Referencedata for tangent (tg x) og cotangens (ctg x). Geometrisk definition, egenskaber, grafer, formler. Tabel over tangenter og cotangenter, derivater, integraler, serieudvidelser. Udtryk gennem komplekse variable. Forbindelse med hyperbolske funktioner.
Geometrisk definition
|BD|
- længden af en cirkelbue med centrum i punktet A.
α er vinklen udtrykt i radianer. Tangent () tan α
er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af det modsatte ben |BC| til længden af det tilstødende ben |AB| .) Cotangens (
ctg α
er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af det tilstødende ben |AB| til længden af det modsatte ben |BC| . Tangent
Hvor
.
;
;
.
n
- hel.
er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af det tilstødende ben |AB| til længden af det modsatte ben |BC| . Tangent
I vestlig litteratur betegnes tangent som følger:
.
Graf for tangentfunktionen, y = tan x
;
;
.
Cotangens
I vestlig litteratur er cotangens betegnet som følger:
Følgende notationer accepteres også:
Graf over cotangensfunktionen, y = ctg x Egenskaber for tangent og cotangens Periodicitet Funktioner y = tg x
og y =
ctg x
er periodiske med periode π.
Paritet til længden af det modsatte ben |BC| . Tangent- og cotangensfunktionerne er ulige.
| Definitionsområder og værdier, stigende, faldende Egenskaber for tangent og cotangens | Definitionsområder og værdier, stigende, faldende Funktioner y = | |
| Tangent- og cotangensfunktionerne er kontinuerte i deres definitionsdomæne (se bevis for kontinuitet). De vigtigste egenskaber ved tangent og cotangens er præsenteret i tabellen ( | ||
| - hel). | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| y= | - | |
| Omfang og kontinuitet | - | |
| Vifte af værdier | - | - |
| Stigende 0 | ||
| Faldende 0 | Definitionsområder og værdier, stigende, faldende 0 | - |
Yderligheder
Nuller, y =
;
;
;
;
;
Skæringspunkter med ordinataksen, x =
Formler
Udtryk ved hjælp af sinus og cosinus
Formler for tangent og cotangens fra sum og difference
De resterende formler er nemme at få f.eks 
Produkt af tangenter
Formel for summen og forskellen af tangenter
;
;
Denne tabel præsenterer værdierne af tangenter og cotangenter for visse værdier af argumentet.
; .
.
Udtryk ved hjælp af komplekse tal
.
Udtryk gennem hyperbolske funktioner
Derivater
Afledt af n. orden med hensyn til variablen x af funktionen:
Aflede formler for tangent > > > ; for cotangens > > > Integraler Serieudvidelser For at opnå udvidelsen af tangenten i potenser af x, skal du tage flere led af udvidelsen i en potensrække for funktionerne og dividere disse polynomier med hinanden,.
Dette giver følgende formler.
kl.
kl. Hvor Bn
;
;
- Bernoulli tal. De bestemmes enten ud fra gentagelsesrelationen:
Hvor . 
Eller ifølge Laplaces formel:
Omvendte funktioner
De omvendte funktioner af tangent og cotangens er henholdsvis arctangens og arccotangens.
Arctangens, arctg til længden af det modsatte ben |BC| . Tangent
, Hvor
Arctangens, arctg til længden af det modsatte ben |BC| . Tangent
Arccotangens, arcctg
Brugt litteratur:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og universitetsstuderende, "Lan", 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.
Sinus er en af de grundlæggende trigonometriske funktioner, hvis brug ikke er begrænset til geometri alene. Tabeller til beregning af trigonometriske funktioner, som tekniske regnemaskiner, er ikke altid ved hånden, og beregning af sinus er nogle gange nødvendig for at løse forskellige problemer. Generelt vil beregning af sinus hjælpe med at konsolidere tegnefærdigheder og viden om trigonometriske identiteter.
Spil med lineal og blyant
En simpel opgave: hvordan finder man sinus af en vinkel tegnet på papir? For at løse det skal du bruge en almindelig lineal, en trekant (eller kompas) og en blyant. Den enkleste måde at beregne sinus for en vinkel er ved at dividere det fjerne ben af en trekant med en ret vinkel med den lange side - hypotenusen. Derfor skal du først færdiggøre den spidse vinkel til formen af en retvinklet trekant ved at tegne en linje vinkelret på en af strålerne i en vilkårlig afstand fra vinklens toppunkt. Vi bliver nødt til at opretholde en vinkel på præcis 90°, hvortil vi har brug for en gejstlig trekant.
