Este tema puede parecer complicado al principio debido a la gran cantidad de fórmulas no tan simples. Las ecuaciones cuadráticas no sólo tienen notaciones largas, sino que las raíces también se encuentran a través del discriminante. En total se obtienen tres nuevas fórmulas. No es muy fácil de recordar. Esto sólo es posible después de resolver dichas ecuaciones con frecuencia. Entonces todas las fórmulas serán recordadas por sí mismas.

Vista general de una ecuación cuadrática.

Aquí proponemos su registro explícito, cuando se escribe primero el grado mayor y luego en orden descendente. A menudo hay situaciones en las que los términos son inconsistentes. Entonces es mejor reescribir la ecuación en orden descendente del grado de la variable.

Introduzcamos algo de notación. Se presentan en la siguiente tabla.

Si aceptamos estas notaciones, todas las ecuaciones cuadráticas se reducen a la siguiente notación.

Además, el coeficiente a ≠ 0. Designemos esta fórmula como la número uno.

Cuando se da una ecuación, no está claro cuántas raíces habrá en la respuesta. Porque siempre es posible una de tres opciones:

• la solución tendrá dos raíces;
• la respuesta será un número;
• la ecuación no tendrá raíces en absoluto.

Y hasta que se tome una decisión, es difícil entender qué opción aparecerá en un caso particular.

Tipos de registros de ecuaciones cuadráticas.

Puede haber diferentes entradas en las tareas. No siempre se parecerán a la fórmula de ecuación cuadrática general. A veces faltarán algunos términos. Lo que se escribió arriba es la ecuación completa. Si eliminas el segundo o tercer término, obtienes algo más. Estos registros también se llaman ecuaciones cuadráticas, solo que incompletos.

Además, sólo pueden desaparecer los términos con coeficientes “b” y “c”. El número "a" no puede ser igual a cero bajo ninguna circunstancia. Porque en este caso la fórmula se convierte en una ecuación lineal. Las fórmulas para la forma incompleta de las ecuaciones serán las siguientes:

Entonces, solo hay dos tipos; además de las completas, también existen las ecuaciones cuadráticas incompletas. Sea la primera fórmula la número dos y la segunda el tres.

Discriminante y dependencia del número de raíces de su valor.

Necesitas conocer este número para poder calcular las raíces de la ecuación. Siempre se puede calcular, sin importar cuál sea la fórmula de la ecuación cuadrática. Para calcular el discriminante es necesario utilizar la igualdad escrita a continuación, que tendrá el número cuatro.

Después de sustituir los valores de los coeficientes en esta fórmula, puede obtener números con diferentes signos. Si la respuesta es sí, entonces la respuesta a la ecuación serán dos raíces diferentes. Si el número es negativo, no habrá raíces en la ecuación cuadrática. Si es igual a cero, solo habrá una respuesta.

¿Cómo resolver una ecuación cuadrática completa?

De hecho, ya se ha comenzado a considerar esta cuestión. Porque primero necesitas encontrar un discriminante. Una vez que se determina que existen raíces de la ecuación cuadrática y se conoce su número, es necesario utilizar fórmulas para las variables. Si hay dos raíces, entonces debes aplicar la siguiente fórmula.

Como contiene un signo “±”, habrá dos significados. La expresión bajo el signo de la raíz cuadrada es el discriminante. Por tanto, la fórmula se puede reescribir de otra manera.

Fórmula número cinco. Del mismo registro se desprende claramente que si el discriminante es igual a cero, entonces ambas raíces tomarán los mismos valores.

Si aún no se ha resuelto la resolución de ecuaciones cuadráticas, entonces es mejor anotar los valores de todos los coeficientes antes de aplicar las fórmulas discriminantes y variables. Posteriormente este momento no causará dificultades. Pero al principio hay confusión.

¿Cómo resolver una ecuación cuadrática incompleta?

Aquí todo es mucho más sencillo. Ni siquiera son necesarias fórmulas adicionales. Y los que ya han sido escritos para el discriminante y el desconocido no serán necesarios.

Primero, veamos la ecuación incompleta número dos. En esta igualdad es necesario sacar la incógnita de entre paréntesis y resolver la ecuación lineal, que quedará entre paréntesis. La respuesta tendrá dos raíces. El primero es necesariamente igual a cero, porque hay un multiplicador formado por la propia variable. El segundo se obtendrá resolviendo una ecuación lineal.

La ecuación incompleta número tres se resuelve moviendo el número del lado izquierdo de la igualdad hacia la derecha. Luego debes dividir por el coeficiente frente a la incógnita. Ya sólo queda extraer la raíz cuadrada y recordar escribirla dos veces con signos opuestos.

A continuación se muestran algunas acciones que te ayudarán a aprender a resolver todo tipo de igualdades que se convierten en ecuaciones cuadráticas. Ayudarán al alumno a evitar errores por falta de atención. Estas deficiencias pueden provocar malas calificaciones al estudiar el extenso tema "Ecuaciones cuadráticas (8º grado)". Posteriormente, no será necesario realizar estas acciones constantemente. Porque aparecerá una habilidad estable.

• Primero necesitas escribir la ecuación en forma estándar. Es decir, primero el término con el mayor grado de la variable, luego, sin grado, y por último, solo un número.

• Si aparece un signo menos antes del coeficiente "a", esto puede complicar el trabajo de un principiante que estudia ecuaciones cuadráticas. Es mejor deshacerse de él. Para ello, toda igualdad debe multiplicarse por “-1”. Esto significa que todos los términos cambiarán de signo al contrario.

• Se recomienda deshacerse de las fracciones de la misma forma. Simplemente multiplica la ecuación por el factor apropiado para que los denominadores se cancelen.

Ejemplos

Se requiere resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:

x2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La primera ecuación: x 2 − 7x = 0. Está incompleta, por lo tanto se resuelve como se describe para la fórmula número dos.

Después de sacarlo de paréntesis, resulta: x (x - 7) = 0.

La primera raíz toma el valor: x 1 = 0. La segunda se encontrará a partir de la ecuación lineal: x - 7 = 0. Es fácil ver que x 2 = 7.

Segunda ecuación: 5x 2 + 30 = 0. Nuevamente incompleta. Sólo se resuelve como se describe para la tercera fórmula.

Después de mover 30 al lado derecho de la ecuación: 5x 2 = 30. Ahora necesitas dividir entre 5. Resulta: x 2 = 6. Las respuestas serán los números: x 1 = √6, x 2 = - √6.

La tercera ecuación: 15 − 2x − x 2 = 0. De ahora en adelante, la resolución de ecuaciones cuadráticas comenzará reescribiéndolas en forma estándar: − x 2 − 2x + 15 = 0. Ahora es el momento de usar el segundo consejo útil y multiplicar todo por menos uno . Resulta x 2 + 2x - 15 = 0. Usando la cuarta fórmula, necesitas calcular el discriminante: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Es un número positivo. De lo dicho anteriormente, resulta que la ecuación tiene dos raíces. Deben calcularse utilizando la quinta fórmula. Resulta que x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Entonces x 1 = 3, x 2 = - 5.

La cuarta ecuación x 2 + 8 + 3x = 0 se transforma en esta: x 2 + 3x + 8 = 0. Su discriminante es igual a este valor: -23. Como este número es negativo, la respuesta a esta tarea será la siguiente entrada: "No hay raíces".

La quinta ecuación 12x + x 2 + 36 = 0 debe reescribirse de la siguiente manera: x 2 + 12x + 36 = 0. Después de aplicar la fórmula del discriminante, se obtiene el número cero. Esto significa que tendrá una raíz, a saber: x = -12/ (2 * 1) = -6.

La sexta ecuación (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) requiere transformaciones, que consisten en traer términos similares abriendo primero los paréntesis. En lugar de la primera habrá la siguiente expresión: x 2 + 2x + 1. Después de la igualdad, aparecerá esta entrada: x 2 + 3x + 2. Después de contar los términos similares, la ecuación tomará la forma: x 2 - x = 0. Se ha vuelto incompleto. Algo parecido a esto ya se ha comentado un poco más arriba. Las raíces de esto serán los números 0 y 1.

trabajemos con ecuaciones cuadráticas. ¡Estas son ecuaciones muy populares! En su forma más general, una ecuación cuadrática se ve así:

Por ejemplo:

Aquí A =1; b = 3; C = -4

Aquí A =2; b = -0,5; C = 2,2

Aquí A =-3; b = 6; C = -18

Bueno, entiendes...

¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas? Si tienes una ecuación cuadrática frente a ti en esta forma, entonces todo es simple. Recuerda la palabra mágica discriminante . ¡Rara vez un estudiante de secundaria no ha escuchado esta palabra! La frase “resolvemos a través de un discriminante” inspira confianza y tranquilidad. ¡Porque no hay necesidad de esperar trucos del discriminante! Es simple y sin problemas de usar. Entonces, la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática se ve así:

La expresión bajo el signo de la raíz es la que discriminante. Como puedes ver, para encontrar X, usamos solo a, b y c. Aquellos. coeficientes de una ecuación cuadrática. Simplemente sustituye cuidadosamente los valores. a, b y c Esta es la fórmula que calculamos. sustituyamos ¡Con tus propios carteles! Por ejemplo, para la primera ecuación A =1; b = 3; C= -4. Aquí lo anotamos:

El ejemplo está casi resuelto:

Eso es todo.

¿Qué casos son posibles al utilizar esta fórmula? Sólo hay tres casos.

1. El discriminante es positivo. Esto significa que se puede extraer la raíz. Otra cuestión es si la raíz se extrae bien o mal. Lo importante es lo que se extrae en principio. Entonces tu ecuación cuadrática tiene dos raíces. Dos soluciones diferentes.

2. El discriminante es cero. Entonces tienes una solución. Estrictamente hablando, esta no es una raíz, sino dos identicos. Pero esto juega un papel en las desigualdades, tema donde estudiaremos el tema con más detalle.

3. El discriminante es negativo. No se puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Bueno esta bien. Esto significa que no hay soluciones.

Todo es muy sencillo. ¿Y qué, crees que es imposible equivocarse? Pues sí, ¿cómo...?
Los errores más comunes son la confusión con los valores de los signos. a, b y c. O mejor dicho, no con sus signos (¿dónde confundirse?), sino con la sustitución de valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Lo que ayuda aquí es una grabación detallada de la fórmula con números específicos. Si hay problemas con los cálculos, Haz eso!

Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:

Aquí a = -6; segundo = -5; c = -1

Digamos que sabes que rara vez obtienes respuestas la primera vez.

Bueno, no seas perezoso. Se necesitarán unos 30 segundos para escribir una línea adicional y la cantidad de errores. disminuirá drásticamente. Así que escribimos detalladamente, con todos los corchetes y signos:

Parece increíblemente difícil escribir con tanto cuidado. Pero sólo lo parece. Darle una oportunidad. Bueno, o elige. ¿Qué es mejor, rápido o correcto? Además, te haré feliz. Después de un tiempo, no será necesario escribir todo con tanto cuidado. Funcionará por sí solo. Especialmente si utiliza técnicas prácticas que se describen a continuación. ¡Este malvado ejemplo con un montón de desventajas se puede resolver fácilmente y sin errores!

Entonces, cómo resolver ecuaciones cuadráticas a través del discriminante que recordamos. O aprendieron, lo cual también es bueno. Sabes determinar correctamente. a, b y c. ¿Sabes cómo? atentamente sustituirlos en la fórmula raíz y atentamente contar el resultado. Entiendes que la palabra clave aquí es ¿atentamente?

Sin embargo, las ecuaciones cuadráticas suelen verse ligeramente diferentes. Por ejemplo, así:

Este ecuaciones cuadráticas incompletas . También se pueden resolver mediante un discriminante. Solo necesitas entender correctamente a qué equivalen aquí. a, b y c.

¿Lo has descubierto? En el primer ejemplo a = 1; segundo = -4; A C? ¡No está ahí en absoluto! Pues sí, así es. En matemáticas esto significa que c = 0 ! Eso es todo. Sustituya cero en la fórmula. C, y lo lograremos. Lo mismo con el segundo ejemplo. Sólo que aquí no tenemos cero. Con, A b !

Pero las ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver de manera mucho más sencilla. Sin discriminación alguna. Consideremos la primera ecuación incompleta. ¿Qué puedes hacer en el lado izquierdo? ¡Puedes quitar X de los paréntesis! Saquémoslo.

¿Y qué de esto? ¡Y el hecho de que el producto es igual a cero si y sólo si alguno de los factores es igual a cero! ¿No me crees? Bien, entonces piensa en dos números distintos de cero que, cuando se multipliquen, ¡darán cero!
¿No funciona? Eso es todo...
Por lo tanto, podemos escribir con confianza: x = 0, o x = 4

Todo. Estas serán las raíces de nuestra ecuación. Ambos son adecuados. Al sustituir cualquiera de ellos en la ecuación original, obtenemos la identidad correcta 0 = 0. Como puedes ver, la solución es mucho más sencilla que usar un discriminante.

La segunda ecuación también se puede resolver de forma sencilla. Mueva 9 hacia el lado derecho. Obtenemos:

Sólo queda extraer la raíz del 9 y listo. Resultará:

También dos raíces . x = +3 y x = -3.

Así se resuelven todas las ecuaciones cuadráticas incompletas. Ya sea colocando X entre corchetes o simplemente moviendo el número hacia la derecha y luego extrayendo la raíz.
Es extremadamente difícil confundir estas técnicas. Simplemente porque en el primer caso tendrás que extraer la raíz de X, que es algo incomprensible, y en el segundo caso no hay nada que sacar entre paréntesis...

Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente la cantidad de errores. Los mismos que son por falta de atención... Por lo que luego se vuelve doloroso y ofensivo...

Primera cita. No seas perezoso antes de resolver una ecuación cuadrática y llevarla a su forma estándar. ¿Qué quiere decir esto?
Digamos que después de todas las transformaciones se obtiene la siguiente ecuación:

¡No te apresures a escribir la fórmula raíz! Es casi seguro que las probabilidades se mezclarán a, b y c. Construya el ejemplo correctamente. Primero, X al cuadrado, luego sin cuadrado, luego el término libre. Como esto:

Y de nuevo, ¡no te apresures! Un signo menos delante de una X al cuadrado puede realmente molestarte. Es fácil de olvidar... Deshazte de los menos. ¿Cómo? ¡Sí, como se enseñó en el tema anterior! Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:

Pero ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y terminar de resolver el ejemplo. Decide por ti mismo. Ahora deberías tener las raíces 2 y -1.

La segunda recepción.¡Comprueba las raíces! Según el teorema de Vieta. ¡No te asustes, te lo explicaré todo! Comprobación última cosa la ecuacion. Aquellos. el que usamos para escribir la fórmula raíz. Si (como en este ejemplo) el coeficiente un = 1, comprobar las raíces es fácil. Basta multiplicarlos. El resultado debería ser un miembro gratuito, es decir. en nuestro caso -2. ¡Tenga en cuenta que no 2, sino -2! Miembro gratuito con tu signo . Si no funciona, significa que ya se han equivocado en alguna parte. Busque el error. Si funciona, necesitas agregar las raíces. Última y definitiva comprobación. El coeficiente debe ser b Con opuesto familiar. En nuestro caso -1+2 = +1. un coeficiente b, que está antes de la X, es igual a -1. Entonces, ¡todo es correcto!
Es una pena que esto sea tan simple sólo para ejemplos donde x al cuadrado es puro, con un coeficiente un = 1.¡Pero al menos comprueba esas ecuaciones! Cada vez habrá menos errores.

Recepción tercero. Si tu ecuación tiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplica la ecuación por un denominador común como se describe en la sección anterior. Cuando se trabaja con fracciones, los errores siguen apareciendo por alguna razón...

Por cierto, prometí simplificar el malvado ejemplo con un montón de desventajas. ¡Por favor! Aquí está él.

Para no confundirnos con los inconvenientes, multiplicamos la ecuación por -1. Obtenemos:

¡Eso es todo! ¡Resolver es un placer!

