Det største heltal. De største tal i verden

”Jeg ser klynger af vage tal, der er gemt der i mørket, bag den lille lysplet, som fornuftens stearinlys giver. De hvisker til hinanden; konspirerer om hvem ved hvad. Måske kan de ikke lide os særlig meget for at fange deres småbrødre i vores sind. Eller måske fører de simpelthen et encifret liv, derude, ud over vores forståelse.
Douglas Ray

Før eller siden plages alle af spørgsmålet, hvad er det største antal. Der er en million svar på et barns spørgsmål. Hvad er det næste? billioner. Og endnu længere? Faktisk er svaret på spørgsmålet om, hvad der er de største tal, enkelt. Tilføj blot én til det største tal, og det vil ikke længere være det største. Denne procedure kan fortsættes på ubestemt tid.

Men hvis du stiller spørgsmålet: hvad er det største tal, der findes, og hvad er dets rigtige navn?

Nu finder vi ud af alt...

Der er to systemer til navngivning af numre - amerikansk og engelsk.

Det amerikanske system er bygget ganske enkelt. Alle navne på store tal er konstrueret således: i begyndelsen er der et latinsk ordenstal, og i slutningen tilføjes suffikset -million. Undtagelsen er navnet "million", som er navnet på tallet tusind (lat. mille) og forstørrelsessuffikset -illion (se tabel). Sådan får vi tallene trillion, quadrillion, quintillion, sextillion, septillion, octillion, nonillion og decillion. Det amerikanske system bruges i USA, Canada, Frankrig og Rusland. Du kan finde ud af antallet af nuller i et tal skrevet i det amerikanske system ved hjælp af den simple formel 3 x + 3 (hvor x er et latinsk tal).

Det engelske navnesystem er det mest almindelige i verden. Det bruges for eksempel i Storbritannien og Spanien, samt i de fleste tidligere engelske og spanske kolonier. Navnene på tal i dette system er opbygget således: sådan: suffikset -million tilføjes til det latinske tal, det næste tal (1000 gange større) er bygget efter princippet - det samme latinske tal, men suffikset - milliard. Det vil sige, at efter en trillion i det engelske system er der en trillion, og først derefter en quadrillion, efterfulgt af en quadrillion osv. Således er en kvadrillion ifølge det engelske og amerikanske system helt forskellige tal! Du kan finde ud af antallet af nuller i et tal skrevet efter det engelske system og slutter med suffikset -million ved at bruge formlen 6 x + 3 (hvor x er et latinsk tal) og bruge formlen 6 x + 6 for tal ender på - mia.

Kun tallet milliard (10 9) gik fra det engelske system til det russiske sprog, som stadig ville være mere korrekt at blive kaldt, som amerikanerne kalder det - milliard, da vi har taget det amerikanske system til sig. Men hvem i vores land gør noget efter reglerne! ;-) Nogle gange bruges ordet trillion i øvrigt på russisk (det kan du selv se ved at køre en søgning i Google eller Yandex) og tilsyneladende betyder det 1000 billioner, dvs. kvadrillion.

Udover tal skrevet med latinske præfikser efter det amerikanske eller engelske system, kendes også såkaldte ikke-systemnumre, dvs. numre, der har deres egne navne uden latinske præfikser. Der er flere sådanne tal, men dem vil jeg fortælle mere om lidt senere.

Lad os vende tilbage til at skrive med latinske tal. Det ser ud til, at de kan skrive tal ned i det uendelige, men det er ikke helt sandt. Nu vil jeg forklare hvorfor. Lad os først se, hvad tallene fra 1 til 10 33 hedder:

Og nu opstår spørgsmålet, hvad nu. Hvad er der bag decillionen? I princippet er det selvfølgelig muligt ved at kombinere præfikser at generere sådanne monstre som: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion og novemdecillion, men disse vil vi allerede være interesserede i, og vi var interesserede i, vores egne navne numre. Derfor kan du ifølge dette system, ud over dem, der er angivet ovenfor, stadig kun få tre egennavne - vigintillion (fra lat.viginti- tyve), centillion (fra lat.centum- hundrede) og million (fra lat.mille- tusind). Romerne havde ikke mere end tusinde egennavne til tal (alle tal over tusind var sammensatte). For eksempel kaldte romerne en million (1.000.000)decies centena milia, det vil sige "ti hundrede tusinde." Og nu, faktisk, tabellen:

Ifølge et sådant system er tallene således større end 10 3003 , som ville have sit eget, ikke-sammensatte navn er umuligt at få! Men ikke desto mindre kendes tal større end en million - det er de samme ikke-systemiske tal. Lad os endelig tale om dem.

Det mindste sådan tal er et utal (det er endda i Dahls ordbog), hvilket betyder hundrede hundrede, det vil sige 10.000. Dette ord er dog forældet og praktisk talt ikke brugt, men det er mærkeligt, at ordet "myriader" er. udbredt, betyder slet ikke et bestemt tal, men en utallig, utallig mængde af noget. Det antages, at ordet myriade kom ind i europæiske sprog fra det gamle Egypten.

