción. Obtenemos que 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1). Ahora necesitas habilitarlo completamente, para hacer esto:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Respuesta: y = 5 2 x - 6 .
Para resolver tales problemas, las ecuaciones paramétricas de la recta de la forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ deben reducirse a la ecuación canónica de la recta, solo después de esto se puede proceder a la ecuación con el coeficiente de pendiente.
Ejemplo 12
Encuentra la pendiente de la recta si está dada por ecuaciones paramétricas x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Solución
Es necesario pasar de la vista paramétrica a la pendiente. Para hacer esto, encontramos la ecuación canónica a partir de la paramétrica dada:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Ahora es necesario resolver esta igualdad con respecto a y para poder obtener la ecuación de una recta con coeficiente angular. Para ello, escribámoslo de esta manera:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Se deduce que la pendiente de la recta es 2. Esto se escribe como k = 2.
Respuesta: k = 2.
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La pendiente es recta. En este artículo veremos problemas relacionados con el plano de coordenadas incluidos en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Estas son tareas para:
— determinación del coeficiente angular de una recta cuando se conocen dos puntos por los que pasa;
— determinación de la abscisa u ordenada del punto de intersección de dos rectas en un plano.
En esta sección se describió qué es la abscisa y la ordenada de un punto. En él ya hemos considerado varios problemas relacionados con el plano coordenado. ¿Qué necesita comprender para el tipo de problema que se está considerando? Un poco de teoría.
La ecuación de una línea recta en el plano coordenado tiene la forma:
Dónde k – esta es la pendiente de la recta.
¡Próximo momento! La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta. Este es el ángulo entre una línea dada y el eje.Oh.
Varía de 0 a 180 grados.
Es decir, si reducimos la ecuación de una recta a la forma y = kx + b, entonces siempre podemos determinar el coeficiente k (coeficiente de pendiente).
Además, si basándonos en la condición podemos determinar la tangente del ángulo de inclinación de una línea recta, entonces encontraremos su coeficiente angular.
¡Siguiente punto teórico!Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.La fórmula se ve así:
Consideremos las tareas (similares a las tareas del banco de tareas abierto):
Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos con coordenadas (–6;0) y (0;6).
En este problema, la forma más racional de resolverlo es encontrar la tangente del ángulo entre el eje x y la línea recta dada. Se sabe que es igual a la pendiente. Consideremos un triángulo rectángulo formado por una recta y los ejes x y oy:
La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
*Ambos catetos son iguales a seis (estas son sus longitudes).
Por supuesto, este problema se puede resolver utilizando la fórmula para encontrar la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados. Pero esta será una solución a más largo plazo.
Respuesta: 1
Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (5;0) y (0;5).
Nuestros puntos tienen coordenadas (5;0) y (0;5). Medio,
Pongamos la fórmula en la forma. y = kx + b
Encontramos que la pendiente k = – 1.
Respuesta: –1
Derecho a pasa por puntos con coordenadas (0;6) y (8;0). Derecho b pasa por el punto de coordenadas (0;10) y es paralela a la recta a b con eje Vaya.
En este problema puedes encontrar la ecuación de la recta. a, determine la pendiente para ello. en la linea recta b la pendiente será la misma ya que son paralelos. A continuación puedes encontrar la ecuación de la recta. b. Y luego, sustituyendo el valor y = 0, encuentra la abscisa. ¡PERO!
En este caso, es más fácil utilizar la propiedad de semejanza de triángulos.
Los triángulos rectángulos formados por estas líneas (paralelas) y ejes de coordenadas son similares, lo que significa que las proporciones de sus lados correspondientes son iguales.
La abscisa requerida es 40/3.
Respuesta: 40/3
Derecho a pasa por puntos con coordenadas (0;8) y (–12;0). Derecho b pasa por el punto de coordenadas (0; –12) y es paralela a la recta a. Encuentra la abscisa del punto de intersección de la recta. b con eje Vaya.
Para este problema, la forma más racional de resolverlo es utilizar la propiedad de semejanza de los triángulos. Pero lo solucionaremos de otra forma.
Conocemos los puntos por los que pasa la recta. A. Podemos escribir una ecuación para una línea recta. La fórmula para la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados tiene la forma:
Por condición, los puntos tienen coordenadas (0;8) y (–12;0). Medio,
Vamos a recordarlo y = kx + b:
Tengo esa esquina k = 2/3.
*El coeficiente del ángulo se puede encontrar a través de la tangente del ángulo en un triángulo rectángulo con catetos 8 y 12.
