Ekstracurricular aktivitet "skære geometriske former i stykker." Opgaver til at skære alle deres plots kan være

1. Et kvadrat indeholder 16 celler. Del firkanten i to lige store dele, så skærelinjen går langs siderne af cellerne. (Metoder til at skære en firkant i to dele vil blive betragtet som forskellige, hvis delene af kvadratet opnået ved en metode til skæring ikke er lig med delene opnået ved en anden metode.) Hvor mange samlede løsninger har problemet?
2. Et 3X4 rektangel indeholder 12 celler. Find fem måder at skære et rektangel i to lige store dele, så skærelinjen går langs siderne af cellerne (skæremetoder anses for forskellige, hvis delene opnået ved en skæremetode ikke er lig med delene opnået ved en anden metode).
3. Et 3X5 rektangel indeholder 15 celler, og den centrale celle er blevet fjernet. Find fem måder at skære den resterende figur i to lige store dele, så skærelinjen går langs siderne af cellerne.
4. Et 6x6 kvadrat er opdelt i 36 identiske kvadrater. Find fem måder at skære en firkant i to lige store dele, så skærelinjen går langs firkanternes sider. Bemærk: problemet har mere end 200 løsninger.
5. Del 4x4-firkanten i fire lige store dele, hvor skærelinjen løber langs siderne af firkanterne. Hvor mange forskellige skæremetoder kan du finde?
6. Del figuren (fig. 5) i tre lige store dele, så skærelinjen løber langs firkanternes sider.

7. Del figuren (fig. 6) i fire lige store dele, så skærelinjen løber langs firkanternes sider.

8. Del figuren (fig. 7) i fire lige store dele, så snitlinjerne går langs firkanternes sider. Find så mange løsninger som muligt.

9. Del 5x5 firkanten med den midterste firkant skåret ud i fire lige store dele.

10. Skær figurerne vist i fig. 8 i to lige store dele langs gitterlinjerne, og hver del skal have en cirkel.

11. Figurerne vist i fig. 9 skal skæres langs gitterlinjerne i fire lige store dele, så hver del har en cirkel. Hvordan gør man dette?

12. Klip figuren vist i fig. 10 langs gitterlinjerne i fire lige store dele og fold dem til en firkant, så cirklerne og stjernerne er placeret symmetrisk i forhold til alle kvadratets symmetriakser.

13. Klip denne firkant (fig. 11) langs siderne af cellerne, så alle dele har samme størrelse og form, og så hver indeholder en cirkel og en stjerne.

14. Klip den 6x6 ternede papirfirkant vist i figur 12 i fire lige store stykker, så hvert stykke indeholder tre skraverede firkanter.

7. klasses klub

Chef Varvara Alekseevna Kosorotova
akademisk år 2009/2010

Lektion 8. Klipning på et ternet ark papir

Når du løser problemer af denne type, er det nyttigt at anvende følgende overvejelser:

1. Firkant. Hvis du skal opdele en figur i flere lige store dele, skal du først finde arealet af figuren, der skæres, og derefter finde arealet af hver af delene. På samme måde, hvis den oprindelige figur skal opdeles i flere figurer af en given type, er det værd først at beregne, hvor mange der skal være. De samme overvejelser kan hjælpe, når andre skæreproblemer skal løses. For at illustrere denne idé tilføjede forfatteren af ​​disse linjer opgave 13 til listen, som ikke var blandt de problemer, der blev tilbudt i lektionen.
2. Symmetri. Der skal lægges vægt på symmetriens egenskaber, for eksempel i tilfælde af, at det er nødvendigt at skære en figur i dele og samle en anden figur fra dem.

For simple problemer gives kun svar, for mere komplekse er der også overvejelser, der hjælper til at få svaret. Skær 5x5 firkanten med hullet (se billede) i to lige store stykker ved hjælp af to metoder. Metoder til at skære en firkant i to dele vil blive betragtet som forskellige, hvis de dele af kvadratet, der er opnået ved hjælp af en skæremetode, adskiller sig i form eller størrelse fra de dele, der opnås ved hjælp af en anden metode (det vil sige, at de ikke kan kombineres ved overlapning).
Del 4x4 firkanten i to lige store dele på fire forskellige måder, så snitlinjen løber langs siderne af firkanterne. Flag - 1. Skær 6-stribet flaget i to stykker, så du kan folde dem til et 8-stribet flag.
Flag - 2. Skær flag A i fire stykker, så flag B kan foldes fra dem.