Der er forskellige meninger om oprindelsen af ​​dette nummer. Nogle mener, at den stammer fra Egypten, mens andre mener, at den kun blev født i det antikke Grækenland. Hvorom alting er, så opnåede utallige berømmelse netop takket være grækerne. Myriad var navnet på 10.000, men der var ingen navne for tal større end ti tusinde. Men i sin note "Psammit" (dvs. sandregning) viste Arkimedes, hvordan man systematisk konstruerer og navngiver vilkårligt store tal. Især ved at placere 10.000 (myriad) sandkorn i et valmuefrø finder han ud af, at der i universet (en kugle med en diameter på et utal af jorddiametre) ikke ville passe mere end 10 (i vores notation). 63 sandkorn Det er mærkeligt, at moderne beregninger af antallet af atomer i det synlige univers fører til tallet 10 67 (i alt et utal af gange mere). Archimedes foreslog følgende navne til tallene:
1 myriade = 10 4 .
1 di-myriad = myriad af myriader = 10 8 .
1 tri-myriade = di-myriad di-myriade = 10 16 .
1 tetra-myriad = tre-myriad tre-myriad = 10 32 .
osv.

Google(fra engelsk googol) er tallet ti til hundrede potens, det vil sige én efterfulgt af hundrede nuller. "Googolen" blev første gang skrevet om i 1938 i artiklen "New Names in Mathematics" i januarudgaven af ​​tidsskriftet Scripta Mathematica af den amerikanske matematiker Edward Kasner. Ifølge ham var det hans ni-årige nevø Milton Sirotta, der foreslog at kalde det store nummer for en "googol". Dette nummer blev almindeligt kendt takket være søgemaskinen opkaldt efter det. Google. Bemærk venligst, at "Google" er et varemærke og googol er et nummer.

Edward Kasner.

På internettet kan man ofte finde det nævnt, at - men det er ikke tilfældet...

I den berømte buddhistiske afhandling Jaina Sutra, der dateres tilbage til 100 f.Kr., optræder nummeret asankheya(fra Kina asenzi- utallige), lig med 10 140. Det antages, at dette tal er lig med antallet af kosmiske cyklusser, der kræves for at opnå nirvana.

Googolplex(engelsk) googolplex) - et tal også opfundet af Kasner og hans nevø og betyder et med en googol på nuller, det vil sige 10 10100 . Sådan beskriver Kasner selv denne "opdagelse":

Visdomsord bliver udtalt af børn mindst lige så ofte som af videnskabsmænd. Navnet "googol" blev opfundet af et barn (Dr. Kasners ni-årige nevø), som blev bedt om at finde på et navn til et meget stort tal, nemlig 1 med hundrede nuller efter det dette tal var ikke uendeligt, og derfor lige så sikkert, at det måtte have et navn. Samtidig med at han foreslog "googol", gav han et navn til et stadig større tal: "En googolplex er meget større end en googol." men er stadig begrænset, som opfinderen af ​​navnet var hurtig til at påpege.

Matematik og fantasi(1940) af Kasner og James R. Newman.

Et endnu større tal end en googolplex - Skæv nummer (Skewes" nummer) blev foreslået af Skewes i 1933 (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.) ved at bevise Riemann-hypotesen om primtal. Det betyder e til en vis grad e til en vis grad e i magten 79, altså ee e 79 . Senere, te Riele, H. J. J. "Om Forskellens Tegn P(x)-Li(x)." Matematik. Comput. 48, 323-328, 1987) reducerede Skuse-tallet til ee 27/4 , hvilket er omtrent lig med 8.185·10 370. Det er klart, at da værdien af ​​Skuse-tallet afhænger af tallet e, så er det ikke et heltal, så vi vil ikke overveje det, ellers skulle vi huske andre ikke-naturlige tal - tallet pi, tallet e osv.

Men det skal bemærkes, at der er et andet Skuse-tal, som i matematik betegnes som Sk2, hvilket er endnu større end det første Skuse-tal (Sk1). Andet Skewes nummer, blev indført af J. Skuse i samme artikel for at betegne et tal, som Riemann-hypotesen ikke holder for. Sk2 er lig med 1010 10103 , altså 1010 101000 .

Som du forstår, jo flere grader der er, jo sværere er det at forstå, hvilket tal der er størst. Hvis man for eksempel ser på Skewes-tal, uden særlige beregninger, er det næsten umuligt at forstå, hvilket af disse to tal, der er størst. For superstore tal bliver det således ubelejligt at bruge kræfter. Desuden kan du komme med sådanne tal (og de er allerede opfundet), når graderne af grader simpelthen ikke passer på siden. Ja, det er på siden! De passer ikke engang ind i en bog på størrelse med hele universet! I dette tilfælde opstår spørgsmålet om, hvordan man skriver dem ned. Problemet er, som du forstår, løseligt, og matematikere har udviklet flere principper for at skrive sådanne tal. Det er sandt, at enhver matematiker, der spurgte om dette problem, fandt på sin egen måde at skrive på, hvilket førte til eksistensen af ​​flere, uafhængige af hinanden, metoder til at skrive tal - det er notationerne af Knuth, Conway, Steinhouse osv.

