Lección de la serie “Algoritmos geométricos”

¡Hola querido lector!

Hoy comenzaremos a aprender algoritmos relacionados con la geometría. El hecho es que hay bastantes problemas de Olimpiada en informática relacionados con la geometría computacional, y resolverlos a menudo causa dificultades.

A lo largo de varias lecciones, consideraremos una serie de subtareas elementales en las que se basa la solución de la mayoría de los problemas de geometría computacional.

En esta lección crearemos un programa para encontrar la ecuación de una recta, pasando por dado dos puntos. Para resolver problemas geométricos, necesitamos algunos conocimientos de geometría computacional. Dedicaremos parte de la lección a conocerlos.

Perspectivas de la geometría computacional

La geometría computacional es una rama de la informática que estudia algoritmos para resolver problemas geométricos.

Los datos iniciales para tales problemas pueden ser un conjunto de puntos en un plano, un conjunto de segmentos, un polígono (especificado, por ejemplo, mediante una lista de sus vértices en el sentido de las agujas del reloj), etc.

El resultado puede ser una respuesta a alguna pregunta (como si un punto pertenece a un segmento, si dos segmentos se cruzan, ...), o algún objeto geométrico (por ejemplo, el polígono convexo más pequeño que conecta puntos dados, el área de ​​un polígono, etc.).

Consideraremos problemas de geometría computacional sólo en el plano y sólo en el sistema de coordenadas cartesiano.

Vectores y coordenadas

Para aplicar los métodos de la geometría computacional, es necesario traducir imágenes geométricas al lenguaje de los números. Supondremos que al plano se le da un sistema de coordenadas cartesiano, en el que el sentido de rotación en sentido antihorario se denomina positivo.

Ahora los objetos geométricos reciben una expresión analítica. Entonces, para especificar un punto, basta con indicar sus coordenadas: un par de números (x; y). Un segmento se puede especificar indicando las coordenadas de sus extremos; una línea recta se puede especificar indicando las coordenadas de un par de sus puntos.

Pero nuestra principal herramienta para resolver problemas serán los vectores. Por tanto, permítanme recordar algunos datos sobre ellos.

Segmento AB, lo cual tiene un punto A se considera el comienzo (punto de aplicación), y el punto EN– final, llamado vector AB y se indica con una letra minúscula o en negrita, por ejemplo A .

Para denotar la longitud de un vector (es decir, la longitud del segmento correspondiente), usaremos el símbolo del módulo (por ejemplo,).

Un vector arbitrario tendrá coordenadas iguales a la diferencia entre las coordenadas correspondientes de su final y comienzo:

,

aquí están los puntos A Y B tener coordenadas respectivamente.

Para los cálculos usaremos el concepto. ángulo orientado, es decir, un ángulo que tiene en cuenta la posición relativa de los vectores.

Ángulo orientado entre vectores a Y b positivo si la rotación es del vector a a vector b se realiza en sentido positivo (sentido antihorario) y negativo en el otro caso. Ver Fig.1a, Fig.1b. También se dice que un par de vectores a Y b orientado positivamente (negativamente).

Así, el valor del ángulo orientado depende del orden en que se enumeran los vectores y puede tomar valores en el intervalo.

Muchos problemas de geometría computacional utilizan el concepto de productos vectoriales (sesgados o pseudoescalares) de vectores.

El producto vectorial de los vectores a y b es el producto de las longitudes de estos vectores y el seno del ángulo entre ellos:

.

Producto cruzado de vectores en coordenadas:

La expresión de la derecha es un determinante de segundo orden:

A diferencia de la definición dada en geometría analítica, es un escalar.

El signo del producto vectorial determina la posición de los vectores entre sí:

a Y b orientado positivamente.

Si el valor es , entonces un par de vectores a Y b orientado negativamente.

El producto cruzado de vectores distintos de cero es cero si y sólo si son colineales ( ). Esto significa que se encuentran en la misma línea o en líneas paralelas.

Veamos algunos problemas simples que son necesarios para resolver otros más complejos.

