- Para encontrar las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de funciones, debes igualar ambas funciones entre sí, mover todos los términos que contienen $ x $ al lado izquierdo y el resto al lado derecho, y encontrar las raíces de las ecuación resultante.
- El segundo método consiste en crear un sistema de ecuaciones y resolverlo sustituyendo una función por otra.
- El tercer método implica construir funciones gráficamente y determinar visualmente el punto de intersección.
El caso de dos funciones lineales.
Considere dos funciones lineales $ f(x) = k_1 x+m_1 $ y $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Estas funciones se llaman directas. Es bastante fácil construirlos; necesitas tomar dos valores cualesquiera $ x_1 $ y $ x_2 $ y encontrar $ f(x_1) $ y $ (x_2) $. Luego repite lo mismo con la función $g(x)$. A continuación, encuentre visualmente la coordenada del punto de intersección de las gráficas de funciones.
Debes saber que las funciones lineales tienen solo un punto de intersección y solo cuando $ k_1 \neq k_2 $. De lo contrario, en el caso de $ k_1=k_2 $ las funciones son paralelas entre sí, ya que $ k $ es el coeficiente de pendiente. Si $ k_1 \neq k_2 $ pero $ m_1=m_2 $, entonces el punto de intersección será $ M(0;m) $. Es recomendable recordar esta regla para solucionar problemas rápidamente.
| Ejemplo 1 |
| Sean $ f(x) = 2x-5 $ y $ g(x)=x+3 $. Encuentra las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de funciones. |
| Solución |
|
¿Cómo hacer esto? Dado que se presentan dos funciones lineales, lo primero que observamos es el coeficiente de pendiente de ambas funciones $k_1 = 2$ y $k_2 = 1$. Observamos que $ k_1 \neq k_2 $, por lo que hay un punto de intersección. Encontrémoslo usando la ecuación $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Movemos los términos con $ x $ hacia el lado izquierdo, y el resto hacia la derecha: $$ 2x - x = 3+5 $$ Hemos obtenido $ x=8 $ la abscisa del punto de intersección de las gráficas, y ahora encontremos la ordenada. Para hacer esto, sustituyamos $ x = 8 $ en cualquiera de las ecuaciones, ya sea en $ f(x) $ o en $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Entonces, $ M (8;11) $ es el punto de intersección de las gráficas de dos funciones lineales. Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proporcionaremos una solución detallada. Podrás ver el progreso del cálculo y obtener información. ¡Esto te ayudará a obtener tu calificación de tu maestro de manera oportuna! |
| Respuesta |
| $$ M (8;11) $$ |
El caso de dos funciones no lineales.
| Ejemplo 3 |
| Encuentre las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de funciones: $ f(x)=x^2-2x+1 $ y $ g(x)=x^2+1 $ |
| Solución |
|
¿Qué pasa con dos funciones no lineales? El algoritmo es simple: igualamos las ecuaciones entre sí y encontramos las raíces: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Distribuimos términos con y sin $ x $ en diferentes lados de la ecuación: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Se ha encontrado la abscisa del punto deseado, pero no es suficiente. Aún falta la ordenada $y$. Sustituimos $ x = 0 $ en cualquiera de las dos ecuaciones de las condiciones del problema. Por ejemplo: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - punto de intersección de gráficos de funciones |
| Respuesta |
| $$ M (0;1) $$ |
Al resolver algunos problemas geométricos utilizando el método de coordenadas, debes encontrar las coordenadas del punto de intersección de las líneas. La mayoría de las veces hay que buscar las coordenadas del punto de intersección de dos líneas en un plano, pero a veces es necesario determinar las coordenadas del punto de intersección de dos líneas en el espacio. En este artículo nos ocuparemos de encontrar las coordenadas del punto en el que se cruzan dos líneas.
Navegación de páginas.
El punto de intersección de dos rectas es una definición.
Primero definamos el punto de intersección de dos líneas.
En la sección sobre la posición relativa de las rectas en un plano, se muestra que dos rectas en un plano pueden coincidir (y tienen infinitos puntos comunes), o ser paralelas (y dos rectas no tienen puntos comunes), o cruzarse. , teniendo un punto en común. Hay más opciones para la posición relativa de dos líneas en el espacio: pueden coincidir (tener infinitos puntos comunes), pueden ser paralelas (es decir, estar en el mismo plano y no cruzarse), pueden cruzarse (no se encuentran en el mismo plano), y también pueden tener un punto común, es decir, cruzarse. Entonces, dos rectas tanto en el plano como en el espacio se llaman intersecantes si tienen un punto común.
