Definition
Pyramide er et polyhedron sammensat af en polygon \(A_1A_2...A_n\) og \(n\) trekanter med et fælles toppunkt \(P\) (ikke liggende i polygonens plan) og sider modsat det, der falder sammen med sider af polygonen.
Betegnelse: \(PA_1A_2...A_n\) .
Eksempel: femkantet pyramide \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Trekanter \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) osv. kaldes sideflader pyramider, segmenter \(PA_1, PA_2\) osv. – laterale ribben, polygon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – basis, punkt \(P\) – top.
Højde pyramider er en vinkelret nedadgående fra toppen af pyramiden til bundens plan.
En pyramide med en trekant ved sin base kaldes tetraeder.
Pyramiden kaldes korrekt, hvis dens base er en regulær polygon, og en af følgende betingelser er opfyldt:
\((a)\) pyramidens sidekanter er lige store;
\((b)\) pyramidens højde passerer gennem midten af cirklen, der er omskrevet nær bunden;
\((c)\) sideribberne er skråtstillede til basens plan i samme vinkel.
\((d)\) sidefladerne hælder til basens plan i samme vinkel.
Regelmæssig tetraeder er en trekantet pyramide, hvis flader alle er ens ligesidede trekanter.
Sætning
Betingelser \((a), (b), (c), (d)\) er ækvivalente.
Bevis
Lad os finde højden af pyramiden \(PH\) . Lad \(\alpha\) være bunden af pyramidens plan.
1) Lad os bevise, at fra \((a)\) følger \((b)\) . Lad \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Fordi \(PH\perp \alpha\), så er \(PH\) vinkelret på enhver linje, der ligger i dette plan, hvilket betyder, at trekanterne er retvinklede. Det betyder, at disse trekanter er ens i fælles ben \(PH\) og hypotenusen \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Dette betyder \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Det betyder, at punkterne \(A_1, A_2, ..., A_n\) er i samme afstand fra punktet \(H\), derfor ligger de på samme cirkel med radius \(A_1H\) . Denne cirkel er per definition afgrænset omkring polygonen \(A_1A_2...A_n\) .
2) Lad os bevise, at \((b)\) indebærer \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rektangulær og lige på to ben. Dette betyder, at deres vinkler også er ens, derfor \(\vinkel PA_1H=\vinkel PA_2H=...=\vinkel PA_nH\).
3) Lad os bevise, at \((c)\) indebærer \((a)\) .
Svarende til det første punkt, trekanter \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rektangulær både langs benet og spids vinkel. Det betyder, at deres hypotenuser også er ens, det vil sige \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Lad os bevise, at \((b)\) indebærer \((d)\) .
Fordi i en regulær polygon falder centrene for de omskrevne og indskrevne cirkler sammen (generelt set kaldes dette punkt for midten af en regulær polygon), så er \(H\) midten af den indskrevne cirkel. Lad os tegne vinkelrette fra punktet \(H\) til siderne af basen: \(HK_1, HK_2\) osv. Disse er radierne af den indskrevne cirkel (per definition). Så ifølge TTP (\(PH\) er vinkelret på planet, \(HK_1, HK_2\), osv. er projektioner vinkelret på siderne) skrå \(PK_1, PK_2\), osv. vinkelret på siderne \(A_1A_2, A_2A_3\) osv. henholdsvis. Altså per definition \(\vinkel PK_1H, \vinkel PK_2H\) lig med vinklerne mellem sidefladerne og basen. Fordi trekanter \(PK_1H, PK_2H, ...\) er lige store (som rektangulære på to sider), så vinklerne \(\vinkel PK_1H, \vinkel PK_2H, ...\) er lige.
5) Lad os bevise, at \((d)\) indebærer \((b)\) .
I lighed med det fjerde punkt er trekanterne \(PK_1H, PK_2H, ...\) lige store (som rektangulære langs benet og spidse vinkel), hvilket betyder, at segmenterne \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) er lige. Dette betyder per definition \(H\) er midten af en cirkel indskrevet i basen. Men fordi For regulære polygoner falder centrene for de indskrevne og omskrevne cirkler sammen, så er \(H\) midten af den omskrevne cirkel. Chtd.
Følge
Sidefladerne af en regulær pyramide er lige store trekanter.
Definition
Højden af sidefladen af en regulær pyramide trukket fra dens toppunkt kaldes apotem.
Apotemer af alle laterale flader af en regulær pyramide er lig med hinanden og er også medianer og halveringslinjer.
Vigtige bemærkninger
1. Højden af en regulær trekantet pyramide falder i skæringspunktet mellem højderne (eller halveringslinjerne eller medianerne) af basen (grundlaget er en regulær trekant).
2. Højden af en regulær firkantet pyramide falder i skæringspunktet mellem basens diagonaler (basen er en firkant).
3. Højden af en regulær sekskantet pyramide falder i skæringspunktet mellem basens diagonaler (basen er en regulær sekskant).
4. Pyramidens højde er vinkelret på enhver ret linje, der ligger ved bunden.
Definition
Pyramiden kaldes rektangulær, hvis en af dens sidekanter er vinkelret på bundens plan.
Vigtige bemærkninger
1. I en rektangulær pyramide er kanten vinkelret på bunden pyramidens højde. Det vil sige, \(SR\) er højden.
2. Fordi \(SR\) er altså vinkelret på en hvilken som helst linje fra basen \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– retvinklede trekanter.
3. Trekanter \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- også rektangulær.
Det vil sige, at enhver trekant dannet af denne kant og diagonalen, der kommer ud fra toppen af denne kant, der ligger ved bunden, vil være rektangulær.
\[(\Large(\text(Volumen og overfladeareal af pyramiden)))\]
Sætning
Pyramidens volumen er lig med en tredjedel af produktet af bundens areal og pyramidens højde: \
Konsekvenser
Lad \(a\) være siden af basen, \(h\) være højden af pyramiden.
1. Volumenet af en regulær trekantet pyramide er \(V_(\text(ret trekant.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Volumenet af en regulær firkantet pyramide er \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Rumfanget af en regulær sekskantet pyramide er \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Volumenet af et regulært tetraeder er \(V_(\text(højre tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Sætning
Arealet af den laterale overflade af en almindelig pyramide er lig med halvproduktet af omkredsen af basen og apotemet.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Definition
Overvej en vilkårlig pyramide \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Lad os tegne et plan parallelt med bunden af pyramiden gennem et bestemt punkt, der ligger på pyramidens sidekant. Dette plan vil opdele pyramiden i to polyedre, hvoraf den ene er en pyramide (\(PB_1B_2...B_n\)), og den anden kaldes afkortet pyramide(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Den afkortede pyramide har to baser - polygoner \(A_1A_2...A_n\) og \(B_1B_2...B_n\), som ligner hinanden.
Højden af en afkortet pyramide er en vinkelret tegnet fra et eller andet punkt af den øvre base til planet for den nederste base.
Vigtige bemærkninger
1. Alle sideflader af en afkortet pyramide er trapezoider.
2. Segmentet, der forbinder centrene af baserne i en regulær afkortet pyramide (det vil sige en pyramide opnået ved tværsnit af en regulær pyramide) er højden.
Hypotese: vi tror, at perfektionen af pyramidens form skyldes de matematiske love, der ligger i dens form.
