El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestra vida. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. El hombre utilizó ecuaciones en la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. Las ecuaciones de potencias o exponenciales son ecuaciones en las que las variables están en potencias y la base es un número. Por ejemplo:
Resolver una ecuación exponencial se reduce a 2 pasos bastante simples:
1. Debes verificar si las bases de la ecuación de la derecha y de la izquierda son iguales. Si los motivos no son los mismos buscamos opciones para solucionar este ejemplo.
2. Una vez que las bases se vuelven iguales, igualamos los grados y resolvemos la nueva ecuación resultante.
Supongamos que tenemos una ecuación exponencial de la siguiente forma:
Vale la pena comenzar a resolver esta ecuación con un análisis de la base. Las bases son diferentes: 2 y 4, pero para resolverlas necesitamos que sean iguales, así que transformamos 4 usando la siguiente fórmula -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
A la ecuación original le sumamos:
Saquémoslo de paréntesis \
Expresemos \
Como los grados son iguales, los descartamos:
Respuesta: \
¿Dónde puedo resolver una ecuación exponencial usando un solucionador en línea?
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Ecuaciones
¿Cómo resolver ecuaciones?
En esta sección recordaremos (o estudiaremos, según a quién elijas) las ecuaciones más elementales. Entonces ¿cuál es la ecuación? En el lenguaje humano, se trata de una especie de expresión matemática en la que hay un signo igual y una incógnita. Que generalmente se indica con la letra. "INCÓGNITA". Resuelve la ecuación- se trata de encontrar valores de x que, cuando se sustituyen en original La expresión nos dará la identidad correcta. Permítanme recordarles que la identidad es una expresión que está fuera de toda duda incluso para una persona que no tiene en absoluto la carga de conocimientos matemáticos. Como 2=2, 0=0, ab=ab, etc. Entonces, ¿cómo resolver ecuaciones? Vamos a resolverlo.
Hay todo tipo de ecuaciones (me sorprende, ¿no?). Pero toda su infinita variedad se puede dividir en sólo cuatro tipos.
4. Todos los demás.)
Todo lo demás, por supuesto, sobre todo, sí...) Esto incluye cúbico, exponencial, logarítmico, trigonométrico y todo tipo de otros. Trabajaremos estrechamente con ellos en las secciones correspondientes.
Diré de inmediato que a veces las ecuaciones de los tres primeros tipos están tan jodidas que ni siquiera las reconoces... Nada. Aprenderemos a desenrollarlos.
¿Y por qué necesitamos estos cuatro tipos? Y luego que ecuaciones lineales resuelto de una manera cuadrado otros, racionales fraccionarios - tercero, A descansar¡No se atreven en absoluto! Bueno, no es que no puedan decidir nada, es que me equivoqué con las matemáticas). Es solo que tienen sus propias técnicas y métodos especiales.
Pero para cualquiera (repito - para ¡cualquier!) las ecuaciones proporcionan una base confiable y a prueba de fallas para su resolución. Funciona en todas partes y siempre. Esta base... Suena aterrador, pero es muy simple. y muy (¡Muy!) importante.
En realidad, la solución de la ecuación consiste en estas mismas transformaciones. 99% Respuesta a la pregunta: " ¿Cómo resolver ecuaciones?" reside precisamente en estas transformaciones. ¿Está clara la pista?)
Transformaciones idénticas de ecuaciones.
EN cualquier ecuaciones Para encontrar la incógnita, debes transformar y simplificar el ejemplo original. Y para que cuando cambie la apariencia la esencia de la ecuación no ha cambiado. Estas transformaciones se llaman idéntico o equivalente.
Tenga en cuenta que estas transformaciones se aplican específicamente a las ecuaciones. También hay transformaciones de identidad en matemáticas. expresiones. Este es otro tema.
Ahora repetiremos todo, todo, todo básico. transformaciones idénticas de ecuaciones.
Básico porque se pueden aplicar a cualquier ecuaciones: lineales, cuadráticas, fraccionarias, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc. etc.
Primera transformación de identidad: Puedes sumar (restar) a ambos lados de cualquier ecuación. cualquier(¡pero uno y el mismo!) número o expresión (¡incluida una expresión con una incógnita!). Esto no cambia la esencia de la ecuación.
