Vektorer er et kraftfuldt værktøj til matematik og fysik. De grundlæggende love for mekanik og elektrodynamik er formuleret i vektorernes sprog. For at forstå fysik skal du lære at arbejde med vektorer.
Dette kapitel indeholder en detaljeret præsentation af det nødvendige materiale for at begynde at studere mekanik:
! Vektor tilføjelse
! Multiplicer en skalar med en vektor
! Vinkel mellem vektorer
! Projektion af en vektor på en akse
! Vektorer og koordinater på flyet
! Vektorer og koordinater i rummet
! Punktprodukt af vektorer
Det vil være nyttigt at vende tilbage til teksten i denne ansøgning i det første år, når man studerer analytisk geometri og lineær algebra for for eksempel at forstå, hvor aksiomer for lineært og euklidisk rum kommer fra.
7.1 Skalære og vektormængder
I processen med at studere fysik støder vi på to typer størrelser: skalar og vektor.
Definition. En skalær størrelse, eller skalar, er en fysisk størrelse, for hvilken (i passende måleenheder) ét tal er tilstrækkeligt.
Der er mange skalarer i fysik. Kropsvægten er 3 kg, lufttemperaturen er 10 C, netværksspændingen er 220 V. . . I alle disse tilfælde er den mængde, vi er interesseret i, givet af et enkelt tal. Derfor er masse, temperatur og elektrisk spænding skalarer.
Men en skalar i fysik er ikke kun et tal. Et skalar er et tal udstyret med dimension 1. Så når vi angiver massen, kan vi ikke skrive m = 3; Du skal angive måleenheden, for eksempel m = 3 kg. Og hvis vi i matematik kan tilføje tallene 3 og 220, så kan vi i fysik ikke tilføje 3 kilogram og 220 volt: vi har ret til kun at tilføje de skalarer, der har samme dimension (masse med masse, spænding med spænding osv. ).
Definition. En vektormængde eller vektor er en fysisk størrelse karakteriseret ved: 1) en ikke-negativ skalar; 2) retning i rummet. I dette tilfælde kaldes skalaren for vektorens modul eller dens absolutte værdi.
Lad os antage, at bilen bevæger sig med en hastighed på 60 km/t. Men dette er ufuldstændig information om bevægelsen, er det ikke? Det kan også være vigtigt, hvor bilen skal hen, i hvilken retning. Derfor er det vigtigt at kende ikke kun modulet (absolut værdi) af bilens hastighed, i dette tilfælde er det 60 km/t, men også dens retning i rummet. Det betyder, at hastighed er en vektor.
Et andet eksempel. Lad os sige, at der er en mursten, der vejer 1 kg på gulvet. En kraft på 100 N virker på murstenen (dette er kraftmodulet eller dens absolutte værdi). Hvordan vil murstenen bevæge sig? Spørgsmålet er meningsløst, indtil retningen af kraften er specificeret. Hvis kraften virker opad, vil murstenen bevæge sig opad. Hvis kraften virker vandret, vil murstenen bevæge sig vandret. Og hvis kraften virker lodret nedad, vil murstenen slet ikke rokke sig, den vil kun blive presset ind i gulvet. Vi ser derfor, at kraft også er en vektor.
En vektormængde i fysik har også dimension. Dimensionen af en vektor er dimensionen af dens modul.
Vi vil betegne vektorer med bogstaver med en pil. Således kan hastighedsvektoren betegnes
gennem ~v, og kraftvektoren gennem F. Faktisk er en vektor en pil eller, som man også siger, et rettet segment (fig. 7.1).
Ris. 7.1. Vektor ~v
Pilens startpunkt kaldes begyndelsen af vektoren, og endepunktet (spidsen) af pilen
slutningen af vektoren. I matematik betegnes en vektor, der starter ved punkt A og slutter ved punkt B
også AB; Vi vil også nogle gange få brug for en sådan notation.
En vektor, hvis begyndelse og slutning falder sammen, kaldes en nulvektor (eller nul) og
betegnet med ~. Nulvektoren er simpelthen et punkt; den har ingen bestemt retning.
Længden af nulvektoren er selvfølgelig nul.
1 Der er også dimensionsløse skalarer: friktionskoefficient, effektivitet, brydningsindeks for mediet. . . Således er brydningsindekset for vand 1;33, dette er omfattende information, dette tal har ikke nogen dimension.
Tegning af pile løser fuldstændigt problemet med grafisk repræsentation af vektormængder. Pilens retning angiver retningen af en given vektor, og længden af pilen på en passende skala er størrelsen af denne vektor.
Antag for eksempel, at to biler kører mod hinanden med hastigheder u = 30 km/t og v = 60 km/t. Så vil vektorerne ~u og ~v for bilhastighederne have modsatte retninger, og længden af vektoren ~v er dobbelt så stor (fig. 7.2).
