Lektionens mål:
Didaktisk:
- Niveau 1 – lære at løse de enkleste logaritmiske uligheder ved at bruge definitionen af en logaritme og egenskaberne for logaritmer;
- Niveau 2 – løs logaritmiske uligheder, vælg din egen løsningsmetode;
- Niveau 3 – kunne anvende viden og færdigheder i ikke-standardiserede situationer.
Uddannelsesmæssigt: udvikle hukommelse, opmærksomhed, logisk tænkning, sammenligningsevner, kunne generalisere og drage konklusioner
Uddannelsesmæssigt: opdyrke nøjagtighed, ansvar for den opgave, der udføres, og gensidig bistand.
Undervisningsmetoder: verbal- , visuel , praktisk , delvis søgning , selvstyre , kontrollere.
Organisationsformer for elevernes kognitive aktivitet: frontal , individuel , arbejde i par.
Udstyr: et sæt testopgaver, referencenoter, blanke ark til løsninger.
Lektionstype: lære nyt stof.
Lektionens fremskridt
1. Organisatorisk øjeblik. Lektionens emne og mål, lektionsplanen annonceres: hver elev får udleveret et vurderingsark, som eleven udfylder i løbet af lektionen; for hvert elevpar - trykt materiale med opgaver skal udføres i par; blanke løsningsark; støtteark: definition af logaritme; graf af en logaritmisk funktion, dens egenskaber; egenskaber ved logaritmer; algoritme til løsning af logaritmiske uligheder.
Alle afgørelser efter egenvurdering forelægges underviseren.
Elevens resultatark
2. Opdatering af viden.
Lærerens anvisninger. Husk definitionen af en logaritme, grafen for en logaritmisk funktion og dens egenskaber. For at gøre dette skal du læse teksten på s. 88-90, 98-101 i lærebogen "Algebra and the beginnings of analysis 10-11", redigeret af Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin og andre.
Eleverne får udleveret ark, hvorpå der er skrevet: definitionen af en logaritme; viser en graf over en logaritmisk funktion og dens egenskaber; egenskaber ved logaritmer; algoritme til løsning af logaritmiske uligheder, et eksempel på løsning af en logaritmisk ulighed, der reduceres til en kvadratisk.
3. At studere nyt materiale.
Løsning af logaritmiske uligheder er baseret på monotoniteten af den logaritmiske funktion.
Algoritme til løsning af logaritmiske uligheder:
A) Find definitionsdomænet for uligheden (det sublogaritmiske udtryk er større end nul).
B) Repræsenter (hvis muligt) venstre og højre side af uligheden som logaritmer til samme grundtal.
C) Bestem om den logaritmiske funktion er stigende eller faldende: hvis t>1, så stigende; hvis 0
D) Gå til en enklere ulighed (sublogaritmiske udtryk), idet du tager højde for, at fortegnet for uligheden forbliver det samme, hvis funktionen øges, og vil ændre sig, hvis den falder.
Læringselement #1.
Mål: konsolidere løsningen på de enkleste logaritmiske uligheder
Organiseringsform for elevernes kognitive aktivitet: individuelt arbejde.
Opgaver til selvstændigt arbejde i 10 minutter. For hver ulighed er der flere mulige svar, du skal vælge det rigtige og kontrollere det ved hjælp af tasten.
NØGLE: 13321, maksimalt antal point – 6 point.
Læringselement #2.
Mål: konsolidere løsningen af logaritmiske uligheder ved hjælp af logaritmernes egenskaber.
Lærerens anvisninger. Husk logaritmers grundlæggende egenskaber. For at gøre dette, læs teksten i lærebogen på s. 92, 103–104.
Opgaver til selvstændigt arbejde i 10 minutter.
NØGLE: 2113, maksimalt antal point – 8 point.
Læringselement #3.
Formål: at studere løsningen af logaritmiske uligheder ved metoden reduktion til kvadratisk.