Entonces, resumamos el tema.

Consejos prácticos:

1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a su forma estándar y la construimos. Bien.

2. Si delante de la X al cuadrado hay un coeficiente negativo, lo eliminamos multiplicando toda la ecuación por -1.

3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el factor correspondiente.

4. Si x al cuadrado es puro, su coeficiente es igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente usando el teorema de Vieta. ¡Hazlo!

Ecuaciones fraccionarias. ODZ.

Seguimos dominando las ecuaciones. Ya sabemos cómo trabajar con ecuaciones lineales y cuadráticas. Queda la última vista - ecuaciones fraccionarias. O también se les llama mucho más respetablemente: ecuaciones racionales fraccionarias. Es lo mismo.

Ecuaciones fraccionarias.

Como su nombre lo indica, estas ecuaciones contienen necesariamente fracciones. Pero no sólo fracciones, sino fracciones que tienen desconocido en denominador. Al menos en uno. Por ejemplo:

Déjame recordarte que si los denominadores son sólo números, estas son ecuaciones lineales.

como decidir ecuaciones fraccionarias? En primer lugar, ¡deshazte de las fracciones! Después de esto, la ecuación suele volverse lineal o cuadrática. Y entonces sabemos qué hacer... En algunos casos puede convertirse en una identidad, como 5=5 o una expresión incorrecta, como 7=2. Pero esto rara vez sucede. Mencionaré esto a continuación.

¿Pero cómo deshacerse de las fracciones? Muy simple. Aplicando las mismas transformaciones idénticas.

Necesitamos multiplicar toda la ecuación por la misma expresión. ¡Para que se reduzcan todos los denominadores! Inmediatamente todo será más fácil. Dejame explicarte con un ejemplo. Necesitamos resolver la ecuación:

¿Cómo te enseñaron en la escuela primaria? Movemos todo hacia un lado, lo llevamos a un denominador común, etc. ¡Olvídalo como un mal sueño! Esto es lo que debes hacer al sumar o restar fracciones. O trabajas con desigualdades. Y en las ecuaciones, multiplicamos inmediatamente ambos lados por una expresión que nos permitirá reducir todos los denominadores (es decir, en esencia, por un denominador común). ¿Y cuál es esta expresión?

En el lado izquierdo, reducir el denominador requiere multiplicar por x+2. Y a la derecha, se requiere multiplicar por 2. Esto significa que la ecuación debe multiplicarse por. 2(x+2). Multiplicar:

Esta es una multiplicación común de fracciones, pero la describiré en detalle:

Tenga en cuenta que todavía no voy a abrir el soporte. (x+2)! Así, en su totalidad, lo escribo:

En el lado izquierdo se contrae completamente. (x+2), y a la derecha 2. ¡Que es lo que se requería! Después de la reducción obtenemos lineal la ecuacion:

¡Y todos pueden resolver esta ecuación! x = 2.

Resolvamos otro ejemplo, un poco más complicado:

Si recordamos que 3 = 3/1, y 2x = 2x/ 1, podemos escribir:

Y nuevamente nos deshacemos de lo que realmente no nos gusta: las fracciones.

Vemos que para reducir el denominador a X, necesitamos multiplicar la fracción por (x – 2). Y algunos no son un obstáculo para nosotros. Bueno, multipliquemos. Todo lado izquierdo y todo lado derecho:

Paréntesis de nuevo (x – 2) No estoy revelando. ¡Trabajo con el bracket en su conjunto como si fuera un número! Esto debe hacerse siempre, de lo contrario no se reducirá nada.

Con un sentimiento de profunda satisfacción reducimos (x – 2)¡Y obtenemos una ecuación sin fracciones, con regla!

Ahora abramos los corchetes:

Traemos otros similares, movemos todo hacia el lado izquierdo y obtenemos:

Ecuación cuadrática clásica. Pero el inconveniente que tenemos por delante no es bueno. Siempre puedes deshacerte de él multiplicando o dividiendo por -1. Pero si observas detenidamente el ejemplo, notarás que es mejor dividir esta ecuación entre -2. ¡De una sola vez, el inconveniente desaparecerá y las probabilidades se volverán más atractivas! Dividir por -2. En el lado izquierdo, término por término, y en el derecho, simplemente dividimos cero entre -2, cero y obtenemos:

Resolvemos mediante el discriminante y comprobamos mediante el teorema de Vieta. Obtenemos x = 1 y x = 3. Dos raíces.

Como puedes ver, en el primer caso la ecuación después de la transformación se volvió lineal, pero aquí se vuelve cuadrática. Sucede que después de deshacerse de las fracciones, todas las X se reducen. Algo queda, como 5=5. Esto significa que x puede ser cualquier cosa. Sea lo que sea, seguirá siendo reducido. Y resulta ser pura verdad, 5=5. Pero, después de deshacernos de las fracciones, puede resultar completamente falso, como 2=7. Y esto significa que sin soluciones! Cualquier X resulta ser falsa.

Se dio cuenta de la solución principal. ecuaciones fraccionarias? Es simple y lógico. Cambiamos la expresión original para que todo lo que no nos gusta desaparezca. O interfiere. En este caso se trata de fracciones. Haremos lo mismo con todo tipo de ejemplos complejos con logaritmos, senos y otros horrores. Nosotros Siempre Deshagámonos de todo esto.

Sin embargo, necesitamos cambiar la expresión original en la dirección que necesitamos. De acuerdo a las reglas, si... Cuyo dominio es la preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Entonces lo estamos dominando.

Ahora aprenderemos cómo evitar uno de principales emboscadas en el Examen Estatal Unificado! Pero primero, veamos si caes en él o no.

Veamos un ejemplo sencillo:

El asunto ya nos resulta familiar, multiplicamos ambos lados por (x – 2), obtenemos:

Te recuerdo, entre corchetes (x – 2)¡Trabajamos como si fuera una sola expresión integral!

Aquí ya no escribí uno en los denominadores, es indigno... Y no puse paréntesis en los denominadores, excepto x – 2 no hay nada, no tienes que dibujar. Acortemos:

Abra los paréntesis, mueva todo hacia la izquierda y proporcione otros similares:

Resolvemos, comprobamos, obtenemos dos raíces. x = 2 Y x = 3. Excelente.

Supongamos que la tarea dice que se escriba la raíz, o su suma si hay más de una raíz. ¿Qué vamos a escribir?

Si decides que la respuesta es 5, fueron emboscados. Y la tarea no se le acreditará. Trabajaron en vano... La respuesta correcta es 3.

¡¿Qué pasa?! Y tratas de hacer un control. Sustituir los valores de la incógnita en original ejemplo. Y si en x = 3 todo crecerá maravillosamente junto, obtenemos 9 = 9, entonces cuando x = 2¡Será división por cero! Lo que absolutamente no puedes hacer. Medio x = 2 no es una solución y no se tiene en cuenta en la respuesta. Esta es la llamada raíz extraña o extra. Simplemente lo descartamos. La raíz final es una. x = 3.

¡¿Cómo es eso?! – Escucho exclamaciones indignadas. ¡Nos enseñaron que una ecuación se puede multiplicar por una expresión! ¡Esta es una transformación idéntica!

Sí, idéntico. Bajo una pequeña condición - la expresión por la cual multiplicamos (dividimos) - diferente de cero. A x – 2 en x = 2 es igual a cero! Entonces todo es justo.

¡¿Y ahora qué puedo hacer?! ¿No multiplicar por expresión? ¿Debo comprobarlo cada vez? ¡Nuevamente no está claro!

¡Tranquilamente! ¡No entrar en pánico!

En esta difícil situación, tres letras mágicas nos salvarán. Sé lo que estás pensando. ¡Bien! Este ODZ . Área de Valores Aceptables.

