Conferencia: Prisma, sus bases, nervaduras laterales, altura, superficie lateral; prisma recto; prisma correcto
Prisma
Si aprendiste figuras planas con nosotros a partir de preguntas anteriores, entonces estás completamente preparado para estudiar figuras tridimensionales. El primer sólido que aprenderemos será un prisma.
Prisma Es un cuerpo tridimensional que tiene una gran cantidad de caras.
Esta figura tiene dos polígonos en las bases, que se ubican en planos paralelos, y todas las caras laterales tienen forma de paralelogramo.
Figura 1. Figura. 2
Entonces, averigüemos en qué consiste un prisma. Para ello, preste atención a la Fig. 1.
Como se mencionó anteriormente, un prisma tiene dos bases paralelas entre sí: estos son los pentágonos ABCEF y GMNJK. Además, estos polígonos son iguales entre sí.
Todas las demás caras del prisma se denominan caras laterales y están formadas por paralelogramos. Por ejemplo BMNC, AGKF, FKJE, etc.
La superficie total de todas las caras laterales se llama superficie lateral.
Cada par de caras adyacentes tiene un lado común. Este lado común se llama arista. Por ejemplo MV, SE, AB, etc.
Si las bases superior e inferior del prisma están conectadas por una perpendicular, entonces se llamará altura del prisma. En la figura, la altura está marcada como la línea recta OO 1.
Hay dos tipos principales de prisma: oblicuo y recto.
Si los bordes laterales del prisma no son perpendiculares a las bases, entonces dicho prisma se llama inclinado.
Si todas las aristas de un prisma son perpendiculares a las bases, entonces dicho prisma se llama directo.
Si las bases de un prisma contienen polígonos regulares (aquellos con lados iguales), entonces dicho prisma se llama correcto.
Si las bases de un prisma no son paralelas entre sí, dicho prisma se llamará truncado.
Puedes verlo en la Fig. 2.
Fórmulas para encontrar el volumen y el área de un prisma.
Hay tres fórmulas básicas para encontrar el volumen. Se diferencian entre sí en su aplicación:
Fórmulas similares para encontrar el área de superficie de un prisma:
Información general sobre el prisma recto.
La superficie lateral de un prisma (más precisamente, el área de la superficie lateral) se llama sumaáreas de las caras laterales. La superficie total del prisma es igual a la suma de la superficie lateral y las áreas de las bases.
Teorema 19.1. La superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma, es decir, la longitud del borde lateral.
Prueba. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Las bases de estos rectángulos son los lados del polígono que se encuentran en la base del prisma y las alturas son iguales a la longitud de los bordes laterales. Se deduce que la superficie lateral del prisma es igual a
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
donde a 1 y n son las longitudes de los bordes de la base, p es el perímetro de la base del prisma e I es la longitud de los bordes laterales. El teorema ha sido demostrado.
tarea practica
Problema (22) . En un prisma inclinado se realiza sección, perpendicular a las nervaduras laterales e intersectando todas las nervaduras laterales. Encuentre la superficie lateral del prisma si el perímetro de la sección es igual a p y los bordes laterales son iguales a l.
Solución. El plano de la sección dibujada divide el prisma en dos partes (Fig. 411). Sometamos uno de ellos a traslación paralela, combinando las bases del prisma. En este caso, obtenemos un prisma recto, cuya base es la sección transversal del prisma original y los bordes laterales son iguales a l. Este prisma tiene la misma superficie lateral que el original. Por tanto, la superficie lateral del prisma original es igual a pl.
Resumen del tema tratado.
Ahora intentemos resumir el tema que cubrimos sobre los prismas y recordar qué propiedades tiene un prisma.
Propiedades del prisma
En primer lugar, un prisma tiene todas sus bases como polígonos iguales;
En segundo lugar, en un prisma todas sus caras laterales son paralelogramos;
En tercer lugar, en una figura tan multifacética como un prisma, todos los bordes laterales son iguales;
Además, cabe recordar que los poliedros como los prismas pueden ser rectos o inclinados.
