Kommunal uddannelsesinstitution "Khvastovichi Secondary School"
"Intervalmetoden til løsning af ligninger og uligheder med flere moduler"
Forskningsoplæg i matematik
Fuldført:
10. klasses elev
Golysheva Evgeniya
Tilsynsførende:
matematiklærer
Shapenskaya E.N.
Introduktion……………………………………………………………………………………………… … ….3 Kapitel 1. Metoder til problemløsning med flere moduler…… ………………… …………4 1.1.Definition af et modul. Løsning pr. definition.........4 1.2 Løsning af ligninger med flere moduler ved hjælp af intervalmetoden......5 1.3 . Problemer med flere moduler. Løsningsmetoder………………………………………7 1.4. Metode til intervaller i problemer med moduler…………………………………………..9 Kapitel 2. Ligninger og uligheder indeholdende moduler………………………….… 11 2.1 Løsning af ligninger med flere moduler ved hjælp af intervalmetoden..….11 2.2 Løsning af uligheder med flere moduler ved hjælp af intervalmetoden.…13 Konklusion………………………………………………………… … …………………………...15 Litteratur……………………………………………………………………………………….……….…. 16
Indledning
Begrebet absolut værdi er en af de vigtigste egenskaber ved et tal, både inden for reelle og komplekse tal. Dette koncept er meget udbredt, ikke kun i forskellige sektioner af skolens matematikkursus, men også i kurser i højere matematik, fysik og tekniske videnskaber studeret på universiteter. Problemer relateret til absolutte værdier findes ofte i matematiske olympiader, universitetsadgangseksamener og Unified State Exam.
Emne:"Intervalmetoden til at løse ligninger og uligheder med flere moduler ved hjælp af intervalmetoden."
Målområde: matematik.
Studieobjekt: løsning af ligninger og uligheder med modul.
Genstand for forskning: intervalmetode til løsning med flere moduler.
Formålet med undersøgelsen: identificere effektiviteten af at løse ligninger og uligheder med flere moduler ved hjælp af intervalmetoden.
Hypotese: Hvis du bruger intervalmetoden til at løse uligheder og ligninger med flere moduler, kan du forenkle dit arbejde betydeligt.
Arbejdsmetoder: indsamling af information og analyse heraf.
Opgaver:
Studer litteraturen om dette emne.
Overvej løsninger på uligheder og ligninger med flere moduler.
Identificer den mest effektive løsning.
Projektets praktiske fokus:
Dette arbejde kan bruges som læremiddel for elever og læremiddel for lærere.
Kapitel 1.
1.1.Definition af et modul. Løsning per definition.
Per definition falder modulet eller den absolutte værdi af et ikke-negativt tal a sammen med selve tallet, og modulet af et negativt tal er lig med det modsatte tal, det vil sige a:
Modulet af et tal er altid ikke-negativt. Lad os se på eksempler.
Eksempel 1. Løs ligningen |–x| = –3.
Det er ikke nødvendigt at analysere tilfælde her, fordi den absolutte værdi af et tal altid er ikke-negativ, og det betyder, at denne ligning ikke har nogen løsninger.
Lad os skrive løsningen til disse enkleste ligninger i generel form:
Eksempel 2. Løs ligningen |x| = 2 – x.
Løsning. Ved x 0 har vi ligningen x = 2 – x, dvs. x = 1. Da 1 0 er x = 1 roden af den oprindelige ligning. I det andet tilfælde (x
Svar: x = 1.
Eksempel 3. Løs ligningen 3|x – 3| + x = –1.
Løsning. Her bestemmes opdelingen i tilfælde af fortegnet for udtrykket x – 3. For x – 3 ³ 0 har vi 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Men 2 – 3 0.
Svar: ligningen har ingen rødder.
Eksempel 4. Løs ligningen |x – 1| = 1 – x.
Løsning. Da 1 – x = – (x – 1), følger det direkte af definitionen af modulet, at ligningen er opfyldt af dem og kun de x, for hvilke x – 1 0. Denne ligning er blevet reduceret til en ulighed, og svaret er hele intervallet (stråle).