Por cierto, usaste constantemente esta transformación, solo pensaste que estabas transfiriendo algunos términos de una parte de la ecuación a otra con un cambio de signo. Tipo:
El caso es familiar, movemos los dos hacia la derecha y obtenemos:
En realidad tu quitado de ambos lados de la ecuación es dos. El resultado es el mismo:
x+2 - 2 = 3 - 2
Mover términos de izquierda a derecha con un cambio de signo es simplemente una versión abreviada de la primera transformación idéntica. ¿Y por qué necesitamos un conocimiento tan profundo? – preguntas. Nada en las ecuaciones. Por el amor de Dios, aguanta. No olvides cambiar el letrero. Pero en las desigualdades, el hábito de la transferencia puede llevar a un callejón sin salida...
Segunda transformación de identidad: ambos lados de la ecuación se pueden multiplicar (dividir) por lo mismo distinto de cero número o expresión. Aquí ya aparece una limitación comprensible: multiplicar por cero es una estupidez y dividir es completamente imposible. Esta es la transformación que usas cuando resuelves algo interesante como
Está vacío incógnita= 2. ¿Cómo lo encontraste? ¿Por selección? ¿O simplemente se te ocurrió? Para no seleccionar y no esperar a recibir información, debe comprender que simplemente está dividió ambos lados de la ecuación por 5. Al dividir el lado izquierdo (5x), se redujo el cinco, quedando X puro. Que es exactamente lo que necesitábamos. Y al dividir el lado derecho de (10) entre cinco, obtenemos, ya sabes, dos.
Eso es todo.
Es curioso, pero estas dos (¡sólo dos!) transformaciones idénticas son la base de la solución. todas las ecuaciones de las matemáticas.¡Guau! Tiene sentido mirar ejemplos de qué y cómo, ¿verdad?)
Ejemplos de transformaciones idénticas de ecuaciones. Principales problemas.
Empecemos con primero transformación de la identidad. Transferir de izquierda a derecha.
Un ejemplo para los más jóvenes.)
Digamos que necesitamos resolver la siguiente ecuación:
3-2x=5-3x
Recordemos el hechizo: "con X - a la izquierda, sin X - ¡a la derecha!" Este hechizo son instrucciones para usar la primera transformación de identidad). ¿Cuál es la expresión con una X a la derecha? 3x? ¡La respuesta es incorrecta! a nuestra derecha - 3x! Menos tresx! Por lo tanto, al moverse hacia la izquierda, el signo cambiará a más. Resultará:
3-2x+3x=5
Entonces, las X se reunieron en una pila. Entremos en los números. Hay un tres a la izquierda. ¿Con qué signo? ¡No se acepta la respuesta “sin ninguno”!) Delante de los tres, en efecto, no se dibuja nada. Y esto significa que antes de los tres hay más. Entonces los matemáticos estuvieron de acuerdo. No hay nada escrito, lo que significa más. Por tanto, el triple será trasladado al lateral derecho con un menos. Obtenemos:
-2x+3x=5-3
Quedan meras bagatelas. A la izquierda, traiga otros similares, a la derecha, cuente. La respuesta llega de inmediato:
En este ejemplo, una transformación de identidad fue suficiente. El segundo no fue necesario. Bueno, está bien.)
Un ejemplo para niños mayores.)
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En el curso de matemáticas de séptimo grado, nos encontramos por primera vez ecuaciones con dos variables, pero se estudian sólo en el contexto de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Por eso se pierden de vista toda una serie de problemas en los que se introducen determinadas condiciones sobre los coeficientes de la ecuación que los limitan. Además, también se ignoran los métodos para resolver problemas como “Resolver una ecuación en números naturales o enteros”, aunque problemas de este tipo se encuentran cada vez con más frecuencia en los materiales del Examen Estatal Unificado y en los exámenes de ingreso.
¿Qué ecuación se llamará ecuación con dos variables?
Entonces, por ejemplo, las ecuaciones 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 o xy = 12 son ecuaciones en dos variables.
Considere la ecuación 2x – y = 1. Se vuelve verdadera cuando x = 2 e y = 3, por lo que este par de valores de variables es una solución a la ecuación en cuestión.
Así, la solución a cualquier ecuación con dos variables es un conjunto de pares ordenados (x; y), valores de las variables que convierten esta ecuación en una verdadera igualdad numérica.