¿Qué prisma se llama prisma recto?
Si el borde lateral de un prisma se encuentra perpendicular al plano de su base, entonces dicho prisma se llama recto.
No estaría de más recordar que las caras laterales de un prisma recto son rectángulos.
¿Qué tipo de prisma se llama oblicuo?
Pero si el borde lateral de un prisma no se encuentra perpendicular al plano de su base, entonces podemos decir con seguridad que es un prisma inclinado.
¿Qué prisma se llama correcto?
Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces dicho prisma es regular.
Ahora recordemos las propiedades que tiene un prisma regular.
Propiedades de un prisma regular
En primer lugar, los polígonos regulares siempre sirven como base de un prisma regular;
En segundo lugar, si consideramos las caras laterales de un prisma regular, siempre son rectángulos iguales;
En tercer lugar, si comparamos los tamaños de las nervaduras laterales, en un prisma regular siempre son iguales.
En cuarto lugar, un prisma correcto es siempre recto;
En quinto lugar, si en un prisma regular las caras laterales tienen forma de cuadrados, esa figura suele denominarse polígono semirregular.
Sección transversal del prisma
Ahora veamos la sección transversal del prisma:
Tarea
Ahora intentemos consolidar el tema que hemos aprendido resolviendo problemas.
Dibujemos un prisma triangular inclinado, la distancia entre sus bordes será igual a: 3 cm, 4 cm y 5 cm, y la superficie lateral de este prisma será igual a 60 cm2. Teniendo estos parámetros, encuentre el borde lateral de este prisma.
¿Sabes que las figuras geométricas nos rodean constantemente, no solo en las lecciones de geometría, sino también en la vida cotidiana hay objetos que se parecen a una u otra figura geométrica?
Todo el mundo tiene en casa, en la escuela o en el trabajo un ordenador cuya unidad de sistema tiene la forma de un prisma recto.
Si tomas un lápiz simple, verás que la parte principal del lápiz es un prisma.
Caminando por la calle central de la ciudad, vemos que bajo nuestros pies se encuentra un azulejo que tiene forma de prisma hexagonal.
A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas
Los polígonos ABCDE y FHKMP que se encuentran en planos paralelos se llaman bases del prisma, la perpendicular OO 1 bajada desde cualquier punto de la base al plano de otro se llama altura del prisma. Paralelogramos ABHF, BCKH, etc. se denominan caras laterales del prisma, y sus lados SC, DM, etc., que conectan los vértices correspondientes de las bases, se denominan aristas laterales. En un prisma, todas las aristas laterales son iguales entre sí como segmentos de rectas paralelas encerradas entre planos paralelos.
Un prisma se llama línea recta ( Figura 282, segundo) u oblicuo ( Figura 282,c) dependiendo de si sus nervaduras laterales son perpendiculares o inclinadas a las bases. Un prisma recto tiene caras laterales rectangulares. El borde lateral se puede tomar como la altura de dicho prisma.
Un prisma recto se dice regular si sus bases son polígonos regulares. En tal prisma, todas las caras laterales son rectángulos iguales.
Para representar un prisma en un dibujo complejo, es necesario conocer y poder representar los elementos que lo componen (un punto, una línea recta, una figura plana).
y su imagen en el dibujo complejo (Fig. 283, a - i)
a) Dibujo complejo de un prisma. La base del prisma está ubicada en el plano de proyección P 1; una de las caras laterales del prisma es paralela al plano de proyección P 2.
b) La base inferior del prisma DEF es una figura plana, un triángulo regular ubicado en el plano P 1; el lado del triángulo DE es paralelo al eje x 12 - La proyección horizontal se fusiona con la base dada y, por tanto, es igual a su tamaño natural; La proyección frontal se fusiona con el eje x 12 y es igual al lado de la base del prisma.
c) La base superior del prisma ABC es una figura plana, un triángulo ubicado en un plano horizontal. La proyección horizontal se fusiona con la proyección de la base inferior y la cubre, ya que el prisma es recto; proyección frontal: recta, paralela al eje x 12, a una distancia de la altura del prisma.