Svar: x 1.
1.2. Løsning af ligninger med modul ved hjælp af systemer.
Eksemplerne diskuteret tidligere giver os mulighed for at formulere regler for eliminering af modultegnet i ligninger. For ligninger af formen |f(x)| = g(x) der er to sådanne regler:
1. regel: |f(x)| = g(x) Û (1)
2. regel: |f(x)| = g(x) Û (2)
Lad os forklare den anvendte notation her. Krøllede parenteser repræsenterer systemer, og firkantede parenteser repræsenterer aggregater.
Løsninger til et ligningssystem er værdier af en variabel, der samtidig opfylder alle systemets ligninger.
Løsningerne til et ligningssæt er alle værdier af en variabel, som hver er roden til mindst én af ligningerne i sættet.
To ligninger er ækvivalente, hvis en løsning af hver af dem også er en løsning af den anden, med andre ord, hvis mængderne af deres løsninger er sammenfaldende.
Hvis ligningen indeholder flere moduler, så kan du slippe af med dem én efter én ved at bruge de givne regler. Men der er som regel kortere veje. Vi lærer dem at kende senere, men lad os nu se på at løse den enkleste af disse ligninger:
|f(x)| = |g(x)| Û
Denne ækvivalens følger af det indlysende faktum, at hvis de absolutte værdier af to tal er ens, så er tallene i sig selv enten ens eller modsatte.
Eksempel 1. Løs ligningen |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
Løsning. Lad os slippe af med modulet på to måder beskrevet ovenfor:
1. vej: 2. vej:
Som du kan se, skal vi i begge tilfælde løse de samme to andengradsligninger, men i det første tilfælde ledsages de af kvadratiske uligheder, og i det andet af lineære. Derfor er den anden metode til denne ligning enklere. Løser vi andengradsligninger, finder vi rødderne af den første, begge rødder tilfredsstiller uligheden. Diskriminanten af den anden ligning er negativ, derfor har ligningen ingen rødder.
Svar: .
Eksempel 2. Løs ligningen |x 2 – x – 6| = |2x 2 + x – 1|.
Løsning. Vi ved allerede, at der ikke er behov for at overveje (så mange som 4) varianter af fordelingen af udtrykstegn under moduler her: denne ligning svarer til et sæt af to andengradsligninger uden yderligere uligheder: Hvilket svarer til: den første ligning af løsningssættet har ikke (dens diskriminant er negativ), den anden har ligningen to rødder.
1.3. Problemer med flere moduler. Løsningsmetoder.
Sekventiel udvidelse af moduler.
Der er to hovedtilgange til løsning af ligninger og uligheder, der indeholder flere moduler. Vi kan kalde dem "serielle" og "parallelle". Lad os nu stifte bekendtskab med den første af dem.
Dens idé er, at først et af modulerne er isoleret i en del af ligningen (eller uligheden) og afsløres ved hjælp af en af metoderne beskrevet tidligere. Derefter gentages det samme med hver af de resulterende ligninger med moduler og så videre, indtil vi slipper af med alle modulerne.
Eksempel 1. Løs ligningen: +
Løsning. Lad os isolere det andet modul og udvide det ved hjælp af den første metode, det vil sige blot at bestemme den absolutte værdi:
Til de resulterende to ligninger anvender vi den anden metode til at fjerne modulet:
Til sidst løser vi de resulterende fire lineære ligninger og vælger de rødder, der opfylder de tilsvarende uligheder. Som et resultat er der kun to værdier tilbage: x = –1 og .
Svar: -1; .
Parallel udvidelse af moduler.
Du kan fjerne alle moduler i en ligning eller ulighed på én gang og nedskrive alle mulige kombinationer af tegn på submodulære udtryk. Hvis der er n moduler i ligningen, så vil der være 2 n muligheder, fordi hvert af de n udtryk under modulet, når modulet fjernes, kan få et af to tegn - plus eller minus. I princippet skal vi løse alle 2 n ligninger (eller uligheder), frigjort fra moduli. Men deres løsninger vil også kun være løsninger på det oprindelige problem, hvis de ligger i områder, hvor den tilsvarende ligning (ulighed) falder sammen med den oprindelige. Disse områder er defineret af fortegnene i udtrykkene under modulerne. Vi har allerede løst følgende ulighed, så du kan sammenligne forskellige tilgange til at løse den.