De la definición de líneas que se cruzan se deduce determinar el punto de intersección de líneas: El punto en el que se cruzan dos rectas se llama punto de intersección de estas rectas. En otras palabras, el único punto común de dos líneas que se cruzan es el punto de intersección de estas líneas.
Para mayor claridad, presentamos una ilustración gráfica del punto de intersección de dos líneas rectas en un plano y en el espacio.
Principio de página
Encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas en un plano.
Antes de encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos líneas rectas en un plano usando sus ecuaciones conocidas, considere un problema auxiliar.
oxi a Y b. Asumiremos que directamente a corresponde a una ecuación general de la recta de la forma , y la recta b- tipo . Sea algún punto en el plano, y necesitamos averiguar si el punto es m 0 el punto de intersección de las rectas dadas.
Resolvamos el problema.
Si M0 a Y b, entonces por definición también pertenece a la línea a y recto b, es decir, sus coordenadas deben satisfacer tanto la ecuación como la ecuación. Por lo tanto, necesitamos sustituir las coordenadas del punto. m 0 en las ecuaciones de las líneas dadas y vea si esto da como resultado dos igualdades correctas. Si las coordenadas del punto m 0 satisfacen ambas ecuaciones y , entonces es el punto de intersección de las rectas a Y b, de lo contrario m 0 .
es el punto m 0 con coordenadas (2, -3) punto de intersección de líneas 5x-2y-16=0 Y 2x-5y-19=0?
Si m 0 es de hecho el punto de intersección de las rectas dadas, entonces sus coordenadas satisfacen las ecuaciones de las rectas. Comprobemos esto sustituyendo las coordenadas del punto. m 0 en las ecuaciones dadas:
Tenemos dos igualdades verdaderas, por lo tanto, M 0 (2, -3)- punto de intersección de líneas 5x-2y-16=0 Y 2x-5y-19=0.
Para mayor claridad, presentamos un dibujo que muestra líneas rectas y son visibles las coordenadas de sus puntos de intersección.
si, punto M 0 (2, -3) es el punto de intersección de las rectas 5x-2y-16=0 Y 2x-5y-19=0.
¿Se cruzan las líneas? 5x+3y-1=0 Y 7x-2y+11=0 en el punto M 0 (2, -3)?
Sustituyamos las coordenadas del punto. m 0 en las ecuaciones de líneas rectas, esta acción comprobará si el punto pertenece a m 0 ambas rectas al mismo tiempo:
Desde la segunda ecuación, al sustituir las coordenadas del punto en ella m 0 no se convirtió en una verdadera igualdad, entonces señale m 0 no pertenece a la linea 7x-2y+11=0. De este hecho podemos concluir que el punto m 0 no es el punto de intersección de las rectas dadas.
El dibujo también muestra claramente que el punto m 0 no es el punto de intersección de las líneas 5x+3y-1=0 Y 7x-2y+11=0. Obviamente, las líneas dadas se cruzan en un punto con coordenadas (-1, 2) .
M 0 (2, -3) no es el punto de intersección de las líneas 5x+3y-1=0 Y 7x-2y+11=0.
Ahora podemos pasar a la tarea de encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas usando las ecuaciones de rectas dadas en un plano.
Sea un sistema de coordenadas cartesiano rectangular fijado en el plano. oxi y dadas dos líneas que se cruzan a Y b ecuaciones y respectivamente. Denotaremos el punto de intersección de las rectas dadas como m 0 y resuelve el siguiente problema: encuentra las coordenadas del punto de intersección de dos rectas a Y b según las ecuaciones conocidas de estas rectas y .
Punto M0 pertenece a cada una de las líneas que se cruzan a Y b por definición. Entonces las coordenadas del punto de intersección de las líneas. a Y b satisfacen tanto la ecuación como la ecuación. Por tanto, las coordenadas del punto de intersección de dos rectas. a Y b son la solución de un sistema de ecuaciones (ver el artículo resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales).
Por tanto, para encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas definidas en un plano mediante ecuaciones generales, es necesario resolver un sistema compuesto por ecuaciones de rectas dadas.
Veamos la solución de ejemplo.
Encuentre el punto de intersección de dos líneas definidas en un sistema de coordenadas rectangular en un plano mediante las ecuaciones x-9y+14=0 Y 5x-2y-16=0.