Se sabe que las rectas paralelas tienen coeficientes angulares iguales. Esto significa que la ecuación de la recta que pasa por el punto (0;-12) tiene la forma:
Encuentra el valor b Podemos sustituir la abscisa y la ordenada en la ecuación:
Por tanto, la línea recta queda así:
Ahora, para encontrar la abscisa deseada del punto de intersección de la línea con el eje x, debes sustituir y = 0:
Respuesta: 18
Encuentra la ordenada del punto de intersección del eje. Vaya y una recta que pasa por el punto B(10;12) y paralela a una recta que pasa por el origen y el punto A(10;24).
Encontremos la ecuación de una recta que pasa por puntos de coordenadas (0;0) y (10;24).
La fórmula para la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados tiene la forma:
Nuestros puntos tienen coordenadas (0;0) y (10;24). Medio,
Vamos a recordarlo y = kx + b
Los coeficientes de los ángulos de las rectas paralelas son iguales. Esto significa que la ecuación de la recta que pasa por el punto B(10;12) tiene la forma:
Significado b Encontremos sustituyendo las coordenadas del punto B(10;12) en esta ecuación:
Obtenemos la ecuación de la recta:
Para encontrar la ordenada del punto de intersección de esta recta con el eje Vaya debe sustituirse en la ecuación encontrada incógnita= 0:
*La solución más sencilla. Usando traslación paralela, desplazamos esta línea hacia abajo a lo largo del eje Vaya al punto (10;12). El desplazamiento se produce en 12 unidades, es decir, el punto A(10;24) “se movió” al punto B(10;12) y el punto O(0;0) se “movió” al punto (0;–12). Esto significa que la línea recta resultante cruzará el eje. Vaya en el punto (0;–12).
La ordenada requerida es –12.
Respuesta: –12
Encuentra la ordenada del punto de intersección de la recta dada por la ecuación
3x + 2у = 6, con eje Oye.
Coordenada del punto de intersección de una recta dada con un eje Vaya tiene la forma (0; en). Sustituyamos la abscisa en la ecuación. incógnita= 0, y encuentra la ordenada:
La ordenada del punto de intersección de la recta y el eje. Vaya es igual a 3.
*El sistema está resuelto:
Respuesta: 3
Encuentra la ordenada del punto de intersección de las rectas dadas por las ecuaciones.
3x + 2y = 6 Y y = – x.
Cuando se dan dos rectas, y la cuestión es encontrar las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, se resuelve un sistema de estas ecuaciones:
En la primera ecuación sustituimos - incógnita en lugar de en:
La ordenada es igual a menos seis.
Respuesta: – 6
Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos con coordenadas (–2;0) y (0;2).
Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2;0) y (0;2).
La línea a pasa por puntos con coordenadas (0;4) y (6;0). La línea b pasa por el punto de coordenadas (0;8) y es paralela a la línea a. Encuentra la abscisa del punto de intersección de la línea b con el eje Ox.
Encuentre la ordenada del punto de intersección del eje oy y la recta que pasa por el punto B (6;4) y paralela a la recta que pasa por el origen y el punto A (6;8).
1. Es necesario entender claramente que el coeficiente angular de una recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta. Esto le ayudará a resolver muchos problemas de este tipo.
2. Se debe entender la fórmula para encontrar una línea recta que pasa por dos puntos dados. Con su ayuda siempre encontrarás la ecuación de una recta si se dan las coordenadas de sus dos puntos.
3. Recuerda que las pendientes de las rectas paralelas son iguales.
4. Como comprenderá, en algunos problemas es conveniente utilizar la función de similitud de triángulos. Los problemas se resuelven prácticamente de forma oral.
5. Los problemas en los que se dan dos rectas y se requiere encontrar la abscisa u ordenada del punto de su intersección se pueden resolver gráficamente. Es decir, constrúyalos en un plano de coordenadas (en una hoja de papel en un cuadrado) y determine visualmente el punto de intersección. *Pero este método no siempre es aplicable.
6. Y por último. Si se dan una línea recta y las coordenadas de los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas, entonces en tales problemas es conveniente encontrar el coeficiente angular encontrando la tangente del ángulo en el triángulo rectángulo formado. A continuación se muestra esquemáticamente cómo “ver” este triángulo con diferentes posiciones de líneas rectas en el plano:
>> Ángulo recto de 0 a 90 grados<<
>> Ángulo recto de 90 a 180 grados<<
Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!
Saludos cordiales, Alejandro.
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
La derivada de una función es uno de los temas difíciles del plan de estudios escolar. No todos los graduados responderán a la pregunta de qué es un derivado.
Este artículo explica de forma sencilla y clara qué es un derivado y por qué es necesario.. Ahora no nos esforzaremos por lograr un rigor matemático en la presentación. Lo más importante es entender el significado.
Recordemos la definición:
La derivada es la tasa de cambio de una función.
La figura muestra gráficas de tres funciones. ¿Cuál crees que está creciendo más rápido?