En la sociedad moderna, la capacidad de realizar operaciones con ecuaciones que contienen una variable al cuadrado puede resultar útil en muchas áreas de actividad y se utiliza ampliamente en la práctica en el desarrollo científico y técnico. Prueba de ello son los diseños de embarcaciones marítimas y fluviales, aviones y cohetes. Con la ayuda de tales cálculos se determinan las trayectorias de movimiento de una amplia variedad de cuerpos, incluidos los objetos espaciales. Los ejemplos con solución de ecuaciones cuadráticas se utilizan no solo en la previsión económica, en el diseño y construcción de edificios, sino también en las circunstancias cotidianas más comunes. Pueden ser necesarios en excursiones de senderismo, en eventos deportivos, en las tiendas a la hora de realizar compras y en otras situaciones muy habituales.

Dividamos la expresión en sus factores componentes.

El grado de una ecuación está determinado por el valor máximo del grado de la variable que contiene la expresión. Si es igual a 2, entonces dicha ecuación se llama cuadrática.

Si hablamos en el lenguaje de las fórmulas, entonces las expresiones indicadas, sin importar cómo se vean, siempre pueden adoptar la forma cuando el lado izquierdo de la expresión consta de tres términos. Entre ellos: ax 2 (es decir, una variable al cuadrado con su coeficiente), bx (una incógnita sin cuadrado con su coeficiente) y c (un componente libre, es decir, un número ordinario). Todo esto en el lado derecho es igual a 0. En el caso de que a dicho polinomio le falte uno de sus términos constituyentes, con excepción de ax 2, se le llama ecuación cuadrática incompleta. Primero se deben considerar ejemplos con la solución de tales problemas, cuyos valores de las variables son fáciles de encontrar.

Si la expresión parece tener dos términos en el lado derecho, más precisamente ax 2 y bx, la forma más fácil de encontrar x es poniendo la variable entre paréntesis. Ahora nuestra ecuación se verá así: x(ax+b). A continuación, resulta obvio que x=0 o el problema se reduce a encontrar una variable a partir de la siguiente expresión: ax+b=0. Esto viene dictado por una de las propiedades de la multiplicación. La regla establece que el producto de dos factores da como resultado 0 sólo si uno de ellos es cero.

Ejemplo

x=0 o 8x - 3 = 0

Como resultado, obtenemos dos raíces de la ecuación: 0 y 0,375.

Ecuaciones de este tipo pueden describir el movimiento de cuerpos bajo la influencia de la gravedad, que comenzaron a moverse desde un determinado punto tomado como origen de coordenadas. Aquí la notación matemática toma la siguiente forma: y = v 0 t + gt 2 /2. Sustituyendo los valores necesarios, igualando el lado derecho a 0 y encontrando posibles incógnitas, puedes averiguar el tiempo que pasa desde que el cuerpo sube hasta que cae, así como muchas otras cantidades. Pero hablaremos de esto más tarde.

Factorizar una expresión

La regla descrita anteriormente permite resolver estos problemas en casos más complejos. Veamos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas de este tipo.

X 2 - 33x + 200 = 0

Este trinomio cuadrático está completo. Primero, transformemos la expresión y factoricémosla. Hay dos: (x-8) y (x-25) = 0. Como resultado, tenemos dos raíces 8 y 25.

Los ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas en el noveno grado permiten que este método encuentre una variable en expresiones no solo de segundo, sino incluso de tercer y cuarto orden.

Por ejemplo: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Al factorizar el lado derecho en factores con una variable, hay tres, es decir, (x+1), (x-3) y (x+ 3).

Como resultado, resulta obvio que esta ecuación tiene tres raíces: -3; -1; 3.

Raíz cuadrada

Otro caso de ecuación de segundo orden incompleta es una expresión representada en el lenguaje de las letras de tal manera que el lado derecho se construye a partir de los componentes ax 2 y c. Aquí, para obtener el valor de la variable, el término libre se transfiere al lado derecho, y luego se extrae la raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad. Cabe señalar que en este caso suele haber dos raíces de la ecuación. Las únicas excepciones pueden ser las igualdades que no contienen ningún término con, donde la variable es igual a cero, así como variantes de expresiones cuando el lado derecho es negativo. En este último caso, no hay solución alguna, ya que las acciones anteriores no se pueden realizar con raíces. Deben considerarse ejemplos de soluciones a ecuaciones cuadráticas de este tipo.

En este caso, las raíces de la ecuación serán los números -4 y 4.

Cálculo de la superficie terrestre.

La necesidad de este tipo de cálculos apareció en la antigüedad, porque el desarrollo de las matemáticas en aquellos tiempos lejanos estuvo determinado en gran medida por la necesidad de determinar con la mayor precisión las áreas y perímetros de las parcelas de tierra.

También deberíamos considerar ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas basadas en problemas de este tipo.

Entonces, digamos que hay un terreno rectangular, cuya longitud es 16 metros mayor que su ancho. Debes encontrar el largo, ancho y perímetro del sitio si sabes que su área es 612 m 2.

Para comenzar, primero creemos la ecuación necesaria. Denotemos por x el ancho del área, luego su longitud será (x+16). De lo escrito se deduce que el área está determinada por la expresión x(x+16), que, según las condiciones de nuestro problema, es 612. Esto significa que x(x+16) = 612.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas, y esta expresión es exactamente eso, no se puede hacer de la misma manera. ¿Por qué? Aunque el lado izquierdo todavía contiene dos factores, su producto no es igual a 0 en absoluto, por lo que aquí se utilizan métodos diferentes.

discriminante

En primer lugar, haremos las transformaciones necesarias, luego la apariencia de esta expresión se verá así: x 2 + 16x - 612 = 0. Esto significa que hemos recibido la expresión en una forma correspondiente al estándar especificado anteriormente, donde a=1, b=16, c= -612.

Este podría ser un ejemplo de resolución de ecuaciones cuadráticas usando un discriminante. Aquí se realizan los cálculos necesarios según el esquema: D = b 2 - 4ac. Esta cantidad auxiliar no sólo permite encontrar las cantidades requeridas en una ecuación de segundo orden, sino que también determina el número de opciones posibles. Si D>0, hay dos; para D=0 hay una raíz. En el caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sobre las raíces y su fórmula.

En nuestro caso, el discriminante es igual a: 256 - 4(-612) = 2704. Esto sugiere que nuestro problema tiene respuesta. Si conoce k, la solución de ecuaciones cuadráticas debe continuar usando la siguiente fórmula. Te permite calcular las raíces.

Esto significa que en el caso presentado: x 1 =18, x 2 =-34. La segunda opción en este dilema no puede ser una solución, porque las dimensiones del terreno no se pueden medir en cantidades negativas, lo que significa que x (es decir, el ancho del terreno) es 18 m. De aquí calculamos la longitud: 18. +16=34, y el perímetro 2(34+ 18)=104(m2).

Ejemplos y tareas

Continuamos nuestro estudio de ecuaciones cuadráticas. A continuación se darán ejemplos y soluciones detalladas de varios de ellos.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Movamos todo al lado izquierdo de la igualdad, hacemos una transformación, es decir, obtenemos el tipo de ecuación que generalmente se llama estándar y la igualamos a cero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sumando similares, determinamos el discriminante: D = 49 - 48 = 1. Esto significa que nuestra ecuación tendrá dos raíces. Calculémoslos según la fórmula anterior, lo que significa que el primero de ellos será igual a 4/3 y el segundo a 1.

2) Ahora resolvamos acertijos de otro tipo.

Averigüemos si hay raíces aquí x 2 - 4x + 5 = 1. Para obtener una respuesta completa, reduzcamos el polinomio a la forma habitual correspondiente y calculemos el discriminante. En el ejemplo anterior, no es necesario resolver la ecuación cuadrática, porque ésta no es la esencia del problema en absoluto. En este caso, D = 16 - 20 = -4, lo que significa que realmente no hay raíces.

teorema de vieta

Es conveniente resolver ecuaciones cuadráticas utilizando las fórmulas anteriores y el discriminante, cuando la raíz cuadrada se toma del valor de este último. Pero esto no siempre sucede. Sin embargo, existen muchas formas de obtener los valores de las variables en este caso. Ejemplo: resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta. Lleva el nombre de quien vivió en el siglo XVI en Francia e hizo una brillante carrera gracias a su talento matemático y sus conexiones en la corte. Su retrato se puede ver en el artículo.