At bruge et kompas er lidt mere præcist, men det vil tage længere tid. På en af strålerne skal du markere 2 punkter i en vis afstand, indstille en radius på kompasset omtrent lig med afstanden mellem punkterne og tegne halvcirkler med centre i disse punkter, indtil skæringspunkterne mellem disse linjer er opnået. Ved at forbinde vores cirklers skæringspunkter med hinanden får vi en streng vinkelret på vores vinkels stråle, er det eneste, der er tilbage at forlænge linjen, indtil den skærer en anden stråle.
I den resulterende trekant skal du bruge en lineal til at måle siden modsat hjørnet og den lange side på en af strålerne. Forholdet mellem den første dimension og den anden vil være den ønskede værdi af sinus for den spidse vinkel.
For en stump vinkel er opgaven ikke meget sværere. Vi skal tegne en stråle fra toppunktet i den modsatte retning ved hjælp af en lineal for at danne en lige linje med en af strålerne i den vinkel, vi er interesseret i. Den resulterende spidse vinkel skal behandles som beskrevet ovenfor.
Beregning af sinus ved hjælp af andre trigonometriske funktioner
Det er også muligt at beregne sinus, hvis værdierne af andre trigonometriske funktioner af vinklen eller i det mindste længden af trekantens sider er kendt. Trigonometriske identiteter vil hjælpe os med dette. Lad os se på almindelige eksempler.
Hvordan finder man sinus med en kendt cosinus af en vinkel? Den første trigonometriske identitet, baseret på Pythagoras sætning, siger, at summen af kvadraterne af sinus og cosinus i samme vinkel er lig med én.
Hvordan finder man sinus med en kendt tangens af en vinkel? Tangenten fås ved at dividere den fjerne side med den nære side eller dividere sinus med cosinus. Således vil sinus være produktet af cosinus og tangent, og kvadratet af sinus vil være kvadratet af dette produkt. Vi erstatter den kvadratiske cosinus med forskellen mellem enhed og kvadratsinus i henhold til den første trigonometriske identitet, og gennem simple manipulationer reducerer vi ligningen til beregningen af kvadratsinus gennem tangenten tilsvarende, for at beregne sinusen, vil du skal udtrække roden af det opnåede resultat.
Hvordan finder man sinus med en kendt cotangens af en vinkel? Værdien af cotangens kan beregnes ved at dividere længden af benet nærmest vinklen med længden af det fjerneste, samt at dividere cosinus med sinus, det vil sige at cotangens er en funktion invers til tangenten relativ. til tallet 1. For at beregne sinus kan du beregne tangenten ved hjælp af formlen tg α = 1 / ctg α og bruge formlen i den anden mulighed. Du kan også udlede en direkte formel i analogi med tangent, som vil se sådan ud.
Sådan finder du sinus af tre sider af en trekant
Der er en formel til at finde længden af den ukendte side af enhver trekant, ikke kun en retvinklet trekant, fra to kendte sider ved hjælp af den trigonometriske funktion af cosinus i den modsatte vinkel. Hun ser sådan ud.
Et af matematikkens områder, som eleverne kæmper mest med, er trigonometri. Det er ikke overraskende: For frit at mestre dette vidensområde har du brug for rumlig tænkning, evnen til at finde sinus, cosinus, tangenter, cotangenter ved hjælp af formler, forenkle udtryk og være i stand til at bruge tallet pi i beregninger. Derudover skal du kunne bruge trigonometri, når du skal bevise sætninger, og det kræver enten en udviklet matematisk hukommelse eller evnen til at udlede komplekse logiske kæder.
Trigonometriens oprindelse
At blive bekendt med denne videnskab bør begynde med definitionen af sinus, cosinus og tangens af en vinkel, men først skal du forstå, hvad trigonometri gør generelt.
Historisk set var hovedobjektet for undersøgelsen i denne gren af matematisk videnskab retvinklede trekanter. Tilstedeværelsen af en vinkel på 90 grader gør det muligt at udføre forskellige operationer, der gør det muligt at bestemme værdierne af alle parametre i den pågældende figur ved hjælp af to sider og en vinkel eller to vinkler og en side. Tidligere bemærkede folk dette mønster og begyndte aktivt at bruge det i opførelsen af bygninger, navigation, astronomi og endda i kunst.
Indledende fase
Indledningsvis talte folk om forholdet mellem vinkler og sider udelukkende ved at bruge eksemplet med retvinklede trekanter. Så blev der opdaget særlige formler, der gjorde det muligt at udvide grænserne for brugen i hverdagen for denne gren af matematik.