Nos dan dos ecuaciones generales de rectas, hagamos un sistema con ellas: . Las soluciones al sistema de ecuaciones resultante se encuentran fácilmente resolviendo su primera ecuación con respecto a la variable incógnita y sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:
La solución encontrada al sistema de ecuaciones nos da las coordenadas deseadas del punto de intersección de dos líneas.
M 0 (4, 2)– punto de intersección de líneas x-9y+14=0 Y 5x-2y-16=0.
Entonces, encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas definidas por ecuaciones generales en un plano se reduce a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables desconocidas. Pero, ¿qué pasa si las líneas en un plano no están dadas por ecuaciones generales, sino por ecuaciones de otro tipo (ver tipos de ecuaciones de una línea en un plano)? En estos casos, primero puede reducir las ecuaciones de las rectas a una forma general y solo después encontrar las coordenadas del punto de intersección.
Antes de encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas dadas, reducimos sus ecuaciones a una forma general. La transición de las ecuaciones paramétricas de una recta a la ecuación general de esta recta se ve así:
Ahora realicemos las acciones necesarias con la ecuación canónica de la recta:
Por tanto, las coordenadas deseadas del punto de intersección de las rectas son una solución a un sistema de ecuaciones de la forma. Usamos el método de Cramer para resolverlo:
M 0 (-5, 1)
Hay otra forma de encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas en un plano. Es conveniente utilizarlo cuando una de las rectas está dada por ecuaciones paramétricas de la forma y la otra por una ecuación lineal de otro tipo. En este caso, en otra ecuación en lugar de variables. incógnita Y y puedes sustituir las expresiones y , de donde puedes obtener el valor que corresponde al punto de intersección de las rectas dadas. En este caso, el punto de intersección de las rectas tiene coordenadas.
Encontremos las coordenadas del punto de intersección de las líneas del ejemplo anterior usando este método.
Determine las coordenadas del punto de intersección de las rectas y .
Sustituyamos la expresión de la línea recta en la ecuación:
Resolviendo la ecuación resultante, obtenemos. Este valor corresponde al punto común de las rectas y . Calculamos las coordenadas del punto de intersección sustituyendo una línea recta en las ecuaciones paramétricas:
.
M 0 (-5, 1).
Para completar el cuadro, conviene discutir un punto más.
Antes de encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos líneas en un plano, es útil asegurarse de que las líneas dadas realmente se crucen. Si resulta que las líneas originales coinciden o son paralelas, entonces no se puede tratar de encontrar las coordenadas del punto de intersección de dichas líneas.
Por supuesto, puede prescindir de dicha verificación, pero cree inmediatamente un sistema de ecuaciones de la forma y resuélvalo. Si un sistema de ecuaciones tiene una solución única, entonces da las coordenadas del punto en el que se cruzan las líneas originales. Si el sistema de ecuaciones no tiene soluciones, entonces podemos concluir que las rectas originales son paralelas (ya que no existe tal par de números reales incógnita Y y, que satisfaría simultáneamente ambas ecuaciones de las rectas dadas). De la presencia de un número infinito de soluciones a un sistema de ecuaciones se deduce que las rectas originales tienen infinitos puntos comunes, es decir, coinciden.
Veamos ejemplos que se ajustan a estas situaciones.
Descubra si las rectas se cruzan y, si se cruzan, encuentre las coordenadas del punto de intersección.
Las ecuaciones de rectas dadas corresponden a las ecuaciones y . Resolvamos el sistema formado por estas ecuaciones.
Es obvio que las ecuaciones del sistema se expresan linealmente entre sí (la segunda ecuación del sistema se obtiene de la primera multiplicando ambas partes por 4 ), por tanto, el sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones. Por tanto, las ecuaciones definen la misma recta y no podemos hablar de encontrar las coordenadas del punto de intersección de estas rectas.
ecuaciones y están definidas en un sistema de coordenadas rectangular. oxi la misma línea recta, por lo que no podemos hablar de encontrar las coordenadas del punto de intersección.
Encuentra las coordenadas del punto de intersección de las rectas y, si es posible.
La condición del problema permite que las líneas no se crucen. Creemos un sistema a partir de estas ecuaciones. Apliquemos el método de Gauss para resolverlo, ya que nos permite establecer la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de ecuaciones, y si es compatible encontrar una solución:
La última ecuación del sistema después del paso directo del método de Gauss se convirtió en una igualdad incorrecta, por lo tanto, el sistema de ecuaciones no tiene soluciones. De esto podemos concluir que las rectas originales son paralelas y no podemos hablar de encontrar las coordenadas del punto de intersección de estas rectas.
