Cómo encontrar una solución particular a una ecuación diferencial. Apuntes de clase_6 Ecuaciones diferenciales de primer orden

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Resolver ecuaciones diferenciales en línea en el sitio web para que los estudiantes consoliden el material que han cubierto. Y entrenando tus habilidades prácticas. Ecuaciones diferenciales en línea. Difurs online, resolución de matemáticas online. Soluciones paso a paso a problemas de matemáticas en línea. El orden o grado de una ecuación diferencial es el orden más alto de las derivadas incluidas en ella. Ecuaciones diferenciales en línea. El proceso de resolver una ecuación diferencial se llama integración. El problema de integrar una ecuación diferencial se considera resuelto si encontrar una función desconocida se puede llevar a la cuadratura, independientemente de si la integral resultante se expresa en su forma final en términos de funciones conocidas o no. Solución paso a paso de ecuaciones diferenciales online. Todas las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE), que incluyen solo funciones (y sus derivadas) de un argumento, y ecuaciones diferenciales parciales (PDE), en las que las funciones de entrada dependen de muchas variables. Ecuaciones diferenciales en línea. También existen ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) que involucran procesos aleatorios. Solución paso a paso de ecuaciones diferenciales online. Dependiendo de las combinaciones de derivadas, funciones y variables independientes, las ecuaciones diferenciales se dividen en lineales y no lineales, con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no homogéneas. Debido a la importancia de las aplicaciones, las ecuaciones diferenciales parciales cuasilineales (lineales con respecto a derivadas superiores) se clasifican en una clase separada. Las soluciones de ecuaciones diferenciales se dividen en soluciones generales y particulares. Ecuaciones diferenciales en línea. Las soluciones generales incluyen constantes indeterminadas y, para ecuaciones diferenciales parciales, funciones arbitrarias de variables independientes, que pueden refinarse a partir de condiciones de integración adicionales (condiciones iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias, condiciones iniciales y de frontera para ecuaciones diferenciales parciales). Solución paso a paso de ecuaciones diferenciales online. Después de determinar el tipo de las funciones constantes e indefinidas indicadas, las soluciones se vuelven particulares. La búsqueda de soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias condujo al establecimiento de una clase de funciones especiales, funciones que a menudo se encuentran en aplicaciones que no pueden expresarse mediante funciones elementales conocidas. Ecuaciones diferenciales en línea. Se estudiaron en detalle sus propiedades, se elaboraron tablas de valores, se determinaron relaciones mutuas, etc. . Se puede explorar el conjunto de números enumerados. La mejor respuesta al problema planteado. Cómo encontrar, como primera aproximación, el vector saliente a la región de convergencia sobre ecuaciones diferenciales sin conocer el límite superior encontrado. La elección es obvia para funciones matemáticas crecientes. Existe un método progresivo por encima del nivel de investigación. Alinear la condición inicial del problema con la resolución de ecuaciones diferenciales te ayudará a encontrar un valor elegido de forma única. Puede ser que pueda identificar inmediatamente lo desconocido. Como en el ejemplo anterior de especificación de una solución a un problema matemático, las ecuaciones diferenciales lineales son la respuesta a un problema específico dentro de un período de tiempo específico. El mantenimiento del procedimiento de investigación no se determina localmente. Será que se encuentre un ejemplo para cada alumno y la solución de ecuaciones diferenciales será determinada por la persona asignada al responsable a partir de al menos dos valores. Tome una función de valor general en un segmento determinado y advierta a lo largo de qué eje habrá un espacio. Al estudiar las ecuaciones diferenciales en línea, es posible mostrar claramente qué tan importante es el resultado, si así lo prevén las condiciones iniciales. Es imposible eliminar un área de la definición de una función, ya que no existe una definición para la tarea localmente. Al encontrarse a partir de un sistema de ecuaciones, la respuesta contiene una variable que es contable en el sentido general, pero, naturalmente, será posible resolver una ecuación diferencial en línea sin esta acción de determinar dicha condición. Al lado del intervalo del segmento se puede ver cómo la resolución de ecuaciones diferenciales en línea puede hacer avanzar el resultado de la investigación en una dirección positiva al momento de cortar el conocimiento de los estudiantes. Lo mejor no siempre proviene de un enfoque empresarial generalmente aceptado. En el nivel 2x, es útil repasar todas las ecuaciones diferenciales lineales necesarias en una representación natural, pero poder calcular el valor numérico mejorará el conocimiento. Según cualquier método en matemáticas, existen ecuaciones diferenciales que se presentan en expresiones esencialmente diferentes, como homogéneas o complejas. Realizado un análisis general del estudio de la función, queda claro que resolver diferenciales como un conjunto de posibilidades representa un claro error en los valores. La verdad en esto reside en el espacio sobre las líneas de abscisas. En algún lugar del dominio de definición de una función compleja, en algún punto de su definición, las ecuaciones diferenciales lineales podrán presentar la respuesta en forma analítica. es decir, en términos generales como la esencia. Nada cambia cuando cambias la variable. Sin embargo, es necesario observar la respuesta con especial interés. En esencia, la calculadora finalmente cambia la relación, es decir, cómo la solución de las ecuaciones diferenciales es proporcional al valor global y se designa dentro de los límites de la solución deseada. En algunos casos, es inevitable que aparezca una advertencia de error masiva. Las ecuaciones diferenciales en línea implementan una idea general del problema, pero al final es necesario considerar los aspectos positivos del producto vectorial lo antes posible. En matemáticas, los casos de conceptos erróneos en la teoría de números