El concepto de ángulo inscrito y central.
Primero introduzcamos el concepto de ángulo central.
Nota 1
Tenga en cuenta que La medida en grados de un ángulo central es igual a la medida en grados del arco sobre el que descansa..
Introduzcamos ahora el concepto de ángulo inscrito.
Definición 2
Un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados cortan el mismo círculo se llama ángulo inscrito (Fig. 2).
Figura 2. Ángulo inscrito
Teorema del ángulo inscrito
Teorema 1
La medida en grados de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida en grados del arco sobre el que descansa.
Prueba.
Se nos dará un círculo con centro en el punto $O$. Denotemos el ángulo inscrito $ACB$ (Fig. 2). Son posibles los siguientes tres casos:
- El rayo $CO$ coincide con cualquier lado del ángulo. Sea este el lado $CB$ (Fig. 3).
Figura 3.
En este caso, el arco $AB$ es menor que $(180)^(()^\circ )$, por lo tanto el ángulo central $AOB$ es igual al arco $AB$. Como $AO=OC=r$, entonces el triángulo $AOC$ es isósceles. Esto significa que los ángulos base $CAO$ y $ACO$ son iguales entre sí. Según el teorema del ángulo externo de un triángulo, tenemos:
- El rayo $CO$ divide un ángulo interior en dos ángulos. Deje que cruce el círculo en el punto $D$ (Fig. 4).
Figura 4.
obtenemos
- El rayo $CO$ no divide el ángulo interior en dos ángulos y no coincide con ninguno de sus lados (Fig. 5).
Figura 5.
Consideremos los ángulos $ACD$ y $DCB$ por separado. De acuerdo a lo demostrado en el punto 1, obtenemos
obtenemos
El teorema ha sido demostrado.
vamos a dar consecuencias de este teorema.
Corolario 1: Los ángulos inscritos que descansan sobre un mismo arco son iguales entre sí.
Corolario 2: Un ángulo inscrito que subtiende un diámetro es un ángulo recto.
Hoy veremos otro tipo de problema 6, esta vez con un círculo. A muchos estudiantes no les gustan y les resultan difíciles. Y completamente en vano, ya que tales problemas se resuelven. elemental, si conoces algunos teoremas. O no se atreven en absoluto si no los conoces.
Antes de hablar de las propiedades principales, permítanme recordarles la definición:
Un ángulo inscrito es aquel cuyo vértice se encuentra en el propio círculo y cuyos lados cortan una cuerda en este círculo.
Un ángulo central es cualquier ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo. Sus lados también intersecan este círculo y tallan una cuerda en él.
Entonces, los conceptos de ángulos inscritos y centrales están indisolublemente ligados al círculo y las cuerdas en su interior. Y ahora la declaración principal:
Teorema. El ángulo central es siempre el doble del ángulo inscrito, basado en el mismo arco.
A pesar de la sencillez de la afirmación, hay toda una clase de problemas 6 que se pueden resolver con ella y nada más.
Tarea. Encuentre un ángulo inscrito agudo subtendido por una cuerda igual al radio del círculo.
Sea AB la cuerda considerada y O el centro del círculo. Construcción adicional: OA y OB son los radios del círculo. Obtenemos:
Considere el triángulo ABO. En él AB = OA = OB - todos los lados son iguales al radio del círculo. Por lo tanto, el triángulo ABO es equilátero y todos sus ángulos miden 60°.
Sea M el vértice del ángulo inscrito. Como los ángulos O y M descansan sobre el mismo arco AB, el ángulo inscrito M es 2 veces menor que el ángulo central O. Tenemos:
M = O: 2 = 60: 2 = 30
Tarea. El ángulo central es 36° mayor que el ángulo inscrito subtendido por el mismo arco de círculo. Encuentra el ángulo inscrito.
Introduzcamos la siguiente notación:
- AB es la cuerda del círculo;
- El punto O es el centro del círculo, por lo que el ángulo AOB es el ángulo central;
- El punto C es el vértice del ángulo inscrito ACB.
Como estamos buscando el ángulo inscrito ACB, denotémoslo ACB = x. Entonces el ángulo central AOB es x + 36. Por otro lado, el ángulo central es 2 veces el ángulo inscrito. Tenemos:
AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.
Entonces encontramos el ángulo inscrito AOB: es igual a 36°.
Un circulo es un angulo de 360°
Después de leer el subtítulo, los lectores expertos probablemente dirán: “¡Uf!” De hecho, comparar un círculo con un ángulo no es del todo correcto. Para entender de qué estamos hablando, eche un vistazo al círculo trigonométrico clásico:
¿Para qué es esta imagen? Y además, una rotación completa es un ángulo de 360 grados. Y si lo divides, digamos, en 20 partes iguales, entonces el tamaño de cada una de ellas será 360: 20 = 18 grados. Esto es exactamente lo que se requiere para resolver el problema B8.