Eksempel 2.+
Løsning.
Lad os overveje 4 mulige sæt af symboler for udtryk under moduler.
Kun den første og tredje af disse rødder opfylder de tilsvarende uligheder, og derfor den oprindelige ligning.
Svar: -1; .
På samme måde kan du løse eventuelle problemer med flere moduler. Men som enhver universel metode er denne løsning ikke altid optimal. Nedenfor vil vi se, hvordan det kan forbedres.
1.4. Intervalmetode i problemer med moduler
Ser vi nærmere på de forhold, der specificerer forskellige muligheder for fordeling af tegn for submodulære udtryk i den forrige løsning, vil vi se, at en af dem, 1 – 3x
Forestil dig, at vi løser en ligning, der omfatter tre moduler af lineære udtryk; for eksempel |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.
Det første modul er lig med x – a for x ³ a og a – x for x b og x
De danner fire rum. På hver af dem beholder hvert af udtrykkene under modulerne sit fortegn, derfor har ligningen som helhed efter udvidelse af modulerne samme form på hvert interval. Så ud af 8 teoretisk mulige muligheder for at åbne moduler, viste kun 4 sig at være nok for os!
Du kan også løse ethvert problem med flere moduler. Den numeriske akse er nemlig opdelt i intervaller med konstant fortegn af alle udtryk under modulerne, og så løses på hver af dem den ligning eller ulighed, som det givne problem bliver til på dette interval. Især hvis alle udtryk under modulerne er rationelle, så er det nok at markere deres rødder på aksen, såvel som de punkter, hvor de ikke er defineret, det vil sige rødderne til deres nævnere. De markerede punkter definerer de nødvendige intervaller for konstant fortegn. Vi handler på nøjagtig samme måde, når vi løser rationelle uligheder ved hjælp af intervalmetoden. Og metoden vi beskrev til at løse problemer med moduler har samme navn.
Eksempel 1. Løs ligningen.
Løsning. Lad os finde funktionens nuller, hvorfra. Vi løser problemet ved hvert interval:
Så denne ligning har ingen løsninger.
Eksempel 2. Løs ligningen.
Løsning. Lad os finde funktionens nuller. Vi løser problemet ved hvert interval:
1) (ingen løsninger);
Eksempel 3. Løs ligningen.
Løsning. Udtryk under absolutværditegnet forsvinder ved . Derfor skal vi overveje tre tilfælde:
2) - roden af ligningen;
3) er roden til denne ligning.
Kapitel 2. Ligninger og uligheder indeholdende moduler.
2.1 Løsning af ligninger med flere moduler ved hjælp af intervalmetoden.
Eksempel 1.
Løs ligningen:
|x+2| = |x-1|+x-3
-(x+2) = -(x-1) + x-3
X-2=-x+1+x-3
x=2 – opfylder ikke
tilstand x
ingen løsninger
2. Hvis -2≤х
x+2 = -(x-1)+x-3
tilfredsstiller
tilstand -2
3. Hvis x≥1, så
Svar: x=6
Eksempel 2.
Løs ligningen:
1) Find nullerne for submodulære udtryk
Nulerne af submodulære udtryk opdeler talaksen i flere intervaller. Vi arrangerer tegnene for submodulære udtryk på disse intervaller.
Ved hvert interval åbner vi modulerne og løser den resulterende ligning. Efter at have fundet roden, kontrollerer vi, at den hører til det interval, som vi arbejder på i øjeblikket.
1. :
- passer.
2. :
– passer ikke.
3. :
– passer.
4. :
– passer ikke. Svar:
2.2 Løsning af uligheder med flere moduler ved hjælp af intervalmetoden.
Eksempel 1.
Løs uligheden:
|x-1| + |x-3| 4
-(x-1) - (x-3) 4
2. Hvis 1≤х
x-1– (x-3) 4
24 er ikke korrekt
ingen løsninger
3. Hvis x≥3, så
Svar: xЄ (-∞;0) U (4;+∞)
Eksempel 2.