Lærerens instruktioner: metoden til at reducere en ulighed til en andengrad er at transformere uligheden til en sådan form, at en vis logaritmisk funktion betegnes med en ny variabel, hvorved der opnås en kvadratisk ulighed med hensyn til denne variabel.
Lad os bruge intervalmetoden.
Du har bestået det første niveau af mestring af materialet. Nu skal du selvstændigt vælge en metode til løsning af logaritmiske ligninger ved at bruge al din viden og evner.
Læringselement #4.
Mål: konsolidere løsningen på logaritmiske uligheder ved selvstændigt at vælge en rationel løsningsmetode.
Opgaver til selvstændigt arbejde i 10 minutter
Læringselement #5.
Lærerens anvisninger. Godt gået! Du har mestret løsning af ligninger på andet kompleksitetsniveau. Målet med dit videre arbejde er at anvende din viden og færdigheder i mere komplekse og ikke-standardiserede situationer.
Opgaver til selvstændig løsning:
Lærerens anvisninger. Det er fantastisk, hvis du har fuldført hele opgaven. Godt gået!
Karakteren for hele lektionen afhænger af antallet af point opnået for alle uddannelseselementer:
- hvis N ≥ 20, så får du en "5" vurdering,
- for 16 ≤ N ≤ 19 – score "4",
- for 8 ≤ N ≤ 15 – score "3",
- hos N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).
Aflever bedømmelsespapirerne til læreren.
5. Hjemmearbejde: hvis du ikke fik mere end 15 point, arbejd på dine fejl (løsninger kan fås hos læreren), hvis du opnåede mere end 15 point, udfør en kreativ opgave om emnet "Logaritmiske uligheder."
Tror du, at der stadig er tid til Unified State-eksamenen, og at du vil have tid til at forberede dig? Måske er det sådan. Men under alle omstændigheder, jo tidligere eleven begynder at forberede sig, jo mere vellykket består han eksamenerne. I dag besluttede vi at afsætte en artikel til logaritmiske uligheder. Dette er en af opgaverne, som betyder en mulighed for at få ekstra merit.
Ved du allerede, hvad en logaritme er? Det håber vi virkelig. Men selvom du ikke har et svar på dette spørgsmål, er det ikke et problem. Det er meget enkelt at forstå, hvad en logaritme er.
Hvorfor 4? Du skal hæve tallet 3 til denne potens for at få 81. Når du forstår princippet, kan du gå videre til mere komplekse beregninger.
Du gik igennem uligheder for nogle år siden. Og siden da er man konstant stødt på dem i matematikken. Hvis du har problemer med at løse uligheder, så tjek det relevante afsnit.
Nu hvor vi er blevet fortrolige med begreberne individuelt, lad os gå videre til at overveje dem generelt.
Den enkleste logaritmiske ulighed.
De enkleste logaritmiske uligheder er ikke begrænset til dette eksempel, der er tre mere, kun med forskellige fortegn. Hvorfor er dette nødvendigt? For bedre at forstå, hvordan man løser uligheder med logaritmer. Lad os nu give et mere anvendeligt eksempel, stadig ret simpelt, vi lader komplekse logaritmiske uligheder stå til senere.
Hvordan løser man dette? Det hele starter med ODZ. Det er værd at vide mere om det, hvis du altid nemt vil løse enhver ulighed.
Hvad er ODZ? ODZ for logaritmiske uligheder
Forkortelsen står for rækken af acceptable værdier. Denne formulering kommer ofte op i opgaver til Unified State Exam. ODZ vil være nyttig for dig, ikke kun i tilfælde af logaritmiske uligheder.
Se igen på ovenstående eksempel. Vi vil overveje ODZ baseret på det, så du forstår princippet, og løsning af logaritmiske uligheder rejser ikke spørgsmål. Af definitionen af en logaritme følger det, at 2x+4 skal være større end nul. I vores tilfælde betyder det følgende.