no son infrecuentes. Definitivamente será necesario un cheque. Naturalmente, es mejor ceder este derecho a profesionales en su campo y ellos te ayudarán a resolver la ecuación diferencial online, ya que su experiencia es colosal y positiva. La diferencia en las superficies de las figuras y el área es tal que no es resolver ecuaciones diferenciales en línea lo que te permitirá ver, sino el conjunto de objetos que no se cruzan es tal que la línea es paralela al eje. Como resultado, puede obtener el doble de valores. Si bien no es explícito, nuestra comprensión de la exactitud de la notación formal implica ecuaciones diferenciales lineales tanto en el área de visualización como en relación con la sobreestimación deliberada de la calidad del resultado. Se revisa varias veces una mesa redonda sobre un tema de interés para todos los estudiantes. A lo largo del estudio del curso completo de conferencias, centraremos nuestra atención en las ecuaciones diferenciales y áreas relacionadas de estudio científico, si esto no contradice la verdad. Se pueden evitar muchos pasos al inicio del viaje. Si resolver ecuaciones diferenciales sigue siendo fundamentalmente algo nuevo para los estudiantes, entonces lo antiguo no se olvida en absoluto, sino que avanza hacia el futuro con un alto ritmo de desarrollo. Inicialmente, las condiciones para el problema de matemáticas divergen, pero así se indica en el párrafo de la derecha. Una vez transcurrido el tiempo especificado por definición, no se puede excluir la posibilidad de un resultado dependiente proporcional en varios planos de movimiento vectorial. Un caso tan simple se puede corregir de la misma manera que se describen las ecuaciones diferenciales lineales en una calculadora en forma general, será más rápido y la compensación de los cálculos no dará lugar a una opinión errónea. Sólo cinco casos nombrados según la teoría pueden traspasar los límites de lo que está sucediendo. Nuestra solución de ecuaciones diferenciales le ayudará a calcular manualmente el valor en números ya en las primeras etapas de la descomposición del espacio funcional. En los lugares correctos es necesario representar el punto de contacto de las cuatro líneas en un significado general. Pero si es necesario desplazar la tarea, será fácil igualar la complejidad. Los datos iniciales son suficientes para diseñar el cateto adyacente y las ecuaciones diferenciales en línea parecen alineadas a la izquierda y la superficie está unilateralmente dirigida hacia el rotor del vector. Por encima del límite superior, son posibles valores numéricos más allá de la condición designada. Es posible tener en cuenta la fórmula matemática y resolver la ecuación diferencial online utilizando tres incógnitas en el valor general de la proporción. Se reconoce como válido el método de cálculo local. El sistema de coordenadas es rectangular en el movimiento relativo del avión. La solución general de ecuaciones diferenciales en línea nos permite sacar una conclusión inequívoca a favor de un recorrido computacional a través de definiciones matriciales en toda la línea recta ubicada sobre la gráfica de una función explícitamente especificada. La solución es claramente visible si aplicas el vector de movimiento al punto de contacto de los tres hemisferios. El cilindro se obtiene girando el rectángulo alrededor del lado y las ecuaciones diferenciales lineales podrán mostrar la dirección del movimiento del punto de acuerdo con las expresiones dadas de su ley de movimiento. Los datos iniciales son correctos y el problema en matemáticas es intercambiable bajo una simple condición. Sin embargo, por circunstancias, debido a la complejidad de la subtarea planteada, las ecuaciones diferenciales simplifican el proceso de cálculo de espacios numéricos a nivel del espacio tridimensional. Es fácil demostrar lo contrario, pero se puede evitar, como en el ejemplo dado. En matemáticas superiores se proporcionan los siguientes puntos: cuando un problema se reduce a una forma simplificada, se debe aplicar al mismo el mayor esfuerzo posible por parte de los estudiantes. Se tienen en cuenta las líneas superpuestas entre sí. En cuanto a la resolución de diferenciales, todavía se resume la ventaja de dicho método en una línea curva. Si primero reconoces algo que no es lo que necesitas, entonces la fórmula matemática creará un nuevo significado para la expresión. El objetivo es el enfoque óptimo para la resolución de las tareas planteadas por el profesor. No se debe suponer que las ecuaciones diferenciales lineales en forma simplificada excederán el resultado esperado. Colocamos tres vectores sobre una superficie finitamente compuesta. ortogonales entre sí. Calculemos el producto. Agreguemos una mayor cantidad de símbolos y escribamos todas las variables de la función a partir de la expresión resultante. Hay una proporción. Varias acciones que preceden al final del cálculo no darán una respuesta inequívoca a la solución de ecuaciones diferenciales inmediatamente, sino solo después de que haya transcurrido el tiempo asignado a lo largo del eje y. A la izquierda del punto de discontinuidad, especificado implícitamente en la función, dibujamos un eje ortogonal al mejor vector creciente y colocamos ecuaciones diferenciales en línea a lo largo del valor límite más pequeño de la cara inferior del objeto matemático. Agregamos el argumento adicional en el área de interrupción de función. A la derecha de los puntos donde se encuentra la línea curva, las fórmulas que hemos escrito para la reducción a un denominador común te ayudarán a resolver la ecuación diferencial online. Adoptaremos el único enfoque correcto que arrojará luz sobre los problemas no resueltos desde la teoría hasta la práctica, en el caso general de forma inequívoca. Las líneas en la dirección de las coordenadas de los puntos dados nunca cerraron la posición extrema del cuadrado, pero resolver ecuaciones diferenciales en línea ayudará a los estudiantes, a nosotros y a los principiantes en este campo a estudiar matemáticas. Estamos hablando de la posibilidad de sustituir un argumento de valor en todas las líneas significativas de un campo. En principio, como era de esperar, nuestras ecuaciones diferenciales lineales son algo aislado en un concepto único del significado dado. Para ayudar a los estudiantes, una de las mejores calculadoras entre servicios similares. Realiza todos los cursos y elige el mejor para ti.