Determinemos la ecuación de una línea recta a partir de las coordenadas de dos puntos.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos diferentes especificados por sus coordenadas.

Sean dados en una recta dos puntos no coincidentes: con coordenadas (x1; y1) y con coordenadas (x2; y2). En consecuencia, un vector que comienza en un punto y termina en un punto tiene coordenadas (x2-x1, y2-y1). Si P(x, y) es un punto arbitrario en nuestra recta, entonces las coordenadas del vector son iguales a (x-x1, y – y1).

Usando el producto vectorial, la condición para la colinealidad de los vectores se puede escribir de la siguiente manera:

Aquellos. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Reescribimos la última ecuación de la siguiente manera:

hacha + por + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Entonces, la línea recta se puede especificar mediante una ecuación de la forma (1).

Problema 1. Se dan las coordenadas de dos puntos. Encuentra su representación en la forma ax + by + c = 0.

En esta lección aprendimos algo de información sobre geometría computacional. Resolvimos el problema de encontrar la ecuación de una recta a partir de las coordenadas de dos puntos.

En la próxima lección, crearemos un programa para encontrar el punto de intersección de dos líneas dadas por nuestras ecuaciones.

Definición. Cualquier línea recta en el plano se puede especificar mediante una ecuación de primer orden.

Hacha + Wu + C = 0,

Además, las constantes A y B no son iguales a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama ecuación general de una recta. Dependiendo de los valores de las constantes A, B y C, son posibles los siguientes casos especiales:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – la recta pasa por el origen

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - línea recta paralela al eje Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – línea recta paralela al eje Oy

B = C = 0, A ≠0 – la línea recta coincide con el eje Oy

A = C = 0, B ≠0 – la línea recta coincide con el eje Ox

La ecuación de una línea recta se puede presentar de diferentes formas dependiendo de las condiciones iniciales dadas.

Ecuación de una recta desde un punto y un vector normal

Definición. En el sistema de coordenadas rectangular cartesiano, un vector con componentes (A, B) es perpendicular a la línea recta dada por la ecuación Ax + By + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 2) perpendicular a (3, -1).

Solución. Con A = 3 y B = -1, compongamos la ecuación de la recta: 3x – y + C = 0. Para encontrar el coeficiente C, sustituimos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante. Obtenemos: 3 – 2 + C = 0, por lo tanto, C = -1. Total: la ecuación requerida: 3x – y – 1 = 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dos puntos M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2) en el espacio, entonces la ecuación de la recta que pasa por estos puntos es:

Si alguno de los denominadores es igual a cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. En el plano, la ecuación de la recta escrita arriba está simplificada:

si x 1 ≠ x 2 y x = x 1, si x 1 = x 2.

La fracción = k se llama pendiente directo.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Solución. Aplicando la fórmula escrita arriba, obtenemos:

Ecuación de una recta desde un punto y pendiente

Si el total Ax + Bu + C = 0, se obtiene la forma:

y designar , entonces la ecuación resultante se llama ecuación de una recta con pendientek.

Ecuación de una recta desde un punto y un vector director

Por analogía con el punto, considerando la ecuación de una línea recta que pasa por un vector normal, se puede ingresar la definición de una línea recta que pasa por un punto y el vector director de la línea recta.

Definición. Cada vector distinto de cero (α 1, α 2), cuyos componentes satisfacen la condición A α 1 + B α 2 = 0 se llama vector director de la línea

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta con un vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).

Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada en la forma: Ax + By + C = 0. De acuerdo con la definición, los coeficientes deben cumplir las condiciones:

1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de la recta tiene la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. para x = 1, y = 2 obtenemos C/ A = -3, es decir ecuación requerida:

Ecuación de una recta en segmentos

Si en la ecuación general de la recta Ах + Ву + С = 0 С≠0, entonces, dividiendo por –С, obtenemos: o

El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente A es la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje Ox, y b– la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje Oy.