Dette tal skal pr. definition være positivt. Løs uligheden præsenteret ovenfor. Dette kan endda gøres mundtligt; her er det klart, at X ikke kan være mindre end 2. Løsningen på uligheden vil være definitionen af rækken af acceptable værdier.
Lad os nu gå videre til at løse den enkleste logaritmiske ulighed.
Vi kasserer selve logaritmerne fra begge sider af uligheden. Hvad står vi tilbage med som resultat? Simpel ulighed.
Det er ikke svært at løse. X skal være større end -0,5. Nu kombinerer vi de to opnåede værdier til et system. Således,
Dette vil være rækken af acceptable værdier for den logaritmiske ulighed, der overvejes.
Hvorfor har vi overhovedet brug for ODZ? Dette er en mulighed for at luge ud i forkerte og umulige svar. Hvis svaret ikke er inden for rækkevidden af acceptable værdier, så giver svaret simpelthen ikke mening. Dette er værd at huske i lang tid, da der i Unified State Examination ofte er behov for at søge efter ODZ, og det vedrører ikke kun logaritmiske uligheder.
Algoritme til løsning af logaritmisk ulighed
Løsningen består af flere faser. Først skal du finde rækken af acceptable værdier. Der vil være to værdier i ODZ, vi diskuterede dette ovenfor. Dernæst skal du løse selve uligheden. Løsningsmetoderne er som følger:
- multiplikatorerstatningsmetode;
- nedbrydning;
- rationaliseringsmetode.
Afhængigt af situationen er det værd at bruge en af ovenstående metoder. Lad os gå direkte til løsningen. Lad os afsløre den mest populære metode, som er egnet til at løse Unified State Examination-opgaver i næsten alle tilfælde. Dernæst vil vi se på nedbrydningsmetoden. Det kan hjælpe, hvis du støder på en særlig vanskelig ulighed. Altså en algoritme til løsning af logaritmisk ulighed.
Eksempler på løsninger :
Det er ikke for ingenting, at vi tog netop denne ulighed! Vær opmærksom på basen. Husk: hvis det er større end én, forbliver tegnet det samme, når man finder intervallet af acceptable værdier; ellers skal du ændre ulighedstegnet.
Som et resultat får vi uligheden:
Nu reducerer vi venstre side til formen af ligningen lig med nul. I stedet for "mindre end"-tegnet sætter vi "lig" og løser ligningen. Således vil vi finde ODZ. Vi håber, at du ikke får problemer med at løse en så simpel ligning. Svarene er -4 og -2. Det er ikke alt. Du skal vise disse punkter på grafen ved at placere "+" og "-". Hvad skal der gøres for dette? Sæt tallene fra intervallerne ind i udtrykket. Hvor værdierne er positive, sætter vi "+" der.
Svar: x må ikke være større end -4 og mindre end -2.
Vi har kun fundet intervallet af acceptable værdier for venstre side; nu skal vi finde intervallet af acceptable værdier for højre side. Dette er meget nemmere. Svar: -2. Vi skærer begge resulterende områder.
Og først nu begynder vi at tage fat på selve uligheden.
Lad os forenkle det så meget som muligt for at gøre det nemmere at løse.
Vi bruger igen intervalmetoden i løsningen. Lad os springe beregningerne over; alt er allerede klart med det fra det forrige eksempel. Svar.
Men denne metode er velegnet, hvis den logaritmiske ulighed har de samme baser.
Løsning af logaritmiske ligninger og uligheder med forskellige baser kræver en indledende reduktion til den samme base. Brug derefter metoden beskrevet ovenfor. Men der er en mere kompliceret sag. Lad os overveje en af de mest komplekse typer af logaritmiske uligheder.
Logaritmiske uligheder med variabel base
Hvordan løser man uligheder med sådanne egenskaber? Ja, og sådanne mennesker kan findes i Unified State Examination. At løse uligheder på følgende måde vil også have en gavnlig effekt på din uddannelsesproces. Lad os se på problemet i detaljer. Lad os kassere teorien og gå direkte til praksis. For at løse logaritmiske uligheder er det nok at gøre dig bekendt med eksemplet én gang.