Studiet af trigonometri i skolen i dag begynder med retvinklede trekanter, hvorefter eleverne bruger den tilegnede viden i fysik og løsning af abstrakte trigonometriske ligninger, som begynder i gymnasiet.
Sfærisk trigonometri
Senere, da videnskaben nåede det næste udviklingsniveau, begyndte formler med sinus, cosinus, tangent og cotangens at blive brugt i sfærisk geometri, hvor der gælder forskellige regler, og summen af vinklerne i en trekant er altid mere end 180 grader. Dette afsnit studeres ikke i skolen, men det er nødvendigt at vide om dets eksistens, i det mindste fordi jordens overflade og enhver anden planets overflade er konveks, hvilket betyder, at enhver overflademarkering vil være "bueformet" i tredimensionelt rum.
Tag kloden og tråden. Fastgør tråden til to vilkårlige punkter på kloden, så den er stram. Bemærk venligst - den har fået form som en bue. Sfærisk geometri omhandler sådanne former, som bruges inden for geodæsi, astronomi og andre teoretiske og anvendte områder.
retvinklet trekant
Efter at have lært lidt om måderne at bruge trigonometri på, lad os vende tilbage til grundlæggende trigonometri for yderligere at forstå, hvad sinus, cosinus, tangent er, hvilke beregninger der kan udføres med deres hjælp, og hvilke formler der skal bruges.
Det første skridt er at forstå begreberne relateret til en retvinklet trekant. For det første er hypotenusen siden modsat 90 graders vinkel. Det er den længste. Vi husker, at ifølge Pythagoras sætning er dens numeriske værdi lig med roden af summen af kvadraterne på de to andre sider.
For eksempel, hvis de to sider er henholdsvis 3 og 4 centimeter, vil længden af hypotenusen være 5 centimeter. Forresten vidste de gamle egyptere om dette for omkring fire og et halvt tusind år siden.
De to resterende sider, som danner en ret vinkel, kaldes ben. Derudover skal vi huske, at summen af vinklerne i en trekant i et rektangulært koordinatsystem er lig med 180 grader.
Definition
Til sidst, med en fast forståelse af det geometriske grundlag, kan man vende sig til definitionen af sinus, cosinus og tangens af en vinkel.
En vinkels sinus er forholdet mellem det modsatte ben (dvs. siden modsat den ønskede vinkel) og hypotenusen. Cosinus af en vinkel er forholdet mellem den tilstødende side og hypotenusen.
Husk at hverken sinus eller cosinus kan være større end én! Hvorfor? Fordi hypotenusen som standard er den længste Uanset hvor lang benet er, vil den være kortere end hypotenusen, hvilket betyder, at deres forhold altid vil være mindre end én. Så hvis du i dit svar på en opgave får en sinus eller cosinus med en værdi større end 1, skal du kigge efter en fejl i beregningerne eller ræsonnementet. Dette svar er klart forkert.
Endelig er tangenten af en vinkel forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side. At dividere sinus med cosinus vil give samme resultat. Se: ifølge formlen dividerer vi længden af siden med hypotenusen, dividerer vi med længden af den anden side og multiplicerer med hypotenusen. Dermed får vi samme forhold som i definitionen af tangent.
Cotangens er derfor forholdet mellem den side, der støder op til hjørnet, og den modsatte side. Vi får det samme resultat ved at dividere en med tangenten.
Så vi har set på definitionerne af, hvad sinus, cosinus, tangent og cotangens er, og vi kan gå videre til formler.
De enkleste formler
I trigonometri kan man ikke undvære formler - hvordan finder man sinus, cosinus, tangent, cotangens uden dem? Men det er præcis, hvad der kræves, når man løser problemer.
Den første formel, du skal vide, når du begynder at studere trigonometri, siger, at summen af kvadraterne af sinus og cosinus i en vinkel er lig med én. Denne formel er en direkte konsekvens af Pythagoras sætning, men den sparer tid, hvis du skal kende størrelsen på vinklen frem for siden.
Mange elever kan ikke huske den anden formel, som også er meget populær, når man løser skoleopgaver: Summen af en og kvadratet af tangenten til en vinkel er lig med én divideret med kvadratet af vinklens cosinus. Se nærmere: dette er det samme udsagn som i den første formel, kun begge sider af identiteten blev divideret med kvadratet af cosinus. Det viser sig, at en simpel matematisk operation gør den trigonometriske formel fuldstændig uigenkendelig. Husk: Ved at vide hvad sinus, cosinus, tangent og cotangens er, transformationsregler og flere grundlæggende formler, kan du til enhver tid udlede de nødvendige mere komplekse formler på et ark papir.
