Fórmula para la longitud de la línea media de un trapezoide. Línea media del trapezoide

Área de un trapezoide. ¡Saludos! En esta publicación veremos esta fórmula. ¿Por qué es exactamente así y cómo entenderla? Si hay comprensión, entonces no es necesario enseñarla. Si solo desea ver esta fórmula y con urgencia, puede desplazarse inmediatamente hacia abajo en la página))

Ahora en detalle y en orden.

Un trapezoide es un cuadrilátero, dos lados de este cuadrilátero son paralelos, los otros dos no. Las que no son paralelas son las bases del trapezoide. Los otros dos se llaman lados.

Si los lados son iguales, entonces el trapezoide se llama isósceles. Si uno de los lados es perpendicular a las bases, entonces dicho trapezoide se llama rectangular.

En su forma clásica, un trapezoide se representa de la siguiente manera: la base más grande está en la parte inferior, respectivamente, la más pequeña está en la parte superior. Pero nadie prohíbe representarla y viceversa. Aquí están los bocetos:

Siguiente concepto importante.

La línea media de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados. La línea media es paralela a las bases del trapezoide e igual a su media suma.

Ahora profundicemos más. ¿Por qué es así?

Considere un trapezoide con bases. a y b y con la línea media yo, y realicemos algunas construcciones adicionales: dibuje líneas rectas a través de las bases y perpendiculares a través de los extremos de la línea media hasta que se crucen con las bases:

*Las designaciones de letras para vértices y otros puntos no se incluyen intencionalmente para evitar designaciones innecesarias.

Mira, los triángulos 1 y 2 son iguales según el segundo signo de igualdad de los triángulos, los triángulos 3 y 4 son iguales. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los elementos, es decir, los catetos (están indicados en azul y rojo, respectivamente).

¡Ahora atención! Si "cortamos" mentalmente los segmentos azul y rojo de la base inferior, nos quedará un segmento (este es el lado del rectángulo) igual a la línea media. A continuación, si "pegamos" los segmentos cortados azul y rojo a la base superior del trapezoide, también obtendremos un segmento (este también es el lado del rectángulo) igual a la línea media del trapezoide.

¿Entiendo? Resulta que la suma de las bases será igual a las dos líneas medias del trapezoide:

Ver otra explicación

Hagamos lo siguiente: construyamos una línea recta que pase por la base inferior del trapezoide y una línea recta que pase por los puntos A y B:

Obtenemos los triángulos 1 y 2, son iguales en los lados y en los ángulos adyacentes (el segundo signo de igualdad de los triángulos). Esto significa que el segmento resultante (en el boceto está indicado en azul) es igual a la base superior del trapezoide.

Consideremos ahora el triángulo:

*La línea media de este trapezoide y la línea media del triángulo coinciden.

Se sabe que un triángulo es igual a la mitad de su base paralela a él, es decir:

Bien, lo descubrimos. Ahora sobre el área del trapezoide.

Fórmula del área trapezoidal:

Dicen: el área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases y su altura.

Es decir, resulta que es igual al producto de la línea central por la altura:

Probablemente ya hayas notado que esto es obvio. Geométricamente, esto se puede expresar de esta manera: si mentalmente cortamos los triángulos 2 y 4 del trapezoide y los colocamos en los triángulos 1 y 3, respectivamente:

Luego obtendremos un rectángulo con un área igual al área de nuestro trapezoide. El área de este rectángulo será igual al producto de la línea central por la altura, es decir, podemos escribir:

Pero aquí, por supuesto, no se trata de escribir, sino de comprender.

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Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Saludos cordiales, Alejandro.

En este artículo intentaremos reflejar las propiedades de un trapezoide de la forma más completa posible. En particular, hablaremos de las características y propiedades generales de un trapezoide, así como de las propiedades de un trapezoide inscrito y de un círculo inscrito en un trapezoide. También tocaremos las propiedades de un trapezoide isósceles y rectangular.

Un ejemplo de cómo resolver un problema utilizando las propiedades analizadas le ayudará a clasificarlo en lugares en su cabeza y a recordar mejor el material.