Overvej notationen af ​​Hugo Stenhouse (H. Steinhaus. Matematiske snapshots, 3. udg. 1983), hvilket er ret simpelt. Stein House foreslog at skrive store tal inde i geometriske former - trekant, firkant og cirkel:

Steinhouse kom med to nye superstore numre. Han navngav nummeret - Mega, og nummeret er Megaston.

Matematiker Leo Moser forfinede Stenhouses notation, som var begrænset af, at hvis det var nødvendigt at nedskrive tal, der var meget større end en megiston, opstod der vanskeligheder og besvær, da mange cirkler skulle tegnes inden i hinanden. Moser foreslog, at man efter firkanterne ikke tegnede cirkler, men femkanter, derefter sekskanter og så videre. Han foreslog også en formel notation for disse polygoner, så tal kunne skrives uden at tegne komplekse billeder. Moser notation ser sådan ud:

Ifølge Mosers notation skrives Steinhouse mega således som 2 og megiston som 10. Derudover foreslog Leo Moser at kalde en polygon med antallet af sider lig mega - megagon. Og han foreslog tallet "2 i Megagon", det vil sige 2. Dette nummer blev kendt som Mosers nummer eller blot som Moser

Men Moser er ikke det største antal. Det største antal nogensinde brugt i matematisk bevis er grænsen kendt som Graham nummer(Grahams nummer), brugt første gang i 1977 i beviset for et skøn i Ramsey-teorien. Det er forbundet med bikromatiske hyperkuber og kan ikke udtrykkes uden et særligt 64-niveau system af specielle matematiske symboler introduceret af Knuth i 1976.

Et tal skrevet i Knuths notation kan desværre ikke konverteres til notation i Moser-systemet. Derfor bliver vi også nødt til at forklare dette system. I princippet er der heller ikke noget kompliceret ved det. Donald Knuth (ja, ja, det er den samme Knuth, der skrev "Kunsten at programmere" og skabte TeX-editoren) kom med begrebet supermagt, som han foreslog at skrive med pile, der pegede opad:

Generelt ser det sådan ud:

Jeg tror, ​​at alt er klart, så lad os vende tilbage til Grahams nummer. Graham foreslog såkaldte G-numre:

Nummeret G63 begyndte at blive kaldt Graham nummer(det betegnes ofte blot som G). Dette tal er det største kendte tal i verden og er endda opført i Guinness Rekordbog. Nå, Graham-tallet er større end Moser-tallet.

P.S. For at bringe stor gavn for hele menneskeheden og blive berømt gennem århundreder, besluttede jeg at finde på og nævne det største antal selv. Dette nummer vil blive ringet op stasplex og det er lig med tallet G100. Husk det, og når dine børn spørger, hvad der er det største tal i verden, så fortæl dem, at dette nummer hedder stasplex

Så er der tal større end Grahams tal? Til at begynde med er der selvfølgelig Grahams nummer. Hvad angår det betydelige antal... ja, der er nogle djævelsk komplekse områder inden for matematik (især området kendt som kombinatorik) og datalogi, hvor tal, der er endnu større end Grahams tal, forekommer. Men vi har næsten nået grænsen for, hvad der rationelt og klart kan forklares.

Der er tal, der er så utroligt, utroligt store, at det ville tage hele universet at skrive dem ned. Men her er det, der virkelig er skørt... nogle af disse ufatteligt store tal er afgørende for at forstå verden.

Når jeg siger "det største tal i universet", mener jeg virkelig det største væsentlig antal, det maksimalt mulige antal, der er nyttigt på en eller anden måde. Der er mange kandidater til denne titel, men jeg vil advare dig med det samme: Der er virkelig en risiko for, at det vil blæse dit sind, hvis du prøver at finde ud af det hele. Og desuden, med for meget matematik, vil du ikke have det sjovt.

Googol og googolplex

Edward Kasner

Vi kunne starte med, hvad der muligvis er de to største tal, du nogensinde har hørt om, og disse er faktisk de to største tal, der har generelt accepterede definitioner på det engelske sprog. (Der er en ret præcis nomenklatur, der bruges til at betegne tal så store, som du gerne vil, men disse to tal finder du ikke i ordbøger i dag.) Googol, siden det blev verdensberømt (omend med fejl, bemærk. faktisk er det googol ) i form af Google, født i 1920 som en måde at få børn til at interessere sig for store tal.

Til dette formål tog Edward Kasner (billedet) sine to nevøer, Milton og Edwin Sirott, med på en tur gennem New Jersey Palisades. Han inviterede dem til at komme med ideer, og så foreslog ni-årige Milton "googol". Hvor han har fået dette ord fra er uvist, men det besluttede Kasner eller et tal, hvor hundrede nuller følger enheden, vil fremover blive kaldt en googol.

