La matriz inversa para una matriz dada es dicha matriz, multiplicando la original por la cual se obtiene la matriz identidad: Una condición obligatoria y suficiente para la presencia de una matriz inversa es que el determinante de la original no sea igual a cero (lo que a su vez implica que la matriz debe ser cuadrada). Si el determinante de una matriz es igual a cero, entonces se llama singular y dicha matriz no tiene inversa. En matemáticas superiores, las matrices inversas son importantes y se utilizan para resolver una serie de problemas. Por ejemplo, en encontrar la matriz inversa Se construyó un método matricial para la resolución de sistemas de ecuaciones. Nuestro sitio de servicio permite calcular matriz inversa en línea dos métodos: el método de Gauss-Jordan y el uso de la matriz de sumas algebraicas. El primero implica una gran cantidad de transformaciones elementales dentro de la matriz, el segundo implica el cálculo del determinante y sumas algebraicas de todos los elementos. Para calcular el determinante de una matriz en línea, puede utilizar nuestro otro servicio: Cálculo del determinante de una matriz en línea
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Continuamos la conversación sobre acciones con matrices. Es decir, durante el estudio de esta conferencia aprenderá cómo encontrar la matriz inversa. Aprender. Incluso si las matemáticas son difíciles.
¿Qué es una matriz inversa? Aquí podemos hacer una analogía con los números inversos: consideremos, por ejemplo, el número optimista 5 y su número inverso. El producto de estos números es igual a uno: . ¡Todo es similar con las matrices! El producto de una matriz y su matriz inversa es igual a – matriz de identidad, que es el análogo matricial de la unidad numérica. Sin embargo, lo primero es lo primero: primero resolvamos una cuestión práctica importante: aprender a encontrar esta matriz tan inversa.
¿Qué necesitas saber y poder hacer para encontrar la matriz inversa? Debes poder decidir clasificados. Debes entender lo que es. matriz y poder realizar algunas acciones con ellos.
Hay dos métodos principales para encontrar la matriz inversa:
usando sumas algebraicas Y usando transformaciones elementales.
Hoy estudiaremos el primer método, más sencillo.
Empecemos por lo más terrible e incomprensible. consideremos cuadrado matriz. La matriz inversa se puede encontrar usando la siguiente fórmula:
Donde está el determinante de la matriz, es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.
El concepto de matriz inversa existe sólo para matrices cuadradas., matrices “dos por dos”, “tres por tres”, etc.
Designaciones: Como ya habrás notado, la matriz inversa se denota con un superíndice
Comencemos con el caso más simple: una matriz de dos por dos. La mayoría de las veces, por supuesto, se requiere "tres por tres", pero, sin embargo, recomiendo encarecidamente estudiar una tarea más simple para comprender el principio general de la solución.
Ejemplo:
Encuentra la inversa de una matriz.
Decidamos. Conviene desglosar punto por punto la secuencia de actuaciones.
1) Primero encontramos el determinante de la matriz..
Si su comprensión de esta acción no es buena, lea el material. ¿Cómo calcular el determinante?
¡Importante! Si el determinante de la matriz es igual a CERO– matriz inversa NO EXISTE.
En el ejemplo que estamos considerando, resultó que , lo que significa que todo está en orden.
2) Encuentra la matriz de menores..
Para solucionar nuestro problema no es necesario saber qué es un menor, sin embargo, es recomendable leer el artículo. Cómo calcular el determinante.
La matriz de menores tiene las mismas dimensiones que la matriz, es decir, en este caso.
Lo único que queda por hacer es encontrar cuatro números y ponerlos en lugar de asteriscos.
Volvamos a nuestra matriz.
Veamos primero el elemento superior izquierdo:
como encontrarlo menor?
Y esto se hace así: tacha MENTALMENTE la fila y columna en la que se encuentra este elemento:
El número restante es menor de este elemento, que escribimos en nuestra matriz de menores:
Considere el siguiente elemento de la matriz:
Tacha mentalmente la fila y columna en la que aparece este elemento:
Lo que queda es el menor de este elemento, que escribimos en nuestra matriz:
De manera similar, consideramos los elementos de la segunda fila y encontramos sus menores:
Listo.