Lad os løse uligheden
Løsning. Punkterne og (rødderne af udtrykkene under modulet) deler hele den numeriske akse op i tre intervaller, hvor modulerne hver skal udvides.
1) Når , og uligheden har formen , altså . I dette tilfælde er svaret.
2) Når , uligheden har formen , dvs. Denne ulighed er sand for enhver værdi af variablen, og under hensyntagen til det faktum, at vi løser det på sættet, får vi svaret i det andet tilfælde.
3) Når , uligheden transformeres til , og løsningen i dette tilfælde er . Den generelle løsning på uligheden er at kombinere de tre modtagne svar.
For at løse ligninger og uligheder, der indeholder flere moduler, er det således praktisk at bruge intervalmetoden. For at gøre dette skal du finde nullerne for alle submodulære funktioner og udpege dem på ODZ af ligninger og uligheder.
Konklusion
På det seneste er metoder blevet brugt i vid udstrækning i matematik til at forenkle løsningen af problemer, især intervalmetoden, som kan fremskynde beregningerne markant. Derfor er undersøgelsen af intervalmetoden til løsning af ligninger og uligheder med flere moduler relevant.
I processen med at arbejde med emnet "Løsning af ligninger og uligheder, der indeholder en ukendt under modultegnet ved hjælp af intervalmetoden," jeg: studerede litteraturen om dette spørgsmål, blev bekendt med den algebraiske og grafiske tilgang til løsning af ligninger og uligheder, der indeholder en ukendt under modultegnet og kom til konklusionen:
I nogle tilfælde, når man løser ligninger med et modul, er det muligt at løse ligningerne efter reglerne, og nogle gange er det mere praktisk at bruge intervalmetoden.
Når man løser ligninger og uligheder, der indeholder et modul, er intervalmetoden mere visuel og forholdsvis enklere.
Mens jeg skrev min forskningsopgave, opdagede jeg mange problemer, der kan løses ved hjælp af intervalmetoden. Den vigtigste opgave er at løse ligninger og uligheder med flere moduler.
I løbet af mit arbejde med at løse uligheder og ligninger med flere moduler ved hjælp af intervalmetoden, fandt jeg ud af, at hastigheden på at løse problemer blev fordoblet. Dette giver dig mulighed for at fremskynde arbejdsprocessen betydeligt og reducere tidsomkostningerne. Således blev min hypotese "hvis du bruger intervalmetoden til at løse uligheder og ligninger med flere moduler, kan du forenkle dit arbejde markant" bekræftet. Mens jeg arbejdede med forskningen, fik jeg erfaring med at løse ligninger og uligheder med flere moduler. Jeg tror, at den viden, jeg har tilegnet mig, vil give mig mulighed for at undgå fejl, når jeg skal træffe beslutninger.
Litteratur
http://yukhym.com
http://www.tutoronline.ru
http://fizmat.by
http://diffur.kemsu.ru
http://solverbook.com
Zelensky A.S., Panfilov. Løsning af ligninger og uligheder med modul I.I. M.: Factorial Publishing House, 2009. - 112 s.
Olehnik S.N. Potapov M.K. Ligninger og uligheder. Ikke-standard løsningsmetoder. M.: Factorial Publishing House, 1997. - 219 s.
Sevryukov P.F., Smolyakov A.N. Ligninger og uligheder med moduler og metoder til at løse dem. M.: Forlaget Oplysning 2005. - 112 s.
Sadovnichy Yu.V. Unified State eksamen. Workshop om matematik. Løsning af ligninger og uligheder. Konvertering af algebraiske udtryk. M.: Legion Publishing House 2015 - 128 s.