Men unge Milton stoppede ikke der, han foreslog et endnu større antal, googolplexen. Dette er ifølge Milton et tal, hvor det første sted er 1, og derefter så mange nuller, som man kunne skrive, før man blev træt. Mens ideen er fascinerende, besluttede Kasner, at der var behov for en mere formel definition. Som han forklarede i sin bog Mathematics and the Imagination fra 1940, lader Miltons definition den risikable mulighed åben for, at en tilfældig bøvl kunne blive en matematiker overlegen Albert Einstein, blot fordi han har større udholdenhed.

Så Kasner besluttede, at en googolplex ville være , eller 1, og derefter en googol med nuller. Ellers vil vi sige, at en googolplex er . For at vise, hvor fascinerende dette er, bemærkede Carl Sagan engang, at det er fysisk umuligt at skrive alle nulpunkterne i en googolplex ned, fordi der simpelthen ikke er plads nok i universet. Hvis vi fylder hele volumen af ​​det observerbare univers med små støvpartikler på cirka 1,5 mikron i størrelse, så vil antallet af forskellige måder, disse partikler kan arrangeres på, være omtrent lig med én googolplex.

Sprogligt set er googol og googolplex sandsynligvis de to største signifikante tal (i det mindste på det engelske sprog), men, som vi nu vil fastslå, er der uendeligt mange måder at definere "signifikans på."

Virkelig verden

Hvis vi taler om det største signifikante tal, er der et rimeligt argument for, at det virkelig betyder, at vi skal finde det største tal med en værdi, der faktisk findes i verden. Vi kan starte med den nuværende menneskelige befolkning, som i øjeblikket er omkring 6920 millioner. Globalt BNP i 2010 blev anslået til at være omkring 61.960 milliarder dollars, men begge disse tal er ubetydelige sammenlignet med de omkring 100 billioner celler, der udgør den menneskelige krop. Selvfølgelig kan ingen af ​​disse tal sammenlignes med det samlede antal partikler i universet, som generelt anses for at være cirka , og dette tal er så stort, at vores sprog ikke har noget ord for det.

Vi kan lege lidt med målesystemerne, så tallene bliver større og større. Solens masse i tons vil således være mindre end i pund. En god måde at gøre dette på er at bruge Planck-systemet af enheder, som er de mindst mulige mål, som fysikkens love stadig gælder for. For eksempel er universets alder i Planck tid ca. Hvis vi går tilbage til den første Planck-tidsenhed efter Big Bang, vil vi se, at universets tæthed dengang var . Vi bliver flere og flere, men vi er ikke engang nået til googol endnu.

Det største antal med enhver anvendelse i den virkelige verden - eller i dette tilfælde den virkelige verden - er sandsynligvis et af de seneste skøn over antallet af universer i multiverset. Dette tal er så stort, at den menneskelige hjerne bogstaveligt talt ikke vil være i stand til at opfatte alle disse forskellige universer, da hjernen kun er i stand til tilnærmelsesvis konfigurationer. Faktisk er dette tal sandsynligvis det største tal, der giver nogen praktisk mening, medmindre du tager ideen om multiverset som helhed i betragtning. Der er dog stadig meget større tal, der lurer der. Men for at finde dem må vi gå ind i den rene matematiks område, og der er intet bedre sted at starte end primtal.

Mersenne primtal

En del af udfordringen er at komme med en god definition af, hvad et "betydeligt" tal er. En måde er at tænke i primtal og sammensatte tal. Et primtal, som du sikkert husker fra skolens matematik, er ethvert naturligt tal (bemærk ikke lig med et), der kun er deleligt af sig selv. Så, og er primtal, og og er sammensatte tal. Dette betyder, at ethvert sammensat tal i sidste ende kan repræsenteres ved dets primfaktorer. På nogle måder er tallet vigtigere end f.eks. , fordi der ikke er nogen måde at udtrykke det på i form af produktet af mindre tal.

Vi kan selvfølgelig gå lidt længere. , for eksempel er faktisk bare , hvilket betyder, at i en hypotetisk verden, hvor vores viden om tal er begrænset til , kan en matematiker stadig udtrykke tallet. Men det næste tal er primtal, hvilket betyder, at den eneste måde at udtrykke det på er direkte at vide om dets eksistens. Det betyder, at de største kendte primtal spiller en vigtig rolle, men f.eks. en googol - som i sidste ende blot er en samling af tal og ganget sammen - gør det faktisk ikke. Og da primtal grundlæggende er tilfældige, er der ingen kendt måde at forudsige, at et utroligt stort tal faktisk vil være primtal. Den dag i dag er det en vanskelig opgave at opdage nye primtal.

Matematikere fra det antikke Grækenland havde et begreb om primtal mindst så tidligt som 500 f.Kr., og 2000 år senere vidste man stadig, hvilke tal der var primtal kun op til omkring 750. Tænkere fra Euklids tid så muligheden for forenkling, men det var det ikke indtil renæssancens matematikere ikke rigtig kunne bruge det i praksis. Disse numre er kendt som Mersenne-numre, opkaldt efter den franske videnskabsmand Marin Mersenne fra det 17. århundrede. Ideen er ret simpel: et Mersenne-tal er et hvilket som helst tal i formen . Så for eksempel , og dette tal er primtal, gælder det samme for .