Es sencillo. En la matriz de menores necesitas. CAMBIAR SIGNOS dos números:
¡Estos son los números que rodeé!
– matriz de sumas algebraicas de los elementos correspondientes de la matriz.
Y solo...
4) Encuentra la matriz transpuesta de sumas algebraicas..
– matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.
5) Responder.
Recordemos nuestra fórmula.
¡Todo ha sido encontrado!
Entonces la matriz inversa es: 
Es mejor dejar la respuesta como está. NO HAY NECESIDAD divide cada elemento de la matriz por 2, ya que el resultado son números fraccionarios. Este matiz se analiza con más detalle en el mismo artículo. Acciones con matrices.
¿Cómo comprobar la solución?
Necesitas realizar una multiplicación de matrices o
Examen: 
Recibido ya mencionado matriz de identidad es una matriz con unos por diagonal principal y ceros en otros lugares.
Por tanto, la matriz inversa se encuentra correctamente.
Si realizas la acción, el resultado también será una matriz de identidad. Este es uno de los pocos casos en los que la multiplicación de matrices es conmutativa; se pueden encontrar más detalles en el artículo. Propiedades de las operaciones sobre matrices. Expresiones matriciales. También tenga en cuenta que durante la verificación, la constante (fracción) se adelanta y se procesa al final, después de la multiplicación de matrices. Esta es una técnica estándar.
Pasemos a un caso más común en la práctica: la matriz de tres por tres:
Ejemplo:
Encuentra la inversa de una matriz. 
El algoritmo es exactamente el mismo que para el caso “dos por dos”.
Encontramos la matriz inversa usando la fórmula: , donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.
1) Encuentra el determinante de la matriz..
Aquí se revela el determinante. en la primera linea.
Además, no lo olvides, lo que significa que todo está bien. existe matriz inversa.
2) Encuentra la matriz de menores..
La matriz de menores tiene una dimensión de “tres por tres” 
, y necesitamos encontrar nueve números.
Examinaré más de cerca a un par de menores:
Considere el siguiente elemento de la matriz: 
MENTALMENTE tacha la fila y columna en la que se encuentra este elemento: 
Escribimos los cuatro números restantes en el determinante “dos por dos”. 
Este determinante de dos por dos y es el menor de este elemento. Es necesario calcularlo: 
Listo, el menor ha sido encontrado, lo escribimos en nuestra matriz de menores: 
Como probablemente habrás adivinado, necesitas calcular nueve determinantes de dos por dos. El proceso, por supuesto, es tedioso, pero el caso no es el más grave, puede ser peor.
Bueno, para consolidar – encontrar otro menor en las imágenes: 
Intente calcular usted mismo los menores restantes.
Resultado final: 
– matriz de menores de los elementos correspondientes de la matriz.
El hecho de que todos los menores hayan resultado negativos es pura casualidad.
3) Encuentra la matriz de sumas algebraicas..
En la matriz de menores es necesario CAMBIAR SIGNOS estrictamente para los siguientes elementos: 
En este caso:
No consideramos encontrar la matriz inversa para una matriz de “cuatro por cuatro”, ya que tal tarea solo la puede encomendar un maestro sádico (para que el estudiante calcule un determinante de “cuatro por cuatro” y 16 determinantes de “tres por tres” ). En mi práctica, solo hubo un caso de este tipo, y el cliente de la prueba pagó bastante caro por mi tormento =).
En varios libros de texto y manuales, puede encontrar un enfoque ligeramente diferente para encontrar la matriz inversa, pero recomiendo utilizar el algoritmo de solución anterior. ¿Por qué? Porque la probabilidad de confundirse en cálculos y signos es mucho menor.