Shevkin A.V. Kvadratiske uligheder. Interval metode. M.: LLC "Russian Word - Educational Book", 2003. – 32 s.
http://padabum.com
Jo mere en person forstår, jo stærkere er hans ønske om at forstå
Thomas Aquinas
Intervalmetoden giver dig mulighed for at løse alle ligninger, der indeholder et modul. Essensen af denne metode er at opdele talaksen i flere sektioner (intervaller), og aksen skal opdeles med nullerne i udtrykkene i modulerne. Derefter, på hver af de resulterende sektioner, er hvert submodulært udtryk enten positivt eller negativt. Derfor kan hvert af modulerne åbnes enten med et minustegn eller med et plustegn. Efter disse trin er der kun tilbage at løse hver af de resulterende simple ligninger på det pågældende interval og kombinere de opnåede svar.
Lad os se på denne metode ved hjælp af et specifikt eksempel.
|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.
1) Lad os finde nullerne af udtrykkene i modulerne. For at gøre dette skal vi sidestille dem med nul og løse de resulterende ligninger.
x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0
x = -1 2x = 4 x = -3
2) Placer de resulterende punkter i den ønskede rækkefølge på koordinatlinjen. De vil opdele hele aksen i fire sektioner.
3) Lad os på hver af de resulterende sektioner bestemme tegnene for udtrykkene i modulerne. For at gøre dette erstatter vi alle tal fra de intervaller, der er interessante for os. Hvis resultatet af beregningen er et positivt tal, sætter vi "+" i tabellen, og hvis tallet er negativt, sætter vi "–". Dette kan afbildes sådan: 
4) Nu vil vi løse ligningen på hvert af de fire intervaller, og afsløre modulerne med de fortegn, der er angivet i tabellen. Så lad os se på det første interval:
I-interval (-∞; -3). På den åbnes alle moduler med et "–"-tegn. Vi får følgende ligning:
-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Lad os præsentere lignende udtryk, først åbne parenteserne i den resulterende ligning:
X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6
Det modtagne svar indgår ikke i det betragtede interval, så det er ikke nødvendigt at skrive det i det endelige svar.
II interval [-3; -1). Med dette interval i tabellen er der tegn "–", "–", "+". Det er præcis sådan, vi åbner modulerne i den oprindelige ligning:
-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Lad os forenkle ved at åbne parenteserne:
X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Lad os præsentere lignende i den resulterende ligning:
x = 6/5. Det resulterende tal hører ikke til det undersøgte interval, derfor er det ikke roden af den oprindelige ligning.
III interval [-1; 2). Vi udvider modulerne i den oprindelige ligning med de tegn, der vises i den tredje kolonne i figuren. Vi får:
(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Lad os slippe af med parenteserne og flytte led, der indeholder variablen x til venstre side af ligningen, og dem, der ikke indeholder x til højre. Vi vil have:
x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6
Tallet 2 er ikke inkluderet i det undersøgte interval.
IV interval) – de vil automatisk betragte dette som et forkert svar. Også, når du tester, hvis en ikke-streng ulighed med moduler er givet, så kig efter områder med firkantede parenteser blandt løsningerne.
På intervallet (-3;0), udvider vi modulet, ændrer vi funktionens fortegn til det modsatte 
Under hensyntagen til området for afsløring af ulighed, vil løsningen have formen
Sammen med det foregående område vil dette give to halve intervaller
Eksempel 5. Find en løsning på uligheden
9x^2-|x-3|>=9x-2 
Løsning:
Der gives en ikke-streng ulighed, hvis submodulære funktion er lig med nul i punktet x=3.<3.
For mindre værdier er det negativt, for større værdier er det positivt. Udvid modulet på intervallet x
Finde ligningens diskriminant 
og rødder 
Ved at erstatte punkt nul finder vi ud af, at på intervallet [-1/9;1] er den kvadratiske funktion negativ, derfor er intervallet en løsning. Dernæst udvider vi modulet ved x>3 Matematik,
er et symbol på videnskabens visdom,
en model for videnskabelig stringens og enkelhed
standarden for ekspertise og skønhed inden for videnskab.
Russisk filosof, professor A.V. Voloshinov
Uligheder med modul, De sværeste problemer at løse i skolens matematik er uligheder
indeholdende variable under modultegnet. For at kunne løse sådanne uligheder skal du have et godt kendskab til modulets egenskaber og have evnerne til at bruge dem.