Skær figuren i 4 lige store dele.
Af de to - en. Klip firkanten med hullet i to lige linjer i 4 stykker, så du kan folde en ny firkant fra dem og en anden almindelig 5x5 firkant.
11*. Skarvet firkant. Vend en takket firkant til en almindelig firkant ved at skære den i 5 stykker.
12*. Maltesisk kors - 2. Skær "malteserkorset" (se opgave 8) i 5 stykker, så de kan foldes til en firkant. 13**. Dunno skære figuren vist på figuren i tre-celle og fire-celle hjørner (som på billedet). Hvor mange hjørnespark kunne Dunno få? Overvej alle mulige tilfælde!

Løsning. Arealet af den originale figur er 22 (vi tager en celle som arealenhed). Lad n firecellede og k trecellede hjørner bruges til skæring. Derefter udtrykker vi arealet af den store figur som summen af ​​arealerne af hjørnerne: 22 = 3 k + 4 n. Lad os omskrive denne lighed i denne form: 22 − 4 n =3 k. På venstre side af denne lighed er der et lige tal, som dog ikke er deleligt med 4. Det betyder, at 3 k også er et lige tal, ikke deleligt med 4, og derfor er tallet k selv sådan. Derudover er der på højre side af ligheden et tal, der er et multiplum af 3, så 22 − 4 n er også et multiplum af 3. Således er 22 − 4 n et multiplum af 6. Gennemgang af værdierne ​​af n fra 0 til 5 (for n ≥6 22 − 4 n<0<3 k , чего быть не может), получаем, что такое возможно лишь при n =1 и при n =4. В каждом из этих случаев несложно найти k . При n =1 имеем k =6, а при n =4 имеем k =2.
Bemærk, at vi endnu ikke har bevist, at begge disse tilfælde er realiseret. Når alt kommer til alt er lighed af områder kun en nødvendig betingelse for eksistensen af ​​en skæremetode, men på ingen måde tilstrækkelig (for eksempel kan et rektangel på størrelse 1 × 6 naturligvis ikke skæres i to trecellede hjørner, selvom 3 2 = 6). For at fuldende beviset bør der gives eksempler på udskæringer af hver type. Dette kan gøres på mange forskellige måder. Billedet viser kun én af dem, og du kan prøve at finde på noget helt eget. Forresten ville det være interessant at besvare dette spørgsmål: hvor mange udskæringer af hver type er der? (Forfatteren af ​​disse linjer kender f.eks. endnu ikke svaret på dette spørgsmål).


Afslutningsvis understreger vi endnu en gang, at en komplet løsning på dette problem involverer to trin: at finde mulige sager og kontrollere, at alle er realiseret. Hvert af disse trin alene er ikke en løsning på problemet!

Lærerens indledende bemærkninger:

Lidt historisk baggrund: Mange videnskabsmænd har været interesseret i at skære problemer siden oldtiden. Løsninger på mange simple skæreproblemer blev fundet af de gamle grækere og kinesere, men den første systematiske afhandling om dette emne blev skrevet af Abul-Vef. Geometre begyndte for alvor at løse problemer med at skære figurer i det mindste antal dele og derefter konstruere en anden figur i begyndelsen af ​​det 20. århundrede. En af grundlæggerne af denne sektion var den berømte puslespilsgrundlægger Henry E. Dudeney.

I dag er puslespilelskere opsatte på at løse skæreproblemer, fordi der ikke er nogen universel metode til at løse sådanne problemer, og alle, der påtager sig at løse dem, kan fuldt ud demonstrere deres opfindsomhed, intuition og evne til kreativ tænkning. (I løbet af lektionen vil vi kun angive et af de mulige eksempler på klipning. Det kan antages, at eleverne kan ende med en anden korrekt kombination - det er der ingen grund til at være bange for).