Para cualquier matriz A no singular existe una matriz única A -1 tal que
A*A -1 =A -1 *A = E,
donde E es la matriz identidad del mismo orden que A. La matriz A -1 se llama inversa de la matriz A.
Por si alguien lo olvidó, en la matriz identidad, excepto la diagonal llena de unos, todas las demás posiciones se llenan con ceros, un ejemplo de matriz identidad:
Encontrar la matriz inversa usando el método de matriz adjunta
La matriz inversa está definida por la fórmula:
dónde A ij - elementos a ij.
Aquellos. Para calcular la matriz inversa, es necesario calcular el determinante de esta matriz. Luego encuentra los complementos algebraicos para todos sus elementos y compone una nueva matriz a partir de ellos. A continuación necesitas transportar esta matriz. Y divide cada elemento de la nueva matriz por el determinante de la matriz original.
Veamos algunos ejemplos.
Encuentre A -1 para una matriz
Solución Encontremos A -1 usando el método de matriz adjunta. Tenemos det A = 2. Encontremos los complementos algebraicos de los elementos de la matriz A. En este caso, los complementos algebraicos de los elementos de la matriz serán los elementos correspondientes de la propia matriz, tomados con signo de acuerdo con la fórmula
Tenemos A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formamos la matriz adjunta
Transportamos la matriz A*:
Encontramos la matriz inversa usando la fórmula:
Obtenemos:
Utilizando el método de matriz adjunta, encuentre A -1 si
Solución. En primer lugar, calculamos la definición de esta matriz para verificar la existencia de la matriz inversa. Tenemos
Aquí sumamos a los elementos de la segunda fila los elementos de la tercera fila, previamente multiplicados por (-1), y luego ampliamos el determinante de la segunda fila. Dado que la definición de esta matriz es diferente de cero, entonces existe su matriz inversa. Para construir la matriz adjunta, encontramos los complementos algebraicos de los elementos de esta matriz. Tenemos
Según la fórmula
matriz de transporte A*:
Luego según la fórmula
Encontrar la matriz inversa usando el método de transformaciones elementales.
Además del método para encontrar la matriz inversa, que se desprende de la fórmula (el método de la matriz adjunta), existe un método para encontrar la matriz inversa, llamado método de transformaciones elementales.
Transformaciones matriciales elementales
Las siguientes transformaciones se denominan transformaciones matriciales elementales:
1) reordenamiento de filas (columnas);
2) multiplicar una fila (columna) por un número distinto de cero;
3) sumar a los elementos de una fila (columna) los elementos correspondientes de otra fila (columna), previamente multiplicados por un número determinado.
Para encontrar la matriz A -1, construimos una matriz rectangular B = (A|E) de órdenes (n; 2n), asignando a la matriz A de la derecha la matriz identidad E mediante una línea divisoria:
Veamos un ejemplo.
Usando el método de transformaciones elementales, encuentre A -1 si
Solución. Formamos la matriz B:
Denotemos las filas de la matriz B por α 1, α 2, α 3. Realicemos las siguientes transformaciones en las filas de la matriz B.
Álgebra matricial - Matriz inversamatriz inversa
matriz inversa es una matriz que, cuando se multiplica tanto a la derecha como a la izquierda por una matriz dada, da la matriz identidad.
Denotemos la matriz inversa de la matriz. A a través de , entonces según la definición obtenemos:
Dónde mi– matriz de identidad.
matriz cuadrada llamado no especial (no degenerado) si su determinante no es cero. De lo contrario se llama especial (degenerar) o singular.
El teorema se cumple: Toda matriz no singular tiene una matriz inversa.
La operación de encontrar la matriz inversa se llama apelar matrices. Consideremos el algoritmo de inversión de matrices. Sea una matriz no singular norte-ésimo orden:
donde Δ = det A ≠ 0.
Suma algebraica de un elemento matrices norte-ésimo orden A se llama determinante de una matriz tomada con cierto signo ( norte–1)ésimo orden obtenido al eliminar i-ésima línea y jª columna de la matriz A:
Creemos el llamado adjunto matriz:
¿Dónde están los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz? A.