Grundlæggende begreber og egenskaber Modulus (absolut værdi) af et reelt tal betegnet med
og er defineret som følger:
Et moduls simple egenskaber omfatter følgende relationer:
OG . Note,
at de to sidste egenskaber er gyldige for en hvilken som helst lige grad.
Desuden, hvis, hvor, så og, Mere komplekse modulegenskaber, som effektivt kan bruges ved løsning af ligninger og uligheder med moduli
formuleres ud fra følgende teoremer:Sætning 1. Til alle analytiske funktioner Og.
ulighed er sandt Sætning 2. Lighed.
ensbetydende med ulighed Sætning 3. Lighed.
Lighed, De mest almindelige uligheder i skolematematik, indeholdende ukendte variable under modultegnet er uligheder i formen og hvor
en positiv konstant. Sætning 4. Ulighed, svarer til dobbelt ulighedog løsningen på uligheden reducerer til at løse et sæt uligheder
Og .
Denne sætning er et specialtilfælde af sætning 6 og 7., Mere komplekse uligheder der indeholder et modul er uligheder i formen
, Og .
Metoder til at løse sådanne uligheder kan formuleres ved hjælp af følgende tre sætninger. Sætning 5. svarer til kombinationen af to ulighedssystemer
jeg (1)
Bevis. Siden da
Dette indebærer gyldigheden af (1).
Sætning 6. Ulighed svarer til systemet med uligheder
Bevis. fordi, så fra ulighed det følger deraf . Under denne betingelse, ulighedenog i dette tilfælde vil det andet system af uligheder (1) vise sig at være inkonsekvent.
Sætningen er blevet bevist.
Sætning 7. Sætning 5. svarer til kombinationen af en ulighed og to ulighedssystemer
jeg (3)
Bevis. Siden , så uligheden altid henrettet, hvis.
Lade derefter ulighedvil svare til ulighed, hvoraf følger et sæt af to uligheder reducerer til at løse et sæt uligheder
Sætningen er blevet bevist.
Lad os se på typiske eksempler på løsning af problemer om emnet "Uligheder, indeholdende variable under modultegnet."
Løsning af uligheder med modul
Den enkleste metode til at løse uligheder med modul er metoden, baseret på moduludvidelse. Denne metode er universel, i det almindelige tilfælde kan anvendelsen dog føre til meget besværlige beregninger. Derfor bør eleverne kende andre (mere effektive) metoder og teknikker til at løse sådanne uligheder. Især, det er nødvendigt at have færdigheder i at anvende teoremer, givet i denne artikel.
Eksempel 1.Løs ulighed
. (4)
Løsning.Vi vil løse ulighed (4) ved hjælp af den "klassiske" metode - metoden til at afsløre moduler. Til dette formål deler vi talaksen prikker og i intervaller og overvej tre tilfælde.
1. Hvis , så , , , og ulighed (4) tager formen eller .
Da sagen behandles her, er det en løsning på ulighed (4).
2. Hvis, så opnår vi fra ulighed (4). eller . Siden skæringspunktet mellem intervaller Til alle analytiske funktioner er tom, så er der på det betragtede løsningsinterval ingen ulighed (4).
3. Hvis, så antager ulighed (4) formen eller . Det er indlysende er også en løsning på ulighed (4).
Svar: , .
Eksempel 2. Løs ulighed.
Løsning. Lad os antage det. fordi, så tager den givne ulighed formen eller . Siden da og herfra følger det eller .
Dog derfor eller.
Eksempel 3. Løs ulighed
. (5)
Løsning. fordi, så er ulighed (5) lig med ulighederne eller . Herfra, ifølge sætning 4, vi har et sæt uligheder reducerer til at løse et sæt uligheder
Svar: , .
Eksempel 4.Løs ulighed
. (6)
Løsning. Lad os betegne . Så fra ulighed (6) opnår vi ulighederne , , eller .