Trapecio y todo-todo-todo

Para empezar, recordemos brevemente qué es un trapezoide y qué otros conceptos están asociados con él.

Entonces, un trapezoide es una figura cuadrilátera, dos de cuyos lados son paralelos entre sí (estas son las bases). Y los dos no son paralelos: estos son los lados.

En un trapezoide, la altura se puede reducir, perpendicular a las bases. Se dibujan la línea central y las diagonales. También es posible dibujar una bisectriz desde cualquier ángulo del trapezoide.

Ahora hablaremos de las diversas propiedades asociadas a todos estos elementos y sus combinaciones.

Propiedades de las diagonales trapezoidales.

Para que quede más claro, mientras lees, dibuja el trapezoide ACME en una hoja de papel y dibuja diagonales en él.

1. Si encuentras los puntos medios de cada una de las diagonales (llamémoslos puntos X y T) y los conectas, obtendrás un segmento. Una de las propiedades de las diagonales de un trapezoide es que el segmento HT se encuentra en la línea media. Y su longitud se puede obtener dividiendo la diferencia de las bases por dos: ХТ = (a – b)/2.
2. Ante nosotros está el mismo trapezoide ACME. Las diagonales se cruzan en el punto O. Veamos los triángulos AOE y MOK, formados por segmentos de las diagonales junto con las bases del trapezoide. Estos triángulos son similares. El coeficiente de similitud k de triángulos se expresa mediante la relación de las bases del trapezoide: k = AE/KM.
   La relación de las áreas de los triángulos AOE y MOK se describe mediante el coeficiente k 2 .
3. El mismo trapezoide, las mismas diagonales que se cruzan en el punto O. Solo que esta vez consideraremos los triángulos que formaron los segmentos de las diagonales junto con los lados del trapezoide. Las áreas de los triángulos AKO y EMO son iguales en tamaño: sus áreas son iguales.
4. Otra propiedad de un trapezoide implica la construcción de diagonales. Entonces, si continúas los lados de AK y ME en la dirección de la base más pequeña, tarde o temprano se cruzarán en un punto determinado. Luego, dibuja una línea recta que pase por el centro de las bases del trapezoide. Interseca las bases en los puntos X y T.
   Si ahora extendemos la línea XT, conectará el punto de intersección de las diagonales del trapezoide O, el punto en el que se cruzan las extensiones de los lados y la mitad de las bases X y T.
5. A través del punto de intersección de las diagonales dibujaremos un segmento que conectará las bases del trapezoide (T se encuentra en la base más pequeña KM, X en la base más grande AE). El punto de intersección de las diagonales divide este segmento en la siguiente proporción: A/OX = KM/AE.
6. Ahora, por el punto de intersección de las diagonales, trazaremos un segmento paralelo a las bases del trapezoide (a y b). El punto de intersección lo dividirá en dos partes iguales. Puedes encontrar la longitud del segmento usando la fórmula. 2ab/(a+b).

Propiedades de la línea media de un trapezoide.

Dibuja la línea media en el trapezoide paralela a sus bases.

1. La longitud de la línea media de un trapezoide se puede calcular sumando las longitudes de las bases y dividiéndolas por la mitad: metro = (a + b)/2.
2. Si dibujas cualquier segmento (altura, por ejemplo) a través de ambas bases del trapezoide, la línea media lo dividirá en dos partes iguales.

Propiedad de la bisectriz de un trapecio

Selecciona cualquier esquina del trapezoide y dibuja una bisectriz. Tomemos, por ejemplo, el ángulo KAE de nuestro trapezoide ACME. Habiendo completado la construcción usted mismo, puede verificar fácilmente que la bisectriz corta de la base (o su continuación en línea recta fuera de la figura misma) un segmento de la misma longitud que el lado.

Propiedades de los ángulos trapezoidales.

