Definition. Enhver ret linje på planet kan specificeres ved en førsteordens ligning
Axe + Wu + C = 0,
Desuden er konstanterne A og B ikke lig med nul på samme tid. Denne første ordens ligning kaldes generel ligning af en ret linje. Afhængigt af værdierne af konstanterne A, B og C er følgende specielle tilfælde mulige:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – den rette linje går gennem origo
A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ret linje parallel med Ox-aksen
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – ret linje parallel med Oy-aksen
B = C = 0, A ≠0 – den rette linje falder sammen med Oy-aksen
A = C = 0, B ≠0 – den rette linje falder sammen med Ox-aksen
Ligningen for en ret linje kan præsenteres i forskellige former afhængigt af givne begyndelsesbetingelser.
Ligning af en ret linje fra et punkt og normalvektor
Definition. I det kartesiske rektangulære koordinatsystem er en vektor med komponenter (A, B) vinkelret på den rette linje givet af ligningen Ax + By + C = 0.
Eksempel. Find ligningen for linjen, der går gennem punktet A(1, 2) vinkelret på (3, -1).
Løsning. Med A = 3 og B = -1, lad os sammensætte ligningen for den rette linje: 3x – y + C = 0. For at finde koefficienten C erstatter vi koordinaterne for det givne punkt A i det resulterende udtryk. 3 – 2 + C = 0, derfor C = -1 . I alt: den påkrævede ligning: 3x – y – 1 = 0.
Ligning for en linje, der går gennem to punkter
Lad to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) være givet i rummet, så er ligningen for linjen, der går gennem disse punkter:
Hvis nogen af nævnerne er lig med nul, skal den tilsvarende tæller være lig med nul På planet er ligningen for linjen skrevet ovenfor forenklet:
hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2.
Brøken = k kaldes hældning lige.
Eksempel. Find ligningen for linjen, der går gennem punkterne A(1, 2) og B(3, 4).
Løsning. Ved at anvende formlen skrevet ovenfor får vi:
Ligning for en ret linje fra et punkt og hældning
Hvis den samlede Ax + Bu + C = 0, føres til formen:
og udpege 
, så kaldes den resulterende ligning ligning af en ret linje med hældningk.
Ligning af en ret linje fra et punkt og en retningsvektor
I analogi med punktet, der betragter ligningen for en ret linje gennem en normalvektor, kan du indtaste definitionen af en ret linje gennem et punkt og den rette linjes retningsvektor.
Definition. Hver ikke-nul vektor (α 1, α 2), hvis komponenter opfylder betingelsen A α 1 + B α 2 = 0, kaldes en retningsvektor for linjen
Axe + Wu + C = 0.
Eksempel. Find ligningen for en ret linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gennem punktet A(1, 2).
Løsning. Vi vil lede efter ligningen for den ønskede linje på formen: Ax + By + C = 0. I overensstemmelse med definitionen skal koefficienterne opfylde betingelserne:
1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.
Så har ligningen for den rette linje formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0. for x = 1, y = 2 får vi C/ A = -3, dvs. påkrævet ligning:
Ligning af en linje i segmenter
Hvis i den generelle ligning for den rette linje Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, divideret med –С: 
eller
Den geometriske betydning af koefficienterne er, at koefficienten EN er koordinaten for skæringspunktet for linjen med Ox-aksen, og b– koordinaten for skæringspunktet mellem den rette linje og Oy-aksen.
Eksempel. Den generelle ligning for linjen x – y + 1 = 0. Find ligningen for denne linje i segmenter.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normal ligning af en linje
Hvis begge sider af ligningen Ax + By + C = 0 ganges med tallet 
som hedder normaliserende faktor, så får vi
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
normal ligning af en linje. Tegnet ± for den normaliserende faktor skal vælges således, at μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Eksempel. Den generelle ligning for linjen 12x – 5y – 65 = 0 Det er påkrævet at skrive forskellige typer ligninger for denne linje.
ligning af denne linje i segmenter: 
ligning af denne linje med hældning: (divider med 5)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Det skal bemærkes, at ikke hver ret linje kan repræsenteres af en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer parallelt med akserne eller passerer gennem koordinaternes oprindelse.
Eksempel. Den rette linje afskærer lige positive segmenter på koordinatakserne. Skriv en ligning for en ret linje, hvis arealet af trekanten dannet af disse segmenter er 8 cm 2.