For at løse en logaritmisk ulighed af den præsenterede form, er det nødvendigt at reducere højre side til en logaritme med samme grundtal. Princippet ligner tilsvarende overgange. Som følge heraf vil uligheden se sådan ud.
Faktisk er der kun tilbage at skabe et system af uligheder uden logaritmer. Ved hjælp af rationaliseringsmetoden går vi videre til et tilsvarende system af uligheder. Du vil forstå selve reglen, når du erstatter de relevante værdier og sporer deres ændringer. Systemet vil have følgende uligheder.
Når du bruger rationaliseringsmetoden ved løsning af uligheder, skal du huske følgende: en skal trækkes fra grundtallet, x, per definition af logaritmen, trækkes fra begge sider af uligheden (højre fra venstre), to udtryk ganges og sat under det oprindelige fortegn i forhold til nul.
Yderligere løsning udføres ved hjælp af intervalmetoden, alt er enkelt her. Det er vigtigt for dig at forstå forskellene i løsningsmetoder, så begynder alt at fungere nemt.
Der er mange nuancer i logaritmiske uligheder. De enkleste af dem er ret nemme at løse. Hvordan kan du løse hver af dem uden problemer? Du har allerede modtaget alle svarene i denne artikel. Nu har du en lang øvelse foran dig. Øv dig konstant i at løse en række problemer i eksamen, og du vil være i stand til at få den højeste score. Held og lykke til dig i din svære opgave!
LOGARITMISKE ULIGHEDER I BRUG
Sechin Mikhail Alexandrovich
Lille Videnskabsakademi for studerende i Republikken Kasakhstan "Iskatel"
MBOU "Sovetskaya Secondary School No. 1", 11. klasse, by. Sovetsky Sovetsky-distriktet
Gunko Lyudmila Dmitrievna, lærer ved den kommunale budgetpædagogiske institution "Sovetskaya Secondary School No. 1"
Sovetsky-distriktet
Formålet med arbejdet: undersøgelse af mekanismen til at løse logaritmiske uligheder C3 ved hjælp af ikke-standardmetoder, identificere interessante fakta om logaritmen.
Forskningsemne:
3) Lær at løse specifikke logaritmiske uligheder C3 ved hjælp af ikke-standardiserede metoder.
Resultater:
Tilfreds
Introduktion……………………………………………………………………………………………….4
Kapitel 1. Problemets historie…………………………………………………………...5
Kapitel 2. Indsamling af logaritmiske uligheder ………………………… 7
2.1. Ækvivalente overgange og den generaliserede metode for intervaller………………… 7
2.2. Rationaliseringsmetode……………………………………………………………………… 15
2.3. Ikke-standard substitution ........................................................................ ............ 22
2.4. Opgaver med fælder………………………………………………………………27
Konklusion……………………………………………………………………………………… 30
Litteratur……………………………………………………………………. 31
Indledning
Jeg går i 11. klasse og planlægger at komme ind på et universitet, hvor kernefaget er matematik. Derfor arbejder jeg meget med problemer i del C. I opgave C3 skal jeg løse en ikke-standardiseret ulighed eller system af uligheder, som regel relateret til logaritmer. Da jeg forberedte mig til eksamen, stod jeg over for problemet med mangel på metoder og teknikker til at løse eksamenslogaritmiske uligheder, der tilbydes i C3. De metoder, der studeres i skolepensum om dette emne, giver ikke grundlag for at løse C3-opgaver. Matematikklæreren foreslog, at jeg arbejdede selvstændigt med C3-opgaver under hendes vejledning. Derudover var jeg interesseret i spørgsmålet: møder vi logaritmer i vores liv?
Med dette for øje blev emnet valgt:
"Logaritmiske uligheder i Unified State-eksamenen"
Formålet med arbejdet: undersøgelse af mekanismen til løsning af C3-problemer ved hjælp af ikke-standardmetoder, identificering af interessante fakta om logaritmen.