Segunda solución.
Averigüemos si las líneas dadas se cruzan.
Un vector normal es una recta y un vector es un vector normal de una recta. Comprobemos si la condición de colinealidad de los vectores y : la igualdad es verdadera, ya que , por tanto, los vectores normales de las rectas dadas son colineales. Entonces estas rectas son paralelas o coincidentes. Por tanto, no podemos encontrar las coordenadas del punto de intersección de las líneas originales.
es imposible encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas dadas, ya que estas rectas son paralelas.
Encuentra las coordenadas del punto de intersección de las rectas. 2x-1=0 y , si se cruzan.
Compongamos un sistema de ecuaciones que sean ecuaciones generales de rectas dadas: . El determinante de la matriz principal de este sistema de ecuaciones es distinto de cero, por lo tanto, el sistema de ecuaciones tiene una solución única, que indica la intersección de las rectas dadas.
Para encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas, necesitamos resolver el sistema:
La solución resultante nos da las coordenadas del punto de intersección de las rectas, es decir, el punto de intersección de las rectas 2x-1=0 Y .
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Encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas en el espacio.
Las coordenadas del punto de intersección de dos líneas en el espacio tridimensional se encuentran de manera similar.
Deja que las líneas que se cruzan a Y b especificado en un sistema de coordenadas rectangular Oxyz ecuaciones de dos planos que se cruzan, es decir, una línea recta a está determinada por un sistema de la forma , y la recta b- . Dejar m 0– punto de intersección de líneas a Y b. Entonces señala m 0 por definición también pertenece a la línea a y recto b, por tanto, sus coordenadas satisfacen las ecuaciones de ambas rectas. Así, las coordenadas del punto de intersección de las líneas. a Y b representar una solución a un sistema de ecuaciones lineales de la forma . Aquí necesitaremos información de la sección sobre resolución de sistemas de ecuaciones lineales en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas.
Veamos las soluciones a los ejemplos.
Encuentra las coordenadas del punto de intersección de dos rectas definidas en el espacio por las ecuaciones y .
Compongamos un sistema de ecuaciones a partir de las ecuaciones de las rectas dadas: . La solución de este sistema nos dará las coordenadas deseadas del punto de intersección de líneas en el espacio. Encontremos la solución al sistema escrito de ecuaciones.
La matriz principal del sistema tiene la forma , y la extendida - .
Determinemos el rango de la matriz. A y rango de matriz t. Usamos el método de menores limítrofes, pero no describiremos en detalle el cálculo de determinantes (si es necesario, consulte el artículo Cálculo del determinante de una matriz):
Por tanto, el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz extendida y es igual a tres.
En consecuencia, el sistema de ecuaciones tiene una solución única.
Tomaremos el determinante como base menor, por lo que la última ecuación debe excluirse del sistema de ecuaciones, ya que no participa en la formación de la base menor. Entonces,
La solución al sistema resultante es fácil de encontrar:
Por tanto, el punto de intersección de las rectas tiene coordenadas. (1, -3, 0) .
(1, -3, 0) .
Cabe señalar que el sistema de ecuaciones tiene solución única si y sólo si las rectas a Y b intersecarse. si es heterosexual A Y b paralelas o cruzadas, entonces el último sistema de ecuaciones no tiene soluciones, ya que en este caso las rectas no tienen puntos comunes. si es heterosexual a Y b coinciden, entonces tienen un número infinito de puntos comunes, por lo tanto, el sistema de ecuaciones indicado tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, en estos casos no podemos hablar de encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas, ya que las rectas no se cruzan.
Por lo tanto, si no sabemos de antemano si las líneas dadas se cruzan a Y b o no, entonces es razonable crear un sistema de ecuaciones de la forma y resolverlo mediante el método de Gauss. Si obtenemos una solución única, corresponderá a las coordenadas del punto de intersección de las líneas. a Y b. Si el sistema resulta ser inconsistente, entonces la acción directa a Y b no se crucen. Si el sistema tiene un número infinito de soluciones, entonces las rectas a Y b fósforo.