Løsning. Ligningen for den rette linje har formen: , ab /2 = 8; ab = 16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Eksempel. Skriv en ligning for en ret linje, der går gennem punkt A(-2, -3) og origo.
Løsning.
Ligningen for den rette linje er: 
hvor xl = y1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.
Vinkel mellem rette linjer på et plan
Definition. Hvis to linjer er givet y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, så vil den spidse vinkel mellem disse linjer blive defineret som
.
To linjer er parallelle, hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette, hvis k 1 = -1/ k 2.
Sætning. Linjerne Ax + Bу + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle, når koefficienterne A 1 = λA, B 1 = λB er proportionale. Hvis også C 1 = λC, så falder linjerne sammen. Koordinaterne for skæringspunktet for to linjer findes som en løsning på disse linjers ligningssystem.
Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt vinkelret på en given linje
Definition. En ret linje, der går gennem punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelret på den rette linje y = kx + b, er repræsenteret ved ligningen:
Afstand fra punkt til linje
Sætning. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er givet, så bestemmes afstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 som
.
Bevis. Lad punktet M 1 (x 1, y 1) være bunden af vinkelret faldet fra punkt M til en given ret linje. Så afstanden mellem punkterne M og M 1:
(1)
Koordinaterne x 1 og y 1 kan findes ved at løse ligningssystemet:
Systemets anden ligning er ligningen for en linje, der går gennem et givet punkt M 0 vinkelret på en given linje. Hvis vi transformerer systemets første ligning til formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,
så når vi løser, får vi:
Ved at erstatte disse udtryk i ligning (1), finder vi:
Sætningen er blevet bevist.
Eksempel. Bestem vinklen mellem linjerne: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
Eksempel. Vis, at linjerne 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.
Løsning. Vi finder: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, derfor er linjerne vinkelrette.
Eksempel. Givet er hjørnerne af trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Find ligningen for højden tegnet fra toppunktet C.
Løsning. Vi finder ligningen for side AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Den nødvendige højdeligning har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Så y =. Fordi højden passerer gennem punkt C, så opfylder dens koordinater denne ligning: 
hvorfra b = 17. I alt:. 
Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.
Linjen, der går gennem punktet K(x 0 ; y 0) og parallel med linjen y = kx + a, findes ved formlen:
y - y 0 = k(x - x 0) (1)
Hvor k er linjens hældning.
Alternativ formel:
En linje, der går gennem punktet M 1 (x 1 ; y 1) og parallel med linjen Ax+By+C=0 er repræsenteret ved ligningen
A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)
Eksempel nr. 1. Skriv en ligning for en ret linje, der går gennem punktet M 0 (-2,1) og samtidig:a) parallelt med den rette linje 2x+3y -7 = 0;
b) vinkelret på den rette linje 2x+3y -7 = 0.
Løsning . Lad os forestille os ligningen med hældningen på formen y = kx + a. For at gøre dette skal du flytte alle værdier undtagen y til højre side: 3y = -2x + 7 . Divider derefter højre side med en faktor på 3. Vi får: y = -2/3x + 7/3
Lad os finde ligningen NK, der går gennem punktet K(-2;1), parallelt med den rette linje y = -2 / 3 x + 7 / 3
Ved at erstatte x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 får vi:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
eller
y = -2 / 3 x - 1 / 3 eller 3y + 2x +1 = 0
Eksempel nr. 2. Skriv ligningen for en linje parallel med linjen 2x + 5y = 0, og dannelse, sammen med koordinatakserne, en trekant, hvis areal er 5.
Løsning
. Da linjerne er parallelle, er ligningen for den ønskede linje 2x + 5y + C = 0. Arealet af en retvinklet trekant, hvor a og b er dens ben. Lad os finde skæringspunkterne for den ønskede linje med koordinatakserne: 
;
.
Altså A(-C/2,0), B(0,-C/5). Lad os erstatte det med formlen for areal: 
. Vi får to løsninger: 2x + 5y + 10 = 0 og 2x + 5y – 10 = 0.
Eksempel nr. 3. Skriv en ligning for en linje, der går gennem punktet (-2; 5) og parallelt med linjen 5x-7y-4=0.
Løsning. Denne rette linje kan repræsenteres af ligningen y = 5 / 7 x – 4 / 7 (her a = 5 / 7). Ligningen for den ønskede linje er y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), dvs. 7(y-5)=5(x+2) eller 5x-7y+45=0 .