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6.1. CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIONES

Al resolver diversos problemas en matemáticas, física, biología y medicina, a menudo no es posible establecer inmediatamente una relación funcional en forma de fórmula que conecte las variables que describen el proceso en estudio. Normalmente hay que utilizar ecuaciones que contengan, además de la variable independiente y la función desconocida, también sus derivadas.

Definición. Una ecuación que conecta una variable independiente, una función desconocida y sus derivadas de varios órdenes se llama diferencial.

Una función desconocida generalmente se denota y(x) o simplemente y, y sus derivados - y", y" etc.

También son posibles otras designaciones, por ejemplo: si y= x(t), entonces x"(t), x""(t)- sus derivados, y t- variable independiente.

Definición. Si una función depende de una variable, entonces la ecuación diferencial se llama ordinaria. Vista general ecuación diferencial ordinaria:

o

Funciones F Y F Puede que no contenga algunos argumentos, pero para que las ecuaciones sean diferenciales es imprescindible la presencia de una derivada.

Definición.El orden de la ecuación diferencial. se llama orden de la derivada más alta incluida en él.

Por ejemplo, x2y"- y= 0, y" + pecado incógnita= 0 son ecuaciones de primer orden, y y"+ 2 y"+ 5 y= incógnita- ecuación de segundo orden.

Al resolver ecuaciones diferenciales se utiliza la operación de integración, que está asociada con la aparición de una constante arbitraria. Si se aplica la acción de integración norte veces, entonces obviamente la solución contendrá norte constantes arbitrarias.

6.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Vista general ecuación diferencial de primer orden está determinada por la expresión

La ecuación puede no contener explícitamente incógnita Y y, pero necesariamente contiene y".

Si la ecuación se puede escribir como

entonces obtenemos una ecuación diferencial de primer orden resuelta con respecto a la derivada.

Definición. La solución general de la ecuación diferencial de primer orden (6.3) (o (6.4)) es el conjunto de soluciones , Dónde CON- constante arbitraria.

La gráfica de la solución de una ecuación diferencial se llama curva integral.

Dando una constante arbitraria CON valores diferentes se pueden obtener soluciones parciales. en un avión xoy la solución general es una familia de curvas integrales correspondientes a cada solución particular.