Los puntos A, B y C se encuentran en el círculo y lo dividen en tres arcos, cuyas medidas en grados están en la proporción 1: 3: 5. Encuentre el ángulo mayor del triángulo ABC.
Primero, encontremos la medida en grados de cada arco. Sea el más pequeño x. En la figura este arco se designa AB. Entonces los arcos restantes (BC y AC) se pueden expresar en términos de AB: arco BC = 3x; CA = 5x. En total, estos arcos dan 360 grados:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.
Consideremos ahora un arco grande AC que no contiene el punto B. Este arco, al igual que el ángulo central correspondiente AOC, es 5x = 5 40 = 200 grados.
El ángulo ABC es el mayor de todos los ángulos de un triángulo. Es un ángulo inscrito subtendido por el mismo arco que el ángulo central AOC. Esto significa que el ángulo ABC es 2 veces menor que AOC. Tenemos:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Esta será la medida en grados del ángulo mayor en el triángulo ABC.
Círculo circunscrito alrededor de un triángulo rectángulo.
Mucha gente olvida este teorema. Pero en vano, porque algunos problemas del B8 no se pueden resolver sin él. Más precisamente, están resueltos, pero con tal volumen de cálculos que preferirías quedarte dormido antes que llegar a la respuesta.
Teorema. El centro de un círculo circunscrito alrededor de un triángulo rectángulo se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.
¿Qué se sigue de este teorema?
- El punto medio de la hipotenusa equidista de todos los vértices del triángulo. Ésta es una consecuencia directa del teorema;
- La mediana trazada hasta la hipotenusa divide el triángulo original en dos triángulos isósceles. Esto es exactamente lo que se requiere para resolver el problema B8.
En el triángulo ABC dibujamos la mediana CD. El ángulo C mide 90° y el ángulo B mide 60°. Encuentra el ángulo ACD.
Como el ángulo C mide 90°, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo. Resulta que CD es la mediana trazada hacia la hipotenusa. Esto significa que los triángulos ADC y BDC son isósceles.
En particular, considere el triángulo ADC. En él AD = CD. Pero en un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales; consulte “Problema B8: Segmentos de recta y ángulos en triángulos”. Por lo tanto, el ángulo deseado ACD = A.
Entonces, queda por descubrir a qué es igual el ángulo A. Para hacer esto, volvamos nuevamente al triángulo ABC original. Denotemos el ángulo A = x. Como la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°, tenemos:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.
Por supuesto, el último problema se puede resolver de otra manera. Por ejemplo, es fácil demostrar que el triángulo BCD no es simplemente isósceles, sino equilátero. Entonces el ángulo BCD es de 60 grados. Por tanto, el ángulo ACD es 90 − 60 = 30 grados. Como ves, puedes utilizar diferentes triángulos isósceles, pero la respuesta siempre será la misma.
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El ángulo ABC es un ángulo inscrito. Se apoya sobre el arco AC, encerrado entre sus lados (Fig. 330).
Teorema. Un ángulo inscrito se mide por la mitad del arco en el que se subtiende.
Esto debe entenderse de esta manera: un ángulo inscrito contiene tantos grados, minutos y segundos angulares como grados, minutos y segundos de arco contenidos en la mitad del arco sobre la que descansa.
Al demostrar este teorema se deben considerar tres casos.
Primer caso. El centro del círculo se encuentra en el lado del ángulo inscrito (Fig. 331).
Sea ∠ABC un ángulo inscrito y el centro del círculo O se encuentra en el lado BC. Se requiere demostrar que se mide mediante medio arco AC.
Conectemos el punto A con el centro del círculo. Obtenemos un \(\Delta\)AOB isósceles, en el que AO = OB, como los radios del mismo círculo. Por lo tanto, ∠A = ∠B.
∠AOC es externo al triángulo AOB, entonces ∠AOC = ∠A + ∠B, y como los ángulos A y B son iguales, entonces ∠B es 1/2 ∠AOC.
Pero ∠AOC se mide por el arco AC, por lo tanto ∠B se mide por la mitad del arco AC.
Por ejemplo, si \(\breve(AC)\) contiene 60°18', entonces ∠B contiene 30°9'.
Segundo caso. El centro del círculo se encuentra entre los lados del ángulo inscrito (Fig. 332).
Sea ∠ABD un ángulo inscrito. El centro del círculo O se encuentra entre sus lados. Necesitamos demostrar que ∠ABD se mide por la mitad del arco AD.