Eksempel nr. 4. Efter at have løst eksempel 3 (A=5, B=-7) ved hjælp af formel (2), finder vi 5(x+2)-7(y-5)=0.
Eksempel nr. 5. Skriv en ligning for en linje, der går gennem punktet (-2;5) og parallelt med linjen 7x+10=0.
Løsning. Her er A=7, B=0. Formel (2) giver 7(x+2)=0, dvs. x+2=0. Formel (1) er ikke anvendelig, da denne ligning ikke kan løses med hensyn til y (denne rette linje er parallel med ordinataksen).
Denne artikel afslører udledningen af ligningen for en ret linje, der går gennem to givne punkter i et rektangulært koordinatsystem placeret på et plan. Lad os udlede ligningen for en ret linje, der går gennem to givne punkter i et rektangulært koordinatsystem. Vi vil tydeligt vise og løse flere eksempler relateret til det gennemgåede materiale.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Før du opnår ligningen for en linje, der går gennem to givne punkter, er det nødvendigt at være opmærksom på nogle fakta. Der er et aksiom, der siger, at gennem to divergerende punkter på et plan er det muligt at tegne en lige linje og kun én. Med andre ord er to givne punkter på et plan defineret af en ret linje, der går gennem disse punkter.
Hvis planet er defineret af det rektangulære koordinatsystem Oxy, vil enhver ret linje afbildet i det svare til ligningen for en ret linje på planet. Der er også en forbindelse med den rette linjes retning. Disse data er tilstrækkelige til at kompilere ligningen for en ret linje, der går gennem to givne punkter.
Lad os se på et eksempel på løsning af et lignende problem. Det er nødvendigt at oprette en ligning for en ret linje a, der går gennem to divergerende punkter M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2), placeret i det kartesiske koordinatsystem.
I den kanoniske ligning for en linje på en plan, med formen x - x 1 a x = y - y 1 a y, er et rektangulært koordinatsystem O x y angivet med en linje, der skærer det i et punkt med koordinaterne M 1 (x 1, y 1) med en ledevektor a → = (a x , a y) .
Det er nødvendigt at oprette en kanonisk ligning af en lige linje a, som vil passere gennem to punkter med koordinaterne M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2).
Lige a har en retningsvektor M 1 M 2 → med koordinater (x 2 - x 1, y 2 - y 1), da den skærer punkterne M 1 og M 2. Vi har fået de nødvendige data for at transformere den kanoniske ligning med koordinaterne for retningsvektoren M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) og koordinaterne for de punkter M 1, der ligger på dem (x 1, y 1) og M2 (x 2, y 2). Vi får en ligning med formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Overvej figuren nedenfor.
Efter beregningerne nedskriver vi de parametriske ligninger for en linje på en plan, der går gennem to punkter med koordinaterne M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2). Vi får en ligning af formen x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y2+ (y2 - y1) · λ.
Lad os se nærmere på løsningen af flere eksempler.
Eksempel 1
Nedskriv ligningen for en ret linje, der går gennem 2 givne punkter med koordinaterne M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Løsning
Den kanoniske ligning for en linje, der skærer i to punkter med koordinaterne x 1, y 1 og x 2, y 2 har formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Ifølge betingelserne for problemet har vi, at x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Det er nødvendigt at erstatte de numeriske værdier i ligningen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Herfra får vi, at den kanoniske ligning har formen x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Svar: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Hvis du har brug for at løse et problem med en anden type ligning, så kan du først gå til den kanoniske, da det er lettere at komme fra den til en hvilken som helst anden.
Eksempel 2
Sammensæt den generelle ligning for en ret linje, der går gennem punkter med koordinaterne M 1 (1, 1) og M 2 (4, 2) i O x y-koordinatsystemet.
Løsning
Først skal du nedskrive den kanoniske ligning for en given linje, der går gennem givne to punkter. Vi får en ligning på formen x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Lad os bringe den kanoniske ligning til den ønskede form, så får vi:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Svar: x-3 y + 2 = 0.
Eksempler på sådanne opgaver blev diskuteret i skolebøgerne under algebratimerne. Skoleproblemer adskilte sig ved, at ligningen for en ret linje med en vinkelkoefficient var kendt med formen y = k x + b. Hvis du skal finde værdien af hældningen k og tallet b, for hvilke ligningen y = k x + b definerer en linje i O x y-systemet, der går gennem punkterne M 1 (x 1, y 1) og M 2 ( x 2, y 2) , hvor x 1 ≠ x 2. Når x 1 = x 2 , så antager vinkelkoefficienten værdien af uendelighed, og den rette linje M 1 M 2 er defineret af en generel ufuldstændig ligning på formen x - x 1 = 0 .