Puede prescindir del método gaussiano. Alternativamente, puede calcular los rangos de las matrices principal y extendida de este sistema y, basándose en los datos obtenidos y el teorema de Kronecker-Capelli, concluir la existencia de una única solución, o la existencia de muchas soluciones, o la ausencia de soluciones. Es una cuestión de gustos.
Si las líneas se cruzan, entonces determine las coordenadas del punto de intersección.
Creemos un sistema a partir de las ecuaciones dadas: . Resolvámoslo usando el método gaussiano en forma matricial:
Quedó claro que el sistema de ecuaciones no tiene soluciones, por lo tanto, las rectas dadas no se cruzan y no se puede tratar de encontrar las coordenadas del punto de intersección de estas rectas.
No podemos encontrar las coordenadas del punto de intersección de las líneas dadas, ya que estas líneas no se cruzan.
Cuando las líneas que se cruzan están dadas por ecuaciones canónicas de una línea en el espacio o ecuaciones paramétricas de una línea en el espacio, primero se deben obtener sus ecuaciones en forma de dos planos que se cruzan, y solo después encontrar las coordenadas del punto de intersección.
Dos líneas que se cruzan están definidas en un sistema de coordenadas rectangular. Oxyz ecuaciones y . Encuentra las coordenadas del punto de intersección de estas líneas.
Definamos las líneas rectas iniciales mediante las ecuaciones de dos planos que se cruzan:
Para encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas, queda por resolver el sistema de ecuaciones. El rango de la matriz principal de este sistema es igual al rango de la matriz extendida y es igual a tres (recomendamos verificar este hecho). Tomemos como base menor; por lo tanto, podemos eliminar la última ecuación del sistema. Habiendo resuelto el sistema resultante utilizando cualquier método (por ejemplo, el método de Cramer), obtenemos la solución. Por tanto, el punto de intersección de las rectas tiene coordenadas. (-2, 3, -5) .
Punto de intersección
Se nos dan dos rectas, definidas por sus coeficientes y . Necesitas encontrar su punto de intersección o descubrir que las líneas son paralelas.
Solución
Si dos rectas no son paralelas, entonces se cortan. Para encontrar el punto de intersección, basta con crear un sistema de dos ecuaciones lineales y resolverlo:
Usando la fórmula de Cramer, inmediatamente encontramos una solución al sistema, que será la deseada punto de intersección:
Si el denominador es cero, es decir
entonces el sistema no tiene soluciones (directas paralelo y no coinciden) o tiene infinitos (directos fósforo). Si es necesario distinguir entre estos dos casos, hay que comprobar que los coeficientes de las rectas sean proporcionales con el mismo coeficiente de proporcionalidad que los coeficientes y , para lo cual basta con calcular los dos determinantes si ambos lo son; igual a cero, entonces las líneas coinciden:
Implementación
estructura pt(doble x, y;); línea de estructura (doble a, b, c;); EPS doble constante =1e-9; doble det (doble a, doble b, doble c, doble d)(retorno a * d - b * c;) bool intersección (línea m, línea n, pt y res)(doble zn = det (m.a, m.b, n.a , n.b);si(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}
Lección de la serie “ Algoritmos geométricos»
Hola querido lector.
Consejo 1: Cómo encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos líneas.
Escribamos tres funciones nuevas más.
La función LinesCross() determinará si intersecarse si dos segmento. En él, la posición relativa de los segmentos se determina mediante productos vectoriales. Para calcular productos vectoriales, escribiremos una función: VektorMulti().
La función RealLess() se utilizará para implementar la operación de comparación "<” (строго меньше) для вещественных чисел.
Tarea 1. Dos segmentos están dados por sus coordenadas. Escribe un programa que determine ¿Se cruzan estos segmentos? sin encontrar el punto de intersección.
Solución
. El segundo está dado por puntos.
Considere el segmento y los puntos y .
El punto se encuentra a la izquierda de la recta, para ello el producto vectorial 
> 0, ya que los vectores están orientados positivamente.
El punto está ubicado a la derecha de la línea, para la cual el producto vectorial es 
< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.
Para que los puntos y se encuentren en lados opuestos de la recta, es suficiente que se cumpla la condición< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).
Se puede realizar un razonamiento similar para el segmento y los puntos y .
Entonces si 
, entonces los segmentos se cruzan.
Para comprobar esta condición, se utiliza la función LinesCross() y la función VektorMulti() para calcular productos vectoriales.
ax, ay – coordenadas del primer vector,
bx, by – coordenadas del segundo vector.