Si estableces un punto A (x 0 , y 0), a través del cual debe pasar la curva integral, entonces, por regla general, de un conjunto de funciones Se puede destacar una: la solución privada.

Definición.decisión privada de una ecuación diferencial es su solución que no contiene constantes arbitrarias.

Si es una solución general, entonces de la condición

puedes encontrar una constante CON. La condición se llama condición inicial.

El problema de encontrar una solución particular a la ecuación diferencial (6.3) o (6.4) que satisfaga la condición inicial. en llamado Problema de Cauchy.¿Este problema siempre tiene solución? La respuesta está contenida en el siguiente teorema.

teorema de cauchy(teorema de existencia y unicidad de una solución). Sea la ecuación diferencial y"= f(x,y) función f(x,y) y ella

derivada parcial definido y continuo en algunos

región D, que contiene un punto Luego en la zona D existe

la única solución de la ecuación que satisface la condición inicial en

El teorema de Cauchy establece que bajo ciertas condiciones existe una curva integral única y= f(x), pasando por un punto Puntos en los que no se cumplen las condiciones del teorema

Los cauchies se llaman especial. En estos puntos se rompe F(x, y) o.

O varias curvas integrales o ninguna pasan por un punto singular.

Definición. Si la solución (6.3), (6.4) se encuentra en la forma F(x, y, DO)= 0, no permitido en relación con y, entonces se llama integral general ecuación diferencial.

El teorema de Cauchy sólo garantiza que existe una solución. Dado que no existe un método único para encontrar una solución, consideraremos solo algunos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden integrar en cuadraturas

Definición. La ecuación diferencial se llama integrable en cuadraturas, si encontrar su solución se reduce a integrar funciones.

6.2.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables

Definición. Una ecuación diferencial de primer orden se llama ecuación con variables separables,

El lado derecho de la ecuación (6.5) es el producto de dos funciones, cada una de las cuales depende de una sola variable.

Por ejemplo, la ecuación es una ecuación con separación

mezclado con variables
y la ecuación

no se puede representar en la forma (6.5).

considerando que , reescribimos (6.5) en la forma

De esta ecuación obtenemos una ecuación diferencial con variables separadas, en la que las diferenciales son funciones que dependen únicamente de la variable correspondiente:

Integrando término por término tenemos

donde C = C 2 - C 1 - constante arbitraria. La expresión (6.6) es la integral general de la ecuación (6.5).

Al dividir ambos lados de la ecuación (6.5) entre, podemos perder aquellas soluciones para las cuales, De hecho, si en

Eso obviamente es una solución a la ecuación (6.5).

Ejemplo 1. Encuentre una solución a la ecuación que satisfaga

condición: y= 6 en incógnita= 2 (y(2) = 6).

Solución. reemplazaremos y" entonces . Multiplica ambos lados por

dx, ya que durante una mayor integración es imposible salir dx en el denominador:

y luego dividir ambas partes por obtenemos la ecuación,

que se puede integrar. Integramos:

Entonces ; potenciando, obtenemos y = C. (x + 1) -ob-

solución general.

Usando los datos iniciales, determinamos una constante arbitraria, sustituyéndolos en la solución general.

Finalmente conseguimos y= 2(x + 1) es una solución particular. Veamos algunos ejemplos más de resolución de ecuaciones con variables separables.

Ejemplo 2. Encuentra la solución a la ecuación.

Solución. considerando que , obtenemos .

Integrando ambos lados de la ecuación tenemos

dónde

Ejemplo 3. Encuentra la solución a la ecuación. Solución. Dividimos ambos lados de la ecuación en aquellos factores que dependen de una variable que no coincide con la variable bajo el signo diferencial, es decir e integrar. Entonces obtenemos

y finalmente

Ejemplo 4. Encuentra la solución a la ecuación.

Solución. Saber lo que obtendremos. Sección

variables límite. Entonces

Integrando obtenemos

Comentario. En los ejemplos 1 y 2, la función requerida es y expresado explícitamente (solución general). En los ejemplos 3 y 4, implícitamente (integral general). En el futuro no se especificará la forma de la decisión.

Ejemplo 5. Encuentra la solución a la ecuación. Solución.

Ejemplo 6. Encuentra la solución a la ecuación. , satisfactorio

condición S.M)= 1.

Solución. Escribamos la ecuación en la forma

Multiplicando ambos lados de la ecuación por dx y así llegamos

Integrando ambos lados de la ecuación (la integral del lado derecho se toma por partes), obtenemos

Pero según la condición y= 1 en incógnita= mi. Entonces

Sustituyamos los valores encontrados. CON a la solución general:

La expresión resultante se llama solución parcial de la ecuación diferencial.