Fordi pointene M 1 Og M 2 er på en ret linje, så opfylder deres koordinater ligningen y 1 = k x 1 + b og y 2 = k x 2 + b. Det er nødvendigt at løse ligningssystemet y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b for k og b.
For at gøre dette finder vi k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Med disse værdier af k og b bliver ligningen for en linje, der går gennem de givne to punkter, y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Det er umuligt at huske et så stort antal formler på én gang. For at gøre dette er det nødvendigt at øge antallet af gentagelser for at løse problemer.
Eksempel 3
Nedskriv ligningen for en ret linje med en vinkelkoefficient, der går gennem punkter med koordinaterne M 2 (2, 1) og y = k x + b.
Løsning
For at løse problemet bruger vi en formel med en vinkelkoefficient på formen y = k x + b. Koefficienterne k og b skal have en sådan værdi, at denne ligning svarer til en ret linje, der går gennem to punkter med koordinaterne M 1 (- 7, - 5) og M 2 (2, 1).
Points M 1 Og M 2 er placeret på en ret linje, så skal deres koordinater gøre ligningen y = k x + b til en sand lighed. Af dette får vi, at - 5 = k · (- 7) + b og 1 = k · 2 + b. Lad os kombinere ligningen i systemet - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b og løse.
Ved udskiftning får vi det
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Nu er værdierne k = 2 3 og b = - 1 3 substitueret i ligningen y = k x + b. Vi finder, at den påkrævede ligning, der passerer gennem de givne punkter, vil være en ligning på formen y = 2 3 x - 1 3 .
Denne løsningsmetode forudbestemmer spild af en masse tid. Der er en måde, hvorpå opgaven løses i bogstaveligt talt to trin.
Lad os skrive den kanoniske ligning for linjen, der går gennem M 2 (2, 1) og M 1 (- 7, - 5), med formen x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Lad os nu gå videre til hældningsligningen. Vi får det: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Svar: y = 2 3 x - 1 3 .
Hvis der i tredimensionelt rum er et rektangulært koordinatsystem O x y z med to givne ikke-sammenfaldende punkter med koordinaterne M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2), lige linje M, der går gennem dem 1 M 2, er det nødvendigt at opnå ligningen for denne linje.
Vi har, at kanoniske ligninger af formen x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z og parametriske ligninger af formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ er i stand til at definere en linje i koordinatsystemet O x y z, der går gennem punkter med koordinater (x 1, y 1, z 1) med en retningsvektor a → = (a x, a y, a z).
Lige M 1 M 2 har en retningsvektor på formen M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), hvor den rette linje går gennem punktet M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2 , y 2 , z 2), derfor kan den kanoniske ligning have formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, igen parametrisk x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λz = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Overvej en tegning, der viser 2 givne punkter i rummet og ligningen for en ret linje.
Eksempel 4
Skriv ligningen for en linje defineret i et rektangulært koordinatsystem O x y z i tredimensionelt rum, der går gennem givne to punkter med koordinaterne M 1 (2, - 3, 0) og M 2 (1, - 3, - 5).
Løsning
Det er nødvendigt at finde den kanoniske ligning. Da vi taler om tredimensionelt rum, betyder det, at når en linje passerer gennem givne punkter, vil den ønskede kanoniske ligning have formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Som betingelse har vi, at x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Det følger, at de nødvendige ligninger vil blive skrevet som følger:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Svar: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
Ligning for en linje, der går gennem to punkter. I artiklen" " Jeg lovede dig at se på den anden måde at løse de præsenterede problemer med at finde den afledede, givet en graf for en funktion og en tangent til denne graf. Vi vil diskutere denne metode i , gå ikke glip af! Hvorfor i den næste?
Faktum er, at formlen for ligningen for en ret linje vil blive brugt der. Selvfølgelig kunne vi blot vise denne formel og råde dig til at lære den. Men det er bedre at forklare, hvor det kommer fra (hvordan det er afledt). Det er nødvendigt! Hvis du glemmer det, kan du hurtigt gendanne detvil ikke være svært. Alt er beskrevet i detaljer nedenfor. Så vi har to punkter A på koordinatplanet(x 1;y 1) og B(x 2;y 2), tegnes en ret linje gennem de angivne punkter: 
Her er selve den direkte formel:
*Det vil sige, når vi erstatter specifikke koordinater af punkter, får vi en ligning på formen y=kx+b.