Mål: Efter at have studeret pyramiden som en geometrisk krop, forklar perfektionen af dens form.
Opgaver:
1. Giv en matematisk definition af en pyramide.
2. Studer pyramiden som et geometrisk legeme.
3. Forstå hvilken matematisk viden egypterne inkorporerede i deres pyramider.
Private spørgsmål:
1. Hvad er en pyramide som et geometrisk legeme?
2. Hvordan kan pyramidens unikke form forklares ud fra et matematisk synspunkt?
3. Hvad forklarer pyramidens geometriske vidundere?
4. Hvad forklarer perfektionen af pyramideformen?
Definition af en pyramide.
PYRAMIDE (fra græsk pyramis, gen. pyramidos) - et polyeder, hvis base er en polygon, og de resterende flader er trekanter med et fælles toppunkt (tegning). Baseret på antallet af grundvinkler klassificeres pyramider som trekantede, firkantede osv.
PYRAMIDE - en monumental struktur, der har den geometriske form som en pyramide (nogle gange også trinformet eller tårnformet). Pyramider er navnet på de gigantiske grave af de gamle egyptiske faraoer i det 3.-2. årtusinde f.Kr. e. såvel som gamle amerikanske tempelsokler (i Mexico, Guatemala, Honduras, Peru), forbundet med kosmologiske kulter.
Det er muligt, at det græske ord "pyramide" kommer fra det egyptiske udtryk per-em-us, dvs. fra et udtryk, der betyder pyramidens højde. Den fremragende russiske egyptolog V. Struve mente, at det græske "puram...j" kommer fra det gamle egyptiske "p"-mr".
Fra historien. Efter at have studeret materialet i lærebogen "Geometri" af forfatterne af Atanasyan. Butuzov og andre, vi lærte at: Et polyeder sammensat af en n-gon A1A2A3 ... En og n trekanter PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 kaldes en pyramide. Polygonen A1A2A3...An er bunden af pyramiden, og trekanterne PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 er pyramidens sideflader, P er toppen af pyramiden, segmenterne PA1, PA2,.. ., PAn er sidekanterne.
Denne definition af en pyramide eksisterede dog ikke altid. For eksempel definerer den antikke græske matematiker, forfatteren til teoretiske afhandlinger om matematik, der er kommet ned til os, Euklid, en pyramide som en solid figur afgrænset af planer, der konvergerer fra et plan til et punkt.
Men denne definition blev kritiseret allerede i oldtiden. Så Heron foreslog følgende definition af en pyramide: "Det er en figur afgrænset af trekanter, der konvergerer i et punkt, og hvis basis er en polygon."
Vores gruppe, efter at have sammenlignet disse definitioner, kom til den konklusion, at de ikke har en klar formulering af begrebet "fundament".
Vi undersøgte disse definitioner og fandt definitionen af Adrien Marie Legendre, som i 1794 i sit værk "Elements of Geometry" definerer en pyramide som følger: "En pyramide er en solid figur dannet af trekanter, der konvergerer på et punkt og ender på forskellige sider af en flad base."
Det forekommer os, at den sidste definition giver en klar idé om pyramiden, da den taler om, at basen er flad. En anden definition af en pyramide dukkede op i en lærebog fra det 19. århundrede: "en pyramide er en solid vinkel gennemskåret af et plan."
Pyramide som et geometrisk legeme.
At. En pyramide er et polyeder, hvis flader (basis) er en polygon, de resterende flader (sider) er trekanter, der har ét fælles toppunkt (pyramidens toppunkt).
Den vinkelrette trukket fra toppen af pyramiden til bundens plan kaldes højdeh pyramider.
Ud over den vilkårlige pyramide er der korrekt pyramide i bunden af hvilken er en regulær polygon og afkortet pyramide.
I figuren er der en pyramide PABCD, ABCD er dens base, PO er dens højde.
Samlet overfladeareal pyramide er summen af arealerne af alle dens ansigter.
Sfull = Sside + Smain, Hvor Side– summen af sidefladernes areal.
Volumen af pyramiden findes ved formlen:
V=1/3Sbas. h, hvor Sbas. - basisareal, h- højde.
 |
|
Apothem ST er højden af sidefladen af en almindelig pyramide.
Arealet af sidefladen af en regulær pyramide er udtrykt som følger: Side. =1/2P h, hvor P er omkredsen af basen, h- højden af sidefladen (apotem af en almindelig pyramide). Hvis pyramiden skæres af planet A'B'C'D', parallelt med basen, så:
1) sideribberne og højden er opdelt af dette plan i proportionale dele;
2) i tværsnit opnås en polygon A'B'C'D', svarende til basen;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Baser af en afkortet pyramide– lignende polygoner ABCD og A`B`C`D`, sideflader er trapezoider.
Højde afkortet pyramide - afstanden mellem baserne.
Afkortet volumen pyramiden findes ved formlen:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Det laterale overfladeareal af en regulær afkortet pyramide udtrykkes som følger: Sside = ½(P+P') h, hvor P og P' er omkredsen af baserne, h- højden af sidefladen (apotem af en almindelig afkortet pirami
Udsnit af en pyramide.
Sektioner af en pyramide af fly, der passerer gennem dens spids, er trekanter.
En sektion, der går gennem to ikke-tilstødende sidekanter af en pyramide, kaldes diagonalt snit.
Hvis sektionen passerer gennem et punkt på sidekanten og siden af basen, vil dens spor til pyramidens bundplan være denne side.
En sektion, der går gennem et punkt, der ligger på pyramidens forside, og et givet sektionsspor på basisplanet, så skal konstruktionen udføres som følger:
· find skæringspunktet for planet af en given flade og sporet af sektionen af pyramiden og udpege det;
· konstruere en ret linje, der går gennem et givet punkt og det resulterende skæringspunkt;
· gentag disse trin for de næste ansigter.
, hvilket svarer til forholdet mellem benene i en retvinklet trekant 4:3. Dette forhold mellem benene svarer til den velkendte retvinklede trekant med siderne 3:4:5, som kaldes den "perfekte", "hellige" eller "egyptiske" trekant. Ifølge historikere fik den "egyptiske" trekant en magisk betydning. Plutarch skrev, at egypterne sammenlignede universets natur med en "hellig" trekant; de sammenlignede symbolsk det lodrette ben med manden, basen med hustruen og hypotenusen med det, der er født af begge.
For en trekant 3:4:5 er ligheden sand: 32 + 42 = 52, hvilket udtrykker Pythagoras sætning. Var det ikke denne sætning, som de egyptiske præster ønskede at forevige ved at opføre en pyramide baseret på trekanten 3:4:5? Det er svært at finde et mere vellykket eksempel til at illustrere Pythagoras sætning, som var kendt af egypterne længe før dens opdagelse af Pythagoras.
Således søgte de geniale skabere af de egyptiske pyramider at forbløffe fjerne efterkommere med dybden af deres viden, og de opnåede dette ved at vælge den "gyldne" retvinklede trekant som den "hovedgeometriske idé" for Cheops-pyramiden og den "hellige" eller "egyptisk" for Khafre-pyramiden.
Meget ofte i deres forskning bruger videnskabsmænd egenskaberne af pyramider med Golden Ratio proportioner.