Denne lektion formodes at blive gennemført i form af en praktisk lektion. Inddel cirkeldeltagerne i grupper på 2-3 personer. Giv hver gruppe figurer udarbejdet på forhånd af læreren. Eleverne har en lineal (med inddelinger), en blyant og en saks. Det er kun tilladt at lave lige snit ved hjælp af en saks. Efter at have skåret en figur i stykker, skal du lave en anden figur af de samme dele.

Skære opgaver:

1). Prøv at skære figuren vist på figuren i 3 ligeformede dele:

Tip: De små former ligner meget bogstavet T.

2). Skær nu denne figur i 4 ligeformede dele:

Tip: Det er let at gætte, at små figurer vil bestå af 3 celler, men der er ikke mange figurer med tre celler. Der er kun to typer: hjørne og rektangel.

3). Del figuren i to lige store dele, og brug de resulterende dele til at danne et skakbræt.

Tip: Foreslå at starte opgaven fra anden del, som om du fik et skakbræt. Husk hvilken form et skakbræt har (firkantet). Tæl det tilgængelige antal celler i længde og bredde. (Husk at der skal være 8 celler).

4). Prøv at skære osten i otte lige store stykker med tre bevægelser af kniven.

Tip: prøv at skære osten på langs.

Opgaver til selvstændig løsning:

1). Klip en firkant papir ud og gør følgende:

· skæres i 4 stykker, der kan bruges til at lave to lige store mindre firkanter.

· skær i fem dele - fire ligebenede trekanter og en firkant - og fold dem, så du får tre firkanter.

Skæreproblemer er et område inden for matematikken, hvor der, som man siger, ingen mammutter ligger rundt omkring. Mange individuelle problemer, men i det væsentlige ingen generel teori. Bortset fra den velkendte Bolyai-Gerwin-sætning er der praktisk talt ingen andre grundlæggende resultater på dette område. Usikkerhed er en evig følgesvend til skærende opgaver. Vi kan for eksempel skære en regulær femkant i seks stykker, som vi kan danne en firkant af; vi kan dog ikke bevise, at fem dele ikke ville være nok til dette.

Ved hjælp af snedige heuristik, fantasi og en halv liter formår vi nogle gange at finde en specifik løsning, men som regel har vi ikke de passende værktøjer til at bevise minimaliteten af ​​denne løsning eller dens ikke-eksistens (sidstnævnte gælder naturligvis i sagen, hvor vi ikke har fundet en løsning). Det er trist og uretfærdigt. Og en dag tog jeg en tom notesbog og besluttede at genoprette retfærdigheden på skalaen af ​​en bestemt opgave: at skære en flad figur i to lige store (kongruente) dele. Som en del af denne serie af artikler (der vil i øvrigt være tre af dem), vil du og jeg, kammerater, se på denne sjove polygon vist nedenfor og forsøge upartisk at finde ud af, om det er muligt at skære den i to lige store tal eller ej.

Indledning

Lad os først genopfriske vores skolegeometrikursus og huske, hvad lige tal er. Yandex foreslår hjælpsomt:

To figurer på et plan kaldes lige, hvis der er en bevægelse, der en-til-en forvandler den ene figur til den anden.

Lad os nu spørge Wikipedia om bevægelser. Hun vil for det første fortælle os, at bevægelse er en transformation af planet, der bevarer afstanden mellem punkter. For det andet er der endda en klassificering af bevægelser på et fly. De tilhører alle en af ​​følgende tre typer:

• Glidende symmetri (her inkluderer jeg for nemheds skyld og fordel spejlsymmetri, som et degenereret tilfælde, hvor parallel translation udføres til nulvektoren)

Lad os introducere noget notation. Vi vil kalde figuren, der skæres, figur A, og de to hypotetiske lige figurer, som vi angiveligt kan skære den ind i, vil blive kaldt henholdsvis B og C. Vi vil kalde den del af planet, der ikke er optaget af figur A, for region D. I tilfælde, hvor en specifik polygon fra billedet betragtes som den afskårne figur, vil vi kalde det A 0 .

Så hvis figur A kan skæres i to lige store dele B og C, så er der en bevægelse, der oversætter B til C. Denne bevægelse kan enten være parallel translation eller rotation eller glidesymmetri (fra nu af stiller jeg ikke længere krav om at spejlsymmetri også betragtes som glidende). Vores beslutning vil blive bygget på dette enkle og, vil jeg endda sige, indlysende grundlag. I denne del vil vi se på det enkleste tilfælde - parallel overførsel. Rotation og glidesymmetri vil falde i henholdsvis anden og tredje del.