1. Cualquiera que sea el par de ángulos adyacentes al lado que elijas, la suma de los ángulos del par siempre es 180 0: α + β = 180 0 y γ + δ = 180 0.
2. Conectemos los puntos medios de las bases del trapezoide con un segmento TX. Ahora veamos los ángulos en las bases del trapezoide. Si la suma de los ángulos de cualquiera de ellos es 90 0, la longitud del segmento TX se puede calcular fácilmente a partir de la diferencia en las longitudes de las bases, divididas por la mitad: TX = (AE – KM)/2.
3. Si se dibujan líneas paralelas a través de los lados de un ángulo trapezoide, dividirán los lados del ángulo en segmentos proporcionales.

Propiedades de un trapezoide isósceles (equilátero)

1. En un trapezoide isósceles, los ángulos en cualquier base son iguales.
2. Ahora construye un trapezoide nuevamente para que sea más fácil imaginar de qué estamos hablando. Mire cuidadosamente la base AE: el vértice de la base opuesta M se proyecta hacia un cierto punto en la línea que contiene AE. La distancia desde el vértice A hasta el punto de proyección del vértice M y la línea media de un trapezoide isósceles son iguales.
3. Algunas palabras sobre la propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles: sus longitudes son iguales. Y también los ángulos de inclinación de estas diagonales hacia la base del trapezoide son los mismos.
4. Sólo alrededor de un trapezoide isósceles se puede describir un círculo, ya que la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero es 180 0, un requisito previo para ello.
5. La propiedad de un trapezoide isósceles se desprende del párrafo anterior: si se puede describir un círculo cerca del trapezoide, es isósceles.
6. De las características de un trapezoide isósceles se desprende la propiedad de la altura de un trapezoide: si sus diagonales se cruzan en ángulo recto, entonces la longitud de la altura es igual a la mitad de la suma de las bases: h = (a + b)/2.
7. Nuevamente, dibuja el segmento TX a través de los puntos medios de las bases del trapezoide; en un trapezoide isósceles es perpendicular a las bases. Y al mismo tiempo TX es el eje de simetría de un trapezoide isósceles.
8. Esta vez, baje la altura desde el vértice opuesto del trapezoide hasta la base más grande (llamémosla a). Obtendrás dos segmentos. La longitud de uno se puede encontrar si se suman las longitudes de las bases y se dividen por la mitad: (a+b)/2. El segundo lo obtenemos cuando restamos el más pequeño de la base mayor y dividimos la diferencia resultante entre dos: (a-b)/2.

Propiedades de un trapezoide inscrito en un círculo.

Como ya estamos hablando de un trapezoide inscrito en un círculo, analicemos este tema con más detalle. En particular, dónde está el centro del círculo en relación con el trapezoide. Aquí también es recomendable que te tomes el tiempo de coger un lápiz y dibujar lo que se comenta a continuación. De esta manera entenderás más rápido y recordarás mejor.

1. La ubicación del centro del círculo está determinada por el ángulo de inclinación de la diagonal del trapezoide hacia su lado. Por ejemplo, una diagonal puede extenderse desde la parte superior de un trapecio en ángulo recto hacia un lado. En este caso, la base más grande corta el centro del círculo circunstante exactamente en el centro (R = ½AE).
2. La diagonal y el lado también pueden encontrarse en un ángulo agudo; entonces el centro del círculo está dentro del trapezoide.
3. El centro del círculo circunscrito puede estar fuera del trapezoide, más allá de su base mayor, si existe un ángulo obtuso entre la diagonal del trapezoide y el lado.
4. El ángulo formado por la diagonal y la base grande del trapecio ACME (ángulo inscrito) es la mitad del ángulo central que le corresponde: MAE = ½MOE.
5. Brevemente sobre dos formas de encontrar el radio de un círculo circunscrito. Método uno: mira atentamente tu dibujo, ¿qué ves? Puedes notar fácilmente que la diagonal divide el trapezoide en dos triángulos. El radio se puede encontrar multiplicando por dos la relación entre el lado del triángulo y el seno del ángulo opuesto. Por ejemplo, R = AE/2*senAME. De manera similar, la fórmula se puede escribir para cualquiera de los lados de ambos triángulos.
6. Método dos: encuentra el radio del círculo circunscrito a través del área del triángulo formado por la diagonal, el lado y la base del trapezoide: R = SOY*YO*AE/4*S AME.