6.2.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.

Definición. La ecuación diferencial de primer orden se llama homogéneo, si se puede representar en la forma

Presentemos un algoritmo para resolver una ecuación homogénea.

1.En lugar de y introduzcamos una nueva funciónEntonces y por lo tanto

2.En términos de función tu la ecuación (6.7) toma la forma

es decir, el reemplazo reduce una ecuación homogénea a una ecuación con variables separables.

3. Resolviendo la ecuación (6.8), primero encontramos u y luego y= ux.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación Solución. Escribamos la ecuación en la forma

Hacemos la sustitución:
Entonces

reemplazaremos

Multiplicar por dx: dividir por incógnita y sigue Entonces

Habiendo integrado ambos lados de la ecuación sobre las variables correspondientes, tenemos

o, volviendo a las antiguas variables, finalmente obtenemos

Ejemplo 2.Resuelve la ecuación Solución.Dejar Entonces

Dividamos ambos lados de la ecuación por x2: Abramos los corchetes y reorganicemos los términos:

Pasando a las antiguas variables, llegamos al resultado final:

Ejemplo 3.Encuentra la solución a la ecuación. dado que

Solución.Realizar un reemplazo estándar obtenemos

o

o

Esto significa que la solución particular tiene la forma Ejemplo 4. Encuentra la solución a la ecuación.

Solución.

Ejemplo 5.Encuentra la solución a la ecuación. Solución.

trabajo independiente

Encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales con variables separables. (1-9).

Encuentre una solución a ecuaciones diferenciales homogéneas. (9-18).

6.2.3. Algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Problema de desintegración radiactiva

La velocidad de desintegración de Ra (radio) en cada momento es proporcional a su masa disponible. Encuentre la ley de desintegración radiactiva de Ra si se sabe que en el momento inicial existía Ra y la vida media de Ra es de 1590 años.

Solución. Sea en este instante la masa Ra incógnita= x(t) g, y Entonces la tasa de desintegración Ra es igual a

Según las condiciones del problema.

Dónde k

Separando las variables en la última ecuación e integrando, obtenemos

dónde

para determinar do Usamos la condición inicial: cuando .

Entonces y, por lo tanto,

Factor de proporcionalidad k determinado a partir de la condición adicional:

Tenemos

Desde aquí y la fórmula requerida

Problema de tasa de reproducción bacteriana

La tasa de reproducción de las bacterias es proporcional a su número. Al principio había 100 bacterias. En tres horas su número se duplicó. Encuentre la dependencia del número de bacterias en el tiempo. ¿Cuántas veces aumentará la cantidad de bacterias en 9 horas?

Solución. Dejar incógnita- número de bacterias a la vez t. Entonces, según la condición,

Dónde k- coeficiente de proporcionalidad.

Desde aquí De la condición se sabe que . Medio,

De la condición adicional . Entonces

La función que buscas:

Entonces, cuando t= 9 incógnita= 800, es decir, en 9 horas el número de bacterias aumentó 8 veces.

El problema de aumentar la cantidad de enzima.

En un cultivo de levadura de cerveza, la tasa de crecimiento de la enzima activa es proporcional a su cantidad inicial. incógnita. Cantidad inicial de enzima a se duplicó en una hora. encontrar dependencia

x(t).

Solución. Por condición, la ecuación diferencial del proceso tiene la forma

desde aquí

Pero . Medio, do= a y luego

También se sabe que

Por eso,

6.3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

6.3.1. Conceptos básicos

Definición.Ecuación diferencial de segundo orden se llama relación que conecta la variable independiente, la función deseada y su primera y segunda derivada.

En casos especiales, es posible que x falte en la ecuación, en o y". Sin embargo, una ecuación de segundo orden debe contener necesariamente y." En el caso general, una ecuación diferencial de segundo orden se escribe como:

o, de ser posible, en la forma resuelta respecto de la segunda derivada:

Como en el caso de una ecuación de primer orden, para una ecuación de segundo orden puede haber soluciones generales y particulares. La solución general es:

Encontrar una solución particular

en condiciones iniciales - dadas

números) se llama Problema de Cauchy. Geométricamente, esto significa que necesitamos encontrar la curva integral. en= y(x), pasando por un punto dado y teniendo una tangente en este punto que es

se alinea con la dirección del eje positivo Bueyángulo especificado. mi. (Figura 6.1). El problema de Cauchy tiene una solución única si el lado derecho de la ecuación (6.10), incesante

es discontinuo y tiene derivadas parciales continuas con respecto a eh, eh" en algún barrio del punto de partida