Den matematiske encyklopædiske ordbog giver følgende definition af det gyldne snit - dette er en harmonisk opdeling, opdeling i ekstreme og gennemsnitlige forhold - opdeling af segmentet AB i to dele på en sådan måde, at dets største del AC er gennemsnitsproportionalen mellem hele segmentet AB og dens mindre del NE.
Algebraisk bestemmelse af det gyldne snit af et segment AB = a reducerer til at løse ligningen a: x = x: (a – x), hvorfra x er omtrent lig med 0,62a. Forholdet x kan udtrykkes som brøker 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, hvor 2, 3, 5, 8, 13, 21 er Fibonacci-tal.
Den geometriske konstruktion af det gyldne snit af segmentet AB udføres som følger: ved punkt B gendannes vinkelret på AB, segmentet BE = 1/2 AB er lagt ud på det, A og E er forbundet, DE = BE afskediges og til sidst AC = AD, så er ligheden AB opfyldt: CB = 2:3.
Det gyldne snit bruges ofte i kunstværker, arkitektur og findes i naturen. Levende eksempler er skulpturen af Apollo Belvedere og Parthenon. Under opførelsen af Parthenon blev forholdet mellem bygningens højde og dens længde brugt, og dette forhold er 0,618. Objekter omkring os giver også eksempler på det gyldne snit, for eksempel har indbindingerne i mange bøger et bredde-til-længde-forhold tæt på 0,618. I betragtning af arrangementet af blade på den fælles stilk af planter, kan du bemærke, at mellem hvert andet par blade er det tredje placeret i det gyldne forhold (glidninger). Hver af os "bærer" det gyldne forhold med os "i vores hænder" - dette er forholdet mellem fingrenes phalanges.
Takket være opdagelsen af flere matematiske papyrus har egyptologer lært noget om de gamle egyptiske systemer til beregning og måling. Opgaverne indeholdt i dem blev løst af skrivere. En af de mest berømte er Rhindens matematiske papyrus. Ved at studere disse problemer lærte egyptologer, hvordan de gamle egyptere håndterede de forskellige mængder, der opstod, når de beregnede mål for vægt, længde og volumen, som ofte involverede brøker, samt hvordan de håndterede vinkler.
De gamle egyptere brugte en metode til at beregne vinkler baseret på forholdet mellem højden og bunden af en retvinklet trekant. De udtrykte enhver vinkel i sproget i en gradient. Hældningsgradienten blev udtrykt som et heltalsforhold kaldet "seced". I Mathematics in the Age of the Pharaohs forklarer Richard Pillins: "Seked af en regulær pyramide er hældningen af en af de fire trekantede flader til grundplanet, målt ved det n'te antal vandrette enheder pr. lodret stigningsenhed . Denne måleenhed svarer således til vores moderne cotangens af hældningsvinklen. Derfor er det egyptiske ord "seced" relateret til vores moderne ord "gradient".
Den numeriske nøgle til pyramiderne ligger i forholdet mellem deres højde og bunden. Rent praktisk er dette den nemmeste måde at gøre skabelonerne nødvendige for konstant at kontrollere den korrekte hældningsvinkel gennem hele pyramidens konstruktion.
Egyptologer ville være glade for at overbevise os om, at hver farao længtes efter at udtrykke sin individualitet, deraf forskellene i hældningsvinklerne for hver pyramide. Men der kan være en anden grund. Måske ønskede de alle at legemliggøre forskellige symbolske associationer, skjult i forskellige proportioner. Vinklen på Khafres pyramide (baseret på trekanten (3:4:5)) vises dog i de tre opgaver, som pyramiderne præsenterer i Rhind Mathematical Papyrus). Så denne holdning var velkendt for de gamle egyptere.
For at være retfærdig over for egyptologer, der hævder, at de gamle egyptere ikke var klar over trekanten 3:4:5, blev længden af hypotenusen 5 aldrig nævnt. Men matematiske problemer, der involverer pyramider, løses altid på basis af seceda-vinklen - forholdet mellem højden og basen. Da længden af hypotenusen aldrig blev nævnt, blev det konkluderet, at egypterne aldrig beregnede længden af den tredje side.
Højde-til-grund-forholdet, der blev brugt i Giza-pyramiderne, var uden tvivl kendt af de gamle egyptere. Det er muligt, at disse forhold for hver pyramide blev valgt vilkårligt. Dette modsiger dog den betydning, der tillægges talsymbolik i alle typer egyptisk kunst. Det er meget sandsynligt, at sådanne forhold var betydningsfulde, fordi de udtrykte specifikke religiøse ideer. Med andre ord var hele Giza-komplekset underordnet et sammenhængende design designet til at afspejle et bestemt guddommeligt tema. Dette ville forklare, hvorfor designerne valgte forskellige vinkler til de tre pyramider.
I The Orion Mystery præsenterede Bauval og Gilbert overbevisende beviser, der forbinder Giza-pyramiderne med stjernebilledet Orion, især stjernerne i Orions Bælte. Det samme stjernebillede er til stede i myten om Isis og Osiris, og der er grund til at se hver pyramide som en. repræsentation af en af de tre hovedguder - Osiris, Isis og Horus.
"GEOMETRISKE" MIRAKLER.
Blandt de storslåede pyramider i Egypten indtager den en særlig plads Farao Cheops' store pyramide (Khufu). Før vi begynder at analysere formen og størrelsen af Cheops-pyramiden, bør vi huske, hvilket system af foranstaltninger egypterne brugte. Ægypterne havde tre længdeenheder: en "alen" (466 mm), som var lig med syv "palmer" (66,5 mm), som igen var lig med fire "fingre" (16,6 mm).
Lad os analysere dimensionerne af Cheops-pyramiden (fig. 2), efter argumenterne givet i den vidunderlige bog af den ukrainske videnskabsmand Nikolai Vasyutinsky "Den Gyldne Proportion" (1990).
De fleste forskere er enige om, at længden af siden af pyramidens bund f.eks. GF lig med L= 233,16 m Denne værdi svarer næsten nøjagtigt til 500 "albuer". Fuld overensstemmelse med 500 "albuer" vil forekomme, hvis længden af "albuen" anses for at være lig med 0,4663 m.
Pyramidens højde ( H) estimeres af forskere forskelligt fra 146,6 til 148,2 m. Og afhængigt af pyramidens accepterede højde ændres alle forholdet mellem dens geometriske elementer. Hvad er årsagen til forskellene i skøn over pyramidens højde? Faktum er, at Cheops-pyramiden strengt taget er afkortet. Dens øverste platform måler i dag cirka 10 ´ 10 m, men for et århundrede siden var den 6 ´ 6 m. Det er klart, at toppen af pyramiden blev demonteret, og den svarer ikke til den oprindelige.
Når man vurderer pyramidens højde, er det nødvendigt at tage højde for en sådan fysisk faktor som "udkastet" af strukturen. Over en lang periode, under påvirkning af kolossalt tryk (nåede 500 tons pr. 1 m2 af den nedre overflade), faldt pyramidens højde sammenlignet med dens oprindelige højde.
Hvad var den oprindelige højde af pyramiden? Denne højde kan genskabes ved at finde den grundlæggende "geometriske idé" af pyramiden.
Figur 2.
