Atrás Adelante
¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.
Tipo de lección: una lección sobre el aprendizaje de material nuevo utilizando elementos de un método de enseñanza de desarrollo basado en problemas.
Objetivos de la lección:
- educativo:
- familiarización con un nuevo concepto matemático;
- formación de nuevos centros de formación;
- formación de habilidades prácticas para la resolución de problemas.
- desarrollo:
- desarrollo del pensamiento independiente de los estudiantes;
- desarrollo de las habilidades correctas del habla de los escolares.
- educativo:
- desarrollando habilidades de trabajo en equipo.
Equipo de lección: tablero magnético, computadora, pantalla, proyector multimedia, modelo de cono, presentación de lecciones, folletos.
Objetivos de la lección (para estudiantes):
- familiarizarse con un nuevo concepto geométrico: el cono;
- derivar una fórmula para calcular el área de superficie de un cono;
- aprender a aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.
Progreso de la lección
Etapa I. Organizativo.
Entrega de cuadernos con trabajos de prueba caseros sobre el tema tratado.
Se invita a los estudiantes a descubrir el tema de la próxima lección resolviendo el rompecabezas. (diapositiva 1):
Figura 1.
Anunciar el tema y los objetivos de la lección a los estudiantes. (diapositiva 2).
Etapa II. Explicación de material nuevo.
1) Conferencia del profesor.
En el tablero hay una mesa con la imagen de un cono. El nuevo material se explica acompañado del material del programa “Estereometría”. En la pantalla aparece una imagen tridimensional de un cono. El profesor da la definición de cono y habla de sus elementos. (diapositiva 3). Se dice que un cono es un cuerpo formado por la rotación de un triángulo rectángulo con respecto a un cateto. (diapositivas 4, 5). Aparece una imagen de un escaneo de la superficie lateral del cono. (diapositiva 6)
2) Trabajo práctico.
Actualización de conocimientos básicos: repita las fórmulas para calcular el área de un círculo, el área de un sector, la longitud de un círculo, la longitud de un arco de círculo. (diapositivas 7 a 10)
La clase se divide en grupos. Cada grupo recibe un escaneo de la superficie lateral del cono recortado en papel (un sector de un círculo con un número asignado). Los estudiantes toman las medidas necesarias y calculan el área del sector resultante. Las instrucciones para realizar el trabajo, preguntas (enunciados de problemas) aparecen en la pantalla. (diapositivas 11 a 14). Un representante de cada grupo anota los resultados de los cálculos en una tabla preparada en la pizarra. Los participantes de cada grupo pegan un modelo de cono a partir del patrón que tienen. (diapositiva 15)
3) Planteamiento y solución del problema.
¿Cómo calcular el área de la superficie lateral de un cono si solo se conoce el radio de la base y la longitud de la generatriz del cono? (diapositiva 16)
Cada grupo toma las medidas necesarias e intenta derivar una fórmula para calcular el área requerida utilizando los datos disponibles. Al realizar este trabajo, los estudiantes deben notar que la circunferencia de la base del cono es igual a la longitud del arco del sector: el desarrollo de la superficie lateral de este cono. (diapositivas 17 a 21) Usando las fórmulas necesarias, se deriva la fórmula deseada. Los argumentos de los estudiantes deberían verse así:
El radio de barrido del sector es igual a yo, medida en grados del arco – φ. El área del sector se calcula mediante la fórmula: la longitud del arco que limita este sector es igual al radio de la base del cono R. La longitud del círculo que se encuentra en la base del cono es C = 2πR . Tenga en cuenta que dado que el área de la superficie lateral del cono es igual al área de desarrollo de su superficie lateral, entonces
Entonces, el área de la superficie lateral del cono se calcula mediante la fórmula S DBO = πRl.
Después de calcular el área de la superficie lateral del modelo de cono utilizando una fórmula derivada de forma independiente, un representante de cada grupo escribe el resultado de los cálculos en una tabla en la pizarra de acuerdo con los números del modelo. Los resultados del cálculo en cada línea deben ser iguales. En base a esto, el profesor determina la exactitud de las conclusiones de cada grupo. La tabla de resultados debería verse así:
|
Modelo No. |
yo tarea |
II tarea |
(125/3)π ~ 41,67π |
||
(425/9)π ~ 47,22π |
||
(539/9)π ~ 59,89π |
Parámetros del modelo:
- l=12cm, φ=120°
- l=10cm, φ=150°
- l=15cm, φ=120°
- l=10cm, φ=170°
- l=14cm, φ=110°
La aproximación de los cálculos está asociada a errores de medición.
Después de verificar los resultados, aparece en la pantalla el resultado de las fórmulas para las áreas de las superficies lateral y total del cono. (diapositivas 22 a 26), los estudiantes toman notas en cuadernos.
Etapa III. Consolidación del material estudiado.
1) A los estudiantes se les ofrece Problemas para solución oral sobre dibujos ya hechos.
Encuentra las áreas de las superficies completas de los conos que se muestran en las figuras. (diapositivas 27 a 32).
2) Pregunta:¿Son iguales las áreas de superficie de los conos que se forman al girar un triángulo rectángulo sobre lados diferentes? Los estudiantes proponen una hipótesis y la prueban. La hipótesis se prueba resolviendo problemas y escritos por el alumno en la pizarra.
Dado:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
ВАА", АВВ" – cuerpos de rotación.