Ejemplo. Se da la ecuación general de la recta x – y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta recta en segmentos.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ecuación normal de una recta

Si ambos lados de la ecuación Ax + By + C = 0 se multiplican por el número que se llama factor de normalización, entonces obtenemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ecuación normal de una recta. El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Ejemplo. Se da la ecuación general de la recta 12x – 5y – 65 = 0. Se requiere escribir varios tipos de ecuaciones para esta recta.

ecuación de esta recta en segmentos:

ecuación de esta recta con pendiente: (dividir por 5)

; porque φ = 12/13; pecado φ= -5/13; pag = 5.

Cabe señalar que no todas las líneas rectas se pueden representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, rectas paralelas a los ejes o que pasan por el origen de coordenadas.

Ejemplo. La línea recta corta segmentos positivos iguales en los ejes de coordenadas. Escribe una ecuación de una recta si el área del triángulo formado por estos segmentos es de 8 cm 2.

Solución. La ecuación de la recta tiene la forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. un = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Ejemplo. Escribe una ecuación para una línea recta que pasa por el punto A(-2, -3) y el origen.

Solución. La ecuación de la recta es: , donde x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Ángulo entre líneas rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos rectas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, entonces el ángulo agudo entre estas rectas se definirá como

.

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2. Dos rectas son perpendiculares si k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Las rectas Ax + Bу + C = 0 y A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 son paralelas cuando los coeficientes A 1 = λA, B 1 = λB son proporcionales. Si también C 1 = λC, entonces las rectas coinciden. Las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada

Definición. Una recta que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1) y es perpendicular a la recta y = kx + b está representada por la ecuación:

Distancia de un punto a una línea

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la recta Ax + Bу + C = 0 se determina como

.

Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendicular que cae desde el punto M a una línea recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:

(1)

Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicular a una recta dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego resolviendo obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema ha sido demostrado.

Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π/4.

Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x – 5y + 7 = 0 y 10x + 6y – 3 = 0 son perpendiculares.

Solución. Encontramos: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, por tanto, las rectas son perpendiculares.

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Encuentra la ecuación de la altura extraída del vértice C.

Solución. Encontramos la ecuación del lado AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

La ecuación de altura requerida tiene la forma: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Entonces y = . Porque la altura pasa por el punto C, entonces sus coordenadas satisfacen esta ecuación: de donde b = 17. Total: .

Respuesta: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana.

Por cualquier punto se puede trazar un número infinito de líneas rectas.

A través de dos puntos cualesquiera que no coincidan se puede trazar una sola línea recta.

Dos rectas divergentes en un plano se cortan en un solo punto o están

paralelo (sigue del anterior).

En el espacio tridimensional, hay tres opciones para la posición relativa de dos líneas:

• las líneas se cruzan;

• las líneas son paralelas;

• las líneas rectas se cruzan.

Derecho línea— curva algebraica de primer orden: una línea recta en el sistema de coordenadas cartesiano

está dada en el plano por una ecuación de primer grado (ecuación lineal).

Ecuación general de una recta.

Definición. Cualquier línea recta en el plano se puede especificar mediante una ecuación de primer orden.

Hacha + Wu + C = 0,

y constante A, B no son iguales a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama general

ecuación de una recta. Dependiendo de los valores de las constantes. A, B Y CON Son posibles los siguientes casos especiales:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- una recta pasa por el origen

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- línea recta paralela al eje Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- línea recta paralela al eje Oh

. B = C = 0, A ≠0- la recta coincide con el eje Oh

. A = C = 0, B≠0- la recta coincide con el eje Oh

La ecuación de una línea recta se puede presentar de diferentes formas dependiendo de un determinado

condiciones iniciales.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector normal.

Definición. En un sistema de coordenadas rectangular cartesiano, un vector con componentes (A, B)

perpendicular a la recta dada por la ecuación

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta que pasa por un punto. Un(1, 2) perpendicular al vector (3, -1).

Solución. Con A = 3 y B = -1, compongamos la ecuación de la recta: 3x - y + C = 0. Para encontrar el coeficiente C

Sustituyamos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante. Obtenemos: 3 - 2 + C = 0, por lo tanto.