Programa geometr4; (¿Se cruzan 2 segmentos?) Const _Eps: Real=1e-4; (precisión del cálculo) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;función RealLess(Const a, b: Real): booleano; (Estrictamente menor que) comenzar RealLess:= b-a> _Eps end; Función (RealLess)VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real; (ax,ay - coordenadas a bx,by - coordenadas b) comenzar vektormulti:= ax*by-bx*ay; fin; Líneas de función Cruz (x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4: real): booleano; (¿Se cruzan los segmentos?) start v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vectormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vectormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vectormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); si RealLess(v1*v2,0) y RealLess(v3*v4,0) (v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.
Resultados de la ejecución del programa:
Ingrese las coordenadas de los segmentos: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
Sí.
Escribimos un programa que determina si los segmentos especificados por sus coordenadas se cruzan.
En la próxima lección crearemos un algoritmo que se puede utilizar para determinar si un punto se encuentra dentro de un triángulo.
Estimado lector.
Ya se ha familiarizado con varias lecciones de la serie Algoritmos geométricos. ¿Está todo escrito de forma accesible? Estaré muy agradecido si deja comentarios sobre estas lecciones. Quizás todavía sea necesario mejorar algo.
Atentamente, Vera Gospodarets.
Se dan dos segmentos. El primero está dado por puntos. P 1 (x 1; y 1) Y P2 (x2;y2). El segundo está dado por puntos. P3 (x3;y3) Y P4 (x4;y4).
La posición relativa de los segmentos se puede comprobar mediante productos vectoriales: 
Considere el segmento P3 P4 y puntos P 1 Y P2.
Punto P 1 se encuentra a la izquierda de la línea P3 P4, para ella el producto vectorial v 1 > 0, ya que los vectores están orientados positivamente.
Punto P2 ubicado a la derecha de la línea, para ello el producto vectorial v 2< 0
, ya que los vectores están orientados negativamente.
Para hacer los puntos P 1 Y P2 se encuentran en lados opuestos de una línea recta P3 P4, es suficiente que se cumpla la condición v 1 v 2< 0 (los productos vectoriales tenían signos opuestos).
Se puede aplicar un razonamiento similar para el segmento P 1 P 2 y puntos P 3 Y P 4.
Entonces si v 1 v 2< 0 Y v 3 v 4< 0 , entonces los segmentos se cruzan.
El producto cruzado de dos vectores se calcula mediante la fórmula:
Dónde:
hacha, sí— coordenadas del primer vector,
bx, por— coordenadas del segundo vector.
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos diferentes especificados por sus coordenadas.
Sean dos puntos no coincidentes en una recta: P 1 con coordenadas ( x1 ;y1) Y P2 con coordenadas (x2; y2).
Intersección de líneas
En consecuencia, un vector con origen en el punto P 1 y terminar en un punto P2 tiene coordenadas (x2-x1, y2-y1). Si P(x, y) es un punto arbitrario en una recta, entonces las coordenadas del vector P 1 P igual (x - x 1, y - y 1).
Usando el producto vectorial, la condición para la colinealidad de los vectores. P 1 P Y P 1 P 2 se puede escribir así:
|P 1 P,P 1 P 2 |=0, es decir. (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
o
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0
La última ecuación se reescribe de la siguiente manera:
hacha + por + c = 0, (1)
Dónde
a = (y 2 -y 1),
segundo = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)
Entonces, la línea recta se puede especificar mediante una ecuación de la forma (1).
¿Cómo encontrar el punto de intersección de líneas?
La solución obvia es resolver el sistema de ecuaciones lineales:
hacha 1 +por 1 =-c 1
hacha 2 +por 2 =-c 2 (2)
Introduzca símbolos:
Aquí D es el determinante del sistema, y Dx, Dy— determinantes obtenidos reemplazando la columna de coeficientes con la incógnita correspondiente por una columna de términos libres. Si re ≠ 0, entonces el sistema (2) es definido, es decir, tiene solución única. Esta solución se puede encontrar utilizando las siguientes fórmulas: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D, que se denominan fórmulas de Cramer. Un recordatorio rápido de cómo se calcula el determinante de segundo orden. El determinante distingue dos diagonales: la principal y la secundaria. La diagonal principal consta de elementos tomados en la dirección desde la esquina superior izquierda del determinante hasta la esquina inferior derecha. Diagonal lateral: desde la parte superior derecha hasta la parte inferior izquierda. El determinante de segundo orden es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.