Encontrar: S PPK 1, S PPK 2.
Figura 5. (diapositiva 33)
Solución:
1) R=BC = un; S PPK 1 = S DBO 1 + S principal 1 = π una c + π una 2 = π una (a + c).
2) R=CA = segundo; S PPK 2 = S DBO 2 + S base 2 = π segundo c+π segundo 2 = π segundo (segundo + c).
Si S PPK 1 = S PPK 2, entonces a 2 +ac = b 2 + antes de Cristo, a 2 - b 2 + ac - antes de Cristo = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Porque a, b, c – números positivos (las longitudes de los lados del triángulo), la igualdad es verdadera sólo si un =b.
Conclusión: Las áreas de superficie de dos conos son iguales sólo si los lados del triángulo son iguales. (diapositiva 34)
3) Resolviendo el problema del libro de texto: No. 565.
Etapa IV. Resumiendo la lección.
Tarea: párrafos 55, 56; N° 548, N° 561. (diapositiva 35)
Anuncio de calificaciones asignadas.
Conclusiones durante la lección, repetición de la información principal recibida durante la lección.
Literatura (diapositiva 36)
- Geometría grados 10-11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M., “Prosveshchenie”, 2008.
- “Acertijos y charadas matemáticas” - N.V. Udaltsova, biblioteca “Primero de septiembre”, serie “MATEMÁTICAS”, número 35, M., Chistye Prudy, 2010.
Hoy te contamos cómo encontrar la generatriz de un cono, lo que suele ser necesario en los problemas de geometría escolares.
El concepto de generatriz de cono.
Un cono rectángulo es una figura que se obtiene girando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. La base del cono forma un círculo. La sección vertical del cono es un triángulo, la sección horizontal es un círculo. La altura de un cono es el segmento que conecta la parte superior del cono con el centro de la base. La generatriz de un cono es un segmento que conecta el vértice del cono con cualquier punto de la recta del círculo base.
Dado que un cono se forma girando un triángulo rectángulo, resulta que el primer cateto de dicho triángulo es la altura, el segundo es el radio del círculo en la base y la hipotenusa es la generatriz del cono. No es difícil adivinar que el teorema de Pitágoras es útil para calcular la longitud del generador. Y ahora más sobre cómo encontrar la longitud de la generatriz del cono.
Encontrar el generador
La forma más sencilla de entender cómo encontrar un generador es con un ejemplo específico. Supongamos que se dan las siguientes condiciones del problema: la altura es de 9 cm, el diámetro del círculo base es de 18 cm. Es necesario encontrar una generatriz.
Entonces, la altura del cono (9 cm) es uno de los catetos del triángulo rectángulo con la ayuda del cual se formó este cono. El segundo cateto será el radio del círculo base. El radio es la mitad del diámetro. Así, dividimos el diámetro que nos dieron por la mitad y obtenemos la longitud del radio: 18:2 = 9. El radio es 9.
Ahora es muy fácil encontrar la generatriz del cono. Al ser hipotenusa, el cuadrado de su longitud será igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, la suma de los cuadrados del radio y la altura. Entonces, el cuadrado de la longitud del generador = 64 (el cuadrado de la longitud del radio) + 64 (el cuadrado de la longitud de la altura) = 64x2 = 128. Ahora sacamos la raíz cuadrada de 128. Como Como resultado, obtenemos ocho raíces de dos. Esta será la generatriz del cono.
Como puede ver, esto no tiene nada de complicado. Por ejemplo, tomamos condiciones simples del problema, pero en un curso escolar pueden ser más complejas. Recuerda que para calcular la longitud de la generatriz necesitas averiguar el radio del círculo y la altura del cono. Conociendo estos datos, es fácil encontrar la longitud de la generatriz.
Los cuerpos de rotación que se estudian en la escuela son el cilindro, el cono y la bola.
Si en un problema del Examen Estatal Unificado de matemáticas necesitas calcular el volumen de un cono o el área de una esfera, considérate afortunado.
Aplicar fórmulas para volumen y área de superficie de un cilindro, cono y esfera. Todos ellos están en nuestra mesa. Aprender de memoria. Aquí comienza el conocimiento de la estereometría.
A veces es bueno dibujar la vista desde arriba. O, como en este problema, desde abajo.
2. ¿Cuántas veces es mayor el volumen de un cono circunscrito a una pirámide cuadrangular regular que el volumen de un cono inscrito en esta pirámide?
Es simple: dibuja la vista desde abajo. Vemos que el radio del círculo mayor es veces mayor que el radio del círculo más pequeño. Las alturas de ambos conos son las mismas. Por tanto, el volumen del cono más grande será el doble.
Otro punto importante. Recordamos que en los problemas de la parte B del Examen Estatal Unificado de Matemáticas, la respuesta se escribe como un número entero o una fracción decimal final. Por lo tanto, no debería haber ninguno en su respuesta en la parte B. ¡Tampoco es necesario sustituir el valor aproximado del número! ¡Definitivamente debe encogerse! Es por ello que en algunos problemas la tarea se formula, por ejemplo, de la siguiente manera: "Encuentra el área de la superficie lateral del cilindro dividida por".
¿Dónde más se utilizan las fórmulas para el volumen y la superficie de los cuerpos de revolución? Por supuesto, en el problema C2 (16). También te lo contamos.