Propiedades de un trapecio circunscrito a una circunferencia

Puedes encajar un círculo en un trapezoide si se cumple una condición. Lea más sobre esto a continuación. Y en conjunto, esta combinación de figuras tiene una serie de propiedades interesantes.

1. Si un círculo está inscrito en un trapezoide, la longitud de su línea media se puede encontrar fácilmente sumando las longitudes de los lados y dividiendo la suma resultante por la mitad: metro = (c + d)/2.
2. Para el trapezoide ACME, descrito sobre un círculo, la suma de las longitudes de las bases es igual a la suma de las longitudes de los lados: AK + YO = KM + AE.
3. De esta propiedad de las bases de un trapezoide se desprende la afirmación inversa: se puede inscribir una circunferencia en un trapezoide cuya suma de bases sea igual a la suma de sus lados.
4. El punto tangente de una circunferencia de radio r inscrita en un trapezoide divide el lado en dos segmentos, llamémoslos a y b. El radio de un círculo se puede calcular mediante la fórmula: r = √ ab.
5. Y una propiedad más. Para evitar confusiones, dibuja este ejemplo tú mismo también. Tenemos el viejo trapezoide ACME, descrito alrededor de un círculo. Contiene diagonales que se cruzan en el punto O. Los triángulos AOK y EOM formados por los segmentos de las diagonales y los lados laterales son rectangulares.
   Las alturas de estos triángulos, rebajadas hasta las hipotenusas (es decir, los lados laterales del trapezoide), coinciden con los radios del círculo inscrito. Y la altura del trapezoide coincide con el diámetro del círculo inscrito.

Propiedades de un trapecio rectangular

Un trapezoide se dice rectangular si uno de sus ángulos es recto. Y sus propiedades parten de esta circunstancia.

1. Un trapecio rectangular tiene uno de sus lados perpendicular a su base.
2. La altura y el lado de un trapecio adyacente a un ángulo recto son iguales. Esto le permite calcular el área de un trapezoide rectangular (fórmula general S = (a + b) * h/2) no solo por la altura, sino también por el lado adyacente al ángulo recto.
3. Para un trapezoide rectangular, las propiedades generales de las diagonales del trapezoide ya descritas anteriormente son relevantes.

Evidencia de algunas propiedades del trapezoide.

Igualdad de ángulos en la base de un trapezoide isósceles:

• Probablemente ya hayas adivinado que aquí necesitaremos nuevamente el trapezoide AKME: dibuja un trapezoide isósceles. Traza una línea recta MT desde el vértice M, paralela al lado de AK (MT || AK).

El cuadrilátero AKMT resultante es un paralelogramo (AK || MT, KM || AT). Como ME = KA = MT, ∆ MTE es isósceles y MET = MTE.

Alaska || MT, por lo tanto MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

¿Dónde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME?

Q.E.D.

Ahora, basándonos en la propiedad de un trapezoide isósceles (igualdad de diagonales), demostramos que trapezoide ACME es isósceles:

• Primero, dibujemos una línea recta MX – MX || KE. Obtenemos un paralelogramo KMHE (base – MX || KE y KM || EX).

∆AMX es isósceles, ya que AM = KE = MX y MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, por lo tanto MAE = MXE.

Resulta que los triángulos AKE y EMA son iguales entre sí, porque AM = KE y AE son el lado común de los dos triángulos. Y también MAE = MXE. Podemos concluir que AK = ME, y de esto se deduce que el trapezoide AKME es isósceles.

Revisar tarea

Las bases del trapecio ACME miden 9 cm y 21 cm, el lado lateral KA, igual a 8 cm, forma un ángulo de 150 0 con la base más pequeña. Necesitas encontrar el área del trapezoide.

Solución: Desde el vértice K bajamos la altura hasta la base mayor del trapezoide. Y comencemos a mirar los ángulos del trapezoide.

Los ángulos AEM y KAN son unilaterales. Esto quiere decir que en total dan 180 0. Por lo tanto, KAN = 30 0 (basado en la propiedad de los ángulos trapezoidales).