Para encontrar constantes incluido en una solución privada, el sistema debe resolverse

Arroz. 6.1. curva integral

Hoy en día, una de las habilidades más importantes para cualquier especialista es la capacidad de resolver ecuaciones diferenciales. Resolver ecuaciones diferenciales: ninguna tarea aplicada puede prescindir de ella, ya sea calcular algún parámetro físico o modelar cambios como resultado de la política macroeconómica adoptada. Estas ecuaciones también son importantes para otras ciencias, como la química, la biología, la medicina, etc. A continuación daremos un ejemplo del uso de ecuaciones diferenciales en economía, pero antes hablaremos brevemente sobre los principales tipos de ecuaciones.

Ecuaciones diferenciales: los tipos más simples

Los sabios dijeron que las leyes de nuestro universo están escritas en lenguaje matemático. Por supuesto, en álgebra hay muchos ejemplos de diversas ecuaciones, pero estos son, en su mayor parte, ejemplos educativos que no son aplicables en la práctica. Las matemáticas verdaderamente interesantes comienzan cuando queremos describir procesos que ocurren en la vida real. Pero, ¿cómo podemos reflejar el factor tiempo que gobierna los procesos reales: inflación, producción o indicadores demográficos?

Recordemos una definición importante de un curso de matemáticas sobre la derivada de una función. La derivada es la tasa de cambio de una función, por lo que puede ayudarnos a reflejar el factor tiempo en la ecuación.

Es decir, creamos una ecuación con una función que describe el indicador que nos interesa y sumamos la derivada de esta función a la ecuación. Esta es una ecuación diferencial. Ahora pasemos a los más simples. tipos de ecuaciones diferenciales para tontos.

La ecuación diferencial más simple tiene la forma $y'(x)=f(x)$, donde $f(x)$ es una función determinada y $y'(x)$ es la derivada o tasa de cambio de la ecuación diferencial deseada. función. Se puede resolver mediante integración ordinaria: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

El segundo tipo más simple se llama ecuación diferencial con variables separables. Tal ecuación se ve así: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Se puede ver que la variable dependiente $y$ también es parte de la función construida. La ecuación se puede resolver de manera muy simple: es necesario “separar las variables”, es decir, llevarla a la forma $y'(x)/g(y)=f(x)$ o $dy/g(y) =f(x)dx$. Queda por integrar ambos lados $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - esta es la solución a la ecuación diferencial de tipo separable.

El último tipo simple es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Tiene la forma $y'+p(x)y=q(x)$. Aquí $p(x)$ y $q(x)$ son algunas funciones, y $y=y(x)$ es la función requerida. Para resolver dicha ecuación, se utilizan métodos especiales (el método de variación de una constante arbitraria de Lagrange, el método de sustitución de Bernoulli).

Hay tipos de ecuaciones más complejos: ecuaciones de segundo, tercer orden y generalmente arbitrarios, ecuaciones homogéneas y no homogéneas, así como sistemas de ecuaciones diferenciales. Resolverlos requiere preparación preliminar y experiencia en la resolución de problemas más simples.

Las llamadas ecuaciones diferenciales parciales son de gran importancia para la física y, inesperadamente, para las finanzas. Esto significa que la función deseada depende de varias variables al mismo tiempo. Por ejemplo, la ecuación de Black-Scholes del campo de la ingeniería financiera describe el valor de una opción (tipo de título) dependiendo de su rentabilidad, el tamaño de los pagos y las fechas de inicio y finalización de los pagos. Resolver una ecuación diferencial parcial es bastante complejo y suele requerir el uso de programas especiales como Matlab o Maple.

Un ejemplo de la aplicación de una ecuación diferencial en economía.

Demos, como prometimos, un ejemplo sencillo de resolución de una ecuación diferencial. Primero, establezcamos la tarea.

Para alguna empresa, la función del ingreso marginal por la venta de sus productos tiene la forma $MR=10-0.2q$. Aquí $MR$ es el ingreso marginal de la empresa y $q$ es el volumen de producción. Necesitamos encontrar los ingresos totales.

Como puede ver en el problema, este es un ejemplo aplicado de la microeconomía. Muchas empresas y empresas se enfrentan constantemente a este tipo de cálculos en el curso de sus actividades.

Comencemos con la solución. Como se sabe por la microeconomía, el ingreso marginal es una derivada del ingreso total y el ingreso es cero con ventas cero.

Desde un punto de vista matemático, el problema se redujo a resolver la ecuación diferencial $R’=10-0.2q$ bajo la condición $R(0)=0$.