Ris. 7.2. Vektor ~v er dobbelt så lang
Som du allerede har forstået, angiver et bogstav uden en pil (for eksempel u eller v i det foregående afsnit) størrelsen af den tilsvarende vektor. I matematik er modulet af vektoren ~v normalt betegnet j~vj, men fysikere vil, hvis situationen tillader det, foretrække bogstavet v uden pilen.
Vektorer kaldes kollineære, hvis de er placeret på samme linje eller på parallelle linjer.
Lad der være to kollineære vektorer. Hvis deres retninger falder sammen, så kaldes vektorerne codirectional; hvis deres retninger er forskellige, så kaldes vektorerne modsat rettede. Så ovenfor i fig. 7.2 vektorer ~u og ~v er modsat rettet.
To vektorer kaldes lige, hvis de er kodirektionelle og har lige store moduler (fig. 7.3).
Ris. 7.3. Vektorerne ~a og b er lige store: ~a = b
Vektorernes lighed betyder således ikke nødvendigvis, at deres begyndelse og slutning falder sammen: Vi kan flytte en vektor parallelt med sig selv, og det vil resultere i en vektor lig med den oprindelige. Denne overførsel bruges konstant i tilfælde, hvor det er ønskeligt at reducere begyndelsen af vektorer til et punkt, for eksempel ved at finde summen eller forskellen af vektorer. Vi går nu videre til at overveje operationer på vektorer.
De to ord, der skræmmer skolebørn - vektor og skalar - er faktisk ikke skræmmende. Hvis du nærmer dig emnet med interesse, så kan alt forstås. I denne artikel vil vi overveje, hvilken mængde der er vektor, og hvilken der er skalar. Mere præcist vil vi give eksempler. Hver studerende har sandsynligvis bemærket, at nogle mængder i fysik ikke kun er angivet med et symbol, men også med en pil på toppen. Hvad betyder de? Dette vil blive diskuteret nedenfor. Lad os prøve at finde ud af, hvordan det adskiller sig fra skalar.
Eksempler på vektorer. Hvordan er de udpeget?
Hvad menes med vektor? Det der kendetegner bevægelse. Det er lige meget om det er i rummet eller på et fly. Hvilken mængde er en vektormængde generelt? For eksempel flyver et fly med en bestemt hastighed i en bestemt højde, har en bestemt masse og begyndte at bevæge sig fra lufthavnen med den nødvendige acceleration. Hvad er bevægelsen af et fly? Hvad fik ham til at flyve? Selvfølgelig, acceleration, hastighed. Vektormængder fra fysikkurset er klare eksempler. For at sige det ligeud er en vektormængde forbundet med bevægelse, forskydning.
Vand bevæger sig også med en vis hastighed fra bjergets højde. Kan du se? Bevægelse udføres ikke efter volumen eller masse, men efter hastighed. En tennisspiller lader bolden bevæge sig ved hjælp af en ketsjer. Det sætter accelerationen. Forresten er den kraft, der anvendes i dette tilfælde, også en vektormængde. Fordi det opnås som et resultat af givne hastigheder og accelerationer. Magt kan også ændre og udføre specifikke handlinger. Vinden, der flytter bladene på træerne, kan også betragtes som et eksempel. For der er fart.
Positive og negative mængder
En vektorstørrelse er en størrelse, der har en retning i det omgivende rum og en størrelse. Det skræmmende ord dukkede op igen, denne gang modul. Forestil dig, at du skal løse et problem, hvor en negativ accelerationsværdi vil blive registreret. I naturen eksisterer det tilsyneladende ikke negative betydninger. Hvordan kan hastighed være negativ?
En vektor har et sådant koncept. Det gælder for eksempel kræfter, der påføres kroppen, men har forskellige retninger. Husk den tredje, hvor handling er lig med reaktion. Fyrene leger tovtrækkeri. Det ene hold bærer blå T-shirts, det andet hold bærer gule T-shirts. Sidstnævnte viser sig at være stærkere. Lad os antage, at deres kraftvektor er rettet positivt. Samtidig kan de første ikke trække i rebet, men de prøver. En modstridende kraft opstår.
Vektor eller skalær mængde?
Lad os tale om, hvordan en vektormængde adskiller sig fra en skalær størrelse. Hvilken parameter har ingen retning, men har sin egen betydning? Lad os liste nogle skalære mængder nedenfor:
Har de alle en retning? Ingen. Hvilken mængde der er vektor og hvilken der er skalar kan kun vises med visuelle eksempler. I fysik er der sådanne begreber ikke kun i afsnittet "Mekanik, dynamik og kinematik", men også i afsnittet "Elektricitet og magnetisme". Lorentz-kraften er også en vektorstørrelse.
Vektor og skalar i formler
Fysik lærebøger indeholder ofte formler, der har en pil øverst. Husk Newtons anden lov. Kraft (“F” med en pil øverst) er lig med produktet af masse (“m”) og acceleration (“a” med en pil øverst). Som nævnt ovenfor er kraft og acceleration vektormængder, men masse er skalar.
Desværre er det ikke alle publikationer, der har betegnelsen for disse mængder. Dette blev formentlig gjort for at forenkle tingene, så skolebørn ikke blev vildledt. Det er bedst at købe de bøger og opslagsbøger, der angiver vektorer i formler.
Illustrationen vil vise, hvilken mængde der er en vektor. Det anbefales at være opmærksom på billeder og diagrammer i fysiktimerne. Vektormængder har en retning. Hvor er det selvfølgelig rettet ned? Det betyder, at pilen vil blive vist i samme retning.
Fysik studeres i dybden på tekniske universiteter. I mange discipliner taler lærere om, hvilke mængder der er skalære og vektorer. Sådan viden er påkrævet inden for følgende områder: byggeri, transport, naturvidenskab.
Fysik og matematik kan ikke undvære begrebet "vektorkvantitet". Du skal kende og genkende det, og også kunne operere med det. Du bør helt sikkert lære dette for ikke at blive forvirret og lave dumme fejl.
Hvordan skelner man en skalær størrelse fra en vektormængde?
Den første har altid kun én egenskab. Dette er dens numeriske værdi. De fleste skalære mængder kan antage både positive og negative værdier. Eksempler på disse er elektrisk ladning, arbejde eller temperatur. Men der er skalarer, der ikke kan være negative, for eksempel længde og masse.
En vektorstørrelse er foruden en numerisk størrelse, som altid tages modulo, også karakteriseret ved retning. Derfor kan det afbildes grafisk, det vil sige i form af en pil, hvis længde er lig med den absolutte værdi rettet i en bestemt retning.
Når du skriver, er hver vektormængde angivet med et piletegn på bogstavet. Hvis vi taler om en numerisk værdi, så er pilen ikke skrevet, eller den er taget modulo.
Hvilke handlinger udføres oftest med vektorer?
Først en sammenligning. De kan være ligeværdige eller ikke. I det første tilfælde er deres moduler de samme. Men dette er ikke den eneste betingelse. De skal også have samme eller modsatte retninger. I det første tilfælde skal de kaldes lige store vektorer. I den anden viser de sig at være modsatte. Hvis mindst en af de specificerede betingelser ikke er opfyldt, er vektorerne ikke ens.
Så kommer tilføjelse. Det kan laves efter to regler: en trekant eller et parallelogram. Den første foreskriver først at afbryde en vektor, derefter fra dens ende den anden. Resultatet af tilføjelsen vil være det, der skal tegnes fra begyndelsen af den første til slutningen af den anden.
Parallelogramreglen kan bruges ved tilføjelse af vektormængder i fysik. I modsætning til den første regel skal de her udskydes fra et punkt. Byg dem derefter op til et parallelogram. Resultatet af handlingen skal betragtes som diagonalen af parallelogrammet tegnet fra samme punkt.
Hvis en vektormængde trækkes fra en anden, plottes de igen fra et punkt. Kun resultatet vil være en vektor, der falder sammen med det, der er plottet fra slutningen af den anden til slutningen af den første.
Hvilke vektorer studeres i fysik?
Der er lige så mange af dem, som der er skalarer. Du kan simpelthen huske, hvilke vektormængder der findes i fysik. Eller kende de tegn, som de kan beregnes efter. For dem, der foretrækker den første mulighed, vil denne tabel være nyttig. Den indeholder hovedvektoren
Nu lidt mere om nogle af disse mængder.
Den første størrelse er hastighed
Det er værd at starte med eksempler på vektormængder. Det skyldes, at det er blandt de første, der bliver undersøgt.
Hastighed er defineret som en karakteristik af en krops bevægelse i rummet. Den indstiller den numeriske værdi og retning. Derfor er hastighed en vektorstørrelse. Derudover er det sædvanligt at opdele det i typer. Den første er lineær hastighed. Det introduceres, når man overvejer retlinet ensartet bevægelse. I dette tilfælde viser det sig at være lig med forholdet mellem den vej, kroppen har rejst, og bevægelsestidspunktet.
Den samme formel kan bruges til ujævn bevægelse. Først da vil det være gennemsnitligt. Desuden skal det tidsinterval, der skal vælges, være så kort som muligt. Når tidsintervallet har en tendens til nul, er hastighedsværdien allerede øjeblikkelig.
Hvis vilkårlig bevægelse betragtes, så er hastighed altid en vektorstørrelse. Når alt kommer til alt, skal det dekomponeres i komponenter rettet langs hver vektor, der dirigerer koordinatlinjerne. Derudover er det defineret som den afledede af radiusvektoren taget med hensyn til tid.
Den anden størrelse er styrke
Det bestemmer målet for intensiteten af den påvirkning, der udøves på kroppen af andre kroppe eller felter. Da kraft er en vektorstørrelse, har den nødvendigvis sin egen størrelse og retning. Da det virker på kroppen, er det punkt, hvor kraften påføres, også vigtigt. For at få en visuel repræsentation af kraftvektorer kan du henvise til følgende tabel.
Også en anden vektormængde er den resulterende kraft. Det er defineret som summen af alle mekaniske kræfter, der virker på kroppen. For at bestemme det er det nødvendigt at udføre addition i henhold til princippet om trekantsreglen. Du skal bare fjerne vektorerne en efter en fra slutningen af den forrige. Resultatet bliver det, der forbinder begyndelsen af den første til slutningen af den sidste.
Den tredje størrelse er forskydning
Under bevægelse beskriver kroppen en bestemt linje. Det kaldes en bane. Denne linje kan være helt anderledes. Hvad der er vigtigere er ikke dets udseende, men bevægelsens start- og slutpunkter. De er forbundet med et segment kaldet en oversættelse. Dette er også en vektormængde. Desuden er den altid rettet fra begyndelsen af bevægelsen til det punkt, hvor bevægelsen blev stoppet. Det er normalt betegnet med det latinske bogstav r.
Her kan følgende spørgsmål opstå: "Er stien en vektormængde?" Generelt er dette udsagn ikke sandt. Stien er lig med længden af banen og har ikke en bestemt retning. Undtagelsen er situationen, når den betragtes i én retning. Så falder størrelsen af forskydningsvektoren i værdi sammen med stien, og deres retning viser sig at være den samme. Når man betragter bevægelse langs en lige linje uden at ændre bevægelsesretningen, kan stien derfor indgå i eksempler på vektorstørrelser.
Den fjerde størrelse er acceleration
Det er en karakteristik af hastigheden af ændring af hastighed. Desuden kan acceleration have både positive og negative værdier. Når man bevæger sig i en lige linje, er den rettet mod højere hastighed. Hvis bevægelsen sker langs en buet bane, dekomponeres dens accelerationsvektor i to komponenter, hvoraf den ene er rettet mod krumningscentret langs radius.
Der skelnes mellem de gennemsnitlige og øjeblikkelige accelerationsværdier. Den første skal beregnes som forholdet mellem hastighedsændringen over en vis tidsperiode og denne tid. Når det betragtede tidsinterval har en tendens til nul, taler vi om øjeblikkelig acceleration.
Femte værdi - momentum
På en anden måde kaldes det også bevægelsesmængde. Momentum er en vektorstørrelse, fordi den er direkte relateret til den hastighed og kraft, der påføres kroppen. Begge har en retning og giver den til impulsen.
Per definition er sidstnævnte lig med produktet af kropsmasse og hastighed. Ved at bruge begrebet momentum af en krop kan vi skrive Newtons velkendte lov anderledes. Det viser sig, at ændringen i momentum er lig med produktet af kraft og en periode.
I fysik spiller loven om bevarelse af momentum en vigtig rolle, som siger, at i et lukket system af kroppe er dets totale momentum konstant.
Vi har meget kort listet hvilke størrelser (vektor) der studeres i fysikfaget.
Uelastisk påvirkningsproblem
Tilstand. Der er en stationær platform på skinnerne. En vogn nærmer sig den med en hastighed på 4 m/s. og vogn - henholdsvis 10 og 40 tons. Bilen rammer platformen og automatisk kobling sker. Det er nødvendigt at beregne hastigheden af "bil-platform"-systemet efter sammenstødet.
Løsning. Først skal du indtaste følgende notationer: bilens hastighed før sammenstødet er v 1, bilens hastighed med platformen efter kobling er v, bilens masse er m 1, platformens masse er m 2. Ifølge betingelserne for problemet er det nødvendigt at finde ud af værdien af hastigheden v.
Reglerne for løsning af sådanne opgaver kræver en skematisk repræsentation af systemet før og efter interaktion. Det er rimeligt at rette OX-aksen langs skinnerne i den retning, hvor bilen bevæger sig.
Under disse forhold kan bilsystemet betragtes som lukket. Dette bestemmes af, at ydre kræfter kan negligeres. Tyngdekraften og er afbalanceret, og friktion på skinnerne er ikke taget i betragtning.
Ifølge loven om bevarelse af momentum er deres vektorsum før interaktionen mellem bilen og platformen lig med totalen for koblingen efter sammenstødet. I starten bevægede platformen sig ikke, så dens momentum var nul. Kun bilen bevægede sig, dens momentum var produktet af m 1 og v 1 .
Da stødet var uelastisk, det vil sige bilen forbundet med platformen, og så begyndte de at rulle sammen i samme retning, ændrede systemets impuls ikke retning. Men dens betydning har ændret sig. Nemlig produktet af summen af bilens masse med platformen og den ønskede hastighed.
Du kan skrive følgende lighed: m 1 * v 1 = (m 1 + m 2) * v. Det vil være sandt for projektionen af impulsvektorer på den valgte akse. Ud fra det er det let at udlede den lighed, der skal til for at beregne den ønskede hastighed: v = m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).
Ifølge reglerne skal værdierne for masse konverteres fra tons til kilogram. Derfor, når du erstatter dem i formlen, skal du først gange de kendte mængder med tusind. Simple beregninger giver et tal på 0,75 m/s.
Svar. Bilens hastighed med platformen er 0,75 m/s.
Problem med at dele kroppen op i dele
Tilstand. Hastigheden af en flyvende granat er 20 m/s. Den går i to stykker. Vægten af den første er 1,8 kg. Den fortsætter med at bevæge sig i den retning, som granaten fløj i med en hastighed på 50 m/s. Det andet fragment har en masse på 1,2 kg. Hvad er dens hastighed?
Løsning. Lad massen af fragmenterne angives med bogstaverne m 1 og m 2. Deres hastigheder vil være henholdsvis v 1 og v 2. Granatens begyndelseshastighed er v. Problemet kræver beregning af værdien af v 2 .
For at det større fragment skal fortsætte med at bevæge sig i samme retning som hele granaten, skal den anden flyve i den modsatte retning. Hvis du vælger retningen af aksen til at være den, der var ved den indledende impuls, så flyver det store fragment langs aksen efter bruddet, og det lille flyver mod aksen.
I dette problem er det tilladt at bruge loven om bevarelse af momentum på grund af det faktum, at granaten eksploderer øjeblikkeligt. På trods af at tyngdekraften virker på granaten og dens dele, har den derfor ikke tid til at handle og ændre retningen af impulsvektoren med dens absolutte værdi.
Summen af vektorstørrelserne af impulsen efter granateksplosionen er lig med den, der var før den. Hvis vi skriver bevaringsloven i projektion på OX-aksen, vil den se sådan ud: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 - m 2 * v 2. Ud fra det er det nemt at udtrykke den nødvendige hastighed. Det vil blive bestemt af formlen: v 2 = ((m 1 + m 2) * v - m 1 * v 1) / m 2. Efter at have erstattet numeriske værdier og beregninger får vi 25 m/s.
Svar. Hastigheden af det lille fragment er 25 m/s.
Problem med at skyde i en vinkel
Tilstand. En pistol er monteret på en platform med masse M. Den affyrer et projektil med masse m. Den flyver ud i en vinkel α i forhold til horisonten med en hastighed v (givet i forhold til jorden). Du skal kende hastigheden på platformen efter skuddet.
Løsning. I denne opgave kan du bruge loven om bevarelse af momentum i projektion på OX-aksen. Men kun i det tilfælde, hvor projektionen af eksterne resulterende kræfter er lig med nul.
For retningen af OX-aksen skal du vælge den side, hvor projektilet vil flyve, og parallelt med den vandrette linje. I dette tilfælde vil projektionerne af tyngdekraften og reaktionen af støtten på OX være lig med nul.
Problemet vil blive løst i en generel form, da der ikke er specifikke data for kendte mængder. Svaret er en formel.
Systemets momentum før skuddet var nul, da platformen og projektilet var stationære. Lad den ønskede platformhastighed angives med det latinske bogstav u. Så vil dens momentum efter skuddet blive bestemt som produktet af massen og projektionen af hastigheden. Da platformen vil rulle tilbage (mod OX-aksens retning), vil impulsværdien have et minustegn.
Et projektils momentum er produktet af dets masse og projektionen af hastighed på OX-aksen. På grund af det faktum, at hastigheden er rettet i en vinkel i forhold til horisonten, er dens projektion lig med hastigheden ganget med vinklens cosinus. I bogstavelig lighed vil det se sådan ud: 0 = - Mu + mv * cos α. Fra det, gennem simple transformationer, opnås svarformlen: u = (mv * cos α) / M.
Svar. Platformhastigheden bestemmes af formlen u = (mv * cos α) / M.
Problem med at krydse floden
Tilstand. Bredden af floden langs hele dens længde er den samme og lig med l, dens bredder er parallelle. Hastigheden af vandstrømmen i floden v 1 og bådens egen hastighed v 2 er kendt. 1). Ved krydsning er bådens stævn rettet strengt mod den modsatte kyst. Hvor langt vil det blive ført nedstrøms? 2). I hvilken vinkel α skal bådens stævn rettes, så den når den modsatte kyst strengt vinkelret på udgangspunktet? Hvor lang tid vil det tage for sådan en krydsning?
Løsning. 1). Bådens samlede hastighed er vektorsummen af to størrelser. Den første af disse er strømmen af floden, som er rettet langs bredderne. Den anden er bådens egen fart, vinkelret på kysterne. Tegningen producerer to ens trekanter. Den første er dannet af bredden af floden og den afstand, som båden driver. Den anden er ved hastighedsvektorer.
Fra dem følger følgende indgang: s / l = v 1 / v 2. Efter transformationen opnås formlen for den ønskede værdi: s = l * (v 1 / v 2).
2). I denne version af problemet er den samlede hastighedsvektor vinkelret på kysterne. Det er lig med vektorsummen af v 1 og v 2. Sinus for den vinkel, som den naturlige hastighedsvektor skal afvige med, er lig med forholdet mellem modulerne v 1 og v 2. For at beregne rejsetiden skal du dividere bredden af floden med den beregnede fulde hastighed. Værdien af sidstnævnte beregnes ved hjælp af Pythagoras sætning.
v = √(v 2 2 - v 1 2), derefter t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).
Svar. 1). s = l * (v 1 / v 2), 2). sin α = v 1 / v 2, t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).
Vektormængde (vektor) er en fysisk størrelse, der har to karakteristika - modul og retning i rummet.
Eksempler på vektorstørrelser: hastighed (), kraft (), acceleration () osv.
Geometrisk er en vektor afbildet som et rettet segment af en ret linje, hvis længde på en skala er den absolutte værdi af vektoren.
Radius vektor(normalt betegnet eller simpelt) - en vektor, der specificerer positionen af et punkt i rummet i forhold til et forudbestemt punkt, kaldet oprindelsen.
For et vilkårligt punkt i rummet er radiusvektoren den vektor, der går fra oprindelsen til det punkt.
Længden af radiusvektoren eller dens modul bestemmer den afstand, hvor punktet er placeret fra origo, og pilen angiver retningen til dette punkt i rummet.
På et plan er vinklen på radiusvektoren den vinkel, med hvilken radiusvektoren drejes i forhold til x-aksen i retning mod uret.
den linje, som en krop bevæger sig langs kaldes bevægelsesbane. Afhængig af banens form kan alle bevægelser opdeles i retlinede og krumlinjede.
Beskrivelsen af bevægelse begynder med et svar på spørgsmålet: hvordan har kroppens position i rummet ændret sig over en vis periode? Hvordan bestemmes en ændring i en krops position i rummet?
Flytning- et rettet segment (vektor), der forbinder kroppens indledende og endelige position.
Hastighed(ofte betegnet fra engelsk. hastighed eller fr. vitesse) er en vektorfysisk størrelse, der karakteriserer bevægelseshastigheden og bevægelsesretningen af et materialepunkt i rummet i forhold til det valgte referencesystem (f.eks. vinkelhastighed). Det samme ord kan bruges til at henvise til en skalær størrelse, eller mere præcist, modulet af den afledte af radiusvektoren.
I videnskaben bruges hastighed også i bred forstand, som ændringshastigheden af en eller anden størrelse (ikke nødvendigvis radiusvektoren) afhængig af en anden (normalt ændringer i tid, men også i rummet eller en hvilken som helst anden). For eksempel taler de om hastigheden af temperaturændringer, hastigheden af en kemisk reaktion, gruppehastigheden, forbindelseshastigheden, vinkelhastigheden osv. Den afledede af en funktion karakteriseres matematisk.
Acceleration(normalt betegnet i teoretisk mekanik), er den afledte af hastighed med hensyn til tid en vektorstørrelse, der viser, hvor meget hastighedsvektoren for et punkt (legeme) ændrer sig, når det bevæger sig pr. tidsenhed (dvs. acceleration tager ikke kun højde for ændringen i hastighedens størrelse, men også dens retning).
For eksempel, i nærheden af Jorden, øger et legeme, der falder på Jorden, i det tilfælde, hvor luftmodstanden kan forsømmes, sin hastighed med cirka 9,8 m/s hvert sekund, det vil sige, at dens acceleration er lig med 9,8 m/s².
Den gren af mekanikken, der studerer bevægelse i det tredimensionelle euklidiske rum, dets registrering samt registrering af hastigheder og accelerationer i forskellige referencesystemer, kaldes kinematik.
Enheden for acceleration er meter per sekund per sekund ( m/s 2, m/s 2), er der også en ikke-systemenhed Gal (Gal), brugt i gravimetri og lig med 1 cm/s 2.
Afledt af acceleration med hensyn til tid dvs. den størrelse, der karakteriserer hastigheden af ændring af acceleration over tid, kaldes ryk.
Den enkleste bevægelse af en krop er en, hvor alle punkter på kroppen bevæger sig lige meget, hvilket beskriver de samme baner. Denne bevægelse kaldes progressiv. Vi opnår denne type bevægelse ved at flytte splinten, så den hele tiden forbliver parallel med sig selv. Under fremadgående bevægelse kan baner være enten lige (fig. 7, a) eller buede (fig. 7, b) linjer.
Det kan bevises, at under translationel bevægelse forbliver enhver ret linje tegnet i kroppen parallel med sig selv. Det er praktisk at bruge denne karakteristiske egenskab til at besvare spørgsmålet om, hvorvidt en given kropsbevægelse er translationel. For eksempel, når en cylinder ruller langs et plan, forbliver lige linjer, der skærer aksen, ikke parallelle med sig selv: rulning er ikke en translationsbevægelse. Når tværstangen og firkanten bevæger sig langs tegnebrættet, forbliver enhver ret linje tegnet i dem parallelt med sig selv, hvilket betyder, at de bevæger sig fremad (fig. 8). Nålen på en symaskine, stemplet i cylinderen på en dampmaskine eller forbrændingsmotor, en bils krop (men ikke hjulene!) bevæger sig fremad, når du kører på lige vej osv.
En anden simpel form for bevægelse er rotationsbevægelse krop eller rotation. Under rotationsbevægelser bevæger alle kroppens punkter sig i cirkler, hvis centre ligger på en lige linje. Denne rette linje kaldes rotationsaksen (lige linie 00" i fig. 9). Cirklerne ligger i parallelle planer vinkelret på rotationsaksen. De punkter på kroppen, der ligger på rotationsaksen, forbliver stationære. Rotation er ikke en translationsbevægelse: når aksen roterer OO" . De viste baner forbliver parallelle kun lige linjer parallelt med rotationsaksen.
Absolut solid krop- mekanikkens andet bærende objekt sammen med materialepunktet.
Der er flere definitioner:
1. Et absolut stift legeme er et modelkoncept af klassisk mekanik, der betegner et sæt materialepunkter, hvor afstandene mellem disse opretholdes under enhver bevægelse udført af denne krop. Med andre ord ændrer et absolut fast legeme ikke kun sin form, men bevarer også massefordelingen inde uændret.
2. Et absolut stift legeme er et mekanisk system, der kun har translationelle og roterende frihedsgrader. "Hårdhed" betyder, at kroppen ikke kan deformeres, det vil sige, at ingen anden energi kan overføres til kroppen udover den kinetiske energi af translations- eller rotationsbevægelse.
3. Et absolut stift legeme er et legeme (system), hvis relative position af punkter ikke ændres, uanset hvilke processer det deltager i.
I tredimensionelt rum og i fravær af forbindelser har en absolut stiv krop 6 frihedsgrader: tre translationelle og tre roterende. Undtagelsen er et diatomisk molekyle eller, i klassisk mekaniks sprog, en solid stang af nul tykkelse. Et sådant system har kun to rotationsfrihedsgrader.
Slut på arbejde -
Dette emne hører til sektionen:
En ubevist og uafkræftet hypotese kaldes et åbent problem.
Fysik er tæt beslægtet med matematikken giver et apparat, ved hjælp af hvilket fysiske love kan formuleres præcist.. teori Græsk overvejelse.. standardmetode til afprøvning af teorier direkte eksperimentel verifikation eksperiment sandhedskriterium.
Hvis du har brug for yderligere materiale om dette emne, eller du ikke fandt det, du ledte efter, anbefaler vi at bruge søgningen i vores database over værker:
Hvad vil vi gøre med det modtagne materiale:
Hvis dette materiale var nyttigt for dig, kan du gemme det på din side på sociale netværk:
| Tweet |
Alle emner i dette afsnit:
Relativitetsprincippet i mekanik
Inertielle referencesystemer og relativitetsprincippet.
Galileos forvandlinger. Transformationsinvarianter. Absolutte og relative hastigheder og accelerationer. Postulater af speciel teknologi
Rotationsbevægelse af et materialepunkt.
Rotationsbevægelse af et materialepunkt er bevægelsen af et materialepunkt i en cirkel.
Rotationsbevægelse er en form for mekanisk bevægelse. På
Sammenhæng mellem vektorerne for lineære og vinkelhastigheder, lineære og vinkelaccelerationer.
Et mål for rotationsbevægelse: vinklen φ, gennem hvilken radiusvektoren for et punkt roterer i et plan vinkelret på rotationsaksen.
Ensartet rotationsbevægelse
Hastighed og acceleration under buet bevægelse.
Kurvilineær bevægelse er en mere kompleks bevægelsestype end retlinet bevægelse, da selvom bevægelsen sker på et plan, ændres to koordinater, der karakteriserer kroppens position. Hastighed og
Acceleration under buet bevægelse.
I betragtning af en krops krumlinjede bevægelse ser vi, at dens hastighed er forskellig på forskellige tidspunkter. Selv i det tilfælde, hvor størrelsen af hastigheden ikke ændres, er der stadig en ændring i hastighedens retning
Newtons bevægelsesligning
(1) hvor kraften F i det generelle tilfælde
Massecentrum
inertiocenter, et geometrisk punkt, hvis position karakteriserer fordelingen af masser i et legeme eller mekanisk system. Koordinaterne for den centrale masse bestemmes af formlerne
Lov om massecentrets bevægelse.