Formler for dobbeltvinkler og tilføjelse af argumenter
Yderligere to formler, som du skal lære, er relateret til værdierne af sinus og cosinus for summen og forskellen af vinkler. De er præsenteret i figuren nedenfor. Bemærk venligst, at i det første tilfælde ganges sinus og cosinus begge gange, og i det andet lægges det parvise produkt af sinus og cosinus til.
Der er også formler forbundet med dobbeltvinkelargumenter. De er fuldstændig afledt af de foregående - som en praksis, prøv at få dem selv ved at tage alfa-vinklen lig med beta-vinklen.
Bemærk endelig, at dobbeltvinkelformler kan omarrangeres for at reducere styrken af sinus, cosinus, tangent alfa.
Sætninger
De to hovedsætninger i grundlæggende trigonometri er sinussætningen og cosinussætningen. Ved hjælp af disse sætninger kan du nemt forstå, hvordan du finder sinus, cosinus og tangent, og derfor arealet af figuren og størrelsen af hver side osv.
Sinussætningen siger, at dividere længden af hver side af en trekant med den modsatte vinkel resulterer i det samme tal. Desuden vil dette tal være lig med to radier af den omskrevne cirkel, det vil sige cirklen, der indeholder alle punkterne i en given trekant.
Cosinussætningen generaliserer Pythagoras sætning og projicerer den på en hvilken som helst trekanter. Det viser sig, at fra summen af kvadraterne på de to sider skal du trække deres produkt ganget med den dobbelte cosinus af den tilstødende vinkel - den resulterende værdi vil være lig med kvadratet på den tredje side. Pythagoras sætning viser sig således at være et specialtilfælde af cosinussætningen.
Skødesløse fejl
Selv ved at vide hvad sinus, cosinus og tangens er, er det nemt at lave en fejl på grund af fravær eller en fejl i de enkleste beregninger. For at undgå sådanne fejl, lad os tage et kig på de mest populære.
For det første skal du ikke omregne brøker til decimaler, før du får det endelige resultat – du kan også lade svaret være som en brøk, medmindre andet fremgår af betingelserne. En sådan transformation kan ikke kaldes en fejl, men det skal huskes, at der på hvert trin af problemet kan opstå nye rødder, som ifølge forfatterens idé bør reduceres. I dette tilfælde vil du spilde din tid på unødvendige matematiske operationer. Dette gælder især for værdier som roden af tre eller roden af to, fordi de findes i problemer ved hvert trin. Det samme gælder for afrunding af "grimme" tal.
Bemærk endvidere, at cosinussætningen gælder for enhver trekant, men ikke Pythagoras sætning! Hvis du ved en fejl glemmer at trække to gange produktet af siderne ganget med cosinus af vinklen mellem dem, vil du ikke kun få et helt forkert resultat, men du vil også demonstrere en fuldstændig mangel på forståelse af emnet. Dette er værre end en skødesløs fejltagelse.
For det tredje må du ikke forveksle værdierne for vinkler på 30 og 60 grader for sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Husk disse værdier, fordi sinus på 30 grader er lig med cosinus på 60 og omvendt. Det er let at forvirre dem, som et resultat af hvilket du uundgåeligt vil få et forkert resultat.
Anvendelse
Mange studerende har ikke travlt med at begynde at studere trigonometri, fordi de ikke forstår dens praktiske betydning. Hvad er sinus, cosinus, tangent for en ingeniør eller astronom? Det er begreber, hvormed du kan beregne afstanden til fjerne stjerner, forudsige en meteorits fald eller sende en forskningssonde til en anden planet. Uden dem er det umuligt at bygge en bygning, designe en bil, beregne belastningen på en overflade eller et objekts bane. Og disse er blot de mest åbenlyse eksempler! Trigonometri i en eller anden form bruges trods alt overalt, lige fra musik til medicin.
Som konklusion
Så du er sinus, cosinus, tangent. Du kan bruge dem i beregninger og med succes løse skoleproblemer.
Hele pointen med trigonometri kommer ned til det faktum, at du skal bruge de kendte parametre for en trekant til at beregne de ukendte. Der er seks parametre i alt: længden af tre sider og størrelsen af tre vinkler. Den eneste forskel på opgaverne er, at der gives forskellige inputdata.
Du ved nu, hvordan du finder sinus, cosinus, tangent baseret på de kendte længder af benene eller hypotenusen. Da disse udtryk ikke betyder andet end et forhold, og et forhold er en brøk, er hovedmålet med et trigonometriproblem at finde rødderne til en almindelig ligning eller ligningssystem. Og her vil almindelig skolematematik hjælpe dig.