Case 1: parallel overførsel

Parallel overførsel er specificeret af en enkelt parameter - den vektor, hvormed skiftet sker. Lad os introducere et par flere udtryk. En ret linje parallel med forskydningsvektoren og indeholdende mindst ét ​​punkt i figuren A vil blive kaldt sekant. Skæringspunktet mellem en sekantlinje og figur A vil blive kaldt tværsnit. En sekant med hensyn til hvilken figur A (minus snittet) ligger helt i det ene halvplan vil blive kaldt grænse.

Lemma 1. Et grænseafsnit skal indeholde mere end et punkt.

Bevis: indlysende. Nå, eller mere detaljeret: lad os bevise det ved modsigelse. Hvis dette punkt hører til figur B, så er det billede(dvs. det punkt, hvortil det vil gå under parallel oversættelse) hører til figur C => billedet tilhører figur A => billedet hører til sektionen. Modsigelse. Hvis dette punkt hører til figur C, så er det prototype(det punkt, der med parallel oversættelse vil gå ind i det) hører til figur B, og så tilsvarende. Det viser sig, at der skal være mindst to punkter i afsnittet.

Styret af dette simple lemma er det ikke svært at forstå, at den ønskede parallelle oversættelse kun kan forekomme langs den lodrette akse (i den aktuelle orientering af billedet, hvis det var i en anden retning, ville mindst en af ​​grænsesektionerne). består af et enkelt punkt. Dette kan forstås ved mentalt at rotere skiftvektoren og se, hvad der sker med grænserne. For at eliminere tilfældet med vertikal parallel overførsel har vi brug for et mere sofistikeret værktøj.

Lemma 2. Det omvendte billede af et punkt placeret på grænsen til figur C er enten på grænsen af ​​figur B og C eller på grænsen af ​​figur B og område D.

Bevis: ikke indlysende, men vi ordner det nu. Lad mig minde dig om, at grænsepunktet for en figur er sådan et punkt, at der, uanset hvor tæt på det, er både punkter, der hører til figuren, og punkter, der ikke hører til. I overensstemmelse hermed vil der nær grænsepunktet (lad os kalde det O") af figur C være både punkter i figur C og andre punkter, der tilhører enten figur B eller område D. De omvendte billeder af punkterne i figur C kan kun være figurpunkter B. Følgelig er der vilkårligt tæt på det omvendte billede af punktet O" (det ville være logisk at kalde det punkt O) punkter i figur B. De omvendte billeder af punkterne i figur B kan være alle punkter, der gør ikke hører til B (det vil sige enten punkterne i figur C eller punkterne i regionen D). Tilsvarende for punkter i område D. Uanset hvor tæt på punkt O der er, er der følgelig enten punkter i figur C (og så vil punkt O være på grænsen mellem B og C) eller punkter i område D (og så vil det omvendte billede være på grænsen mellem B og D). Hvis du kan komme igennem alle disse breve, er du enig i, at lemmaet er bevist.

Sætning 1. Hvis tværsnittet af figur A er et segment, så er dets længde et multiplum af længden af ​​forskydningsvektoren.

Bevis: overvej den "fjerne" ende af dette segment (dvs. den ende, hvis prototype også tilhører segmentet). Denne ende hører åbenbart til figur C og er dens grænsepunkt. Følgelig vil dets omvendte billede (i øvrigt også liggende på segmentet og adskilt fra billedet af længden af ​​forskydningsvektoren) enten være på grænsen af ​​B og C eller på grænsen af ​​B og D. Hvis det er på grænsen mellem B og C, så tager vi også dets omvendte billede . Vi vil gentage denne operation, indtil det næste omvendte billede ophører med at være på grænsen C og ender på grænsen D - og det vil ske præcis i den anden ende af sektionen. Som et resultat får vi en kæde af præbilleder, der deler sektionen i et antal små segmenter, hvor længden af ​​hver er lig med længden af ​​skiftvektoren. Derfor er længden af ​​sektionen et multiplum af længden af ​​forskydningsvektoren osv.