El patrón que notó el famoso francés fue el siguiente. Demostró que las raíces de la ecuación suman numéricamente -p=b/a, y su producto corresponde a q=c/a.

Ahora veamos tareas específicas.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Para simplificar, transformemos la expresión:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Usemos el teorema de Vieta, esto nos dará lo siguiente: la suma de las raíces es -7 y su producto es -18. De aquí obtenemos que las raíces de la ecuación son los números -9 y 2. Después de verificar, nos aseguraremos de que estos valores de variables realmente encajen en la expresión.

Gráfico de parábola y ecuación.

Los conceptos de función cuadrática y ecuaciones cuadráticas están estrechamente relacionados. Ya se han dado ejemplos de esto anteriormente. Ahora veamos algunos acertijos matemáticos con un poco más de detalle. Cualquier ecuación del tipo descrito se puede representar visualmente. Esta relación, dibujada en forma de gráfica, se llama parábola. Sus distintos tipos se presentan en la siguiente figura.

Toda parábola tiene un vértice, es decir, un punto del que emergen sus ramas. Si a>0, aumentan hasta el infinito, y cuando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Las representaciones visuales de funciones ayudan a resolver cualquier ecuación, incluidas las cuadráticas. Este método se llama gráfico. Y el valor de la variable x es la coordenada de abscisas en los puntos donde la línea gráfica se cruza con 0x. Las coordenadas del vértice se pueden encontrar usando la fórmula que acabamos de dar x 0 = -b/2a. Y sustituyendo el valor resultante en la ecuación original de la función, puedes encontrar y 0, es decir, la segunda coordenada del vértice de la parábola, que pertenece al eje de ordenadas.

La intersección de las ramas de una parábola con el eje de abscisas.

Hay muchos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas, pero también hay patrones generales. Mirémoslos. Está claro que la intersección de la gráfica con el eje 0x para a>0 sólo es posible si 0 toma valores negativos. y por un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. De lo contrario D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

A partir de la gráfica de la parábola también puedes determinar las raíces. Lo opuesto también es cierto. Es decir, si no es fácil obtener una representación visual de una función cuadrática, puedes igualar el lado derecho de la expresión a 0 y resolver la ecuación resultante. Y conociendo los puntos de intersección con el eje 0x, es más fácil construir una gráfica.

De la historia

Utilizando ecuaciones que contienen una variable al cuadrado, antiguamente no sólo hacían cálculos matemáticos y determinaban las áreas de figuras geométricas. Los antiguos necesitaban estos cálculos para grandes descubrimientos en los campos de la física y la astronomía, así como para hacer pronósticos astrológicos.

Como sugieren los científicos modernos, los habitantes de Babilonia estuvieron entre los primeros en resolver ecuaciones cuadráticas. Esto sucedió cuatro siglos antes de nuestra era. Por supuesto, sus cálculos eran radicalmente diferentes de los aceptados actualmente y resultaron mucho más primitivos. Por ejemplo, los matemáticos mesopotámicos no tenían idea de la existencia de los números negativos. Tampoco estaban familiarizados con otras sutilezas que cualquier escolar moderno conoce.

Quizás incluso antes que los científicos de Babilonia, el sabio indio Baudhayama comenzó a resolver ecuaciones cuadráticas. Esto sucedió unos ocho siglos antes de la era de Cristo. Es cierto que las ecuaciones de segundo orden, cuyos métodos de resolución dio, eran las más simples. Además de él, antiguamente también los matemáticos chinos se interesaban por cuestiones similares. En Europa, las ecuaciones cuadráticas comenzaron a resolverse solo a principios del siglo XIII, pero luego fueron utilizadas en sus trabajos por grandes científicos como Newton, Descartes y muchos otros.

Seguimos estudiando el tema” resolviendo ecuaciones" Ya nos hemos familiarizado con las ecuaciones lineales y estamos pasando a familiarizarnos con ecuaciones cuadráticas.

Primero, veremos qué es una ecuación cuadrática, cómo se escribe en forma general y daremos definiciones relacionadas. Después de esto, usaremos ejemplos para examinar en detalle cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas incompletas. A continuación, pasaremos a resolver ecuaciones completas, obtendremos la fórmula de la raíz, nos familiarizaremos con el discriminante de una ecuación cuadrática y consideraremos soluciones a ejemplos típicos. Finalmente, tracemos las conexiones entre las raíces y los coeficientes.

Navegación de páginas.

¿Qué es una ecuación cuadrática? sus tipos

Primero debes entender claramente qué es una ecuación cuadrática. Por lo tanto, es lógico iniciar una conversación sobre ecuaciones cuadráticas con la definición de ecuación cuadrática, así como las definiciones relacionadas. Después de esto, puedes considerar los principales tipos de ecuaciones cuadráticas: reducidas y no reducidas, así como ecuaciones completas e incompletas.

Definición y ejemplos de ecuaciones cuadráticas.

Definición.

Ecuación cuadrática es una ecuación de la forma a x 2 +b x+c=0, donde x es una variable, a, byc son algunos números y a es distinto de cero.

Digamos de inmediato que las ecuaciones cuadráticas a menudo se denominan ecuaciones de segundo grado. Esto se debe a que la ecuación cuadrática es ecuación algebraica segundo grado.

La definición dada nos permite dar ejemplos de ecuaciones cuadráticas. Entonces 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, etc. Estas son ecuaciones cuadráticas.

Definición.

Números a, b y c se llaman coeficientes de la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0, y el coeficiente a se llama el primero, o el más alto, o el coeficiente de x 2, b es el segundo coeficiente, o el coeficiente de x, y c es el término libre .

Por ejemplo, tomemos una ecuación cuadrática de la forma 5 x 2 −2 x −3=0, aquí el coeficiente principal es 5, el segundo coeficiente es igual a −2 y el término libre es igual a −3. Tenga en cuenta que cuando los coeficientes b y/o c son negativos, como en el ejemplo que acabamos de dar, la forma corta de la ecuación cuadrática es 5 x 2 −2 x−3=0, en lugar de 5 x 2 +(−2). ·x+(−3)=0 .

Vale la pena señalar que cuando los coeficientes a y/o b son iguales a 1 o −1, generalmente no están presentes explícitamente en la ecuación cuadrática, lo que se debe a las peculiaridades de escribir tales . Por ejemplo, en la ecuación cuadrática y 2 −y+3=0 el coeficiente principal es uno y el coeficiente de y es igual a −1.

Ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas.

Dependiendo del valor del coeficiente principal, se distinguen ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas. Demos las definiciones correspondientes.

Definición.

Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente principal es 1 se llama dada la ecuación cuadrática. De lo contrario, la ecuación cuadrática es intacto.

Según esta definición, las ecuaciones cuadráticas x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, etc. – dado, en cada uno de ellos el primer coeficiente es igual a uno. A 5 x 2 −x−1=0,etc. - ecuaciones cuadráticas no reducidas, sus coeficientes principales son diferentes de 1.

De cualquier ecuación cuadrática no reducida, dividiendo ambos lados por el coeficiente principal, se puede pasar al reducido. Esta acción es una transformación equivalente, es decir, la ecuación cuadrática reducida obtenida de esta manera tiene las mismas raíces que la ecuación cuadrática no reducida original o, como ésta, no tiene raíces.

Veamos un ejemplo de cómo se realiza la transición de una ecuación cuadrática no reducida a una reducida.

Ejemplo.

De la ecuación 3 x 2 +12 x−7=0, pase a la ecuación cuadrática reducida correspondiente.

Solución.

Solo necesitamos dividir ambos lados de la ecuación original por el coeficiente principal 3, que no es cero, para que podamos realizar esta acción. Tenemos (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, que es lo mismo, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, y luego (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, de donde . Así obtuvimos la ecuación cuadrática reducida, que es equivalente a la original.

Respuesta:

Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.

La definición de ecuación cuadrática contiene la condición a≠0. Esta condición es necesaria para que la ecuación a x 2 + b x + c = 0 sea cuadrática, ya que cuando a = 0 en realidad se convierte en una ecuación lineal de la forma b x + c = 0.