d) La cara lateral del prisma ABED es una figura plana, un rectángulo que se encuentra en el plano frontal. Proyección frontal: un rectángulo igual al tamaño natural de la cara; La proyección horizontal es una línea recta igual al lado de la base del prisma.
e) y f) Las caras laterales de los prismas ACFD y CBEF son figuras planas: rectángulos que se encuentran en planos salientes horizontales ubicados en un ángulo de 60° con respecto al plano de proyección P 2. Las proyecciones horizontales son líneas rectas, ubicadas con respecto al eje x 12 en un ángulo de 60°, y son iguales al tamaño natural de los lados de la base del prisma; Las proyecciones frontales son rectángulos cuyas imágenes son más pequeñas que el tamaño natural: dos lados de cada rectángulo son iguales a la altura del prisma.
g) El borde AD del prisma es una línea recta, perpendicular al plano de proyección P 1. Proyección horizontal - punto; frontal: recto, perpendicular al eje x 12, igual al borde lateral del prisma (altura del prisma).
h) El lado AB de la base superior es recto, paralelo a los planos P 1 y P 2. Las proyecciones horizontales y frontales son rectas, paralelas al eje x 12 e iguales al lado de la base dada del prisma. La proyección frontal está separada del eje x 12 a una distancia igual a la altura del prisma.
i) Los vértices del prisma. Punto E: la parte superior de la base inferior está ubicada en el plano P 1. La proyección horizontal coincide con el punto mismo; frontal: se encuentra en el eje x 12. El punto C, la parte superior de la base superior, está ubicado en el espacio. La proyección horizontal tiene profundidad; frontal - altura igual a la altura de este prisma.
De esto se desprende: Al diseñar cualquier poliedro, es necesario dividirlo mentalmente en los elementos que lo componen y determinar el orden de su representación, que consta de sucesivas operaciones gráficas. Las figuras 284 y 285 muestran ejemplos de operaciones gráficas secuenciales al realizar un dibujo complejo y una representación visual (axonometría) de prismas.
(Figura 284).
Dado:
1. La base está ubicada en el plano de proyección P 1.
2. Ninguno de los lados de la base es paralelo al eje x 12.
I. Dibujo complejo.
Yo, un.
Diseñamos la base inferior: un polígono que, por condición, se encuentra en el plano P1.
Yo, b.
Diseñamos la base superior: un polígono igual a la base inferior con lados correspondientemente paralelos a la base inferior, espaciados de la base inferior por la altura H del prisma dado.
Yo, c.
Diseñamos los bordes laterales del prisma: segmentos ubicados paralelos; sus proyecciones horizontales son puntos que se fusionan con las proyecciones de los vértices de las bases; frontal - segmentos (paralelos) obtenidos al conectar con líneas rectas las proyecciones de los vértices de las bases del mismo nombre. Las proyecciones frontales de las costillas, extraídas de las proyecciones de los vértices B y C de la base inferior, están representadas con líneas discontinuas, como si fueran invisibles.
Yo, g. Dado: proyección horizontal F 1 del punto F en la base superior y proyección frontal K 2 del punto K en la cara lateral. Se requiere determinar las ubicaciones de sus segundas proyecciones. Para el punto F. La segunda proyección (frontal) F 2 del punto F coincidirá con la proyección de la base superior, como un punto que se encuentra en el plano de esta base; su lugar está determinado por la línea de comunicación vertical.
Para el punto K - La segunda proyección (horizontal) K 1 del punto K coincidirá con la proyección horizontal de la cara lateral, como un punto que se encuentra en el plano de la cara; su lugar está determinado por la línea de comunicación vertical.
Si a este desarrollo unimos las bases del prisma, obtenemos un desarrollo de toda la superficie del prisma. Las bases del prisma deben fijarse a la cara lateral correspondiente mediante el método de triangulación.
En la base superior del prisma, usando los radios R y R 1, determinamos la ubicación del punto F, y en la cara lateral, usando los radios R 3 y H 1, determinamos el punto K.