**Hvis du blot "lærer" denne formel, så er der stor sandsynlighed for at blive forvekslet med indeksene, når x. Derudover kan indekser betegnes på forskellige måder, for eksempel:
Derfor er det vigtigt at forstå meningen.
Nu afledningen af denne formel. Alt er meget enkelt!
Trekanter ABE og ACF er ens i spids vinkel (det første tegn på lighed mellem retvinklede trekanter). Det følger af dette, at forholdet mellem de tilsvarende elementer er ens, det vil sige:
Nu udtrykker vi blot disse segmenter gennem forskellen i punkternes koordinater:
Selvfølgelig vil der ikke være nogen fejl, hvis du skriver forholdet mellem elementerne i en anden rækkefølge (det vigtigste er at bevare konsistensen):
Resultatet vil være den samme ligning af linjen. Dette er alt!
Det vil sige, uanset hvordan punkterne selv (og deres koordinater) er udpeget, vil du ved at forstå denne formel altid finde ligningen for en ret linje.
Formlen kan udledes ved hjælp af egenskaberne af vektorer, men princippet om afledning vil være det samme, da vi vil tale om proportionaliteten af deres koordinater. I dette tilfælde virker den samme lighed mellem retvinklede trekanter. Efter min mening er den ovenfor beskrevne konklusion mere klar)).
Se output via vektorkoordinater >>>
Lad en ret linje konstrueres på koordinatplanet, der går gennem to givne punkter A(x 1;y 1) og B(x 2;y 2). Lad os markere et vilkårligt punkt C på linjen med koordinater ( x; y). Vi betegner også to vektorer:
Det er kendt, at for vektorer, der ligger på parallelle linjer (eller på samme linje), er deres tilsvarende koordinater proportionale, det vil sige:
— vi nedskriver ligheden mellem forholdet mellem de tilsvarende koordinater:
Lad os se på et eksempel:
Find ligningen for en ret linje, der går gennem to punkter med koordinaterne (2;5) og (7:3).
Du behøver ikke engang selv at bygge den lige linje. Vi anvender formlen:
Det er vigtigt, at du forstår korrespondancen, når du udarbejder forholdet. Du kan ikke gå galt, hvis du skriver:
Svar: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8
For at sikre, at den resulterende ligning findes korrekt, skal du sørge for at kontrollere - indsæt koordinaterne for dataene i punkternes tilstand i den. Ligningerne skal være korrekte.
Det er alt. Jeg håber, at materialet var nyttigt for dig.
Med venlig hilsen Alexander.
P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.
I denne artikel vil vi overveje den generelle ligning af en ret linje på et plan. Lad os give eksempler på at konstruere en generel ligning for en linje, hvis to punkter på denne linje er kendt, eller hvis et punkt og normalvektoren for denne linje er kendt. Lad os præsentere metoder til at transformere en ligning i generel form til kanoniske og parametriske former.
Lad et vilkårligt kartesisk rektangulært koordinatsystem gives Oxy. Overvej en første grads eller lineær ligning:
| Axe+By+C=0, | (1) |
Hvor A, B, C− nogle konstanter og mindst et af elementerne EN Og B forskellig fra nul.
Vi vil vise, at en lineær ligning på en plan definerer en ret linje. Lad os bevise følgende sætning.
Sætning 1. I et vilkårligt kartesisk rektangulært koordinatsystem på en plan kan hver ret linje specificeres med en lineær ligning. Omvendt definerer hver lineær ligning (1) i et vilkårligt kartesisk rektangulært koordinatsystem på et plan en ret linje.
Bevis. Det er nok til at bevise, at den lige linje L er bestemt af en lineær ligning for et hvilket som helst kartesisk rektangulært koordinatsystem, da det vil blive bestemt af en lineær ligning for ethvert valg af kartesisk rektangulært koordinatsystem.
Lad en ret linje angives på flyet L. Lad os vælge et koordinatsystem, så aksen Okse faldt sammen med en lige linje L, og aksen Åh var vinkelret på den. Derefter linjens ligning L vil have følgende form:
| y=0. | (2) |
Alle punkter på en linje L vil opfylde lineær ligning (2), og alle punkter uden for denne linje vil ikke opfylde ligning (2). Den første del af teoremet er blevet bevist.