La respuesta es obvia: la tercera. Tiene la tasa de cambio más alta, es decir, la derivada más grande.
Aquí hay otro ejemplo.
Kostya, Grisha y Matvey consiguieron trabajo al mismo tiempo. Veamos cómo cambiaron sus ingresos durante el año:
El gráfico muestra todo a la vez, ¿no? Los ingresos de Kostya se duplicaron con creces en seis meses. Y los ingresos de Grisha también aumentaron, pero sólo un poco. Y los ingresos de Matvey disminuyeron a cero. Las condiciones iniciales son las mismas, pero la tasa de cambio de la función, es decir derivado, - diferente. En cuanto a Matvey, su derivada de ingresos es en general negativa.
Intuitivamente, estimamos fácilmente la tasa de cambio de una función. ¿Pero cómo hacemos esto?
Lo que realmente estamos viendo es qué tan pronunciado sube (o baja) la gráfica de una función. En otras palabras, ¿con qué rapidez cambia y cuando cambia x? Obviamente, la misma función en diferentes puntos puede tener diferentes valores de derivada, es decir, puede cambiar más rápido o más lentamente.
La derivada de una función se denota.
Le mostraremos cómo encontrarlo usando un gráfico.
Se ha dibujado una gráfica de alguna función. Tomemos un punto con una abscisa. Dibujemos una tangente a la gráfica de la función en este punto. Queremos estimar qué tan pronunciado sube la gráfica de una función. Un valor conveniente para esto es tangente del ángulo tangente.
La derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo tangente trazado a la gráfica de la función en ese punto.
Tenga en cuenta que como ángulo de inclinación de la tangente tomamos el ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje.
A veces los estudiantes preguntan qué es una tangente a la gráfica de una función. Se trata de una recta que tiene un único punto común con la gráfica de este apartado, y como se muestra en nuestra figura. Parece una tangente a un círculo.
Encontrémoslo. Recordamos que la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es igual a la razón del lado opuesto al lado adyacente. Del triángulo:
Encontramos la derivada usando una gráfica sin siquiera conocer la fórmula de la función. Estos problemas se encuentran a menudo en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas bajo el número.
Hay otra relación importante. Recordemos que la recta viene dada por la ecuación
La cantidad en esta ecuación se llama pendiente de una recta. Es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta al eje.
.
lo entendemos
Recordemos esta fórmula. Expresa el significado geométrico de la derivada.
La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en ese punto.
En otras palabras, la derivada es igual a la tangente del ángulo tangente.
Ya hemos dicho que una misma función puede tener distintas derivadas en distintos puntos. Veamos cómo se relaciona la derivada con el comportamiento de la función.
Dibujemos una gráfica de alguna función. Dejemos que esta función aumente en algunas áreas y disminuya en otras, y a diferentes ritmos. Y dejemos que esta función tenga puntos máximos y mínimos.
En un punto la función aumenta. Una tangente a la gráfica dibujada en un punto forma un ángulo agudo; con dirección de eje positiva. Esto significa que la derivada en el punto es positiva.
En ese momento nuestra función disminuye. La tangente en este punto forma un ángulo obtuso; con dirección de eje positiva. Como la tangente de un ángulo obtuso es negativa, la derivada en el punto es negativa.
Esto es lo que sucede:
Si una función es creciente, su derivada es positiva.
Si disminuye, su derivada es negativa.
¿Qué pasará en los puntos máximo y mínimo? Vemos que en los puntos (punto máximo) y (punto mínimo) la tangente es horizontal. Por tanto, la tangente de la tangente en estos puntos es cero y la derivada también es cero.
Punto - punto máximo. En este punto, el aumento de la función se reemplaza por una disminución. En consecuencia, el signo de la derivada cambia en el punto de “más” a “menos”.
En el punto, el punto mínimo, la derivada también es cero, pero su signo cambia de "menos" a "más".
Conclusión: utilizando la derivada podemos averiguar todo lo que nos interesa sobre el comportamiento de una función.
Si la derivada es positiva, entonces la función aumenta.
Si la derivada es negativa, entonces la función disminuye.
En el punto máximo, la derivada es cero y cambia de signo de “más” a “menos”.
En el punto mínimo, la derivada también es cero y cambia de signo de menos a más.
Escribamos estas conclusiones en forma de tabla:
| aumenta | punto máximo | disminuye | punto mínimo | aumenta | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Hagamos dos pequeñas aclaraciones. Necesitará uno de ellos para resolver el problema. Otro, en el primer año, con un estudio más serio de funciones y derivadas.