Integramos la ecuación, tomando la función antiderivada de ambos lados, y obtenemos la solución general: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

Para encontrar la constante $C$, recuerde la condición $R(0)=0$. Sustituyamos: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Entonces C=0 y nuestra función de ingresos totales toma la forma $R(q)=10q-0.1q^2$. El problema está resuelto.

Otros ejemplos de diferentes tipos de mando a distancia se recogen en la página:

En algunos problemas de física, no es posible establecer una conexión directa entre las cantidades que describen el proceso. Pero es posible obtener una igualdad que contenga las derivadas de las funciones en estudio. Es así como surgen las ecuaciones diferenciales y la necesidad de resolverlas para encontrar una función desconocida.

Este artículo está destinado a quienes se enfrentan al problema de resolver una ecuación diferencial en la que la función desconocida es función de una variable. La teoría está estructurada de tal manera que sin ningún conocimiento de ecuaciones diferenciales podrá afrontar su tarea.

Cada tipo de ecuación diferencial está asociado con un método de solución con explicaciones detalladas y soluciones a ejemplos y problemas típicos. Todo lo que tienes que hacer es determinar el tipo de ecuación diferencial de tu problema, encontrar un ejemplo analizado similar y llevar a cabo acciones similares.

Para resolver con éxito ecuaciones diferenciales, también necesitarás la capacidad de encontrar conjuntos de antiderivadas (integrales indefinidas) de varias funciones. Si es necesario, le recomendamos que consulte la sección.

Primero, consideraremos los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que se pueden resolver con respecto a la derivada, luego pasaremos a las EDO de segundo orden, luego nos detendremos en las ecuaciones de orden superior y terminaremos con los sistemas de ecuaciones diferenciales.

Recuerde que si y es función del argumento x.

Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Las ecuaciones diferenciales de primer orden más simples de la forma.

Anotemos algunos ejemplos de este tipo de control remoto. .

Ecuaciones diferenciales se puede resolver con respecto a la derivada dividiendo ambos lados de la igualdad por f(x) . En este caso llegamos a una ecuación que será equivalente a la original para f(x) ≠ 0. Ejemplos de tales EDO son .

Si hay valores del argumento x en los que las funciones f(x) y g(x) desaparecen simultáneamente, entonces aparecen soluciones adicionales. Soluciones adicionales a la ecuación. dada x son las funciones definidas para estos valores de argumento. Ejemplos de tales ecuaciones diferenciales incluyen:

Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

LDE con coeficientes constantes es un tipo muy común de ecuación diferencial. Su solución no es particularmente difícil. Primero, se encuentran las raíces de la ecuación característica. . Para diferentes p y q, son posibles tres casos: las raíces de la ecuación característica pueden ser reales y diferentes, reales y coincidentes. o conjugados complejos. Dependiendo de los valores de las raíces de la ecuación característica, la solución general de la ecuación diferencial se escribe como , o , o respectivamente.

Por ejemplo, considere una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Las raíces de su ecuación característica son k 1 = -3 y k 2 = 0. Las raíces son reales y diferentes, por lo tanto, la solución general del LOD con coeficientes constantes tiene la forma


Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

La solución general de un LDDE de segundo orden con coeficientes constantes y se busca en la forma de la suma de la solución general del LDDE correspondiente. y una solución particular a la ecuación original no homogénea, es decir, . El párrafo anterior está dedicado a encontrar una solución general a una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. Y una solución particular se determina mediante el método de coeficientes indeterminados para una determinada forma de la función f(x) que se encuentra en el lado derecho de la ecuación original, o mediante el método de variación de constantes arbitrarias.

Como ejemplos de LDDE de segundo orden con coeficientes constantes, damos


Para comprender la teoría y familiarizarse con soluciones detalladas de ejemplos, le ofrecemos en la página ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas (LODE) y ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas (LNDE) de segundo orden.

Un caso especial de ecuaciones diferenciales de este tipo son LODE y LDDE con coeficientes constantes.

La solución general de LODE en un segmento determinado está representada por una combinación lineal de dos soluciones parciales linealmente independientes y 1 e y 2 de esta ecuación, es decir, .

La principal dificultad radica precisamente en encontrar soluciones parciales linealmente independientes a una ecuación diferencial de este tipo. Normalmente, las soluciones particulares se seleccionan de los siguientes sistemas de funciones linealmente independientes:


Sin embargo, no siempre se presentan soluciones particulares de esta forma.

Un ejemplo de LOD es .