En cuanto a los coeficientes b y c, pueden ser iguales a cero, tanto individualmente como juntos. En estos casos, la ecuación cuadrática se llama incompleta.

Definición.

La ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0 se llama incompleto, si al menos uno de los coeficientes b, c es igual a cero.

A su momento

Definición.

Ecuación cuadrática completa es una ecuación en la que todos los coeficientes son diferentes de cero.

Estos nombres no fueron dados por casualidad. Esto quedará claro en las siguientes discusiones.

Si el coeficiente b es cero, entonces la ecuación cuadrática toma la forma a·x 2 +0·x+c=0, y es equivalente a la ecuación a·x 2 +c=0. Si c=0, es decir, la ecuación cuadrática tiene la forma a·x 2 +b·x+0=0, entonces se puede reescribir como a·x 2 +b·x=0. Y con b=0 y c=0 obtenemos la ecuación cuadrática a·x 2 =0. Las ecuaciones resultantes difieren de la ecuación cuadrática completa en que sus lados izquierdos no contienen ni un término con la variable x, ni un término libre, ni ambos. De ahí su nombre: ecuaciones cuadráticas incompletas.

Entonces las ecuaciones x 2 +x+1=0 y −2 x 2 −5 x+0.2=0 son ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas, y x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 son ecuaciones cuadráticas incompletas.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

De la información del párrafo anterior se desprende que existe tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

• a·x 2 =0, le corresponden los coeficientes b=0 y c=0;
• a x 2 +c=0 cuando b=0 ;
• y a·x 2 +b·x=0 cuando c=0.

Examinemos en orden cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas de cada uno de estos tipos.

a x 2 = 0

Comencemos resolviendo ecuaciones cuadráticas incompletas en las que los coeficientes b y c son iguales a cero, es decir, con ecuaciones de la forma a x 2 =0. La ecuación a·x 2 =0 es equivalente a la ecuación x 2 =0, que se obtiene de la original dividiendo ambas partes por un número a distinto de cero. Obviamente, la raíz de la ecuación x 2 =0 es cero, ya que 0 2 =0. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que se explica por el hecho de que para cualquier número p distinto de cero se cumple la desigualdad p 2 >0, lo que significa que para p≠0 la igualdad p 2 =0 nunca se logra.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a·x 2 =0 tiene una raíz única x=0.

Como ejemplo, damos la solución a la ecuación cuadrática incompleta −4 x 2 =0. Es equivalente a la ecuación x 2 =0, su única raíz es x=0, por lo tanto, la ecuación original tiene una sola raíz cero.

Una solución breve en este caso se puede escribir de la siguiente manera:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Ahora veamos cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas incompletas en las que el coeficiente b es cero y c≠0, es decir, ecuaciones de la forma a x 2 +c=0. Sabemos que mover un término de un lado de la ecuación al otro con el signo opuesto, así como dividir ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero, da una ecuación equivalente. Por tanto, podemos realizar las siguientes transformaciones equivalentes de la ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0:

• mueva c al lado derecho, lo que da la ecuación a x 2 = −c,
• y dividimos ambos lados por a, obtenemos .

La ecuación resultante nos permite sacar conclusiones sobre sus raíces. Dependiendo de los valores de a y c, el valor de la expresión puede ser negativo (por ejemplo, si a=1 y c=2, entonces ) o positivo (por ejemplo, si a=−2 y c=6, entonces ), no es cero , ya que por condición c≠0. Veamos los casos por separado.

Si , entonces la ecuación no tiene raíces. Esta afirmación se deriva del hecho de que el cuadrado de cualquier número es un número no negativo. De esto se deduce que cuando , entonces para cualquier número p la igualdad no puede ser verdadera.

Si , entonces la situación con las raíces de la ecuación es diferente. En este caso, si recordamos acerca de , entonces la raíz de la ecuación inmediatamente resulta obvia: es el número, ya que . Es fácil adivinar que el número también es la raíz de la ecuación. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que puede demostrarse, por ejemplo, mediante contradicción. Vamos a hacerlo.

Denotemos las raíces de la ecuación que acabamos de anunciar como x 1 y −x 1. Supongamos que la ecuación tiene una raíz más x 2, diferente de las raíces indicadas x 1 y −x 1. Se sabe que sustituir sus raíces en una ecuación en lugar de x convierte la ecuación en una igualdad numérica correcta. Para x 1 y −x 1 tenemos , y para x 2 tenemos . Las propiedades de las igualdades numéricas nos permiten realizar restas término por término de igualdades numéricas correctas, por lo que restar las partes correspondientes de las igualdades da x 1 2 −x 2 2 =0. Las propiedades de las operaciones con números nos permiten reescribir la igualdad resultante como (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Sabemos que el producto de dos números es igual a cero si y sólo si al menos uno de ellos es igual a cero. Por lo tanto, de la igualdad resultante se deduce que x 1 −x 2 =0 y/o x 1 +x 2 =0, que es lo mismo, x 2 =x 1 y/o x 2 =−x 1. Entonces llegamos a una contradicción, ya que al principio dijimos que la raíz de la ecuación x 2 es diferente de x 1 y −x 1. Esto prueba que la ecuación no tiene más raíces que y .

Resumamos la información de este párrafo. La ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0 es equivalente a la ecuación que

• no tiene raíces si,
• tiene dos raíces y , si .

Consideremos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a·x 2 +c=0.

Comencemos con la ecuación cuadrática 9 x 2 +7=0. Después de mover el término libre al lado derecho de la ecuación, tomará la forma 9 x 2 = −7. Dividiendo ambos lados de la ecuación resultante por 9, llegamos a . Dado que el lado derecho tiene un número negativo, esta ecuación no tiene raíces, por lo tanto, la ecuación cuadrática incompleta original 9 x 2 +7 = 0 no tiene raíces.

Resolvamos otra ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0. Movemos el nueve hacia el lado derecho: −x 2 =−9. Ahora dividimos ambos lados por −1, obtenemos x 2 =9. En el lado derecho hay un número positivo, del cual concluimos que o . Luego escribimos la respuesta final: la ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0 tiene dos raíces x=3 o x=−3.

ax2+bx=0

Queda por abordar la solución del último tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas para c=0. Las ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a x 2 + b x = 0 te permiten resolver método de factorización. Evidentemente podemos, ubicado en el lado izquierdo de la ecuación, para lo cual basta con sacar de paréntesis el factor común x. Esto nos permite pasar de la ecuación cuadrática incompleta original a una ecuación equivalente de la forma x·(a·x+b)=0. Y esta ecuación es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones x=0 y a·x+b=0, la última de las cuales es lineal y tiene una raíz x=−b/a.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a·x 2 +b·x=0 tiene dos raíces x=0 y x=−b/a.

Para consolidar el material, analizaremos la solución a un ejemplo específico.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

Quitando x de los paréntesis se obtiene la ecuación. Es equivalente a dos ecuaciones x=0 y . Resolvemos la ecuación lineal resultante: , y dividiendo el número mixto por una fracción ordinaria, encontramos . Por tanto, las raíces de la ecuación original son x=0 y .

Después de adquirir la práctica necesaria, las soluciones a tales ecuaciones se pueden escribir brevemente:

Respuesta:

x=0 , .

Discriminante, fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Para resolver ecuaciones cuadráticas, existe una fórmula raíz. vamos a escribirlo fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática: , Dónde D=b 2 −4 a c- llamado discriminante de una ecuación cuadrática. La entrada esencialmente significa eso.

Es útil saber cómo se derivó la fórmula de la raíz y cómo se utiliza para encontrar las raíces de ecuaciones cuadráticas. Resolvamos esto.

Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Necesitamos resolver la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0. Realicemos algunas transformaciones equivalentes:

• Podemos dividir ambos lados de esta ecuación por un número a distinto de cero, lo que da como resultado la siguiente ecuación cuadrática.
• Ahora seleccione un cuadrado completo en su lado izquierdo: . Después de esto, la ecuación tomará la forma.
• En esta etapa, es posible transferir los dos últimos términos al lado derecho con el signo opuesto, tenemos .
• Y transformemos también la expresión del lado derecho: .