C = -1. Total: la ecuación requerida: 3x - y - 1 = 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dos puntos en el espacio. M1 (x1, y1, z1) Y M2 (x 2, y 2, z 2), Entonces ecuación de una recta,

pasando por estos puntos:

Si alguno de los denominadores es cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. En

plano, la ecuación de la recta escrita arriba se simplifica:

Si x 1 ≠ x 2 Y x = x 1, Si x1 = x2 .

Fracción =k llamado pendiente directo.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Solución. Aplicando la fórmula escrita arriba, obtenemos:

Ecuación de una recta utilizando un punto y una pendiente.

Si la ecuación general de la recta Hacha + Wu + C = 0 conducir a:

y designar , entonces la ecuación resultante se llama

ecuación de una recta con pendiente k.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector director.

Por analogía con el punto considerando la ecuación de una línea recta que pasa por un vector normal, puedes ingresar a la tarea

una línea recta que pasa por un punto y un vector director de una línea recta.

Definición. Cada vector distinto de cero (α1,α2), cuyos componentes satisfacen la condición

Aα 1 + Bα 2 = 0 llamado vector director de una línea recta.

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta con un vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).

Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada en la forma: Hacha + Por + C = 0. Según la definición,

Los coeficientes deben cumplir las siguientes condiciones:

1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de la recta tiene la forma: Hacha + Ay + C = 0, o x + y + C/A = 0.

en x = 1, y = 2 obtenemos C/A = -3, es decir. ecuación requerida:

x + y - 3 = 0

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la línea recta Ах + Ву + С = 0 С≠0, entonces, dividiendo por -С, obtenemos:

o donde

El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección

recto con eje Oh, A b- coordenada del punto de intersección de la línea con el eje Oh.

Ejemplo. La ecuación general de una línea recta está dada. x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta recta en segmentos.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ecuación normal de una recta.

Si ambos lados de la ecuación Hacha + Wu + C = 0 dividir por número que se llama

factor de normalización, entonces obtenemos

xcosφ + ysenφ - p = 0 -ecuación normal de una recta.

El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que µ*C< 0.

r- la longitud de la perpendicular caída desde el origen hasta la línea recta,

A φ - el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Oh.

Ejemplo. La ecuación general de la recta está dada. 12x - 5y - 65 = 0. Requerido para escribir diferentes tipos de ecuaciones.

esta línea recta.

La ecuación de esta recta en segmentos.:

La ecuación de esta recta con la pendiente.: (dividir por 5)

Ecuación de una recta:

porque φ = 12/13; pecado φ= -5/13; pag = 5.

Cabe señalar que no todas las líneas rectas se pueden representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas,

paralelo a los ejes o pasando por el origen.

El ángulo entre líneas rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos líneas y = k 1 x + segundo 1 , y = k 2 x + segundo 2, entonces el ángulo agudo entre estas líneas

se definirá como

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2. Dos rectas son perpendiculares

Si k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Directo Hacha + Wu + C = 0 Y A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelo cuando los coeficientes son proporcionales

A 1 = λA, B 1 = λB. si también С 1 = λС, entonces las líneas coinciden. Coordenadas del punto de intersección de dos rectas.

se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada.

Definición. Línea que pasa por un punto. M1 (x1, y1) y perpendicular a la recta y = kx + b

representado por la ecuación:

Distancia de un punto a una recta.

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la recta Hacha + Wu + C = 0 definido como:

Prueba. deja el punto M1 (x1, y1)- la base de una perpendicular caída desde un punto METRO para un determinado

directo. Entonces la distancia entre puntos METRO Y m 1:

(1)

Coordenadas x1 Y a las 1 se puede encontrar como solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicularmente

línea recta dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego resolviendo obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema ha sido demostrado.

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado en una dirección determinada. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. El ángulo entre dos líneas rectas. La condición de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas. Determinar el punto de intersección de dos líneas.