I 1837 målte den engelske oberst G. Wise hældningsvinklen på pyramidens flader: den viste sig at være ens. -en= 51°51". Denne værdi genkendes stadig af de fleste forskere i dag. Den angivne vinkelværdi svarer til tangenten (tg) -en), lig med 1,27306. Denne værdi svarer til forholdet mellem pyramidens højde AC til halvdelen af sin base C.B.(fig. 2), dvs A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.
Og her fik forskerne en stor overraskelse!.png" width="25" height="24">= 1.272. Sammenligning af denne værdi med tg-værdien -en= 1,27306, ser vi, at disse værdier er meget tæt på hinanden. Hvis vi tager vinklen -en= 51°50", det vil sige reducere den med kun et bueminut, derefter værdien -en vil blive lig med 1,272, det vil sige, det vil falde sammen med værdien. Det skal bemærkes, at G. Wise i 1840 gentog sine målinger og præciserede, at værdien af vinklen -en=51°50".
Disse målinger førte forskerne til følgende meget interessante hypotese: trekanten ACB i Cheops-pyramiden var baseret på forholdet AC / C.B. = = 1,272!
Overvej nu den rigtige trekant ABC, hvori forholdet mellem benene A.C. / C.B.= (fig. 2). Hvis nu længderne af rektanglets sider ABC udpege af x, y, z, og også tage højde for, at forholdet y/x= , så i overensstemmelse med Pythagoras sætning, længden z kan beregnes ved hjælp af formlen:
Hvis vi accepterer x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
Figur 3."Gylden" retvinklet trekant.
En retvinklet trekant, hvor siderne hænger sammen som t:gyldne" retvinklet trekant.
Så, hvis vi tager hypotesen om, at den vigtigste "geometriske idé" af Cheops-pyramiden er en "gylden" retvinklet trekant, så kan vi herfra let beregne "design"-højden af Cheops-pyramiden. Det er lig med:
H = (L/2) ' = 148,28 m.
Lad os nu udlede nogle andre relationer til Cheops-pyramiden, som følger af den "gyldne" hypotese. Især vil vi finde forholdet mellem det ydre område af pyramiden og arealet af dets base. For at gøre dette tager vi længden af benet C.B. pr enhed, det vil sige: C.B.= 1. Men så længden af siden af bunden af pyramiden GF= 2, og arealet af basen EFGH vil være lige SEFGH = 4.
Lad os nu beregne arealet af sidefladen af Cheops-pyramiden SD. Fordi højden AB trekant AEF lig med t, så vil arealet af sidefladen være lig med SD = t. Så vil det samlede areal af alle fire sideflader af pyramiden være lig med 4 t, og forholdet mellem det samlede ydre areal af pyramiden og arealet af basen vil være lig med det gyldne snit! Dette er det - Cheops-pyramidens hovedgeometriske mysterium!
Gruppen af "geometriske mirakler" i Cheops-pyramiden omfatter reelle og vidtløftige egenskaber ved forholdet mellem forskellige dimensioner i pyramiden.
Som regel opnås de på jagt efter bestemte "konstanter", især tallet "pi" (Ludolfos tal), lig med 3,14159 ...; basen af naturlige logaritmer "e" (Neperovo-tal), lig med 2,71828...; tallet "F", tallet på det "gyldne snit", lig med f.eks. 0,618... osv.
Du kan f.eks. nævne: 1) Herodots ejendom: (Højde)2 = 0,5 art. grundlæggende x Apotem; 2) Ejendom af V. Pris: Højde: 0,5 art. base = kvadratrod af "F"; 3) M. Eists egenskab: Basens omkreds: 2 Højde = "Pi"; i en anden fortolkning - 2 spsk. grundlæggende : Højde = "Pi"; 4) Egenskab for G. Kant: Radius af den indskrevne cirkel: 0,5 art. grundlæggende = "F"; 5) Ejendom af K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art. . hoved X Apothem) + (v. hoved)2). Og så videre. Du kan komme med mange sådanne egenskaber, især hvis du forbinder to tilstødende pyramider. For eksempel, som "Egenskaber af A. Arefyev" kan det nævnes, at forskellen i volumen af Cheops-pyramiden og Khafre-pyramiden er lig med det dobbelte af volumenet af Mikerin-pyramiden...
Mange interessante bestemmelser, især om konstruktion af pyramider i henhold til "det gyldne snit", er angivet i bøgerne af D. Hambidge "Dynamic symmetry in architecture" og M. Gick "Aesthetics of proportion in nature and art". Lad os huske på, at det "gyldne snit" er opdelingen af et segment i et sådant forhold, at del A er lige så mange gange større end del B, hvor mange gange A er mindre end hele segmentet A + B. Forholdet A/B i dette tilfælde er lig med tallet "F" == 1.618 .. Brugen af det "gyldne forhold" er angivet ikke kun i individuelle pyramider, men også i hele komplekset af pyramiderne i Giza.
Det mest besynderlige er dog, at en og samme Cheops-pyramide simpelthen "ikke kan" indeholde så mange vidunderlige egenskaber. Hvis du tager en bestemt ejendom en efter en, kan den "monteres", men alle passer ikke på én gang - de falder ikke sammen, de modsiger hinanden. Derfor, hvis vi for eksempel, når vi tjekker alle egenskaber, i første omgang tager den samme side af bunden af pyramiden (233 m), så vil højderne af pyramider med forskellige egenskaber også være forskellige. Der er med andre ord en vis "familie" af pyramider, der eksternt ligner Cheops, men har forskellige egenskaber. Bemærk, at der ikke er noget særligt mirakuløst i de "geometriske" egenskaber - meget opstår rent automatisk fra egenskaberne af selve figuren. Et "mirakel" bør kun betragtes som noget, der tydeligvis var umuligt for de gamle egyptere. Dette omfatter især "kosmiske" mirakler, hvor målingerne af Cheops-pyramiden eller pyramidekomplekset i Giza sammenlignes med nogle astronomiske målinger, og "lige" tal er angivet: en million gange mindre, en milliard gange mindre, og så videre. Lad os overveje nogle "kosmiske" forhold.
Et af udsagn er: "hvis du dividerer siden af pyramidens bund med den nøjagtige længde af året, får du præcis 10 milliontedele af jordens akse." Beregn: divider 233 med 365, vi får 0,638. Jordens radius er 6378 km.
Et andet udsagn er faktisk det modsatte af det forrige. F. Noetling påpegede, at hvis vi bruger den "egyptiske alen", han selv opfandt, så vil siden af pyramiden svare til "den mest nøjagtige varighed af solåret, udtrykt til nærmeste en milliardtedel af en dag" - 365.540. 903.777.
P. Smiths udsagn: "Pyramidens højde er nøjagtig en milliardtedel af afstanden fra Jorden til Solen." Selvom højden normalt er 146,6 m, tog Smith den til 148,2 m. Ifølge moderne radarmålinger er jordens semi-hovedakse 149.597.870 + 1,6 km. Dette er den gennemsnitlige afstand fra Jorden til Solen, men ved perihelium er det 5.000.000 kilometer mindre end ved aphelium.
Et sidste interessant udsagn:
"Hvordan kan vi forklare, at masserne af pyramiderne i Cheops, Khafre og Mykerinus relaterer sig til hinanden, ligesom masserne af planeterne Jorden, Venus, Mars?" Lad os beregne. Masserne af de tre pyramider er: Khafre - 0,835; Cheops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Forholdet mellem masserne af de tre planeter: Venus - 0,815; Jorden - 1.000; Mars - 0,108.