Forskningsemne:
1) Find den nødvendige information om ikke-standardiserede metoder til løsning af logaritmiske uligheder.
2) Find yderligere information om logaritmer.
3) Lær at løse specifikke C3-problemer ved hjælp af ikke-standardiserede metoder.
Resultater:
Den praktiske betydning ligger i udvidelsen af apparatet til løsning af C3-problemer. Dette materiale kan bruges i nogle lektioner, til klubber og valgfag i matematik.
Projektproduktet vil være samlingen "C3 Logaritmiske Uligheder med løsninger."
Kapitel 1. Baggrund
Gennem det 16. århundrede steg antallet af omtrentlige beregninger hurtigt, primært inden for astronomi. At forbedre instrumenter, studere planetariske bevægelser og andet arbejde krævede kolossale, nogle gange flerårige, beregninger. Astronomi var i reel fare for at drukne i uopfyldte beregninger. Der opstod vanskeligheder på andre områder, f.eks. i forsikringsbranchen var der behov for tabeller med renters rente for forskellige renter. Den største vanskelighed var multiplikation og division af flercifrede tal, især trigonometriske størrelser.
Opdagelsen af logaritmer var baseret på egenskaberne ved progressioner, som var velkendte i slutningen af det 16. århundrede. Arkimedes talte om sammenhængen mellem vilkårene for den geometriske progression q, q2, q3, ... og den aritmetiske progression af deres eksponenter 1, 2, 3,... i Salmen. En anden forudsætning var udvidelsen af gradbegrebet til negative og brøkeksponenter. Mange forfattere har påpeget, at multiplikation, division, eksponentiering og rodudvinding i geometrisk progression svarer i aritmetik - i samme rækkefølge - addition, subtraktion, multiplikation og division.
Her var ideen om logaritmen som eksponent.
I historien om udviklingen af læren om logaritmer er der gået flere stadier.
Etape 1
Logaritmer blev opfundet senest i 1594 uafhængigt af den skotske baron Napier (1550-1617) og ti år senere af den schweiziske mekaniker Bürgi (1552-1632). Begge ønskede at give et nyt, bekvemt middel til aritmetiske beregninger, selvom de nærmede sig dette problem på forskellige måder. Napier udtrykte kinematisk den logaritmiske funktion og trådte derved ind i et nyt felt af funktionsteori. Bürgi forblev på grundlag af at overveje diskrete progressioner. Definitionen af logaritmen for begge svarer dog ikke til den moderne. Udtrykket "logaritme" (logaritme) tilhører Napier. Det opstod fra en kombination af græske ord: logos - "relation" og ariqmo - "antal", som betød "antal relationer". Til at begynde med brugte Napier et andet udtryk: numeri artificiales - "kunstige tal", i modsætning til numeri naturalts - "naturlige tal".
I 1615, i en samtale med Henry Briggs (1561-1631), en professor i matematik ved Gresh College i London, foreslog Napier at tage nul som logaritmen af en og 100 som logaritmen af ti, eller hvad der svarer til det samme ting, bare 1. Sådan blev decimallogaritmer og De første logaritmiske tabeller udskrevet. Senere blev Briggs' tabeller suppleret af den hollandske boghandler og matematikentusiast Adrian Flaccus (1600-1667). Napier og Briggs, selv om de kom til logaritmer tidligere end alle andre, udgav deres tabeller senere end de andre - i 1620. Tegnene log og Log blev indført i 1624 af I. Kepler. Udtrykket "naturlig logaritme" blev introduceret af Mengoli i 1659 og efterfulgt af N. Mercator i 1668, og London-læreren John Speidel offentliggjorde tabeller over naturlige logaritmer af tal fra 1 til 1000 under navnet "Nye logaritmer".