Begreberne sinus, cosinus, tangent og cotangens er hovedkategorierne af trigonometri, en gren af matematikken, og er uløseligt forbundet med definitionen af vinkel. Beherskelse af denne matematiske videnskab kræver memorering og forståelse af formler og teoremer samt udviklet rumlig tænkning. Det er derfor, at trigonometriske beregninger ofte forårsager vanskeligheder for skolebørn og elever. For at overvinde dem bør du blive mere fortrolig med trigonometriske funktioner og formler.
Begreber i trigonometri
For at forstå trigonometriens grundlæggende begreber skal du først forstå, hvad en retvinklet trekant og en vinkel i en cirkel er, og hvorfor alle grundlæggende trigonometriske beregninger er forbundet med dem. En trekant, hvor en af vinklerne måler 90 grader, er rektangulær. Historisk set blev denne figur ofte brugt af mennesker inden for arkitektur, navigation, kunst og astronomi. Ved at studere og analysere egenskaberne af denne figur kom folk derfor til at beregne de tilsvarende forhold mellem dens parametre.
Hovedkategorierne forbundet med retvinklede trekanter er hypotenusen og benene. Hypotenusen er siden af en trekant modsat den rette vinkel. Benene er henholdsvis de resterende to sider. Summen af vinklerne i trekanter er altid 180 grader.
Sfærisk trigonometri er et afsnit af trigonometri, der ikke studeres i skolen, men i anvendte videnskaber som astronomi og geodæsi bruger videnskabsmænd det. Det særlige ved en trekant i sfærisk trigonometri er, at den altid har en sum af vinkler, der er større end 180 grader.
Vinkler af en trekant
I en retvinklet trekant er en vinkels sinus forholdet mellem benet modsat den ønskede vinkel og trekantens hypotenus. Følgelig er cosinus forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen. Begge disse værdier har altid en størrelse mindre end én, da hypotenusen altid er længere end benet.
Tangens af en vinkel er en værdi lig med forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side af den ønskede vinkel, eller sinus til cosinus. Cotangens er på sin side forholdet mellem den tilstødende side af den ønskede vinkel og den modsatte side. Cotangensen af en vinkel kan også fås ved at dividere en med tangentværdien.
Enhedscirkel
En enhedscirkel i geometri er en cirkel, hvis radius er lig med én. En sådan cirkel er konstrueret i et kartesisk koordinatsystem, hvor cirklens centrum falder sammen med oprindelsespunktet, og radiusvektorens begyndelsesposition bestemmes langs X-aksens positive retning (abscisse-aksen). Hvert punkt på cirklen har to koordinater: XX og YY, det vil sige koordinaterne for abscissen og ordinaten. Ved at vælge et hvilket som helst punkt på cirklen i XX-planet og slippe en vinkelret fra den til abscisse-aksen, får vi en retvinklet trekant dannet af radius til det valgte punkt (angivet med bogstavet C), vinkelret tegnet på X-aksen (skæringspunktet er angivet med bogstavet G), og segmentet abscisseaksen er mellem koordinaternes oprindelse (punktet er betegnet med bogstavet A) og skæringspunktet G. Den resulterende trekant ACG er en retvinklet trekant indskrevet i en cirkel, hvor AG er hypotenusen, og AC og GC er benene. Vinklen mellem radius af cirklen AC og segmentet af abscisseaksen med betegnelsen AG er defineret som α (alfa). Så cos α = AG/AC. I betragtning af at AC er radius af enhedscirklen, og den er lig med en, viser det sig, at cos α=AG. Ligeledes er sin α=CG.
Ved at kende disse data kan du desuden bestemme koordinaten for punkt C på cirklen, da cos α=AG, og sin α=CG, hvilket betyder, at punkt C har de givne koordinater (cos α;sin α). Ved at vide, at tangenten er lig med forholdet mellem sinus og cosinus, kan vi bestemme, at tan α = y/x, og cot α = x/y. Ved at betragte vinkler i et negativt koordinatsystem kan man beregne, at sinus- og cosinusværdierne for nogle vinkler kan være negative.
Beregninger og grundlæggende formler
Trigonometriske funktionsværdier
Efter at have overvejet essensen af trigonometriske funktioner gennem enhedscirklen, kan vi udlede værdierne af disse funktioner for nogle vinkler. Værdierne er angivet i tabellen nedenfor.