Det er meget hurtigere og nemmere at bestemme Mersenne-primtal end nogen anden form for primtal, og computere har arbejdet hårdt på at søge efter dem i de sidste seks årtier. Indtil 1952 var det største kendte primtal et tal - et tal med cifre. Samme år beregnede computeren, at tallet er primtal, og dette tal består af cifre, hvilket gør det meget større end en googol.

Computere har været på jagt lige siden, og i øjeblikket er Mersenne-tallet det største primtal, som menneskeheden kender. Opdaget i 2008 svarer det til et tal med næsten millioner af cifre. Det er det største kendte tal, som ikke kan udtrykkes i form af mindre tal, og hvis du ønsker hjælp til at finde et endnu større Mersenne-nummer, kan du (og din computer) altid deltage i søgningen på http://www.mersenne org /.

Skæv nummer

Stanley Skews

Lad os se på primtal igen. Som sagt opfører de sig grundlæggende forkert, hvilket betyder, at der ikke er nogen måde at forudsige, hvad det næste primtal bliver. Matematikere er blevet tvunget til at ty til nogle ret fantastiske målinger for at finde på en måde at forudsige fremtidige primtal på, selv på en eller anden tåget måde. Det mest vellykkede af disse forsøg er nok primtals-tællefunktionen, som blev opfundet i slutningen af ​​det 18. århundrede af den legendariske matematiker Carl Friedrich Gauss.

Jeg vil spare dig for den mere komplicerede matematik - vi har meget mere på vej alligevel - men essensen af ​​funktionen er dette: For ethvert heltal kan du estimere, hvor mange primtal der er mindre end . For eksempel, hvis , forudsiger funktionen, at der skal være primtal, hvis der skal være primtal mindre end , og hvis , så skal der være mindre tal, der er primtal.

Arrangementet af primtallene er faktisk uregelmæssigt og er kun en tilnærmelse af det faktiske antal primtal. Faktisk ved vi, at der er primtal mindre end , primtal mindre end , og primtal mindre end . Dette er ganske vist et fremragende skøn, men det er altid kun et skøn... og mere specifikt et skøn fra oven.

I alle kendte tilfælde op til , funktionen, der finder antallet af primtal, overvurderer lidt det faktiske antal primtal mindre end . Matematikere troede engang, at dette altid ville være tilfældet i det uendelige, og at dette helt sikkert ville gælde nogle ufatteligt enorme tal, men i 1914 beviste John Edensor Littlewood, at for et ukendt, ufatteligt stort tal, ville denne funktion begynde at producere færre primtal. , og så vil den skifte mellem det øverste estimat og det nederste estimat et uendeligt antal gange.

Jagten gik efter løbenes udgangspunkt, og så dukkede Stanley Skewes op (se foto). I 1933 beviste han, at den øvre grænse, når en funktion, der tilnærmer antallet af primtal først producerer en mindre værdi, er tallet . Det er svært at forstå, selv i den mest abstrakte forstand, hvad dette tal faktisk repræsenterer, og fra dette synspunkt var det det største tal, der nogensinde er brugt i et seriøst matematisk bevis. Siden da har matematikere været i stand til at reducere den øvre grænse til et relativt lille tal, men det oprindelige tal forbliver kendt som Skewes-tallet.

Så hvor stort er det tal, der dværger selv den mægtige googolplex? I The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers fortæller David Wells en måde, hvorpå matematikeren Hardy var i stand til at begrebsliggøre størrelsen af ​​Skuse-tallet:

"Hardy mente, at det var "det største antal nogensinde tjent til et bestemt formål i matematik," og foreslog, at hvis et spil skak blev spillet med alle universets partikler som brikker, ville et træk bestå i at bytte to partikler, og spillet ville stoppe, når den samme position blev gentaget en tredje gang, så ville antallet af alle mulige spil være omtrent lig med Skuses antal.

En sidste ting, før vi går videre: Vi talte om det mindste af de to Skewes-numre. Der er et andet Skuse-nummer, som matematikeren opdagede i 1955. Det første tal er afledt af det faktum, at den såkaldte Riemann-hypotese er sand - dette er en særlig vanskelig hypotese i matematik, som forbliver ubevist, meget nyttig, når det kommer til primtal. Men hvis Riemann-hypotesen er falsk, fandt Skuse ud af, at startpunktet for springene stiger til .

Problem af størrelse

Før vi kommer til det tal, der får selv Skewes-tallet til at se lillebitte ud, skal vi snakke lidt om skala, for ellers har vi ingen mulighed for at vurdere, hvor vi skal hen. Lad os først tage et tal - det er et lille tal, så lille, at folk faktisk kan få en intuitiv forståelse af, hvad det betyder. Der er meget få tal, der passer til denne beskrivelse, da tal større end seks ophører med at være separate tal og bliver "flere", "mange" osv.