Es posible que la derivada de una función en algún punto sea igual a cero, pero la función no tiene ni máximo ni mínimo en ese punto. Este es el llamado :
En un punto, la tangente a la gráfica es horizontal y la derivada es cero. Sin embargo, antes del punto la función aumentó y después del punto continúa aumentando. El signo de la derivada no cambia: sigue siendo positivo como antes.
También sucede que en el punto de máximo o mínimo la derivada no existe. En el gráfico, esto corresponde a una ruptura brusca, cuando es imposible trazar una tangente en un punto dado.
¿Cómo encontrar la derivada si la función no viene dada por una gráfica, sino por una fórmula? En este caso se aplica
La recta y=f(x) será tangente a la gráfica que se muestra en la figura en el punto x0 si pasa por el punto de coordenadas (x0; f(x0)) y tiene un coeficiente angular f"(x0). tal coeficiente, Conociendo las características de una tangente, no es difícil.
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- - computadora portátil;
- - transportador;
- - brújula;
- - bolígrafo.
Instrucciones
Si el valor f'(x0) no existe, entonces no hay tangente o corre verticalmente. En vista de esto, la presencia de una derivada de la función en el punto x0 se debe a la existencia de una tangente no vertical a la gráfica de la función en el punto (x0, f(x0)). En este caso, el coeficiente angular de la tangente será igual a f "(x0). Por tanto, queda claro el significado geométrico de la derivada: el cálculo del coeficiente angular de la tangente.
Dibuja tangentes adicionales que estarían en contacto con la gráfica de la función en los puntos x1, x2 y x3, y también marca los ángulos formados por estas tangentes con el eje x (este ángulo se cuenta en la dirección positiva desde el eje hasta el recta tangente). Por ejemplo, el ángulo, es decir α1, será agudo, el segundo (α2) será obtuso y el tercero (α3) será cero, ya que la recta tangente es paralela al eje OX. En este caso, la tangente de un ángulo obtuso es negativa, la tangente de un ángulo agudo es positiva y en tg0 el resultado es cero.
tenga en cuenta
Determina correctamente el ángulo que forma la tangente. Para hacer esto, use un transportador.
Consejos útiles
Dos rectas inclinadas serán paralelas si sus coeficientes angulares son iguales; perpendicular si el producto de los coeficientes angulares de estas tangentes es igual a -1.
Fuentes:
- Tangente a la gráfica de una función.
El coseno, al igual que el seno, se clasifica como una función trigonométrica "directa". La tangente (junto con la cotangente) se clasifica como otro par llamado “derivados”. Existen varias definiciones de estas funciones que permiten encontrar la tangente dada por un valor de coseno conocido del mismo valor.
Instrucciones
Resta el cociente de la unidad por el valor elevado al coseno del ángulo dado y extrae la raíz cuadrada del resultado; este será el valor tangente del ángulo, expresado por su coseno: tg(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Tenga en cuenta que en la fórmula el coseno está en el denominador de la fracción. La imposibilidad de dividir por cero impide el uso de esta expresión para ángulos iguales a 90°, así como para aquellos que difieren de este valor por números que sean múltiplos de 180° (270°, 450°, -90°, etc.).
Existe una forma alternativa de calcular la tangente a partir de un valor de coseno conocido. Se puede utilizar si no hay restricciones para el uso de otros. Para implementar este método, primero determine el valor del ángulo a partir de un valor de coseno conocido; esto se puede hacer usando la función arcocoseno. Luego simplemente calcula la tangente del ángulo del valor resultante. En general, este algoritmo se puede escribir de la siguiente manera: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).
También existe una opción exótica que utiliza la definición de coseno y tangente a través de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. En esta definición, el coseno corresponde a la relación entre la longitud del cateto adyacente al ángulo considerado y la longitud de la hipotenusa. Conociendo el valor del coseno, puedes seleccionar las longitudes correspondientes de estos dos lados. Por ejemplo, si cos(α) = 0,5, entonces el adyacente se puede tomar igual a 10 cm y la hipotenusa a 20 cm. Los números específicos no importan aquí: obtendrá los mismos números correctos con cualquier valor que tenga el mismo valor. Luego, utilizando el teorema de Pitágoras, determine la longitud del lado que falta: el cateto opuesto. Será igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa al cuadrado y el cateto conocido: √(20²-10²)=√300. Por definición, la tangente corresponde a la relación entre las longitudes de los catetos opuestos y adyacentes (√300/10); calcúlala y obtén el valor de tangente encontrado usando la definición clásica de coseno.
Fuentes:
- coseno a través de la fórmula tangente
Una de las funciones trigonométricas, que suele denotarse con las letras tg, aunque también se utiliza tan. La forma más sencilla de representar la tangente es como una razón seno. ángulo a su coseno. Esta es una función periódica impar y no continua, cada ciclo del cual es igual al número Pi, y el punto de ruptura corresponde a la mitad de este número.