De enkleste trigonometriske identiteter
Ligninger, hvori der er en ukendt værdi under tegnet for den trigonometriske funktion, kaldes trigonometriske. Identiteter med værdien sin x = α, k - ethvert heltal:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identiteter med værdien cos x = a, hvor k er et hvilket som helst heltal:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Identiteter med værdien tg x = a, hvor k er et hvilket som helst heltal:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Identiteter med værdien ctg x = a, hvor k er et hvilket som helst heltal:
- barneseng x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Reduktionsformler
Denne kategori af konstante formler angiver metoder, hvormed du kan flytte fra trigonometriske funktioner af formen til funktioner af argument, det vil sige reducere sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel af enhver værdi til de tilsvarende indikatorer for vinklen af interval fra 0 til 90 grader for større nem beregning.
Formler til reduktion af funktioner for sinus af en vinkel ser sådan ud:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
For cosinus af vinkel:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Brugen af ovenstående formler er mulig under forudsætning af to regler. For det første, hvis vinklen kan repræsenteres som en værdi (π/2 ± a) eller (3π/2 ± a), ændres værdien af funktionen:
- fra synd til cos;
- fra cos til synd;
- fra tg til ctg;
- fra ctg til tg.
Værdien af funktionen forbliver uændret, hvis vinklen kan repræsenteres som (π ± a) eller (2π ± a).
For det andet ændres tegnet på den reducerede funktion ikke: hvis det oprindeligt var positivt, forbliver det sådan. Det samme med negative funktioner.
Tilføjelsesformler
Disse formler udtrykker værdierne af sinus, cosinus, tangens og cotangens af summen og forskellen af to rotationsvinkler gennem deres trigonometriske funktioner. Typisk er vinklerne betegnet som α og β.
Formlerne ser således ud:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Disse formler er gyldige for alle vinkler α og β.
Dobbelt- og tredobbeltvinkelformler
De dobbelte og tredobbelte trigonometriske formler er formler, der relaterer funktionerne af henholdsvis vinklerne 2α og 3α til de trigonometriske funktioner af vinklen α. Afledt af additionsformler:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Overgang fra sum til produkt
I betragtning af at 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), forenklet denne formel, opnår vi identiteten sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Tilsvarende sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tga - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Overgang fra produkt til sum
Disse formler følger af identiteten af overgangen af en sum til et produkt:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Formler for gradreduktion
I disse identiteter kan kvadrat- og kubikkpotenserne af sinus og cosinus udtrykkes i form af sinus og cosinus af den første potens af en multipel vinkel:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universel substitution
Formler for universel trigonometrisk substitution udtrykker trigonometriske funktioner i form af tangenten til en halv vinkel.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), med x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), hvor x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), hvor x = π + 2πn;
- barneseng x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), med x = π + 2πn.
Særlige tilfælde
Særlige tilfælde af de enkleste trigonometriske ligninger er givet nedenfor (k er et hvilket som helst heltal).
Quotienter for sinus:
| Sin x værdi | x værdi |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk eller 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk eller -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk eller 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk eller -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk eller 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk eller -2π/3 + 2πk |
Kvotienter for cosinus:
| cos x værdi | x værdi |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Quotienter for tangent:
| tg x værdi | x værdi |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kvotienter for cotangens:
| ctg x værdi | x værdi |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Sætninger
Sinussætning
Der er to versioner af sætningen - enkel og udvidet. Enkel sinussætning: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. I dette tilfælde er a, b, c siderne af trekanten, og α, β, γ er henholdsvis de modsatte vinkler.
Udvidet sinussætning for en vilkårlig trekant: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. I denne identitet betegner R radius af cirklen, hvori den givne trekant er indskrevet.
Cosinus-sætning
Identiteten vises som følger: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. I formlen er a, b, c siderne i trekanten, og α er vinklen modsat side a.
Tangentsætning
Formlen udtrykker forholdet mellem tangenterne af to vinkler og længden af siderne modsat dem. Siderne er mærket a, b, c, og de tilsvarende modsatte vinkler er α, β, γ. Tangentsætningens formel: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Cotangenssætning
Forbinder radius af en cirkel indskrevet i en trekant med længden af dens sider. Hvis a, b, c er siderne af trekanten, og A, B, C, henholdsvis er vinklerne modsat dem, r er radius af den indskrevne cirkel, og p er halvperimeteren af trekanten, er følgende identiteter er gyldige:
- barneseng A/2 = (p-a)/r;
- barneseng B/2 = (p-b)/r;
- barneseng C/2 = (p-c)/r.
Anvendelse
Trigonometri er ikke kun en teoretisk videnskab forbundet med matematiske formler. Dets egenskaber, teoremer og regler bruges i praksis af forskellige grene af menneskelig aktivitet - astronomi, luft- og sønavigation, musikteori, geodæsi, kemi, akustik, optik, elektronik, arkitektur, økonomi, maskinteknik, målearbejde, computergrafik, kartografi, oceanografi og mange andre.