En konsekvens af sætning 1. Alle to sektioner, der er segmenter, skal stå i forhold til hinanden.

Ved at bruge dette resultat er det let at vise, at vertikal parallel overførsel også forsvinder.

Faktisk har sektion et en længde på tre celler, og sektion to har en længde på tre minus roden af ​​to i halvdelen. Det er klart, at disse værdier er usammenlignelige.

Konklusion

Hvis figur A 0 og kan skæres i to lige store figurer B og C, oversættes B ikke til C ved parallel translation. Fortsættes.

Med et ark ternet papir ved hjælp af saks kan du løse mange forskellige og interessante problemer. Disse opgaver er ikke kun interessante eller sjove. De indeholder ofte en praktisk løsning og bevis på nogle gange meget komplekse geometriske spørgsmål.

Lad os starte med hovedreglen om klipning og foldning: To polygoner kaldes equicomposite, hvis en af ​​dem kan opdeles (klippes) i nogle andre polygoner, hvorfra den anden polygon så kan dannes.

Lige-proportionerede polygoner har selvfølgelig det samme areal (lige i størrelse), og derfor tillader egenskaben af ​​ligesammensætning os nogle gange at få formler til at beregne arealer eller sammenligne arealer af figurer (som de siger, metode til opdeling eller nedbrydning). Et eksempel er at sammenligne (beregne) arealerne af et parallelogram og et rektangel.

Det generelle spørgsmål om ækvivalensen af ​​to polygoner er langt fra enkelt. Der er en forbløffende sætning, der siger, at fra en given polygon, ved at skære den i stykker, kan enhver anden polygon af samme område konstrueres.

Denne sætning omhandler såkaldte simple polygoner. En simpel polygon er en polygon, hvis grænse består af en lukket linje uden selvskæringer, og præcis to af dens led konvergerer i hvert hjørne af denne stiplede linje. En vigtig egenskab ved en simpel polygon er, at den har mindst én indre diagonal.

Bemærk, at for at tillade transformationen af ​​et rektangel til et kvadrat, var vi (figur 3) nødt til at dele det i tre dele. Denne partition er dog ikke den eneste. For eksempel kan du give et eksempel på at dele et rektangel i fire dele (Figur 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Spørgsmålet om, hvilket mindste antal nedskæringer, der er nok til at konstruere en anden fra en figur, forbliver åben den dag i dag.

Opgave 1.

En kvinde havde et rektangulært tæppe, der målte 27 gange 36 tommer, var flosset (Figur 5) og skulle skæres af, men hun ville have et rektangulært tæppe. Hun gav dette job til mesteren, og han gjorde det. Hvordan gjorde han det?

Løsningen på problemet kan ses af figur 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

Hvis den tandede del A fjernes fra den tandede del B og derefter skubbes tilbage mellem tænderne på del B, idet den flyttes en tand til højre, opnås det ønskede rektangel.

Opgave 2.

Sådan laver du en firkant af fem identiske firkanter ved at skære dem.

Som vist i figur 7 skal fire firkanter skæres i en trekant og en trapez. Fastgør fire trapezoider til siderne af den femte firkant, og til sidst, fastgør trekanter med deres ben til basen af ​​trapezerne.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

Opgave 3.

Skær firkanten i syv sådanne stykker, så du, når du tilføjer dem, får tre lige store firkanter. (Figur 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

Opgave 4.

Skær firkanten i otte stykker, så du ved at tilføje dem får to firkanter, hvoraf den ene er halvt så stor som den anden.

Fra figur 10 kan du se, hvordan du skærer firkanten. Løsningen ligner løsningen på det forrige problem. Figur 11 viser, hvordan man tilføjer brikkerne for at få de to nødvendige firkanter.

Pædagogisk tur

Opgaver for hold i den "yngre" aldersgruppe at løse selvstændigt

Opgave 1

En snegl kravler op af en pæl, der er 10 m høj. I løbet af dagen rejser den sig 5 m, og i løbet af natten falder den 4 m. Hvor lang tid vil det tage sneglen at komme fra bunden til toppen af ​​pælen.

Opgave 2

Er det muligt at skære et hul i et stykke notesbogspapir, som en person kan passe igennem?