Consideremos ahora el ∆ANC rectangular (creo que este punto es obvio para los lectores sin evidencia adicional). A partir de ahí encontraremos la altura del trapezoide KH; en un triángulo es el cateto que se encuentra opuesto al ángulo de 30 0. Por tanto, KH = ½AB = 4 cm.

Encontramos el área del trapezoide usando la fórmula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Epílogo

Si estudió este artículo detenida y cuidadosamente, no fue demasiado vago para dibujar trapecios para todas las propiedades dadas con un lápiz en sus manos y analizarlos en la práctica, debería haber dominado bien el material.

Por supuesto, aquí hay mucha información, variada y a veces incluso confusa: no es tan difícil confundir las propiedades del trapezoide descrito con las propiedades del inscrito. Pero tú mismo has visto que la diferencia es enorme.

Ahora tienes un resumen detallado de todas las propiedades generales de un trapezoide. Así como propiedades y características específicas de los trapecios isósceles y rectangulares. Es muy conveniente utilizarlo para prepararse para pruebas y exámenes. ¡Pruébalo tú mismo y comparte el enlace con tus amigos!

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Objetivos de la lección:

1) familiarizar a los estudiantes con el concepto de línea media de un trapezoide, considerar sus propiedades y demostrarlas;

2) enseñar cómo construir la línea media del trapezoide;

3) desarrollar la capacidad de los estudiantes para utilizar la definición de la línea media de un trapezoide y las propiedades de la línea media de un trapezoide al resolver problemas;

4) continuar desarrollando la capacidad de los estudiantes para hablar de manera competente, utilizando los términos matemáticos necesarios; demostrar su punto de vista;

5) desarrollar el pensamiento lógico, la memoria, la atención.

Progreso de la lección

1. La tarea se revisa durante la lección. La tarea fue oral, recuerda:

a) definición de trapezoide; tipos de trapecios;

b) determinar la línea media del triángulo;

c) propiedad de la línea media de un triángulo;

d) signo de la línea media del triángulo.

2. Estudiar material nuevo.

a) El tablero muestra un trapezoide ABCD.

b) El profesor te pide que recuerdes la definición de trapezoide. Cada escritorio tiene un diagrama de sugerencias para ayudarle a recordar los conceptos básicos del tema “Trapezoide” (consulte el Apéndice 1). El Apéndice 1 se entrega a cada escritorio.

Los estudiantes dibujan el trapezoide ABCD en sus cuadernos.

c) El profesor te pide que recuerdes en qué tema se encontró el concepto de línea media (“Línea media de un triángulo”). Los estudiantes recuerdan la definición de la línea media de un triángulo y sus propiedades.

e) Anotar la definición de la línea media del trapezoide, dibujándola en un cuaderno.

linea media Un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de sus lados.

La propiedad de la línea media de un trapezoide aún no se ha demostrado en esta etapa, por lo que la siguiente etapa de la lección consiste en trabajar para demostrar la propiedad de la línea media de un trapezoide.

Teorema. La línea media del trapezoide es paralela a sus bases e igual a su media suma.

Dado: ABCD – trapezoide,

MN – línea media ABCD

Probar, Qué:

1. antes de Cristo || MN || ANUNCIO.

2. MN = (AD + BC).

Podemos escribir algunos corolarios que se derivan de las condiciones del teorema:

AM = MB, CN = ND, BC || ANUNCIO.

Es imposible demostrar lo que se requiere basándose únicamente en las propiedades enumeradas. El sistema de preguntas y ejercicios debe llevar a los estudiantes al deseo de conectar la línea media de un trapezoide con la línea media de algún triángulo cuyas propiedades ya conocen. Si no hay propuestas, entonces podemos hacer la pregunta: ¿cómo construir un triángulo para el cual el segmento MN sería la línea media?

Anotemos una construcción adicional para uno de los casos.

Dibujemos una línea recta BN que corte la continuación del lado AD en el punto K.