III. Una representación visual de un prisma en dimetría.
III, a.
Representamos la base inferior del prisma según las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E (Fig. 284 I, a).
III, b.
Representamos la base superior paralela a la inferior, espaciada de ella por la altura H del prisma.
III, c.
Representamos los bordes laterales conectando los vértices correspondientes de las bases con líneas rectas. Determinamos los elementos visibles e invisibles del prisma y los delimitamos con las líneas correspondientes,
Dado:
III, d. Determinamos los puntos F y K en la superficie del prisma - el punto F - en la base superior se determina utilizando las dimensiones i y e; punto K - en la cara lateral usando i 1 y H" .
Para obtener una imagen isométrica del prisma y determinar las ubicaciones de los puntos F y K, se debe seguir la misma secuencia.
Figura 285).
I. Dibujo complejo.
1. La base está ubicada en el plano P 1.
2. Las nervaduras laterales son paralelas al plano P 2.
3. Ningún lado de la base es paralelo al eje x 12
Yo, un.
Diseñamos de acuerdo con esta condición: la base inferior es un polígono que se encuentra en el plano P1 y el borde lateral es un segmento paralelo al plano P2 e inclinado al plano P1.
Yo, b.
Diseñamos los bordes laterales restantes: segmentos iguales y paralelos al primer borde CE.
Haremos rodar el prisma, girándolo cada vez alrededor del borde lateral, luego cada cara lateral del prisma en el plano dejará un rastro (paralelogramo) igual a su tamaño natural. Construiremos el escaneo lateral en el siguiente orden:
a) de los puntos A 2, B 2, D 2. . . E 2 (proyecciones frontales de los vértices de las bases) dibujamos líneas rectas auxiliares perpendiculares a las proyecciones de las nervaduras;
b) con radio R (igual al lado de la base CD), hacemos una muesca en el punto D de la recta auxiliar trazada desde el punto D 2 ; conectando los puntos rectos C 2 y D y trazando líneas rectas paralelas a E 2 C 2 y C 2 D, obtenemos la cara lateral CEFD;
c) luego, disponiendo de manera similar las siguientes caras laterales, obtenemos un desarrollo de las caras laterales del prisma. Para obtener un desarrollo completo de la superficie de este prisma, lo fijamos a las caras correspondientes de la base.
III. Una representación visual de un prisma en isometría.
III, a.
Representamos la base inferior del prisma y el borde CE, usando coordenadas según (
1. El tetraedro tiene el menor número de aristas: 6.
2. Un prisma tiene n caras. ¿Qué polígono se encuentra en su base?
(n - 2) - cuadrado.
3. ¿Es recto un prisma si sus dos caras laterales adyacentes son perpendiculares al plano de la base?
Sí, lo es.
4. ¿En qué prisma son los bordes laterales paralelos a su altura?
En un prisma recto.
5. ¿Es un prisma regular si todas sus aristas son iguales entre sí?
No, puede que no sea directo.
6. ¿La altura de una de las caras laterales de un prisma inclinado puede ser también la altura del prisma?
Sí, si esta cara es perpendicular a la base.
7. ¿Existe un prisma en el que: a) el borde lateral sea perpendicular a un solo borde de la base; b) ¿sólo una cara lateral es perpendicular a la base?
a) sí. b) no.
8. Un prisma triangular regular se divide en dos prismas mediante un plano que pasa por las líneas medias de las bases. ¿Cuál es la razón de las áreas de las superficies laterales de estos prismas?
Por el teorema 27 encontramos que las superficies laterales están en la proporción 5: 3
9. ¿Será regular la pirámide si sus caras laterales son triángulos regulares?
10. ¿Cuántas caras perpendiculares al plano de la base puede tener una pirámide?
11. ¿Existe una pirámide cuadrangular cuyas caras laterales opuestas sean perpendiculares a la base?
No, de lo contrario habría al menos dos líneas rectas que pasarían por la cima de la pirámide, perpendiculares a las bases.
12. ¿Pueden todas las caras de una pirámide triangular ser triángulos rectángulos?