Para demostrar esto, dibujemos el diámetro BC. El ángulo ABD se divide en dos ángulos: ∠1 y ∠2.
∠1 se mide por medio arco AC, y ∠2 se mide por medio arco CD, por lo tanto, el ∠ABD completo se mide por 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), es decir, medio arco AD.
Por ejemplo, si \(\breve(AD)\) contiene 124°, entonces ∠B contiene 62°.
Tercer caso. El centro del círculo se encuentra fuera del ángulo inscrito (Fig. 333).
Sea ∠MAD un ángulo inscrito. El centro del círculo O está fuera de la esquina. Necesitamos demostrar que ∠MAD se mide por la mitad del arco MD.
Para demostrar esto, dibujemos el diámetro AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Pero ∠MAB mide 1/2 \(\breve(MB)\), y ∠DAB mide 1/2 \(\breve(DB)\).
Por lo tanto, ∠MAD mide 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), es decir, 1 / 2 \(\breve(MD)\).
Por ejemplo, si \(\breve(MD)\) contiene 48° 38", entonces ∠MAD contiene 24° 19' 8".
Consecuencias
1.
Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales entre sí, ya que se miden por la mitad del mismo arco.
(Figura 334, a).
2. Un ángulo inscrito subtendido por un diámetro es un ángulo recto, ya que subtiende medio círculo. Medio círculo contiene 180 grados de arco, lo que significa que el ángulo basado en el diámetro contiene 90 grados de arco (Fig. 334, b).
ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
ángulo inscrito- un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados lo cortan.
La figura muestra los ángulos centrales e inscritos, así como sus propiedades más importantes.
Entonces, la magnitud del ángulo central es igual a la magnitud angular del arco sobre el que descansa. Esto significa que un ángulo central de 90 grados descansará sobre un arco igual a 90°, es decir, un círculo. El ángulo central, igual a 60°, descansa sobre un arco de 60 grados, es decir, sobre la sexta parte del círculo.
La magnitud del ángulo inscrito es dos veces menor que el ángulo central basado en el mismo arco..
Además, para resolver problemas necesitaremos el concepto de “acorde”.
Ángulos centrales iguales subtienden cuerdas iguales.
1. ¿Cuál es el ángulo inscrito subtendido por el diámetro del círculo? Da tu respuesta en grados.
Un ángulo inscrito subtendido por un diámetro es un ángulo recto.
2. El ángulo central es 36° mayor que el ángulo agudo inscrito subtendido por el mismo arco circular. Encuentra el ángulo inscrito. Da tu respuesta en grados.
Sea el ángulo central igual a x y el ángulo inscrito subtendido por el mismo arco sea igual a y.
Sabemos que x = 2y.
Por tanto 2y = 36 + y,
y = 36.
3. El radio del círculo es igual a 1. Calcula el valor del ángulo obtuso inscrito subtendido por la cuerda, igual a . Da tu respuesta en grados.
Sea la cuerda AB igual a . El ángulo obtuso inscrito basado en esta cuerda se denotará por α.
En el triángulo AOB, los lados AO y OB son iguales a 1, el lado AB es igual a . Ya nos hemos encontrado con triángulos de este tipo. Obviamente, el triángulo AOB es rectangular e isósceles, es decir, el ángulo AOB mide 90°.
Entonces el arco ACB es igual a 90° y el arco AKB es igual a 360° - 90° = 270°.
El ángulo inscrito α descansa sobre el arco AKB y es igual a la mitad del valor angular de este arco, es decir, 135°.
Respuesta: 135.
4. La cuerda AB divide el círculo en dos partes, cuyos valores de grados están en la proporción 5:7. ¿En qué ángulo es visible esta cuerda desde el punto C, que pertenece al arco más pequeño del círculo? Da tu respuesta en grados.
Lo principal en esta tarea es el correcto dibujo y comprensión de las condiciones. ¿Cómo entiendes la pregunta: "¿En qué ángulo es visible la cuerda desde el punto C?"
Imagina que estás sentado en el punto C y necesitas ver todo lo que sucede en el acorde AB. Es como si el acorde AB fuera una pantalla de cine :-)
Obviamente, necesitas encontrar el ángulo ACB.
La suma de los dos arcos en que la cuerda AB divide la circunferencia es igual a 360°, es decir
5x + 7x = 360°
Por tanto x = 30°, y entonces el ángulo inscrito ACB descansa sobre un arco igual a 210°.
La magnitud del ángulo inscrito es igual a la mitad de la magnitud angular del arco sobre el que descansa, lo que significa que el ángulo ACB es igual a 105°.