Sinus, cosinus, tangent og cotangens er trigonometriens grundbegreber, ved hjælp af hvilke man matematisk kan udtrykke sammenhængene mellem sidernes vinkler og længder i en trekant, og finde de nødvendige størrelser gennem identiteter, sætninger og regler.
Trigonometri er en gren af matematisk videnskab, der studerer trigonometriske funktioner og deres anvendelse i geometri. Udviklingen af trigonometri begyndte i det antikke Grækenland. I middelalderen ydede videnskabsmænd fra Mellemøsten og Indien vigtige bidrag til udviklingen af denne videnskab.
Denne artikel er afsat til de grundlæggende begreber og definitioner af trigonometri. Den diskuterer definitionerne af de grundlæggende trigonometriske funktioner: sinus, cosinus, tangent og cotangens. Deres betydning er forklaret og illustreret i sammenhæng med geometri.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Oprindeligt blev definitionerne af trigonometriske funktioner, hvis argument er en vinkel, udtrykt i forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant.
Definitioner af trigonometriske funktioner
Sinus for en vinkel (sin α) er forholdet mellem benet modsat denne vinkel og hypotenusen.
Cosinus af vinklen (cos α) - forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen.
Vinkeltangens (t g α) - forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side.
Vinkel cotangens (c t g α) - forholdet mellem den tilstødende side og den modsatte side.
Disse definitioner er givet for den spidse vinkel i en retvinklet trekant!
Lad os give en illustration.
I trekant ABC med ret vinkel C er sinus af vinkel A lig med forholdet mellem benet BC og hypotenusen AB.
Definitionerne af sinus, cosinus, tangent og cotangens giver dig mulighed for at beregne værdierne af disse funktioner ud fra de kendte længder af trekantens sider.
Vigtigt at huske!
Udvalget af værdier for sinus og cosinus er fra -1 til 1. Med andre ord tager sinus og cosinus værdier fra -1 til 1. Værdiområdet for tangent og cotangens er hele tallinjen, det vil sige, at disse funktioner kan antage enhver værdi.
Definitionerne ovenfor gælder for spidse vinkler. I trigonometri introduceres begrebet en rotationsvinkel, hvis værdi, i modsætning til en spids vinkel, ikke er begrænset til 0 til 90 grader. Rotationsvinklen i grader eller radianer er udtrykt ved et hvilket som helst reelt tal fra - ∞ til + ∞. .
I denne sammenhæng kan vi definere sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel af vilkårlig størrelse. Lad os forestille os en enhedscirkel med dens centrum i begyndelsen af det kartesiske koordinatsystem.
Startpunktet A med koordinaterne (1, 0) roterer omkring midten af enhedscirklen gennem en bestemt vinkel α og går til punktet A 1. Definitionen er givet ud fra koordinaterne til punkt A 1 (x, y).
Sinus (sin) af rotationsvinklen
Sinus for rotationsvinklen α er ordinaten af punktet A 1 (x, y). sin α = y
Cosinus (cos) af rotationsvinklen
Cosinus for rotationsvinklen α er abscissen af punktet A 1 (x, y). cos α = x
Tangent (tg) af rotationsvinklen
Tangenten af rotationsvinklen α er forholdet mellem ordinaten af punktet A 1 (x, y) og dets abscisse. t g α = y x
Cotangens (ctg) af rotationsvinklen
Cotangensen af rotationsvinklen α er forholdet mellem abscissen af punktet A 1 (x, y) og dets ordinat. c t g α = x y
Sinus og cosinus er defineret for enhver rotationsvinkel. Dette er logisk, fordi abscissen og ordinaten af et punkt efter rotation kan bestemmes i enhver vinkel. Situationen er anderledes med tangent og cotangens. Tangenten er udefineret, når et punkt efter rotation går til et punkt med nul abscisse (0, 1) og (0, - 1). I sådanne tilfælde giver udtrykket for tangent t g α = y x simpelthen ikke mening, da det indeholder division med nul. Situationen er den samme med cotangent. Forskellen er, at cotangensen ikke er defineret i tilfælde, hvor ordinaten af et punkt går til nul.
Vigtigt at huske!
Sinus og cosinus er defineret for alle vinkler α.
Tangent er defineret for alle vinkler undtagen α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Cotangens er defineret for alle vinkler undtagen α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Når du løser praktiske eksempler, skal du ikke sige "sinus for omdrejningsvinklen α". Ordene "drejningsvinkel" er simpelthen udeladt, hvilket betyder, at det allerede fremgår af sammenhængen, hvad der diskuteres.