Så på trods af skepsis bemærker vi den velkendte harmoni i konstruktionen af udsagn: 1) højden af pyramiden, som en linje "går ud i rummet", svarer til afstanden fra Jorden til Solen; 2) siden af bunden af pyramiden, tættest på "substratet", det vil sige Jorden, er ansvarlig for jordens radius og jordens cirkulation; 3) pyramidens rumfang (læs - masser) svarer til forholdet mellem masserne af planeterne nærmest Jorden. En lignende "cifre" kan for eksempel spores i det bisprog, som Karl von Frisch har analyseret. Vi vil dog afholde os fra at kommentere denne sag indtil videre.
PYRAMIDE FORM
Den berømte tetraedriske form af pyramiderne opstod ikke med det samme. Skyterne lavede begravelser i form af jordbakker - høje. Egypterne byggede "bakker" af sten - pyramider. Dette skete først efter foreningen af Øvre og Nedre Egypten, i det 28. århundrede f.Kr., hvor grundlæggeren af det tredje dynasti, farao Djoser (Zoser), stod over for opgaven at styrke landets enhed.
Og her spillede kongens "nye guddommeliggørelsesbegreb" ifølge historikere en vigtig rolle i styrkelsen af centralmagten. Selvom de kongelige begravelser var kendetegnet ved større pragt, adskilte de sig i princippet ikke fra hofadelsgravene, de var de samme strukturer - mastabas. Over kammeret med sarkofagen, der indeholdt mumien, blev en rektangulær bakke af små sten hældt, hvor en lille bygning lavet af store stenblokke - en "mastaba" (på arabisk - "bænk") derefter blev placeret. Farao Djoser rejste den første pyramide på stedet for sin forgænger, Sanakhts mastaba. Det var trinløst og var et synligt overgangstrin fra en arkitektonisk form til en anden, fra en mastaba til en pyramide.
På denne måde "oprejste" vismanden og arkitekten Imhotep, som senere blev betragtet som en troldmand og af grækerne identificeret med guden Asclepius, faraoen. Det var, som om der blev rejst seks mastabaer i træk. Desuden besatte den første pyramide et område på 1125 x 115 meter med en anslået højde på 66 meter (ifølge egyptiske standarder - 1000 "palmer"). Først planlagde arkitekten at bygge en mastaba, men ikke aflang, men firkantet i plan. Senere blev den udvidet, men da tilbygningen blev lavet lavere, så det ud til, at der var to trin.
Denne situation tilfredsstillede ikke arkitekten, og på den øverste platform af den enorme flade mastaba placerede Imhotep tre mere, gradvist aftagende mod toppen. Graven lå under pyramiden.
Der kendes flere trinpyramider, men senere gik bygherrerne over til at bygge tetraedriske pyramider, der er mere kendte for os. Hvorfor dog ikke trekantet eller for eksempel ottekantet? Et indirekte svar er givet ved, at næsten alle pyramider er perfekt orienteret langs de fire kardinalretninger, og derfor har fire sider. Derudover var pyramiden et "hus", skallen af et firkantet gravkammer.
Men hvad bestemte ansigternes hældningsvinkel? I bogen "Proportionsprincippet" er et helt kapitel viet til dette: "Hvad kunne have bestemt pyramidernes hældningsvinkler." Især angives det, at "billedet, som det gamle riges store pyramider trækker til, er en trekant med en ret vinkel i spidsen.
I rummet er det et semi-oktaeder: en pyramide, hvor kanterne og siderne af basen er ens, kanterne er ligesidede trekanter." Visse overvejelser er givet om dette emne i Hambidge, Gicks og andres bøger.
Hvad er fordelen ved semi-oktaedervinklen? Ifølge beskrivelser fra arkæologer og historikere kollapsede nogle pyramider under deres egen vægt. Det, der var brug for, var en "holdbarhedsvinkel", en vinkel, der var den mest energisk pålidelige. Rent empirisk kan denne vinkel tages fra topvinklen i en bunke smuldrende tørt sand. Men for at få præcise data skal du bruge en model. Ved at tage fire fast fikserede bolde skal du placere en femte på dem og måle hældningsvinklerne. Du kan dog lave en fejl her, så en teoretisk udregning hjælper: du skal forbinde kuglernes centre med linjer (mentalt). Basen vil være en firkant med en side svarende til to gange radius. Firkanten vil kun være bunden af pyramiden, hvor længden af kanterne også vil være lig med to gange radius.
En tæt pakning af bolde som 1:4 vil således give os et regulært semi-oktaeder.
Men hvorfor beholder mange pyramider, der trækker mod en lignende form, ikke desto mindre den? Pyramiderne ældes sandsynligvis. I modsætning til det berømte ordsprog:
"Alt i verden er bange for tid, og tiden er bange for pyramider," pyramidernes bygninger skal ældes, ikke kun processer med ydre forvitring kan og bør forekomme i dem, men også processer med indre "svind", som evt. få pyramiderne til at blive lavere. Krympning er også mulig, fordi, som afsløret af D. Davidovits arbejde, brugte de gamle egyptere teknologien til at lave blokke af kalkflis, med andre ord fra "beton". Det er netop lignende processer, der kunne forklare årsagen til ødelæggelsen af Medum-pyramiden, der ligger 50 km syd for Kairo. Den er 4600 år gammel, basens mål er 146 x 146 m, højden er 118 m. "Hvorfor er det så vansiret?" spørger V. Zamarovsky "De sædvanlige henvisninger til tidens destruktive virkninger og "brug af sten til andre bygninger" er ikke egnede her.
De fleste af dens blokke og modstående plader er trods alt forblevet på plads den dag i dag, i ruiner ved dens fod." Som vi vil se, får en række bestemmelser os endda til at tro, at den berømte Keops-pyramide også "skrumpede." i alle tilfælde, i alle gamle billeder er pyramiderne spidse ...
Formen af pyramiderne kunne også have været genereret ved efterligning: nogle naturlige prøver, "mirakel perfektion", siger nogle krystaller i form af et oktaeder.
Lignende krystaller kunne være diamant- og guldkrystaller. Et stort antal "overlappende" funktioner er typiske for begreber som farao, sol, guld, diamant. Overalt - ædel, genial (genial), stor, upåklagelig, og så videre. Lighederne er ikke tilfældige.
Solkulten var som bekendt en vigtig del af det gamle Egyptens religion. "Uanset hvordan vi oversætter navnet på den største af pyramiderne," bemærker en af de moderne manualer, "The Sky of Khufu" eller "The Skyward Khufu", betød det, at kongen er solen. Hvis Khufu i sin krafts glans forestillede sig at være den anden sol, så blev hans søn Djedef-Ra den første af de egyptiske konger, der kaldte sig "Ras søn", det vil sige Solens søn. Solen, i næsten alle nationer, blev symboliseret af "solmetallet", guld. "En stor skive af lyst guld" - det er, hvad egypterne kaldte vores dagslys. Ægypterne kendte guld perfekt, de kendte dets oprindelige former, hvor guldkrystaller kan optræde i form af oktaeder.
"Solstenen" - diamant - er også interessant her som en "prøve af former." Diamantens navn kom netop fra den arabiske verden, "almas" - den hårdeste, mest hårde, uforgængelige. De gamle egyptere kendte diamant og dens egenskaber ret godt. Ifølge nogle forfattere brugte de endda bronzerør med diamantskærere til boring.
I dag er den største leverandør af diamanter Sydafrika, men Vestafrika er også rig på diamanter. Republikken Malis territorium kaldes endda "Diamond Land". I mellemtiden er det på Malis territorium, at Dogon bor, med hvem tilhængere af paleo-besøgshypotesen nærer mange forhåbninger (se nedenfor). Diamanter kunne ikke have været årsagen til de gamle egypteres kontakter med denne region. Men på en eller anden måde er det muligt, at netop ved at kopiere oktaedrene af diamant- og guldkrystaller, guddommeliggjorde de gamle egyptere faraoerne, "uopslidelige" som diamant og "strålende" som guld, Solens sønner, kun sammenlignelige til naturens mest vidunderlige kreationer.
Konklusion:
Efter at have studeret pyramiden som en geometrisk krop og stiftet bekendtskab med dens elementer og egenskaber, var vi overbeviste om gyldigheden af udtalelsen om skønheden i pyramidens form.
Som et resultat af vores forskning kom vi til den konklusion, at egypterne, efter at have samlet den mest værdifulde matematiske viden, legemliggjorde den i en pyramide. Derfor er pyramiden i sandhed den mest perfekte skabelse af naturen og mennesket.
LISTE OVER BRUGTE REFERENCER
"Geometri: Lærebog. for 7 – 9 klasser. almen uddannelse institutioner\ osv. - 9. udg. - M.: Uddannelse, 1999
Historie om matematik i skolen, M: "Prosveshchenie", 1982.
Geometri 10-11 karakterer, M: "Oplysning", 2000
Peter Tompkins "Secrets of the Great Pyramid of Cheops", M: "Tsentropoligraf", 2005.
Internetressourcer
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Indledning
Da vi begyndte at studere stereometriske figurer, berørte vi emnet "Pyramid". Vi kunne godt lide dette emne, fordi pyramiden meget ofte bruges i arkitektur. Og da vores fremtidige arkitektfag er inspireret af denne figur, tror vi, at hun kan skubbe os i retning af fremragende projekter.
Styrken af arkitektoniske strukturer er deres vigtigste kvalitet. Forbindelsesstyrke, for det første med de materialer, de er skabt af, og for det andet med funktionerne i designløsninger, viser det sig, at styrken af en struktur er direkte relateret til den geometriske form, der er grundlæggende for den.
Med andre ord taler vi om en geometrisk figur, der kan betragtes som en model af den tilsvarende arkitektoniske form. Det viser sig, at geometrisk form også bestemmer styrken af en arkitektonisk struktur.
Siden oldtiden er de egyptiske pyramider blevet betragtet som de mest holdbare arkitektoniske strukturer. Som du ved, har de form som almindelige firkantede pyramider.
Det er denne geometriske form, der giver den største stabilitet på grund af det store basisareal. På den anden side sørger pyramideformen for, at massen aftager i takt med, at højden over jorden øges. Det er disse to egenskaber, der gør pyramiden stabil, og derfor stærk under tyngdekraftens forhold.
Projektmål: lær noget nyt om pyramider, uddyb din viden og find praktisk anvendelse.
For at nå dette mål var det nødvendigt at løse følgende opgaver:
· Lær historisk information om pyramiden
· Betragt pyramiden som en geometrisk figur
· Find anvendelse i livet og arkitekturen
· Find ligheder og forskelle mellem pyramider placeret i forskellige dele af verden
Teoretisk del
Historiske oplysninger
Pyramidegeometri begyndte i det gamle Egypten og Babylon, men blev aktivt udviklet i det antikke Grækenland. Den første til at fastslå pyramidens volumen var Demokrit, og Eudoxus fra Cnidus beviste det. Den antikke græske matematiker Euklid systematiserede viden om pyramiden i XII bind af hans "Elementer", og udledte også den første definition af en pyramide: en solid figur afgrænset af fly, der konvergerer fra et plan til et punkt.
Grave af egyptiske faraoer. Den største af dem - pyramiderne i Cheops, Khafre og Mikerin i El Giza - blev betragtet som et af verdens syv vidundere i oldtiden. Konstruktionen af pyramiden, hvor grækerne og romerne allerede så et monument over kongers hidtil usete stolthed og grusomhed, der dømte hele Egyptens folk til meningsløst byggeri, var den vigtigste kulthandling og skulle tilsyneladende udtrykke mystiske identitet af landet og dets hersker. Landets befolkning arbejdede med opførelsen af graven i den del af året, der var fri for landbrugsarbejde. En række tekster vidner om den opmærksomhed og omsorg, som kongerne selv (omend af en senere tid) gav til opførelsen af deres grav og dens bygherrer. Det er også kendt om den særlige kult-hæder, der blev givet til selve pyramiden.
Grundlæggende koncepter
Pyramide er et polyeder, hvis basis er en polygon, og de resterende flader er trekanter, der har et fælles toppunkt.
Apotem- højden af sidefladen af en regulær pyramide, trukket fra dens toppunkt;
Sideflader- trekanter mødes i et toppunkt;
Side ribben- fælles sider af sidefladerne;
Toppen af pyramiden- et punkt, der forbinder sideribberne og ikke ligger i bundens plan;
Højde- et vinkelret segment trukket gennem toppen af pyramiden til planet af dets base (enderne af dette segment er toppen af pyramiden og bunden af vinkelret);
Diagonalt snit af en pyramide- sektion af pyramiden, der går gennem toppen og diagonalen af basen;
Grundlag- en polygon, der ikke hører til pyramidens toppunkt.
Grundlæggende egenskaber ved en almindelig pyramide
Sidekanterne, laterale flader og apotemer er henholdsvis ens.
De dihedriske vinkler ved bunden er lige store.
De dihedriske vinkler ved sidekanterne er ens.
Hvert højdepunkt er lige langt fra alle bundens toppunkter.
Hvert højdepunkt er lige langt fra alle sideflader.
Grundlæggende pyramideformler
Arealet af den laterale og samlede overflade af pyramiden.
Arealet af den laterale overflade af en pyramide (fuld og afkortet) er summen af arealerne af alle dens laterale flader, det samlede overfladeareal er summen af arealerne af alle dens flader.
Sætning: Arealet af den laterale overflade af en regulær pyramide er lig med halvdelen af produktet af omkredsen af basen og pyramidens apotem.
s- base omkreds;
h- apotem.
Arealet af de laterale og fulde overflader af en afkortet pyramide.
p 1, s 2 - basisomkredse;
h- apotem.
R- det samlede overfladeareal af en almindelig afkortet pyramide;
S side- område af den laterale overflade af en almindelig afkortet pyramide;
S 1 + S 2- basisareal
Volumen af pyramiden
Form volumen ula bruges til pyramider af enhver art.
H- pyramidens højde.
Pyramide hjørner
Vinklerne dannet af sidefladen og bunden af pyramiden kaldes dihedrale vinkler ved bunden af pyramiden.
En dihedral vinkel er dannet af to perpendikulære.
For at bestemme denne vinkel skal du ofte bruge de tre vinkelrette sætning.
Vinklerne dannet af sidekanten og dens projektion på basens plan kaldes vinkler mellem sidekanten og basens plan.
Vinklen dannet af to sidekanter kaldes dihedral vinkel ved pyramidens sidekant.
Vinklen dannet af to sidekanter af den ene side af pyramiden kaldes vinkel i toppen af pyramiden.
Pyramide sektioner
Overfladen af en pyramide er overfladen af et polyeder. Hver af dens flader er et plan, derfor er sektionen af en pyramide defineret af et skærende plan en brudt linje bestående af individuelle lige linjer.
Diagonalt snit
Sektionen af en pyramide af et plan, der går gennem to sidekanter, der ikke ligger på samme flade, kaldes diagonalt snit pyramider.
Parallelle sektioner
Sætning:
Hvis pyramiden skæres af et plan parallelt med bunden, så er pyramidens laterale kanter og højder opdelt af dette plan i proportionale dele;
Sektionen af dette plan er en polygon, der ligner basen;
Områderne af sektionen og basen er relateret til hinanden som kvadraterne af deres afstande fra toppunktet.
Typer af pyramide
Korrekt pyramide– en pyramide, hvis basis er en regulær polygon, og toppen af pyramiden er projiceret ind i midten af basen.
For en almindelig pyramide:
1. sideribber er lige store
2. sideflader er lige store
3. apotemer er lige
4. dihedrale vinkler ved bunden er lige store
5. dihedrale vinkler ved sidekanterne er ens
6. hvert højdepunkt er lige langt fra alle hjørner af basen
7. hvert højdepunkt er lige langt fra alle sidekanter
Afkortet pyramide- en del af pyramiden indesluttet mellem dens base og et skæreplan parallelt med basen.
Basen og den tilsvarende sektion af en afkortet pyramide kaldes baser af en afkortet pyramide.
En vinkelret trukket fra et hvilket som helst punkt på en base til planet for en anden kaldes højden af en afkortet pyramide.
Opgaver
nr. 1. I en regulær firkantet pyramide er punkt O midten af basen, SO=8 cm, BD=30 cm Find sidekanten SA.
Problemløsning
nr. 1. I en almindelig pyramide er alle flader og kanter ens.
Overvej OSB: OSB er et rektangulært rektangel, fordi.
SB 2 = SO 2 + OB 2
SB2 =64+225=289
Pyramide i arkitektur
En pyramide er en monumental struktur i form af en almindelig regulær geometrisk pyramide, hvor siderne konvergerer på et punkt. Ifølge deres funktionelle formål var pyramider i oldtiden steder for begravelse eller kulttilbedelse. Basen af en pyramide kan være trekantet, firkantet eller i form af en polygon med et vilkårligt antal hjørner, men den mest almindelige version er den firkantede base.
Der er et betydeligt antal pyramider bygget af forskellige kulturer i den antikke verden, hovedsageligt som templer eller monumenter. Store pyramider omfatter de egyptiske pyramider.
Overalt på Jorden kan du se arkitektoniske strukturer i form af pyramider. Pyramidebygningerne minder om oldtiden og ser meget smukke ud.
Egyptiske pyramider er de største arkitektoniske monumenter i det gamle Egypten, herunder et af "verdens syv vidundere", Cheops-pyramiden. Fra foden til toppen når den 137,3 m, og før den mistede toppen, var dens højde 146,7 m
Radiostationsbygningen i Slovakiets hovedstad, der ligner en omvendt pyramide, blev bygget i 1983. Ud over kontorer og servicelokaler er der inde i volumen en ret rummelig koncertsal, som har et af de største orgler i Slovakiet.
Louvre, som er "stille, uforanderligt og majestætisk, som en pyramide", har undergået mange forandringer gennem århundreder, før det blev det største museum i verden. Det blev født som en fæstning, opført af Philip Augustus i 1190, som snart blev en kongelig residens. I 1793 blev paladset et museum. Samlinger beriges gennem legater eller køb.
Studerende møder begrebet en pyramide længe før de studerer geometri. Fejlen ligger hos de berømte store egyptiske vidundere i verden. Derfor, når de begynder at studere dette vidunderlige polyeder, forestiller de fleste studerende det allerede tydeligt. Alle de ovennævnte attraktioner har den korrekte form. Hvad er der sket almindelig pyramide, og hvilke egenskaber den har vil blive diskuteret nærmere.
Definition
Der er rigtig mange definitioner af en pyramide. Siden oldtiden har det været meget populært.
For eksempel definerede Euklid det som en kropslig figur bestående af planer, der, startende fra et, konvergerer på et bestemt punkt.
Heron gav en mere præcis formulering. Han insisterede på, at dette var tallet, der har en base og planer i form af trekanter, konvergerer på et tidspunkt.
Baseret på den moderne fortolkning er pyramiden repræsenteret som et rumligt polyeder, bestående af en vis k-gon og k flade trekantede figurer, der har ét fælles punkt.
Lad os se på det mere detaljeret, hvilke elementer består den af:
- K-gon betragtes som grundlaget for figuren;
- 3-gonale former rager frem som kanterne af sidedelen;
- den øvre del, hvorfra sideelementerne stammer, kaldes spidsen;
- alle segmenter, der forbinder et toppunkt, kaldes kanter;
- hvis en lige linje sænkes fra toppunktet til figurens plan i en vinkel på 90 grader, så er dens del indeholdt i det indre rum pyramidens højde;
- i ethvert lateralt element kan en vinkelret, kaldet et apotem, trækkes til siden af vores polyeder.
Antallet af kanter beregnes ved hjælp af formlen 2*k, hvor k er antallet af sider af k-gonen. Hvor mange flader et polyeder såsom en pyramide har, kan bestemmes ved hjælp af udtrykket k+1.
Vigtig! En pyramide med regulær form er en stereometrisk figur, hvis basisplan er en k-gon med lige sider.
Grundlæggende egenskaber
Korrekt pyramide har mange egenskaber, som er unikke for hende. Lad os liste dem:
- Grundlaget er en figur med den rigtige form.
- Pyramidens kanter, der begrænser sideelementerne, har lige store numeriske værdier.
- Sideelementerne er ligebenede trekanter.
- Basen af figurens højde falder i midten af polygonen, mens den samtidig er det indskrevne og omskrevne midtpunkt.
- Alle sideribber er skråtstillet til bundens plan i samme vinkel.
- Alle sideflader har samme hældningsvinkel i forhold til basen.
Takket være alle de anførte egenskaber er det meget enklere at udføre elementberegninger. Ud fra ovenstående egenskaber er vi opmærksomme på to tegn:
- I det tilfælde, hvor polygonen passer ind i en cirkel, vil sidefladerne have lige store vinkler med basen.
- Når man beskriver en cirkel omkring en polygon, vil alle kanter af pyramiden, der udgår fra toppunktet, have lige lange og lige store vinkler med basen.
Grundlaget er en firkant
Almindelig firkantet pyramide - et polyeder, hvis basis er en firkant.
Den har fire sideflader, som er ligebenede i udseende.
Et kvadrat er afbildet på et plan, men er baseret på alle egenskaberne for en regulær firkant.
For eksempel, hvis det er nødvendigt at relatere siden af et kvadrat med dets diagonal, så brug følgende formel: diagonalen er lig med produktet af siden af kvadratet og kvadratroden af to.
Den er baseret på en regulær trekant
En regulær trekantet pyramide er et polyeder, hvis base er en regulær 3-gon.
Hvis basen er en regulær trekant, og sidekanterne er lig med basens kanter, så er en sådan figur kaldet et tetraeder.
Alle flader af et tetraeder er ligesidede 3-goner. I dette tilfælde skal du kende nogle punkter og ikke spilde tid på dem, når du beregner:
- hældningsvinklen af ribberne til enhver base er 60 grader;
- størrelsen af alle indre flader er også 60 grader;
- ethvert ansigt kan fungere som en base;
- , tegnet inde i figuren, er disse lige store elementer.
Udsnit af et polyeder
I enhver polyeder der er flere typer sektioner flad. Ofte i et skolegeometrikursus arbejder de med to:
- aksial;
- parallelt med grundlaget.
Et aksialt snit opnås ved at skære et polyeder med et plan, der passerer gennem toppunktet, sidekanterne og aksen. I dette tilfælde er aksen højden trukket fra toppunktet. Skæreplanet er begrænset af skæringslinjerne med alle flader, hvilket resulterer i en trekant.
Opmærksomhed! I en regulær pyramide er den aksiale sektion en ligebenet trekant.
Hvis skæreplanet løber parallelt med basen, så er resultatet den anden mulighed. I dette tilfælde har vi en tværsnitsfigur svarende til basen.
For eksempel, hvis basen er en firkant, så vil sektionen parallelt med basen også være en firkant, kun af mindre dimensioner.
Når de løser problemer under denne betingelse, bruger de tegn og egenskaber for lighed mellem figurer, baseret på Thales' sætning. Først og fremmest er det nødvendigt at bestemme lighedskoefficienten.
Hvis flyet er trukket parallelt med bunden, og det afskærer den øverste del af polyhedronen, opnås en regelmæssig afkortet pyramide i den nederste del. Så siges baserne af et afkortet polyeder at være lignende polygoner. I dette tilfælde er sidefladerne ligebenede trapezoider. Den aksiale sektion er også ligebenet.
For at bestemme højden af et afkortet polyhedron er det nødvendigt at tegne højden i den aksiale sektion, det vil sige i trapezoidet.
Overfladearealer
De vigtigste geometriske problemer, der skal løses i et skolegeometrikursus er at finde overfladeareal og rumfang af en pyramide.
Der er to typer overfladearealværdier:
- område af sideelementerne;
- areal af hele overfladen.
Ud fra selve navnet er det tydeligt, hvad vi taler om. Sidefladen omfatter kun sideelementerne. Det følger af dette, at for at finde det, skal du blot tilføje områderne af sideplanerne, det vil sige områderne af ligebenede 3-goner. Lad os prøve at udlede formlen for arealet af sideelementerne:
- Arealet af en ligebenet 3-gon er lig med Str=1/2(aL), hvor a er siden af basen, L er apotemet.
- Antallet af laterale planer afhænger af typen af k-gon ved bunden. For eksempel har en regulær firkantet pyramide fire laterale planer. Derfor er det nødvendigt at tilføje arealerne af fire figurer Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Udtrykket er forenklet på denne måde, fordi værdien er 4a = Rosn, hvor Rosn er omkredsen af basen. Og udtrykket 1/2*Rosn er dets semi-perimeter.
- Så vi konkluderer, at arealet af de laterale elementer i en regulær pyramide er lig med produktet af halvperimeteren af basen og apotemet: Sside = Rosn * L.
Arealet af pyramidens samlede overflade består af summen af sideplanernes areal og basen: Sp.p.
Med hensyn til arealet af basen, her bruges formlen i henhold til typen af polygon.
Volumen af en regulær pyramide lig med produktet af arealet af basisplanet og højden divideret med tre: V=1/3*Sbas*H, hvor H er polyederens højde.
Hvad er en regulær pyramide i geometri
Egenskaber ved en regulær firkantet pyramide
Pyramide koncept
Definition 1
En geometrisk figur dannet af en polygon og et punkt, der ikke ligger i det plan, der indeholder denne polygon, forbundet med alle polygonens hjørner, kaldes en pyramide (fig. 1).
Polygonen, som pyramiden er lavet af, kaldes pyramidens basis, når de er forbundet med et punkt, er pyramidens sideflader, siderne af trekanter er pyramidens sider, og punktet fælles; til alle trekanter er toppen af pyramiden.
Typer af pyramider
Afhængigt af antallet af vinkler ved bunden af pyramiden kan den kaldes trekantet, firkantet og så videre (fig. 2).
Figur 2.
En anden type pyramide er den almindelige pyramide.
Lad os introducere og bevise egenskaben af en almindelig pyramide.
Sætning 1
Alle sideflader af en regulær pyramide er ligebenede trekanter, der er lig med hinanden.
Bevis.
Overvej en regulær $n-$gonal pyramide med toppunkt $S$ af højden $h=SO$. Lad os tegne en cirkel rundt om basen (fig. 4).
Figur 4.
Overvej trekanten $SOA$. Ifølge Pythagoras sætning får vi
Det er klart, at enhver sidekant vil blive defineret på denne måde. Følgelig er alle sidekanter lig med hinanden, det vil sige, at alle sideflader er ligebenede trekanter. Lad os bevise, at de er lige hinanden. Da basen er en regulær polygon, er grundfladerne på alle sideflader lig med hinanden. Følgelig er alle sideflader ens i henhold til III-kriteriet om trekanters lighed.
Sætningen er blevet bevist.
Lad os nu introducere følgende definition relateret til begrebet en regulær pyramide.
Definition 3
Apotemet for en almindelig pyramide er højden af dens sideflade.
Det er klart, at ved sætning 1 er alle apotemer lige hinanden.
Sætning 2
Det laterale overfladeareal af en regulær pyramide bestemmes som produktet af halvperimeteren af basen og apotemet.
Bevis.
Lad os betegne siden af bunden af $n-$gonalpyramiden med $a$ og apotemet med $d$. Derfor er arealet af sidefladen lig med
Da alle sider ifølge sætning 1 er lige, altså
Sætningen er blevet bevist.
En anden type pyramide er en afkortet pyramide.
Definition 4
Hvis et plan parallelt med dets basis trækkes gennem en almindelig pyramide, så kaldes figuren dannet mellem dette plan og basens plan en afkortet pyramide (fig. 5).
Figur 5. Afkortet pyramide
Sidefladerne af den afkortede pyramide er trapezoider.
Sætning 3
Det laterale overfladeareal af en regulær afkortet pyramide bestemmes som produktet af summen af halvperimetrene af baserne og apotemet.
Bevis.
Lad os betegne siderne af bundene af $n-$gonalpyramiden med henholdsvis $a\ og\ b$, og apotemet med $d$. Derfor er arealet af sidefladen lig med
Da alle sider er lige, altså
Sætningen er blevet bevist.
Prøveopgave
Eksempel 1
Find arealet af sidefladen af en afkortet trekantet pyramide, hvis den er opnået fra en regulær pyramide med basisside 4 og apotem 5 ved at afskære et plan, der går gennem midtlinjen af sidefladerne.
Løsning.
Ved at bruge midtlinjesætningen finder vi, at den øvre base af den afkortede pyramide er lig med $4\cdot \frac(1)(2)=2$, og apotemet er lig med $5\cdot \frac(1)(2) =2,5$.
Så får vi ved sætning 3