Lad os nu tage, dvs. . Selvom vi faktisk ikke intuitivt, som vi gjorde for nummeret, kan forstå, hvad det er, er det meget nemt at forestille sig, hvad det er. Så langt så godt. Men hvad sker der, hvis vi flytter til ? Dette er lig med eller . Vi er meget langt fra at kunne forestille os denne mængde, som enhver anden meget stor - vi mister evnen til at forstå enkeltdele et sted omkring en million. (Ganske vist ville det tage sindssygt lang tid at tælle til en million af noget, men pointen er, at vi stadig er i stand til at opfatte det tal.)

Men selvom vi ikke kan forestille os, er vi i det mindste i stand til generelt at forstå, hvad 7600 milliarder er, måske ved at sammenligne det med noget som USA's BNP. Vi har bevæget os fra intuition til repræsentation til simpel forståelse, men vi har i det mindste stadig et hul i vores forståelse af, hvad et tal er. Det er ved at ændre sig, da vi flytter endnu et trin op ad stigen.

For at gøre dette skal vi flytte til en notation introduceret af Donald Knuth, kendt som pilnotation. Denne notation kan skrives som . Når vi så går til , vil det nummer vi får være . Dette er lig med hvor de samlede treere er. Vi har nu langt og virkelig overgået alle de andre tal, vi allerede har talt om. Selv den største af dem havde trods alt kun tre eller fire termer i indikatorserien. For eksempel er selv super-Skuse-tallet "kun" - selv med hensyn til, at både basen og eksponenterne er meget større end , er det stadig absolut ingenting sammenlignet med størrelsen af ​​et taltårn med en milliard medlemmer .

Det er klart, at der ikke er nogen måde at forstå så store tal... og alligevel kan processen, hvorved de skabes, stadig forstås. Vi kunne ikke forstå den reelle mængde, der gives af et magttårn med en milliard trillinger, men vi kan grundlæggende forestille os et sådant tårn med mange termer, og en virkelig anstændig supercomputer ville være i stand til at gemme sådanne tårne ​​i hukommelsen, selvom den kunne ikke beregne deres faktiske værdier.

Dette bliver mere og mere abstrakt, men det bliver kun værre. Du tror måske, at et tårn af grader, hvis eksponentlængde er ens (faktisk lavede jeg i den tidligere version af dette indlæg præcis denne fejl), men det er enkelt. Med andre ord, forestil dig at kunne beregne den nøjagtige værdi af et krafttårn af trillinger, der er opbygget af elementer, og så tog du den værdi og skabte et nyt tårn med så mange i som... der giver .

Gentag denne proces med hvert efterfølgende nummer ( note starter fra højre), indtil du gør det gange, og så får du endelig . Dette er et tal, der simpelthen er utroligt stort, men i det mindste trinene til at få det virker forståelige, hvis du gør alt meget langsomt. Vi kan ikke længere forstå tallene eller forestille os proceduren, hvorved de opnås, men vi kan i det mindste forstå den grundlæggende algoritme, kun på lang nok tid.

Lad os nu forberede sindet til virkelig at blæse det.

Graham nummer (Graham)

Ronald Graham

Sådan får du Grahams nummer, som har en plads i Guinness Book of World Records som det største tal nogensinde brugt i et matematisk bevis. Det er helt umuligt at forestille sig, hvor stort det er, og lige så svært at forklare præcis, hvad det er. Grundlæggende optræder Grahams tal, når man har at gøre med hyperkuber, som er teoretiske geometriske former med mere end tre dimensioner. Matematiker Ronald Graham (se billede) ønskede at finde ud af, ved hvilket mindste antal dimensioner visse egenskaber ved en hyperkube ville forblive stabile. (Beklager sådan en vag forklaring, men jeg er sikker på, at vi alle skal have mindst to grader i matematik for at gøre det mere præcist.)

Under alle omstændigheder er Graham-tallet et øvre estimat af dette minimumsantal af dimensioner. Så hvor stor er denne øvre grænse? Lad os vende tilbage til tallet, så stort, at vi kun vagt kan forstå algoritmen til at opnå det. Nu, i stedet for bare at hoppe et niveau mere op til , vil vi tælle det tal, der har pile mellem de første og sidste tre. Vi er nu langt ude over selv den mindste forståelse af, hvad dette tal er, eller endda hvad vi skal gøre for at beregne det.

Lad os nu gentage denne proces én gang ( note ved hvert næste trin skriver vi antallet af pile svarende til antallet opnået i det foregående trin).

Dette, mine damer og herrer, er Grahams tal, som er omkring en størrelsesorden højere end menneskets forståelse. Det er et tal, der er så meget større end noget tal, du kan forestille dig – det er så meget større end nogen uendelighed, du nogensinde kunne håbe på at forestille dig – det trodser simpelthen selv den mest abstrakte beskrivelse.