1. Ecuación de una recta que pasa por un punto dado A(incógnita 1 , y 1) en una dirección determinada, determinada por la pendiente k,

y - y 1 = k(incógnita - incógnita 1). (1)

Esta ecuación define un lápiz de líneas que pasan por un punto. A(incógnita 1 , y 1), que se llama centro del haz.

2. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos: A(incógnita 1 , y 1) y B(incógnita 2 , y 2), escrito así:

El coeficiente angular de una línea recta que pasa por dos puntos dados está determinado por la fórmula

3. Ángulo entre rectas A Y B es el ángulo que debe girar la primera línea recta A alrededor del punto de intersección de estas líneas en sentido antihorario hasta que coincida con la segunda línea B. Si dos rectas están dadas por ecuaciones con pendiente

y = k 1 incógnita + B 1 ,

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos. en el articulo" " Te prometí que mirarías el segundo método para resolver los problemas presentados de encontrar la derivada, dada una gráfica de una función y una tangente a esta gráfica. Discutiremos este método en ¡No te lo pierdas! Por qué en el siguiente?

El hecho es que allí se utilizará la fórmula de la ecuación de una línea recta. Por supuesto, podríamos simplemente mostrarle esta fórmula y aconsejarle que la aprenda. Pero es mejor explicar de dónde viene (cómo se deriva). ¡Esto es necesario! Si lo olvidas, puedes restaurarlo rápidamente.no será difícil. Todo se describe en detalle a continuación. Entonces tenemos dos puntos A en el plano coordenado.(x 1;y 1) y B(x 2;y 2), se traza una línea recta por los puntos indicados:

Aquí está la fórmula directa en sí:

*Es decir, al sustituir coordenadas específicas de puntos, obtenemos una ecuación de la forma y=kx+b.

**Si simplemente “memorizas” esta fórmula, existe una alta probabilidad de confundirte con los índices al incógnita. Además, los índices se pueden designar de diferentes formas, por ejemplo:

Por eso es importante entender el significado.

Ahora la derivación de esta fórmula. ¡Es muy sencillo!

Los triángulos ABE y ACF son similares en ángulo agudo (el primer signo de similitud de los triángulos rectángulos). De esto se deduce que las proporciones de los elementos correspondientes son iguales, es decir:

Ahora simplemente expresamos estos segmentos a través de la diferencia de coordenadas de los puntos:

Por supuesto, no habrá ningún error si escribes las relaciones de los elementos en otro orden (lo principal es mantener la coherencia):

El resultado será la misma ecuación de la recta. ¡Esto es todo!

Es decir, no importa cómo se designen los puntos (y sus coordenadas), al comprender esta fórmula siempre encontrarás la ecuación de una línea recta.

La fórmula se puede derivar utilizando las propiedades de los vectores, pero el principio de derivación será el mismo, ya que hablaremos de la proporcionalidad de sus coordenadas. En este caso, funciona la misma similitud de triángulos rectángulos. En mi opinión, la conclusión descrita anteriormente es más clara)).

Ver salida usando coordenadas vectoriales >>>

Sea una línea recta en el plano coordenado que pase por dos puntos dados A(x 1;y 1) y B(x 2;y 2). Marquemos un punto arbitrario C en la recta con coordenadas ( incógnita; y). También denotamos dos vectores:

Se sabe que para los vectores que se encuentran en rectas paralelas (o en la misma recta), sus coordenadas correspondientes son proporcionales, es decir:

— anotamos la igualdad de las proporciones de las coordenadas correspondientes:

Veamos un ejemplo:

Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos con coordenadas (2;5) y (7:3).

Ni siquiera tienes que construir la línea recta. Aplicamos la fórmula:

Es importante que comprenda la correspondencia al elaborar la proporción. No puedes equivocarte si escribes:

Respuesta: y=-2/5x+29/5 vamos y=-0.4x+5.8

Para asegurarse de que la ecuación resultante se encuentre correctamente, asegúrese de verificar: sustituya las coordenadas de los datos en la condición de los puntos. Las ecuaciones deben ser correctas.

Eso es todo. Espero que el material te haya sido útil.

Saludos cordiales, Alejandro.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.