Lad et kartesisk rektangulært koordinatsystem være givet og lad en lineær ligning (1) være givet, hvor mindst et af elementerne EN Og B forskellig fra nul. Lad os finde det geometriske sted for punkter, hvis koordinater opfylder ligning (1). Da mindst en af koefficienterne EN Og B er forskellig fra nul, så har ligning (1) mindst én løsning M(x 0 ,y 0). (For eksempel hvornår EN≠0, punkt M 0 (−C/A, 0) hører til det givne geometriske lokus af punkter). Ved at erstatte disse koordinater i (1) opnår vi identiteten
| Økse 0 +Ved 0 +C=0. | (3) |
Lad os trække identitet (3) fra (1):
| EN(x−x 0)+B(y−y 0)=0. | (4) |
Det er klart, at ligning (4) svarer til ligning (1). Derfor er det nok at bevise, at (4) definerer en bestemt linje.
Da vi betragter et kartesisk rektangulært koordinatsystem, følger det af lighed (4), at vektoren med komponenter ( x−x 0 , y−y 0 ) ortogonalt på vektoren n med koordinater ( A,B}.
Lad os overveje en lige linje L, der passerer gennem punktet M 0 (x 0 , y 0) og vinkelret på vektoren n(Fig. 1). Lad pointen M(x,y) hører til linjen L. Derefter vektoren med koordinater x−x 0 , y−y 0 vinkelret n og ligning (4) er opfyldt (skalært produkt af vektorer n og lig med nul). Omvendt, hvis punkt M(x,y) ligger ikke på en linje L, derefter vektoren med koordinater x−x 0 , y−y 0 er ikke ortogonal på vektoren n og ligning (4) er ikke opfyldt. Sætningen er blevet bevist.
Bevis. Da linjerne (5) og (6) definerer den samme linje, så er normalvektorerne n 1 ={EN 1 ,B 1) og n 2 ={EN 2 ,B 2) collineær. Siden vektorer n 1 ≠0, n 2 ≠0, så er der sådan et tal λ , Hvad n 2 =n 1 λ . Herfra har vi: EN 2 =EN 1 λ , B 2 =B 1 λ . Lad os bevise det C 2 =C 1 λ . Det er klart, at sammenfaldende linjer har et fælles punkt M 0 (x 0 , y 0). Gang ligning (5) med λ og subtraherer ligning (6) fra den får vi:
Da de to første ligheder fra udtryk (7) er opfyldt, så C 1 λ −C 2 = 0. De der. C 2 =C 1 λ . Bemærkningen er bevist.
Bemærk, at ligning (4) definerer ligningen for den rette linje, der går gennem punktet M 0 (x 0 , y 0) og har en normal vektor n={A,B). Derfor, hvis normalvektoren for en linje og punktet, der hører til denne linje, er kendt, så kan den generelle ligning for linjen konstrueres ved hjælp af ligning (4).
Eksempel 1. En ret linje går gennem et punkt M=(4,−1) og har en normalvektor n=(3, 5). Konstruer den generelle ligning for en linje.
Løsning. Vi har: x 0 =4, y 0 =−1, EN=3, B=5. For at konstruere den generelle ligning for en ret linje, erstatter vi disse værdier i ligning (4):
Svar:
Vektoren er parallel med linjen L og derfor vinkelret på linjens normalvektor L. Lad os konstruere en normal linjevektor L under hensyntagen til, at skalarproduktet af vektorer n og lig med nul. Vi kan skrive f.eks. n={1,−3}.
For at konstruere den generelle ligning for en ret linje bruger vi formel (4). Lad os erstatte punktets koordinater med (4) M 1 (vi kan også tage koordinaterne for punktet M 2) og normal vektor n:
Udskiftning af punkternes koordinater M 1 og M 2 i (9) kan vi sikre os, at den rette linje givet af ligning (9) går gennem disse punkter.
Svar:
Træk (10) fra (1):
Vi har fået den kanoniske ligning for linjen. Vektor q={−B, EN) er retningsvektoren for linjen (12).
Se omvendt konvertering.
Eksempel 3. En ret linje på et plan er repræsenteret ved følgende generelle ligning:
Lad os flytte det andet led til højre og dividere begge sider af ligningen med 2·5.