Aparecen elementos adicionales: triángulos: ABD, BNM, DNK, BCN. Si demostramos que BN = NK, entonces esto significará que MN es la línea media de ABD, y luego podemos usar la propiedad de la línea media de un triángulo y demostrar lo necesario.

Prueba:

1. Considere BNC y DNK, contienen:

a) CNB =DNK (propiedad de los ángulos verticales);

b) BCN = NDK (propiedad de los ángulos internos transversales);

c) CN = ND (por corolario de las condiciones del teorema).

Esto significa BNC =DNK (por el lado y dos ángulos adyacentes).

Q.E.D.

La prueba se puede hacer oralmente en clase, y reconstruirla y anotarla en un cuaderno en casa (a criterio del profesor).

Es necesario decir sobre otras posibles formas de demostrar este teorema:

1. Dibuja una de las diagonales del trapecio y usa el signo y la propiedad de la línea media del triángulo.

2. Realizar CF || BA y considere el paralelogramo ABCF y DCF.

3. Realizar EF || BA y considere la igualdad de FND y ENC.

g) En esta etapa se asignan tareas: párrafo 84, edición del libro de texto. Atanasian L.S. (prueba de la propiedad de la línea media de un trapecio mediante un método vectorial), anótala en tu cuaderno.

h) Resolvemos problemas utilizando la definición y las propiedades de la línea media de un trapezoide utilizando dibujos ya hechos (ver Apéndice 2). Se entrega el Apéndice 2 a cada alumno y la solución de los problemas se escribe en la misma hoja de forma breve.

Un cuadrilátero en el que sólo dos lados son paralelos se llama trapezoide.

Los lados paralelos de un trapezoide se llaman sus razones, y aquellos lados que no son paralelos se llaman lados. Si los lados son iguales, entonces dicho trapezoide es isósceles. La distancia entre las bases se llama altura del trapezoide.

Trapezoide de línea media

La línea media es un segmento que conecta los puntos medios de los lados del trapezoide. La línea media del trapezoide es paralela a sus bases.

Teorema:

Si la línea recta que cruza el centro de un lado es paralela a las bases del trapezoide, entonces biseca el segundo lado del trapezoide.

Teorema:

La longitud de la línea media es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases.

MN || AB || corriente continua
AM = MD; BN=NC

MN línea media, AB y CD - bases, AD y BC - lados laterales

MN = (AB + DC)/2

Teorema:

La longitud de la línea media de un trapezoide es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases.

tarea principal: Demuestre que la línea media de un trapezoide biseca un segmento cuyos extremos se encuentran en el medio de las bases del trapezoide.

Línea media del triángulo

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo se llama línea media del triángulo. Es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad de la longitud del tercer lado.
Teorema: Si una línea que corta el punto medio de un lado de un triángulo es paralela al otro lado del triángulo, entonces biseca el tercer lado.

AM = MC y BN = NC =>

Aplicar las propiedades de la línea media de un triángulo y un trapezoide.

Dividir un segmento en un número determinado de partes iguales.
Tarea: Divida el segmento AB en 5 partes iguales.
Solución:
Sea p un rayo aleatorio cuyo origen es el punto A y que no está en la recta AB. Reservamos secuencialmente 5 segmentos iguales en p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Conectamos A 5 con B y trazamos líneas a través de A 4, A 3, A 2 y A 1 que son paralelas a A 5 B. Se cruzan con AB respectivamente en los puntos B 4, B 3, B 2 y B 1. Estos puntos dividen el segmento AB en 5 partes iguales. De hecho, del trapecio BB 3 A 3 A 5 vemos que BB 4 = B 4 B 3. De la misma forma, del trapezoide B 4 B 2 A 2 A 4 obtenemos B 4 B 3 = B 3 B 2

Mientras que del trapezoide B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Luego de B 2 AA 2 se deduce que B 2 B 1 = B 1 A. En conclusión obtenemos:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Está claro que para dividir el segmento AB en otro número de partes iguales, necesitamos proyectar el mismo número de segmentos iguales sobre el rayo p. Y luego continúe de la manera descrita anteriormente.

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