Herfra, ved hjælp af intervalmetoden, får vi. fordi, så har vi her et system af uligheder
Løsningen på den første ulighed i systemet (7) er foreningen af to intervaller og , og løsningen på den anden ulighed er den dobbelte ulighed. Det følger heraf, at løsningen på ulighedssystemet (7) er foreningen af to intervaller reducerer til at løse et sæt uligheder
svar: ,
Eksempel 5.Løs ulighed
. (8)
Løsning. Lad os transformere ulighed (8) som følger:
Eller .
Brug af intervalmetoden, vi får en løsning på ulighed (8).
Svar: .
Note. Hvis vi sætter og i betingelserne i sætning 5, opnår vi .
Eksempel 6. Løs ulighed
. (9)
Løsning. Af ulighed (9) følger. Lad os transformere ulighed (9) som følger:
Eller
Siden , dengang eller .
Svar: .
Eksempel 7.Løs ulighed
. (10)
Løsning. Siden og , dengang eller .
I denne forbindelse og ulighed (10) tager formen
Eller
. (11)
Det følger at eller . Siden , så indebærer ulighed (11) også eller .
Svar: .
Note. Hvis vi anvender sætning 1 til venstre side af ulighed (10), så får vi . Heraf og ulighed (10) følger det, hvad eller . fordi, så tager uligheden (10) formen eller .
Eksempel 8. Løs ulighed
. (12)
Løsning. Siden da og af ulighed (12) følger det eller . Dog derfor eller. Herfra får vi eller .
Svar: .
Eksempel 9. Løs ulighed
. (13)
Løsning. Ifølge sætning 7 er løsningen på ulighed (13) eller .
Lad det være nu. I så fald og ulighed (13) tager formen eller .
Hvis man kombinerer intervallerne og , så får vi en løsning på formens ulighed (13)..
Eksempel 10. Løs ulighed
. (14)
Løsning. Lad os omskrive ulighed (14) i en tilsvarende form: . Hvis vi anvender sætning 1 til venstre side af denne ulighed, opnår vi uligheden.
Af denne og sætning 1 følger det, at ulighed (14) er opfyldt for alle værdier.
Svar: et hvilket som helst tal.
Eksempel 11. Løs ulighed
. (15)
Løsning. Anvendelse af sætning 1 til venstre side af ulighed (15), får vi . Dette og ulighed (15) giver ligningen, som har formen.
Ifølge sætning 3, ligning Lighed. Herfra får vi.
Eksempel 12.Løs ulighed
. (16)
Løsning. Fra ulighed (16) får vi ifølge sætning 4 et system af uligheder
Når man løser ulighedenLad os bruge sætning 6 og få et system af ulighederhvoraf det følger.
Overvej uligheden. Ifølge sætning 7, vi opnår et sæt uligheder Og . Den anden befolkningsulighed er gyldig for enhver reel.
Derfor, løsningen på ulighed (16) er.
Eksempel 13.Løs ulighed
. (17)
Løsning. Ifølge sætning 1 kan vi skrive
(18)
Under hensyntagen til ulighed (17) konkluderer vi, at begge uligheder (18) bliver til ligheder, dvs. der er et ligningssystem
Ved sætning 3 svarer dette ligningssystem til systemet af uligheder
eller
Eksempel 14.Løs ulighed
. (19)
Løsning. Siden da. Lad os gange begge sider af ulighed (19) med udtrykket , som kun tager positive værdier for nogen værdier. Så får vi en ulighed, der svarer til ulighed (19), af formen
Herfra får vi eller , hvor . Siden og så er løsningen på ulighed (19). reducerer til at løse et sæt uligheder
Svar: , .
For en mere dybdegående undersøgelse af metoder til løsning af uligheder med et modul, anbefaler vi at henvende sig til lærebøger, angivet i listen over anbefalet litteratur.
1. Samling af opgaver i matematik for ansøgere til gymnasier / Udg. M.I. Scanavi. – M.: Fred og Uddannelse, 2013. – 608 s.
2. Suprun V.P. Matematik for gymnasieelever: metoder til at løse og bevise uligheder. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 s.
3. Suprun V.P. Matematik for gymnasieelever: ikke-standardiserede metoder til at løse problemer. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 s.
Har du stadig spørgsmål?
Tilmeld dig for at få hjælp fra en vejleder.
hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.