Opgave 3

Harer saver en træstamme. De lavede 10 snit. Hvor mange logs fik du?

Opgave 4

Bagelen skæres i sektorer. Vi lavede 10 snit. Hvor mange stykker fik du?

Opgave 5

På en stor rund kage blev der lavet 10 snit, så hvert snit går fra kant til kant og går gennem midten af ​​kagen. Hvor mange stykker fik du?

Opgave 6

To personer havde to firkantede kager. Alle lavede 2 lige snit på deres kage fra kant til kant. Samtidig fik den ene tre stykker, og den anden fik fire. Hvordan kunne dette være?

Opgave 7

Harerne er ved at save stokken igen, men nu er begge ender af stokken sikret. Ti midterstokke faldt, men de to yderste forblev faste. Hvor mange snit skar harerne?

Opgave 8

Hvordan deler man en pandekage i 4,5, 6, 7 dele ved hjælp af tre lige snit?

Opgave 9

Der er en rund chokoladebar på en rektangulær kage. Hvordan skærer man en kage i to lige store dele, så chokoladebaren også deler sig præcis i to?

Opgave 10

Er det muligt at bage en kage, der kan deles i 4 dele med et lige snit?

Opgave 11

Hvad er det maksimale antal stykker, som en rund pandekage kan opdeles i ved at bruge tre lige udskæringer?

Opgave 12

Hvor mange gange længere er trappen til fjerde sal i et hus end trappen til anden sal i samme hus?

Opgave 13

Giuseppe har en plade af krydsfiner, størrelse 22 × 15. Giuseppe ønsker at skære så mange rektangulære emner af størrelse 3 ud fra det som muligt. × 5. Hvordan gør man dette?

Opgave 14

Det magiske land har sine egne magiske naturlove, hvoraf den ene siger: "Et flyvende tæppe vil kun flyve, når det har en rektangulær form."

Ivan Tsarevich havde et magisk tæppe størrelse 9 × 12. En dag sneg Slangen Gorynych op og skar et lille tæppe af størrelse 1 af dette tæppe × 8. Ivan Tsarevich var meget ked af det og ville skære endnu et stykke 1 af × 4 for at lave et rektangel 8 × 12, men Vasilisa den Vise foreslog at gøre anderledes. Hun skar tæppet i tre dele, hvorfra hun brugte magiske tråde til at sy et firkantet flyvende tæppe på 10 × 10.

Kan du gætte, hvordan Vasilisa den Vise lavede det beskadigede tæppe om?

Opgave 15

Da Gulliver kom til Lilliput, opdagede han, at alle ting der var præcis 12 gange kortere end i hans hjemland. Kan du se, hvor mange Lilliputian tændstikæsker der passer i Gullivers tændstikæske?

Opgave 16

Et tofarvet rektangulært flag blafrer fra masten på et piratskib, bestående af skiftevis sorte og hvide lodrette striber af samme bredde. Det samlede antal striber er lig med antallet af fanger i øjeblikket på skibet. Først var der 12 fanger på skibet og 12 striber på flaget; de to fanger undslap derefter. Hvordan skærer man et flag i to dele og syr dem derefter sammen, så flagets område og stribernes bredde ikke ændres, men antallet af striber bliver 10?

Opgave 17

Et punkt blev markeret i cirklen. Er det muligt at skære denne cirkel i tre dele, så de kan bruges til at danne en ny cirkel, med det markerede punkt i midten?

Opgave 18

Er det muligt at skære en firkant i fire dele, så hver del berører (dvs. har fælles områder af grænsen) med de tre andre?

DIV_ADBLOCK245">

Opgave 24

Der er ingen opdelinger på en 9 cm lang lineal. Påfør tre melleminddelinger på den, så den kan bruges til at måle afstande fra 1 til 9 cm med en nøjagtighed på 1 cm.

Opgave 25

Skriv nogle tal nær hvert hjørne af trekanten, og skriv summen af ​​tallene i enderne af den side nær hver side af trekanten. Tilføj nu hvert tal nær toppen til tallet nær den modsatte side. Hvorfor tror du, at beløbene viste sig at være de samme?

Opgave 26

Hvad er arealet af en trekant med siderne 18, 17, 35?