Tal
Hvad med definitionen af sinus, cosinus, tangent og cotangens af et tal, og ikke rotationsvinklen?
Sinus, cosinus, tangent, cotangens af et tal
Sinus, cosinus, tangent og cotangens af et tal t er et tal, der er henholdsvis lig med sinus, cosinus, tangent og cotangens i t radian.
For eksempel er sinus af tallet 10 π lig med sinus af rotationsvinklen på 10 π rad.
Der er en anden tilgang til at bestemme sinus, cosinus, tangent og cotangens af et tal. Lad os se nærmere på det.
Ethvert reelt tal t et punkt på enhedscirklen er knyttet til centrum ved origo for det rektangulære kartesiske koordinatsystem. Sinus, cosinus, tangent og cotangens bestemmes gennem koordinaterne til dette punkt.
Udgangspunktet på cirklen er punkt A med koordinater (1, 0).
Positivt tal t
Negativt tal t svarer til det punkt, som udgangspunktet vil gå til, hvis det bevæger sig rundt i cirklen mod uret og passerer stien t.
Nu hvor forbindelsen mellem et tal og et punkt på en cirkel er etableret, går vi videre til definitionen af sinus, cosinus, tangent og cotangens.
Sinus (synd) af t
Sinus af et tal t- Ordinaten af et punkt på enhedscirklen svarende til tallet t. sin t = y
Cosinus (cos) af t
Cosinus af et tal t- abscisse af punktet i enhedscirklen svarende til tallet t. cos t = x
Tangent (tg) af t
Tangent af et nummer t- forholdet mellem ordinaten og abscissen af et punkt på enhedscirklen svarende til tallet t. t g t = y x = sin t cos t
De seneste definitioner er i overensstemmelse med og modsiger ikke definitionen i begyndelsen af dette afsnit. Peg på den cirkel, der svarer til tallet t, falder sammen med det punkt, hvortil startpunktet går efter drejning med en vinkel t radian.
Trigonometriske funktioner af vinkel- og numerisk argument
Hver værdi af vinklen α svarer til en bestemt værdi af sinus og cosinus for denne vinkel. Ligesom alle vinkler α bortset fra α = 90 ° + 180 ° k, svarer k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) til en bestemt tangentværdi. Cotangens, som angivet ovenfor, er defineret for alle α undtagen α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Vi kan sige, at sin α, cos α, t g α, c t g α er funktioner af vinklen alfa eller funktioner af vinkelargumentet.
På samme måde kan vi tale om sinus, cosinus, tangent og cotangens som funktioner af et numerisk argument. Hvert reelt tal t svarer til en bestemt værdi af sinus eller cosinus af et tal t. Alle andre tal end π 2 + π · k, k ∈ Z, svarer til en tangentværdi. Cotangens er på samme måde defineret for alle tal undtagen π · k, k ∈ Z.
Trigonometris grundlæggende funktioner
Sinus, cosinus, tangent og cotangens er de grundlæggende trigonometriske funktioner.
Det er normalt klart ud fra konteksten, hvilket argument for den trigonometriske funktion (vinkelargument eller numerisk argument), vi har at gøre med.
Lad os vende tilbage til definitionerne i begyndelsen og alfavinklen, som ligger i området fra 0 til 90 grader. De trigonometriske definitioner af sinus, cosinus, tangens og cotangens er helt i overensstemmelse med de geometriske definitioner givet af billedformaterne i en retvinklet trekant. Lad os vise det.
Lad os tage en enhedscirkel med et centrum i et rektangulært kartesisk koordinatsystem. Lad os dreje startpunktet A (1, 0) med en vinkel på op til 90 grader og tegne en vinkelret på abscisseaksen fra det resulterende punkt A 1 (x, y). I den resulterende retvinklede trekant er vinklen A 1 O H lig med rotationsvinklen α, længden af benet O H er lig med abscissen af punktet A 1 (x, y). Længden af benet modsat vinklen er lig med ordinaten af punktet A 1 (x, y), og længden af hypotenusen er lig med en, da det er radius af enhedscirklen.
I overensstemmelse med definitionen fra geometrien er sinus af vinklen α lig med forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Det betyder, at bestemmelse af sinus for en spids vinkel i en retvinklet trekant gennem sideforholdet svarer til at bestemme sinus for rotationsvinklen α, med alfa liggende i området fra 0 til 90 grader.
Tilsvarende kan overensstemmelsen mellem definitioner vises for cosinus, tangent og cotangens.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter