Lektion om emnet: "Graf og egenskaber for funktionen $y=x^3$. Eksempler på plotning af grafer"
Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.
Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 7. klasse
Elektronisk lærebog for klasse 7 "Algebra på 10 minutter"
Uddannelseskompleks 1C "Algebra, klasse 7-9"
Egenskaber for funktionen $y=x^3$
Lad os beskrive egenskaberne ved denne funktion:
1. x er en uafhængig variabel, y er en afhængig variabel.
2. Definitionsdomæne: det er indlysende, at for enhver værdi af argumentet (x) kan værdien af funktionen (y) beregnes. Derfor er definitionsdomænet for denne funktion hele tallinjen.
3. Værdiområde: y kan være hvad som helst. Derfor er værdiområdet også hele tallinjen.
4. Hvis x= 0, så er y= 0.
Graf for funktionen $y=x^3$
1. Lad os oprette en værditabel:
2. For positive værdier af x er grafen for funktionen $y=x^3$ meget lig en parabel, hvis forgreninger er mere "trykket" til OY-aksen.
3. Da funktionen $y=x^3$ for negative værdier af x har modsatte værdier, er grafen for funktionen symmetrisk i forhold til oprindelsen.
Lad os nu markere punkterne på koordinatplanet og bygge en graf (se fig. 1).
Denne kurve kaldes en kubisk parabel.
Eksempler
I. Det lille skib løb fuldstændig tør for ferskvand. Det er nødvendigt at medbringe en tilstrækkelig mængde vand fra byen. Vand bestilles på forhånd og betales for en fuld terning, selvom du fylder lidt mindre. Hvor mange kuber skal jeg bestille for ikke at betale for meget for en ekstra terning og fylde tanken helt? Det er kendt, at tanken har samme længde, bredde og højde, som er lig med 1,5 m. Lad os løse dette problem uden at udføre beregninger.
Løsning:
1. Lad os plotte funktionen $y=x^3$.
2. Find punkt A, x-koordinat, som er lig med 1,5. Vi ser, at koordinaten for funktionen er mellem værdierne 3 og 4 (se fig. 2). Så du skal bestille 4 kuber.
Konstruktion af grafer over funktioner, der indeholder moduler, forårsager normalt betydelige vanskeligheder for skolebørn. Alt er dog ikke så slemt. Det er nok at huske et par algoritmer til at løse sådanne problemer, og du kan nemt bygge en graf over selv den mest tilsyneladende komplekse funktion. Lad os finde ud af, hvilken slags algoritmer det er.
1. Tegn en graf for funktionen y = |f(x)|
Bemærk, at sættet af funktionsværdier y = |f(x)| : y ≥ 0. Graferne for sådanne funktioner er således altid placeret helt i det øverste halvplan.
Tegning af en graf for funktionen y = |f(x)| består af følgende enkle fire trin.
1) Konstruer omhyggeligt og omhyggeligt en graf for funktionen y = f(x).
2) Lad alle punkter på grafen, der er over eller på 0x-aksen, være uændrede.
3) Vis den del af grafen, der ligger under 0x-aksen, symmetrisk i forhold til 0x-aksen.
Eksempel 1. Tegn en graf for funktionen y = |x 2 – 4x + 3|
1) Vi bygger en graf for funktionen y = x 2 – 4x + 3. Det er klart, at grafen for denne funktion er en parabel. Lad os finde koordinaterne for alle parablens skæringspunkter med koordinatakserne og koordinaterne for parablens toppunkt.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Derfor skærer parablen 0x-aksen i punkterne (3, 0) og (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Derfor skærer parablen 0y-aksen i punktet (0, 3).
Parabolens toppunkts koordinater:
x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Derfor er punkt (2, -1) toppunktet for denne parabel.
Tegn en parabel ved hjælp af de opnåede data (Fig. 1)
2) Den del af grafen, der ligger under 0x-aksen, vises symmetrisk i forhold til 0x-aksen.
3) Vi får en graf over den oprindelige funktion ( ris. 2, vist med stiplet linje).
2. Plotning af funktionen y = f(|x|)
Bemærk, at funktioner på formen y = f(|x|) er lige:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Det betyder, at graferne for sådanne funktioner er symmetriske omkring 0y-aksen.
At plotte en graf for funktionen y = f(|x|) består af følgende simple kæde af handlinger.
1) Tegn grafen for funktionen y = f(x).
2) Efterlad den del af grafen, for hvilken x ≥ 0, dvs. den del af grafen, der er placeret i højre halvplan.
3) Vis den del af grafen, der er specificeret i punkt (2), symmetrisk i forhold til 0y-aksen.
4) Som den endelige graf vælges foreningen af kurverne opnået i punkt (2) og (3).
Eksempel 2. Tegn en graf for funktionen y = x 2 – 4 · |x| + 3
Da x 2 = |x| 2, så kan den oprindelige funktion omskrives i følgende form: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Nu kan vi anvende den ovenfor foreslåede algoritme.
1) Vi bygger omhyggeligt og omhyggeligt en graf af funktionen y = x 2 – 4 x + 3 (se også ris. 1).
2) Vi forlader den del af grafen, for hvilken x ≥ 0, det vil sige den del af grafen, der er placeret i højre halvplan.
3) Vis højre side af grafen symmetrisk i forhold til 0y-aksen.
(Fig. 3).
Eksempel 3. Tegn en graf for funktionen y = log 2 |x|
Vi anvender ovenstående ordning.
1) Byg en graf over funktionen y = log 2 x (Fig. 4).
3. Plot funktionen y = |f(|x|)|
Bemærk, at funktioner af formen y = |f(|x|)| er også lige. Faktisk er y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), og derfor er deres grafer symmetriske om 0y-aksen. Sættet af værdier for sådanne funktioner: y ≥ 0. Det betyder, at graferne for sådanne funktioner er placeret helt i det øverste halvplan.
For at plotte funktionen y = |f(|x|)|, skal du:
1) Konstruer omhyggeligt en graf for funktionen y = f(|x|).
2) Lad den del af grafen, der er over eller på 0x-aksen, være uændret.
3) Vis den del af grafen, der er placeret under 0x-aksen, symmetrisk i forhold til 0x-aksen.
4) Som den endelige graf vælges foreningen af kurverne opnået i punkt (2) og (3).
Eksempel 4. Tegn en graf for funktionen y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Bemærk at x 2 = |x| 2. Det betyder, at i stedet for den oprindelige funktion = -x 2 + 2|x| – 1
du kan bruge funktionen y = -|x| 2 + 2|x| – 1, da deres grafer falder sammen.
Vi bygger en graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Til dette bruger vi algoritme 2.
a) Tegn grafen for funktionen y = -x 2 + 2x – 1 (Fig. 6).
b) Vi forlader den del af grafen, der er placeret i højre halvplan.
c) Vi viser den resulterende del af grafen symmetrisk i forhold til 0y-aksen.
d) Den resulterende graf er vist med den stiplede linje i figuren (Fig. 7).
2) Der er ingen punkter over 0x-aksen, vi lader punkterne på 0x-aksen være uændrede.
3) Den del af grafen, der er placeret under 0x-aksen, vises symmetrisk i forhold til 0x.
4) Den resulterende graf er vist i figuren med en stiplet linje (Fig. 8).
Eksempel 5. Tegn grafen for funktionen y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Først skal du plotte funktionen y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). For at gøre dette vender vi tilbage til Algoritme 2.
a) Plot forsigtigt funktionen y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig. 9).
Bemærk, at denne funktion er lineær fraktioneret, og dens graf er en hyperbel. For at plotte en kurve skal du først finde grafens asymptoter. Vandret – y = 2/1 (forholdet mellem koefficienterne for x i brøkens tæller og nævner), lodret – x = -3.
2) Vi vil lade den del af grafen, der er over 0x-aksen eller på den, være uændret.
3) Den del af grafen, der er placeret under 0x-aksen, vil blive vist symmetrisk i forhold til 0x.
4) Den endelige graf er vist på figuren (Fig. 11).
hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.
"Naturlig logaritme" - 0,1. Naturlige logaritmer. 4. Logaritmiske dartpile. 0,04. 7.121.
“Power funktion grad 9” - U. Kubisk parabel. Y = x3. 9. klasses lærer Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbel. 0. Y = xn, y = x-n hvor n er et givet naturligt tal. X. Eksponenten er et lige naturligt tal (2n).