Como resultado, llegamos a una ecuación que es equivalente a la ecuación cuadrática original a·x 2 +b·x+c=0.

Ya hemos resuelto ecuaciones de forma similar en los párrafos anteriores, cuando las examinamos. Esto nos permite sacar las siguientes conclusiones con respecto a las raíces de la ecuación:

• si , entonces la ecuación no tiene soluciones reales;
• si , entonces la ecuación tiene la forma , por lo tanto , desde la cual su única raíz es visible;
• si , entonces o , que es lo mismo que o , es decir, la ecuación tiene dos raíces.

Por tanto, la presencia o ausencia de raíces de la ecuación, y por tanto de la ecuación cuadrática original, depende del signo de la expresión del lado derecho. A su vez, el signo de esta expresión viene determinado por el signo del numerador, ya que el denominador 4·a 2 es siempre positivo, es decir, por el signo de la expresión b 2 −4·a·c. Esta expresión b 2 −4 a c se llamó discriminante de una ecuación cuadrática y designado por la letra D. A partir de aquí, la esencia del discriminante es clara: en función de su valor y signo, concluyen si la ecuación cuadrática tiene raíces reales y, de ser así, cuál es su número: uno o dos.

Volvamos a la ecuación y reescribamosla usando la notación discriminante: . Y sacamos conclusiones:

• si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• si D=0, entonces esta ecuación tiene una raíz única;
• finalmente, si D>0, entonces la ecuación tiene dos raíces o, que se pueden reescribir en la forma o, y luego de expandir y llevar las fracciones a un denominador común obtenemos.

Entonces derivamos las fórmulas para las raíces de la ecuación cuadrática, tienen la forma , donde el discriminante D se calcula mediante la fórmula D=b 2 −4·a·c.

Con su ayuda, con un discriminante positivo, puedes calcular ambas raíces reales de una ecuación cuadrática. Cuando el discriminante es igual a cero, ambas fórmulas dan el mismo valor de la raíz, correspondiente a una solución única de la ecuación cuadrática. Y con un discriminante negativo, al intentar utilizar la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, nos enfrentamos a extraer la raíz cuadrada de un número negativo, lo que nos lleva más allá del alcance del currículo escolar. Con un discriminante negativo, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales, pero tiene un par complejo conjugado raíces, que se pueden encontrar usando las mismas fórmulas de raíces que obtuvimos.

Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas usando fórmulas de raíces.

En la práctica, al resolver ecuaciones cuadráticas, puedes usar inmediatamente la fórmula raíz para calcular sus valores. Pero esto está más relacionado con encontrar raíces complejas.

Sin embargo, en un curso de álgebra escolar normalmente no hablamos de raíces complejas, sino reales de una ecuación cuadrática. En este caso, es recomendable, antes de utilizar las fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática, encontrar primero el discriminante, asegurarse de que no sea negativo (de lo contrario, podemos concluir que la ecuación no tiene raíces reales), y solo entonces calcular los valores de las raíces.

El razonamiento anterior nos permite escribir algoritmo para resolver una ecuación cuadrática. Para resolver la ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0, necesitas:

• utilizando la fórmula discriminante D=b 2 −4·a·c, calcule su valor;
• concluir que una ecuación cuadrática no tiene raíces reales si el discriminante es negativo;
• calcular la única raíz de la ecuación usando la fórmula si D=0;
• encontrar dos raíces reales de una ecuación cuadrática usando la fórmula de la raíz si el discriminante es positivo.

Aquí solo observamos que si el discriminante es igual a cero, también puedes usar la fórmula que dará el mismo valor que .

Puede pasar a ejemplos de uso del algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Consideremos soluciones a tres ecuaciones cuadráticas con un discriminante positivo, negativo y cero. Habiendo entendido su solución, por analogía será posible resolver cualquier otra ecuación cuadrática. Vamos a empezar.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación x 2 +2·x−6=0.

Solución.

En este caso, tenemos los siguientes coeficientes de la ecuación cuadrática: a=1, b=2 y c=−6. Según el algoritmo, primero es necesario calcular el discriminante, para ello sustituimos los a, b y c indicados en la fórmula del discriminante, tenemos; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Como 28>0, es decir, el discriminante es mayor que cero, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales. Encontrémoslos usando la fórmula raíz, obtenemos , aquí puedes simplificar las expresiones resultantes haciendo moviendo el multiplicador más allá del signo raíz seguido de la reducción de la fracción:

Respuesta:

Pasemos al siguiente ejemplo típico.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática −4 x 2 +28 x−49=0 .

Solución.

Empezamos encontrando el discriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Por lo tanto, esta ecuación cuadrática tiene una única raíz, que encontramos como , es decir,

Respuesta:

x=3,5.

Queda por considerar la resolución de ecuaciones cuadráticas con un discriminante negativo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación 5·y 2 +6·y+2=0.

Solución.

Aquí están los coeficientes de la ecuación cuadrática: a=5, b=6 y c=2. Sustituimos estos valores en la fórmula discriminante, tenemos D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. El discriminante es negativo, por lo tanto, esta ecuación cuadrática no tiene raíces reales.

Si necesita indicar raíces complejas, aplicamos la conocida fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática y realizamos operaciones con números complejos:

Respuesta:

no existen raíces reales, las raíces complejas son: .

Notemos una vez más que si el discriminante de una ecuación cuadrática es negativo, entonces en la escuela generalmente escriben inmediatamente una respuesta en la que indican que no hay raíces reales y que no se encuentran raíces complejas.

Fórmula raíz para segundos coeficientes pares

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, donde D=b 2 −4·a·c te permite obtener una fórmula de una forma más compacta, permitiéndote resolver ecuaciones cuadráticas con un coeficiente par para x (o simplemente con un coeficiente de la forma 2·n, por ejemplo, o 14· ln5=2·7·ln5 ). Saquémosla.

Digamos que necesitamos resolver una ecuación cuadrática de la forma a x 2 +2 n x+c=0. Encontremos sus raíces usando la fórmula que conocemos. Para ello calculamos el discriminante. D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), y luego usamos la fórmula raíz:

Denotemos la expresión n 2 −a c como D 1 (a veces se denota D "). Entonces la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática considerada con el segundo coeficiente 2 n tomará la forma , donde D 1 =n 2 −a·c.

Es fácil ver que D=4·D 1, o D 1 =D/4. En otras palabras, D 1 es la cuarta parte del discriminante. Está claro que el signo de D 1 es el mismo que el signo de D . Es decir, el signo D 1 también es un indicador de la presencia o ausencia de raíces de una ecuación cuadrática.

Entonces, para resolver una ecuación cuadrática con un segundo coeficiente 2·n, necesitas

• Calcular D 1 =n 2 −a·c ;
• Si D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Si D 1 =0, entonces calcule la única raíz de la ecuación usando la fórmula;
• Si D 1 >0, entonces encuentre dos raíces reales usando la fórmula.

Consideremos resolver el ejemplo usando la fórmula raíz obtenida en este párrafo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática 5 x 2 −6 x −32=0 .

Solución.

El segundo coeficiente de esta ecuación se puede representar como 2·(−3). Es decir, puedes reescribir la ecuación cuadrática original en la forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, aquí a=5, n=−3 y c=−32, y calcular la cuarta parte de la discriminante: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Como su valor es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales. Encontrémoslos usando la fórmula raíz adecuada:

Tenga en cuenta que era posible utilizar la fórmula habitual para las raíces de una ecuación cuadrática, pero en este caso sería necesario realizar más trabajo computacional.

Respuesta:

Simplificando la forma de ecuaciones cuadráticas

A veces, antes de empezar a calcular las raíces de una ecuación cuadrática mediante fórmulas, no está de más plantearse la pregunta: “¿Es posible simplificar la forma de esta ecuación?” Acepte que en términos de cálculos será más fácil resolver la ecuación cuadrática 11 x 2 −4 x−6=0 que 1100 x 2 −400 x−600=0.