Ved hjælp af loven om momentumændring får vi massecentrets bevægelseslov: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi Systemets massecenter bevæger sig på samme måde som
Bøj stålpladen (for eksempel en hacksav) lidt, og slip den så efter et stykke tid. Vi vil se, at hacksaven fuldstændig (i det mindste ved første øjekast) vil genoprette sin form. Hvis vi tager
EKSTERNE OG INDRE KRÆFTER
. I mekanik, eksterne kræfter i forhold til et givet system af materialepunkter (dvs. et sådant sæt af materialepunkter, hvor hvert punkts bevægelse afhænger af positionerne eller bevægelserne af alle akser
Kinetisk energi
energien af et mekanisk system, afhængigt af bevægelseshastigheden af dets punkter. K. e. T af et materialepunkt måles med halvdelen af produktet af massen m af dette punkt ved kvadratet af dets hastighed
Kinetisk energi.
Kinetisk energi er energien i et legeme i bevægelse (fra det græske ord kinema - bevægelse). Per definition den kinetiske energi af noget i hvile i en given referenceramme
En værdi lig med halvdelen af produktet af en krops masse og kvadratet af dens hastighed.
=J.
Kinetisk energi er en relativ størrelse, afhængig af valget af CO, pga kroppens hastighed afhænger af valget af CO.
At.
kraftmoment
· Kraftmoment. Ris. Kraftens øjeblik. Ris. Kraftmoment, mængder
Kinetisk energi af et roterende legeme
Kinetisk energi er en additiv størrelse. Derfor er den kinetiske energi af et legeme, der bevæger sig på en vilkårlig måde, lig med summen af de kinetiske energier af alle n materialer
Arbejde og kraft under rotation af en stiv krop.
Arbejde og kraft under rotation af en stiv krop.
Lad os finde et udtryk for arbejde på vikar
Grundlæggende ligning for dynamikken i rotationsbevægelse
Ifølge ligning (5.8) er Newtons anden lov for rotationsbevægelse P I fysik er der flere kategorier af mængder: vektor og skalar. Hvad er en vektormængde?
En vektormængde har to hovedkarakteristika:
Hvis vi betragter en vektormængde uanset retning, så kan et sådant segment måles. Men det resulterende resultat vil kun afspejle delvise egenskaber ved mængden. For fuldt ud at måle det, bør værdien suppleres med andre parametre i retningssegmentet.
I vektoralgebra er der et koncept nul vektor. Dette koncept betyder en pointe. Hvad angår retningen af nulvektoren, anses den for at være usikker. For at angive nulvektoren bruges det aritmetiske nul, skrevet med fed skrift.
Hvis vi analyserer alt ovenstående, kan vi konkludere, at alle rettede segmenter definerer vektorer. To segmenter vil kun definere én vektor, hvis de er ens. Ved sammenligning af vektorer gælder samme regel som ved sammenligning af skalære størrelser. Ligestilling betyder fuldstændig enighed i alle henseender.
Hvad er en skalær mængde?
I modsætning til en vektor har en skalær størrelse kun én parameter - denne dens numeriske værdi. Det er værd at bemærke, at den analyserede værdi kan have enten en positiv numerisk værdi eller en negativ.
Eksempler omfatter masse, spænding, frekvens eller temperatur. Med sådanne mængder kan du udføre forskellige aritmetiske operationer: addition, division, subtraktion, multiplikation. En skalær størrelse har ikke sådan en egenskab som retning.
En skalær størrelse måles med en numerisk værdi, så den kan vises på en koordinatakse. For eksempel konstrueres meget ofte aksen for den tilbagelagte afstand, temperatur eller tid.
Hovedforskelle mellem skalar- og vektormængder
Ud fra beskrivelserne ovenfor er det klart, at hovedforskellen mellem vektormængder og skalære mængder er deres egenskaber. En vektorstørrelse har en retning og størrelse, mens en skalær størrelse kun har en numerisk værdi. Selvfølgelig kan en vektormængde, ligesom en skalær størrelse, måles, men en sådan karakteristik vil ikke være fuldstændig, da der ikke er nogen retning.
For tydeligere at forestille sig forskellen mellem en skalær størrelse og en vektormængde, bør der gives et eksempel. For at gøre dette, lad os tage sådan et vidensområde som klimatologi. Hvis vi siger, at vinden blæser med en hastighed på 8 meter i sekundet, så vil en skalær mængde blive introduceret. Men hvis vi siger, at nordenvinden blæser med en hastighed på 8 meter i sekundet, så taler vi om en vektorværdi.
Vektorer spiller en enorm rolle i moderne matematik såvel som i mange områder af mekanik og fysik. De fleste fysiske størrelser kan repræsenteres som vektorer. Dette giver os mulighed for at generalisere og væsentligt forenkle de anvendte formler og resultater. Ofte identificeres vektorværdier og vektorer med hinanden. For eksempel kan du i fysik høre, at hastighed eller kraft er en vektor.