Una ecuación con dos incógnitas puede:
A) tener una solución. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 5y 2 = 0 tiene una solución única (0; 0);
b) tener múltiples soluciones. Por ejemplo, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 tiene 4 soluciones: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) no tienen soluciones. Por ejemplo, la ecuación x 2 + y 2 + 1 = 0 no tiene soluciones;
GRAMO) tener infinitas soluciones. Por ejemplo, x + y = 3. Las soluciones de esta ecuación serán números cuya suma sea igual a 3. El conjunto de soluciones de esta ecuación se puede escribir en la forma (k; 3 – k), donde k es cualquier real número.
Los principales métodos para resolver ecuaciones con dos variables son métodos basados en factorizar expresiones, aislar un cuadrado completo, utilizar las propiedades de una ecuación cuadrática, expresiones limitadas y métodos de estimación. La ecuación generalmente se convierte a una forma a partir de la cual se puede obtener un sistema para encontrar las incógnitas.
Factorización
Ejemplo 1.
Resuelve la ecuación: xy – 2 = 2x – y.
Solución.
Agrupamos los términos para efectos de factorización:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. De cada paréntesis sacamos un factor común:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Tenemos:
y = 2, x – cualquier número real o x = -1, y – cualquier número real.
De este modo, la respuesta es todos los pares de la forma (x; 2), x€R y (-1;y), y€R.
Igualdad de números no negativos a cero.
Ejemplo 2.
Resuelve la ecuación: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Solución.
Agrupamiento:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Ahora cada paréntesis se puede plegar usando la fórmula de diferencia al cuadrado.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
La suma de dos expresiones no negativas es cero sólo si 3x – 2 = 0 y 2y – 3 = 0.
Esto significa x = 2/3 e y = 3/2.
Respuesta: (2/3; 3/2).
Método de estimación
Ejemplo 3.
Resuelve la ecuación: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Solución.
En cada paréntesis destacamos un cuadrado completo:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimemos el significado de las expresiones entre paréntesis.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 y (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, entonces el lado izquierdo de la ecuación es siempre al menos 2. La igualdad es posible si:
(x + 1) 2 + 1 = 1 y (y – 2) 2 + 2 = 2, lo que significa x = -1, y = 2.
Respuesta: (-1; 2).
Conozcamos otro método para resolver ecuaciones con dos variables de segundo grado. Este método consiste en tratar la ecuación como cuadrado con respecto a alguna variable.
Ejemplo 4.
Resuelve la ecuación: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Solución.
Resolvamos la ecuación como una ecuación cuadrática para x. Encontremos el discriminante:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . La ecuación tendrá solución solo cuando D = 0, es decir, si y = 4. Sustituimos el valor de y en la ecuación original y encontramos que x = 3.
Respuesta: (3; 4).
A menudo, en ecuaciones con dos incógnitas indican restricciones sobre variables.
Ejemplo 5.
Resuelve la ecuación en números enteros: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Solución.
Reescribamos la ecuación en la forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. El lado derecho de la ecuación resultante cuando se divide por 5 da un resto de 2. Por lo tanto, x 2 no es divisible por 5. Pero el cuadrado de un un número no divisible por 5 da un resto de 1 o 4. Por tanto, la igualdad es imposible y no hay soluciones.
Respuesta: sin raíces.
Ejemplo 6.
Resuelve la ecuación: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Solución.
Resaltemos los cuadrados completos en cada paréntesis:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. El lado izquierdo de la ecuación siempre es mayor o igual a 3. La igualdad es posible siempre que |x| – 2 = 0 e y + 3 = 0. Por tanto, x = ± 2, y = -3.
Respuesta: (2; -3) y (-2; -3).
Ejemplo 7.
Para cada par de enteros negativos (x;y) que satisfagan la ecuación
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcula la suma (x + y). Indique la cantidad más pequeña en su respuesta.
Solución.
Seleccionemos cuadrados completos:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Como x e y son números enteros, sus cuadrados también son números enteros. Obtenemos la suma de los cuadrados de dos números enteros igual a 37 si sumamos 1 + 36. Por lo tanto:
(x – y) 2 = 36 y (y + 2) 2 = 1
(x – y) 2 = 1 y (y + 2) 2 = 36.
Resolviendo estos sistemas y teniendo en cuenta que x e y son negativos, encontramos soluciones: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Respuesta: -17.
No te desesperes si tienes dificultades para resolver ecuaciones con dos incógnitas. Con un poco de práctica, podrás manejar cualquier ecuación.
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