"Kvadratisk funktion" - 1 Definition af en andengradsfunktion 2 Egenskaber for en funktion 3 Grafer for en funktion 4 Kvadratiske uligheder 5 Konklusion. Egenskaber: Uligheder: Udarbejdet af 8A-klassens elev Andrey Gerlitz. Plan: Graf: -Intervaller af monotoni for a > 0 for a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
“Kvadratisk funktion og dens graf” - Solution.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-hører til. Når a=1, har formlen y=ax formen.
“8. klasse kvadratisk funktion” - 1) Konstruer toppunktet på en parabel. Tegning af en graf for en kvadratisk funktion. x. -7. Konstruer en graf over funktionen. Algebra 8. klasse Lærer 496 Bovina skole T.V. -1. Byggeplan. 2) Konstruer symmetriaksen x=-1. y.
Desværre er det ikke alle elever og skolebørn, der kender og elsker algebra, men alle skal forberede lektier, løse prøver og tage eksamen. Mange mennesker finder det især svært at konstruere grafer over funktioner: hvis du et eller andet sted ikke forstår noget, ikke er færdig med at lære det eller går glip af det, er fejl uundgåelige. Men hvem vil have dårlige karakterer?
Kunne du tænke dig at slutte dig til kohorten af halesøgende og tabere? For at gøre dette har du 2 måder: Sæt dig ned med lærebøger og udfyld videnshuller, eller brug en virtuel assistent - en service til automatisk at plotte funktionsgrafer efter givne forhold. Med eller uden løsning. I dag vil vi præsentere dig for flere af dem.
Det bedste ved Desmos.com er dens meget tilpasselige grænseflade, interaktivitet, evnen til at organisere resultater i tabeller og gemme dit arbejde i ressourcedatabasen gratis uden tidsbegrænsninger. Ulempen er, at tjenesten ikke er fuldt oversat til russisk.
Grafikus.ru
Grafikus.ru er en anden russisk-sproget grafregner, der er værd at bemærke. Desuden bygger han dem ikke kun i todimensionelle, men også i tredimensionelle rum.
Her er en ufuldstændig liste over opgaver, som denne tjeneste klarer med succes:
- Tegning af 2D-grafer af simple funktioner: lige linjer, parabler, hyperbler, trigonometriske, logaritmiske osv.
- Tegning af 2D-grafer af parametriske funktioner: cirkler, spiraler, Lissajous-figurer og andre.
- Tegning af 2D-grafer i polære koordinater.
- Konstruktion af 3D overflader med simple funktioner.
- Konstruktion af 3D overflader af parametriske funktioner.
Det færdige resultat åbnes i et separat vindue. Brugeren har mulighed for at downloade, udskrive og kopiere et link til det. For sidstnævnte skal du logge ind på tjenesten via knapperne på det sociale netværk.
Grafikus.ru-koordinatplanet understøtter ændring af aksernes grænser, deres etiketter, gitterafstand, såvel som bredden og højden af selve flyet og skriftstørrelsen.
Den største styrke ved Grafikus.ru er evnen til at skabe 3D-grafik. Ellers virker det hverken værre eller bedre end analoge ressourcer.
Onlinecharts.ru
Onlineassistenten Onlinecharts.ru bygger ikke grafer, men diagrammer af næsten alle eksisterende typer. Inklusive:
- Lineær.
- Søjleformet.
- Cirkulær.
- Med arealer.
- Radial.
- XY-grafer.
- Boble.
- Sted.
- Polar bobler.
- Pyramider.
- Hastighedsmålere.
- Søjle-lineær.
Brugen af ressourcen er meget enkel. Udseendet af diagrammet (baggrundsfarve, gitter, linjer, pointere, hjørneformer, skrifttyper, gennemsigtighed, specialeffekter osv.) bestemmes fuldstændigt af brugeren. Data til konstruktion kan enten indtastes manuelt eller importeres fra en tabel i en CSV-fil gemt på en computer. Det færdige resultat er tilgængeligt til download til en pc i form af et billede, PDF-, CSV- eller SVG-fil samt til lagring online på ImageShack.Us fotohosting-webstedet eller på din personlige konto Onlinecharts.ru. Den første mulighed kan bruges af alle, den anden - kun registrerede.