Normalmente, la simplificación de la forma de una ecuación cuadrática se logra multiplicando o dividiendo ambos lados por un número determinado. Por ejemplo, en el párrafo anterior se pudo simplificar la ecuación 1100 x 2 −400 x −600=0 dividiendo ambos lados entre 100.

Una transformación similar se lleva a cabo con ecuaciones cuadráticas cuyos coeficientes no lo son. En este caso, ambos lados de la ecuación suelen dividirse por los valores absolutos de sus coeficientes. Por ejemplo, tomemos la ecuación cuadrática 12 x 2 −42 x+48=0. valores absolutos de sus coeficientes: MCD(12, 42, 48)= MCD(MCD(12, 42), 48)= MCD(6, 48)=6. Dividiendo ambos lados de la ecuación cuadrática original por 6, llegamos a la ecuación cuadrática equivalente 2 x 2 −7 x+8=0.

Y normalmente se multiplican ambos lados de una ecuación cuadrática para eliminar los coeficientes fraccionarios. En este caso, la multiplicación se realiza por los denominadores de sus coeficientes. Por ejemplo, si ambos lados de la ecuación cuadrática se multiplican por MCM(6, 3, 1)=6, entonces tomará la forma más simple x 2 +4·x−18=0.

Como conclusión de este punto, observamos que casi siempre eliminan el menos en el coeficiente más alto de una ecuación cuadrática cambiando los signos de todos los términos, lo que corresponde a multiplicar (o dividir) ambos lados por −1. Por ejemplo, normalmente uno pasa de la ecuación cuadrática −2 x 2 −3 x+7=0 a la solución 2 x 2 +3 x−7=0 .

Relación entre raíces y coeficientes de una ecuación cuadrática

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática expresa las raíces de la ecuación a través de sus coeficientes. Con base en la fórmula de la raíz, puedes obtener otras relaciones entre raíces y coeficientes.

Las fórmulas más conocidas y aplicables del teorema de Vieta son de la forma y. En particular, para la ecuación cuadrática dada, la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con el signo opuesto y el producto de las raíces es igual al término libre. Por ejemplo, por la forma de la ecuación cuadrática 3 x 2 −7 x + 22 = 0 podemos decir inmediatamente que la suma de sus raíces es igual a 7/3 y el producto de las raíces es igual a 22/3.

Usando las fórmulas ya escritas, puede obtener otras conexiones entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática. Por ejemplo, puedes expresar la suma de los cuadrados de las raíces de una ecuación cuadrática a través de sus coeficientes: .

Bibliografía.

• Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G.Álgebra. Octavo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01155-2.

Con este programa de matemáticas puedes resolver ecuación cuadrática.

El programa no sólo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de solución de dos maneras:
- usando un discriminante
- utilizando el teorema de Vieta (si es posible).

Además, la respuesta se muestra como exacta, no aproximada.
Por ejemplo, para la ecuación \(81x^2-16x-1=0\) la respuesta se muestra de la siguiente forma:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ y no así: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0,05\)

Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria en escuelas de educación general cuando se preparan para pruebas y exámenes, cuando prueban conocimientos antes del Examen Estatal Unificado y para que los padres controlen la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres terminar tu tarea de matemáticas o álgebra lo más rápido posible? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.

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Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un polinomio cuadrático, le recomendamos que se familiarice con ellas.

Reglas para ingresar un polinomio cuadrático

Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Los números se pueden ingresar como números enteros o fraccionarios.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo en forma de decimal, sino también en forma de fracción ordinaria.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
En fracciones decimales, la parte fraccionaria se puede separar de la parte entera mediante un punto o una coma.
Por ejemplo, puedes ingresar fracciones decimales como esta: 2,5x - 3,5x^2

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.

El denominador no puede ser negativo.

Al ingresar una fracción numérica, el numerador se separa del denominador mediante un signo de división: /
La parte entera está separada de la fracción por el signo comercial: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6/5z +1/7z^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Al ingresar una expresión puedes usar paréntesis. En este caso, al resolver una ecuación cuadrática, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Decidir

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Un poco de teoría.

Ecuación cuadrática y sus raíces. Ecuaciones cuadráticas incompletas

Cada una de las ecuaciones
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
parece
\(ax^2+bx+c=0, \)
donde x es una variable, a, b y c son números.
En la primera ecuación a = -1, b = 6 y c = 1,4, en la segunda a = 8, b = -7 y c = 0, en la tercera a = 1, b = 0 y c = 4/9. Este tipo de ecuaciones se llaman ecuaciones cuadráticas.

Definición.
Ecuación cuadrática se llama ecuación de la forma ax 2 +bx+c=0, donde x es una variable, a, byc son algunos números y \(a \neq 0 \).

Los números a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. El número a se llama primer coeficiente, el número b es el segundo coeficiente y el número c es el término libre.

En cada una de las ecuaciones de la forma ax 2 +bx+c=0, donde \(a\neq 0\), la potencia más grande de la variable x es un cuadrado. De ahí el nombre: ecuación cuadrática.

Tenga en cuenta que una ecuación cuadrática también se llama ecuación de segundo grado, ya que su lado izquierdo es un polinomio de segundo grado.

Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente de x 2 es igual a 1 se llama dada la ecuación cuadrática. Por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas dadas son las ecuaciones
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Si en una ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 al menos uno de los coeficientes b o c es igual a cero, entonces dicha ecuación se llama ecuación cuadrática incompleta. Por tanto, las ecuaciones -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 son ecuaciones cuadráticas incompletas. En el primero de ellos b=0, en el segundo c=0, en el tercero b=0 y c=0.

Hay tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:
1) ax 2 +c=0, donde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, donde \(b \neq 0 \);
3) hacha 2 =0.

Consideremos resolver ecuaciones de cada uno de estos tipos.

Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +c=0 para \(c \neq 0 \), mueva su término libre hacia el lado derecho y divida ambos lados de la ecuación entre a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Dado que \(c \neq 0 \), entonces \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Si \(-\frac(c)(a)>0\), entonces la ecuación tiene dos raíces.

Si \(-\frac(c)(a) Resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 con \(b \neq 0 \) factoriza su lado izquierdo y obtiene la ecuación
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matriz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matriz) \right.

Esto significa que una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) siempre tiene dos raíces.

Una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 =0 es equivalente a la ecuación x 2 =0 y por lo tanto tiene una raíz única 0.

Fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Consideremos ahora cómo resolver ecuaciones cuadráticas en las que tanto los coeficientes de las incógnitas como el término libre son distintos de cero.

Resolvamos la ecuación cuadrática en forma general y como resultado obtenemos la fórmula de las raíces. Luego, esta fórmula se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática.

Resuelve la ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0

Dividiendo ambos lados por a, obtenemos la ecuación cuadrática reducida equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformemos esta ecuación seleccionando el cuadrado del binomio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Flecha derecha \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

La expresión radical se llama discriminante de una ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” en latín - discriminador). Se designa con la letra D, es decir.
\(D = b^2-4ac\)

Ahora, usando la notación discriminante, reescribimos la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), donde \(D= b^2-4ac \)

Es obvio que:
1) Si D>0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces.
2) Si D=0, entonces la ecuación cuadrática tiene una raíz \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Si D Por lo tanto, dependiendo del valor del discriminante, una ecuación cuadrática puede tener dos raíces (para D > 0), una raíz (para D = 0) o no tener raíces (para D Al resolver una ecuación cuadrática usando esto fórmula, es recomendable hacerlo de la siguiente manera:
1) calcular el discriminante y compararlo con cero;
2) si el discriminante es positivo o igual a cero, utilice la fórmula de la raíz; si el discriminante es negativo, escriba que no hay raíces;

teorema de vieta

La ecuación cuadrática dada ax 2 -7x+10=0 tiene raíces 2 y 5. La suma de las raíces es 7 y el producto es 10. Vemos que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente tomado con el opuesto signo, y el producto de las raíces es igual al término libre. Cualquier ecuación cuadrática reducida que tenga raíces tiene esta propiedad.

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida es igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.

Aquellos. El teorema de Vieta establece que las raíces x 1 y x 2 de la ecuación cuadrática reducida x 2 +px+q=0 tienen la propiedad:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)