Men her er en mærkelig ting. Da Graham-tallet dybest set kun er tripletter ganget sammen, kender vi nogle af dets egenskaber uden egentlig at beregne det. Vi kan ikke repræsentere Graham-tallet ved at bruge nogen kendt notation, selvom vi brugte hele universet til at skrive det ned, men jeg kan fortælle dig de sidste tolv cifre i Graham-tallet lige nu: . Og det er ikke alt: Vi kender i det mindste de sidste cifre i Grahams nummer.

Det er selvfølgelig værd at huske på, at dette tal kun er en øvre grænse i Grahams oprindelige problem. Det er meget muligt, at det faktiske antal målinger, der kræves for at opnå den ønskede egenskab, er meget, meget mindre. Faktisk har man siden 1980'erne, ifølge de fleste eksperter på området, troet, at der faktisk kun er seks dimensioner – et tal så lille, at vi kan forstå det intuitivt. Den nedre grænse er siden blevet hævet til , men der er stadig en meget god chance for, at løsningen på Grahams problem ikke ligger i nærheden af ​​et tal så stort som Grahams tal.

Mod det uendelige

Så er der tal større end Grahams tal? Til at begynde med er der selvfølgelig Graham-nummeret. Hvad angår det betydelige antal... ja, der er nogle djævelsk komplekse områder inden for matematik (især området kendt som kombinatorik) og datalogi, hvor tal, der er endnu større end Grahams tal, forekommer. Men vi har næsten nået grænsen for, hvad jeg kan håbe nogensinde bliver rationelt forklaret. For dem, der er dumdristige nok til at gå endnu længere, foreslås yderligere læsning på eget ansvar.

Nå, nu et fantastisk citat, der tilskrives Douglas Ray ( note Helt ærligt, det lyder ret sjovt:

”Jeg ser klynger af vage tal, der er gemt der i mørket, bag den lille lysplet, som fornuftens stearinlys giver. De hvisker til hinanden; konspirerer om hvem ved hvad. Måske kan de ikke lide os særlig meget for at fange deres småbrødre i vores sind. Eller måske fører de simpelthen et encifret liv, derude, ud over vores forståelse.

Videnskabens verden er simpelthen fantastisk med sin viden. Men selv den mest geniale person i verden vil ikke være i stand til at forstå dem alle. Men du skal stræbe efter dette. Derfor vil jeg i denne artikel finde ud af, hvad det største tal er.

Om systemer

Først og fremmest er det nødvendigt at sige, at der er to systemer til navngivning af numre i verden: amerikansk og engelsk. Afhængigt af dette kan det samme nummer kaldes forskelligt, selvom det har samme betydning. Og i begyndelsen skal du håndtere disse nuancer for at undgå usikkerhed og forvirring.

amerikansk system

Det vil være interessant, at dette system ikke kun bruges i Amerika og Canada, men også i Rusland. Derudover har den også sit eget videnskabelige navn: et system til at navngive tal med en kort skala. Hvad kaldes store tal i dette system? Så hemmeligheden er ret simpel. Allerede i begyndelsen vil der være et latinsk ordenstal, hvorefter det velkendte suffiks "-million" blot tilføjes. Følgende kendsgerning vil være interessant: når det oversættes fra latin, kan tallet "million" oversættes til "tusinder". Følgende tal hører til det amerikanske system: en trillion er 10 12, en kvintillion er 10 18, en octillion er 10 27 osv. Det vil også være let at regne ud, hvor mange nuller der er skrevet i tallet. For at gøre dette skal du kende en simpel formel: 3*x + 3 (hvor "x" i formlen er et latinsk tal).

engelsk system

Men på trods af det amerikanske systems enkelhed er det engelske system stadig mere udbredt i verden, som er et system til at navngive tal med en lang skala. Siden 1948 har det været brugt i lande som Frankrig, Storbritannien, Spanien, samt i lande, der var tidligere kolonier i England og Spanien. Konstruktionen af ​​tal her er også ret enkel: suffikset "-million" tilføjes til den latinske betegnelse. Yderligere, hvis tallet er 1000 gange større, tilføjes suffikset "-milliard". Hvordan kan du finde ud af antallet af skjulte nuller i et tal?

1. Hvis tallet ender på "-million", skal du bruge formlen 6*x + 3 ("x" er et latinsk tal).
2. Hvis tallet ender på "-milliard", skal du bruge formlen 6 * x + 6 (hvor "x" igen er et latinsk tal).

Eksempler

På dette stadium kan vi som et eksempel overveje, hvordan de samme numre vil blive kaldt, men på en anden skala.

Du kan nemt se, at det samme navn i forskellige systemer betyder forskellige tal. For eksempel en billion. Derfor, når du overvejer et tal, skal du stadig først finde ud af, hvilket system det er skrevet.

Ekstrasystemnumre

Det er værd at sige, at der udover systemnumre også er ikke-systemnumre. Måske gik det største antal tabt blandt dem? Det er værd at undersøge dette.