Opgave 27

Skær firkanten i fem trekanter, så arealet af en af ​​disse trekanter er lig med summen af ​​arealerne af de resterende.

Opgave 28

Et kvadratisk ark papir blev skåret i seks stykker i form af konvekse polygoner; fem stykker gik tabt, hvilket efterlod et stykke i form af en regulær ottekant (se billede). Er det muligt at rekonstruere den oprindelige firkant ved at bruge denne ottekant alene?

Opgave 29

Du kan nemt skære en firkant i to lige store trekanter eller to lige store firkanter. Hvordan skærer man en firkant i to lige store femkanter eller to lige store sekskanter?

Opgave 30

Ivan Tsarevich gik for at lede efter Vasilisa den Smukke, som var blevet kidnappet af Koshchei. Goblin møder ham.

"Jeg ved det," siger han, "jeg plejede at tage dertil og tage til kongeriget Koshcheevo." Jeg gik i fire dage og fire nætter. I de første 24 timer gik jeg en tredjedel af vejen, den lige vej mod nord. Så vendte han mod vest, traskede gennem skoven en dag og gik halvt så langt. For den tredje dag gik jeg gennem skoven, allerede mod syd, og kom ud på en lige vej, der førte mod øst. Jeg gik langs den 100 miles på en dag og endte i Koshcheevo-kongeriget. Du er lige så hurtig en vandrer som jeg er. Gå, Ivan Tsarevich, se, på den femte dag skal du besøge Koshchei.

Nej," svarede Ivan Tsarevich, "hvis alt er som du siger, så vil jeg i morgen se min Vasilisa den Smukke."

Har han ret? Hvor mange miles gik Leshy, og hvor langt tænker Tsarevich Ivan på at gå?

Opgave 31

Kom med et farveskema til terningens ansigter, så den i tre forskellige positioner ligner den, der er vist på billedet. (Angiv, hvordan man farvelægger usynlige kanter eller tegner et net.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Opgave 32

Numismatiker Fedya har alle mønter med en diameter på ikke mere end 10 cm. Han opbevarer dem i en flad kasse, der måler 30 cm * 70 cm (i ét lag). Han fik en mønt med en diameter på 25 cm. Bevis at alle mønter kan placeres i en flad kasse, der måler 55 cm * 55 cm.

Opgave 33

En central firkant blev skåret ud af en 5x5 firkant. Skær den resulterende form i to dele, som du kan pakke en 2x2x2 terning ind i.

Opgave 34

Skær denne firkant langs siderne af cellerne i fire dele, så alle dele har samme størrelse og samme form, og så hver del indeholder en cirkel og en stjerne.

Opgave 35

Parkeringspladsen i Blomsterbyen er en firkant på 7x 7 celler, i hver af dem kan du parkere en bil. Parkeringspladsen er omgivet af et hegn, en af ​​siderne af hjørneburet er fjernet (dette er porten). Bilen kører ad en burbred sti. Dunno blev bedt om at placere så mange biler som muligt på parkeringspladsen, så enhver kunne forlade, når andre stod. Dunno arrangerede 24 biler som vist i fig. Prøv at arrangere bilerne anderledes for at rumme flere af dem.

Opgave 36

Petya og Vasya bor i nabohuse (se planen på billedet). Vasya bor i den fjerde indgang. Det er kendt, at Petya, for at nå Vasya ad den korteste vej (ikke nødvendigvis langs siderne af cellerne), er ligeglad med, hvilken side han løber rundt om sit hus. Bestem, hvilken indgang Petya bor i.

Opgave 37

Foreslå en måde at måle diagonalen på en almindelig mursten, som let kan implementeres i praksis (uden Pythagoras sætning).

Opgave 38

Skær et kryds lavet af fem identiske firkanter i tre polygoner lige i areal og omkreds.

Opgave 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_35.gif" width="411" height="111">

Opgave 46

a) Tetraeder b) terningen blev skåret langs kanterne fremhævet med fede linjer (se billeder) og foldet ud. Tegn den resulterende udvikling.

Opgave 47

Hvilke typer kroppe er vist på billederne? Tegn tegningerne efter tegningerne, lim dem sammen til en geometrisk krop.

1)2) 3) 4) https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_30.gif" width="182" height="146 src=">.gif" width="212" height="139">8 )