La solución general del LDDE se busca en la forma , donde es la solución general del LDDE correspondiente y es la solución particular de la ecuación diferencial original. Acabamos de hablar de encontrarlo, pero se puede determinar mediante el método de variación de constantes arbitrarias.

Se puede dar un ejemplo de LNDU. .

Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores.

Ecuaciones diferenciales que permiten una reducción de orden.

Orden de la ecuación diferencial , que no contiene la función deseada y sus derivadas hasta el orden k-1, se puede reducir a n-k reemplazando .

En este caso, la ecuación diferencial original se reducirá a . Después de encontrar su solución p(x), queda volver al reemplazo y determinar la función desconocida y.

Por ejemplo, la ecuación diferencial después del reemplazo, se convertirá en una ecuación con variables separables y su orden se reducirá de tercero a primero.

Este artículo es un punto de partida en el estudio de la teoría de ecuaciones diferenciales. Aquí están las definiciones y conceptos básicos que aparecerán constantemente en el texto. Para una mejor asimilación y comprensión, las definiciones se proporcionan con ejemplos.

Ecuación diferencial (DE) es una ecuación que incluye una función desconocida bajo el signo diferencial o derivado.

Si la función desconocida es función de una variable, entonces la ecuación diferencial se llama común(EDO abreviada - ecuación diferencial ordinaria). Si la función desconocida es función de muchas variables, entonces la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial parcial.

El orden máximo de la derivada de una función desconocida que entra en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación diferencial.

A continuación se muestran ejemplos de EDO de primer, segundo y quinto orden, respectivamente.

Como ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, damos

Además, consideraremos solo ecuaciones diferenciales ordinarias de enésimo orden de la forma o , donde Ф(x, y) = 0 es una función desconocida especificada implícitamente (cuando sea posible, la escribiremos en representación explícita y = f(x)).

El proceso de encontrar soluciones a una ecuación diferencial se llama integrando la ecuación diferencial.

Resolver una ecuación diferencial es una función especificada implícitamente Ф(x, y) = 0 (en algunos casos, la función y se puede expresar explícitamente mediante el argumento x), que convierte la ecuación diferencial en una identidad.

TENGA EN CUENTA.

La solución de una ecuación diferencial siempre se busca en un intervalo predeterminado X.

¿Por qué hablamos de esto por separado? Sí, porque en muchos problemas no se menciona el intervalo X. Es decir, normalmente la condición de los problemas se formula de la siguiente manera: “encontrar una solución a la ecuación diferencial ordinaria " En este caso, se implica que se debe buscar la solución para todo x para el cual tanto la función deseada y como la ecuación original tengan sentido.

La solución de una ecuación diferencial a menudo se llama integral de la ecuación diferencial.

Funciones o se puede llamar solución de una ecuación diferencial.

Una de las soluciones de la ecuación diferencial es la función. De hecho, sustituyendo esta función en la ecuación original, obtenemos la identidad . Es fácil ver que otra solución a esta EDO es, por ejemplo, . Por tanto, las ecuaciones diferenciales pueden tener muchas soluciones.

Solución general de una ecuación diferencial. es un conjunto de soluciones que contiene todas, sin excepción, las soluciones de esta ecuación diferencial.

La solución general de una ecuación diferencial también se llama integral general de la ecuación diferencial.

Volvamos al ejemplo. La solución general de la ecuación diferencial tiene la forma o, donde C es una constante arbitraria. Arriba indicamos dos soluciones a esta EDO, que se obtienen a partir de la integral general de la ecuación diferencial sustituyendo C = 0 y C = 1, respectivamente.

Si la solución de una ecuación diferencial satisface las condiciones adicionales inicialmente especificadas, entonces se llama solución parcial de la ecuación diferencial.

Una solución parcial de la ecuación diferencial que satisface la condición y(1)=1 es. En realidad, Y .

Los principales problemas de la teoría de ecuaciones diferenciales son los problemas de Cauchy, los problemas de valores en la frontera y los problemas de encontrar una solución general a una ecuación diferencial en cualquier intervalo X dado.

problema de cauchy es el problema de encontrar una solución particular a una ecuación diferencial que satisfaga la condición dada condiciones iniciales, donde están los números.

Problema de valor límite es el problema de encontrar una solución particular a una ecuación diferencial de segundo orden que satisfaga condiciones adicionales en los puntos límite x 0 y x 1:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, donde f 0 y f 1 reciben números.

El problema del valor límite a menudo se llama problema de límites.

Una ecuación diferencial ordinaria de enésimo orden se llama lineal, si tiene la forma , y los coeficientes son funciones continuas del argumento x en el intervalo de integración.