Tenga en cuenta que las sumas algebraicas de elementos de fila de matriz A se colocan en las columnas correspondientes de la matriz Ã
, es decir, la matriz se transpone al mismo tiempo.
Dividiendo todos los elementos de la matriz. Ã
por Δ – el valor del determinante de la matriz A, obtenemos como resultado la matriz inversa:
Observemos una serie de propiedades especiales de la matriz inversa:
1) para una matriz dada A su matriz inversa
es el único;
2) si hay una matriz inversa, entonces marcha atrás a la derecha Y marcha atrás izquierda las matrices coinciden con él;
3) una matriz cuadrada especial (singular) no tiene matriz inversa.
Propiedades básicas de una matriz inversa:
1) el determinante de la matriz inversa y el determinante de la matriz original son recíprocos;
2) la matriz inversa del producto de matrices cuadradas es igual al producto de la matriz inversa de factores, tomado en orden inverso:
3) la matriz inversa transpuesta es igual a la matriz inversa de la matriz transpuesta dada:
EJEMPLO Calcula la inversa de la matriz dada.
Métodos para encontrar la matriz inversa. Considere una matriz cuadrada
Denotemos Δ =det A.
La matriz cuadrada A se llama no degenerado, o no especial, si su determinante es distinto de cero, y degenerar, o especial, SiΔ = 0.
Una matriz cuadrada B es para una matriz cuadrada A del mismo orden si su producto es A B = B A = E, donde E es la matriz identidad del mismo orden que las matrices A y B.
Teorema . Para que la matriz A tenga matriz inversa es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero.
La matriz inversa de la matriz A, denotada por A- 1, entonces B = A - 1 y se calcula mediante la fórmula
, (1)
donde A i j son complementos algebraicos de los elementos a i j de la matriz A.
Calcular A -1 usando la fórmula (1) para matrices de alto orden requiere mucha mano de obra, por lo que en la práctica es conveniente encontrar A -1 usando el método de transformaciones elementales (ET). Cualquier matriz A no singular se puede reducir a la matriz identidad E mediante ED de solo columnas (o solo filas). Si las ED perfeccionadas sobre la matriz A se aplican en el mismo orden a la matriz identidad E, entonces el resultado es. una matriz inversa. Es conveniente realizar EP sobre las matrices A y E simultáneamente, escribiendo ambas matrices una al lado de la otra a través de una línea. Notemos una vez más que al buscar la forma canónica de una matriz, para encontrarla se pueden utilizar transformaciones de filas y columnas. Si necesitas encontrar la inversa de una matriz, debes usar solo filas o solo columnas durante el proceso de transformación.
Ejemplo 2.10. Para matriz 
encontrar A -1 .
Solución.Primero encontramos el determinante de la matriz A. 
Esto significa que la matriz inversa existe y podemos encontrarla usando la fórmula: 
, donde A i j (i,j=1,2,3) son sumas algebraicas de elementos a i j de la matriz original. 
Dónde 
.
Ejemplo 2.11. Utilizando el método de transformaciones elementales, encuentre A -1 para la matriz: A = .
Solución.Asignamos a la matriz original de la derecha una matriz identidad del mismo orden: 
. Usando transformaciones elementales de las columnas, reduciremos la “mitad” izquierda a la identidad, realizando simultáneamente exactamente las mismas transformaciones en la matriz derecha.
Para hacer esto, intercambie la primera y la segunda columna: 
~
. A la tercera columna sumamos la primera, y a la segunda, la primera, multiplicada por -2: 
. De la primera columna restamos el segundo duplicado, y de la tercera, el segundo multiplicado por 6; 
. Agreguemos la tercera columna a la primera y segunda: 
. Multiplica la última columna por -1: 
. La matriz cuadrada obtenida a la derecha de la barra vertical es la matriz inversa de la matriz A dada. Entonces,
.