1. Googol. Dette er tallet ti til den hundrede potens, det vil sige én efterfulgt af hundrede nuller (10.100). Dette nummer blev først nævnt tilbage i 1938 af videnskabsmanden Edward Kasner. Et meget interessant faktum: den verdensomspændende søgemaskine Google er opkaldt efter et ret stort antal på det tidspunkt - googol. Og navnet blev opfundet af Kasners unge nevø.
2. Asankhaya. Dette er et meget interessant navn, som er oversat fra sanskrit som "utallige." Dens numeriske værdi er en med 140 nuller - 10 140. Følgende faktum vil være interessant: dette var kendt af folk tilbage i 100 f.Kr. e., som det fremgår af indlægget i Jaina Sutraen, en berømt buddhistisk afhandling. Dette tal blev betragtet som specielt, fordi man mente, at det samme antal kosmiske cyklusser var nødvendigt for at opnå nirvana. Også på det tidspunkt blev dette tal betragtet som det største.
3. Googolplex. Dette nummer blev opfundet af den samme Edward Kasner og hans førnævnte nevø. Dens numeriske betegnelse er ti til tiende potens, som igen består af hundrede potens (dvs. ti til googolplex potens). Videnskabsmanden sagde også, at man på denne måde kan få så stort et antal, man vil: googoltetraplex, googolhexaplex, googoloctaplex, googoldecaplex osv.
4. Grahams nummer er G. Dette er det største tal, anerkendt som sådan i de seneste 1980 af Guinness Rekordbog. Det er betydeligt større end googolplex og dets derivater. Og videnskabsmænd sagde endda, at hele universet ikke er i stand til at indeholde hele decimalnotationen af ​​Grahams tal.
5. Moser nummer, Skewes nummer. Disse tal betragtes også som et af de største, og de bruges oftest ved løsning af forskellige hypoteser og sætninger. Og da disse tal ikke kan nedskrives ved hjælp af almindeligt anerkendte love, gør hver videnskabsmand det på sin egen måde.

Seneste udviklinger

Det er dog stadig værd at sige, at der ikke er nogen grænse for perfektion. Og mange forskere troede og tror stadig, at det største antal endnu ikke er fundet. Og selvfølgelig vil æren af ​​at gøre dette tilfalde dem. En amerikansk videnskabsmand fra Missouri arbejdede på dette projekt i lang tid, og hans arbejde blev kronet med succes. Den 25. januar 2012 fandt han det nye største tal i verden, som består af sytten millioner cifre (som er det 49. Mersenne-tal). Bemærk: Indtil dette tidspunkt blev det største tal anset for at være det, som computeren fandt i 2008, det havde 12 tusinde cifre og så således ud: 2 43112609 - 1.

Ikke for første gang

Det er værd at sige, at dette er blevet bekræftet af videnskabelige forskere. Dette tal gik gennem tre niveauer af verifikation af tre forskere på forskellige computere, hvilket tog hele 39 dage. Dette er dog ikke den første præstation i en sådan søgning af en amerikansk videnskabsmand. Han havde tidligere afsløret de største tal. Dette skete i 2005 og 2006. I 2008 afbrød computeren Curtis Coopers stribe af sejre, men i 2012 genvandt han alligevel håndfladen og den velfortjente titel af opdager.

Om systemet

Hvordan sker det hele, hvordan finder forskerne de største tal? Så i dag klarer computeren det meste af arbejdet for dem. I dette tilfælde brugte Cooper distribueret databehandling. Hvad betyder det? Disse beregninger udføres af programmer installeret på computere af internetbrugere, som frivilligt besluttede at deltage i undersøgelsen. Som en del af dette projekt blev 14 Mersenne-tal, opkaldt efter den franske matematiker, defineret (disse er primtal, der kun er delelige med dem selv og et). I form af en formel ser det sådan ud: M n = 2 n - 1 ("n" i denne formel er et naturligt tal).

Om bonusser

Et logisk spørgsmål kan opstå: hvad får videnskabsmænd til at arbejde i denne retning? Så dette er selvfølgelig passion og ønsket om at være en pioner. Der er dog også bonusser her: Curtis Cooper modtog en pengepræmie på $3.000 for sit ide. Men det er ikke alt. Electronic Frontier Foundation (EFF) opfordrer til sådanne søgninger og lover straks at uddele pengepræmier på $150.000 og $250.000 til dem, der indsender primtal bestående af 100 millioner og en milliard tal. Så der er ingen tvivl om, at et stort antal videnskabsmænd rundt om i verden arbejder i denne retning i dag.

Simple konklusioner

Så hvad er det største antal i dag? I øjeblikket er det fundet af en amerikansk videnskabsmand fra University of Missouri, Curtis Cooper, som kan skrives som følger: 2 57885161 - 1. Desuden er det også det 48. nummer af den franske matematiker Mersenne. Men det er værd at sige, at der ikke kan være nogen ende på denne søgning. Og det vil ikke være overraskende, hvis videnskabsmænd efter en vis tid giver os det næste nyopdagede største antal i verden til overvejelse. Der er ingen tvivl om, at det vil ske i den nærmeste fremtid.