De første logaritmiske tabeller blev offentliggjort på russisk i 1703. Men i alle logaritmiske tabeller var der regnefejl. De første fejlfrie tabeller blev offentliggjort i 1857 i Berlin, bearbejdet af den tyske matematiker K. Bremiker (1804-1877).
Etape 2
Yderligere udvikling af teorien om logaritmer er forbundet med en bredere anvendelse af analytisk geometri og infinitesimalregning. På det tidspunkt var forbindelsen mellem kvadraturen af en ligesidet hyperbel og den naturlige logaritme blevet etableret. Teorien om logaritmer i denne periode er forbundet med navnene på en række matematikere.
Tysk matematiker, astronom og ingeniør Nikolaus Mercator i sit essay
"Logarithmotechnics" (1668) giver en serie, der giver udvidelsen af ln(x+1) i
potens af x:
Dette udtryk svarer nøjagtig til hans tankegang, selv om han naturligvis ikke brugte tegnene d, ..., men mere besværlig symbolik. Med opdagelsen af den logaritmiske serie ændredes teknikken til beregning af logaritmer: de begyndte at blive bestemt ved hjælp af uendelige rækker. I sine forelæsninger "Elementær matematik fra et højere synspunkt", givet i 1907-1908, foreslog F. Klein at bruge formlen som udgangspunkt for at konstruere teorien om logaritmer.
Etape 3
Definition af en logaritmisk funktion som en invers funktion
eksponentiel, logaritme som eksponent for en given base
blev ikke formuleret med det samme. Essay af Leonhard Euler (1707-1783)
"An Introduction to the Analysis of Infinitesimals" (1748) tjente til at fremme
udvikling af teorien om logaritmiske funktioner. Således,
134 år er gået siden logaritmer blev introduceret første gang
(tæller fra 1614), før matematikere kom til definitionen
logaritmebegrebet, som nu er grundlaget for skoleforløbet.
Kapitel 2. Indsamling af logaritmiske uligheder
2.1. Ækvivalente overgange og den generaliserede metode for intervaller.
Tilsvarende overgange
, hvis en > 1
, hvis 0 < а < 1
Generaliseret intervalmetode
Denne metode er den mest universelle til at løse uligheder af næsten enhver type. Løsningsdiagrammet ser således ud:
1. Bring uligheden til en form, hvor funktionen i venstre side er
, og til højre 0.
2. Find funktionens domæne
.
3. Find funktionens nuller
, altså løs ligningen
(og at løse en ligning er normalt nemmere end at løse en ulighed).
4. Tegn definitionsdomænet og nuller for funktionen på tallinjen.
5. Bestem funktionens tegn
på de opnåede intervaller.
6. Vælg intervaller, hvor funktionen tager de nødvendige værdier og skriv svaret ned.
Eksempel 1.
Løsning:
Lad os anvende intervalmetoden
hvor
For disse værdier er alle udtryk under de logaritmiske fortegn positive.
Svar:
Eksempel 2.
Løsning:
1 vej . ADL er bestemt af ulighed x> 3. At tage logaritmer for sådanne x i base 10, får vi
Den sidste ulighed kunne løses ved at anvende ekspansionsregler, dvs. sammenligner faktorerne med nul. Men i dette tilfælde er det let at bestemme intervallerne for konstant fortegn for funktionen
derfor kan intervalmetoden anvendes.
Fungere f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ er kontinuerlig kl x> 3 og forsvinder på punkter x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Således bestemmer vi intervallerne for konstant fortegn for funktionen f(x):
Svar:
2. metode . Lad os direkte anvende ideerne om intervalmetoden på den oprindelige ulighed.
For at gøre dette skal du huske, at udtrykkene -en b- -en c og ( -en - 1)(b- 1) har ét tegn. Så vores ulighed kl x> 3 svarer til ulighed
eller
Den sidste ulighed løses ved hjælp af intervalmetoden
Svar:
Eksempel 3.
Løsning:
Lad os anvende intervalmetoden
Svar:
Eksempel 4.
Løsning:
Siden 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 for alle reelle x, Det
For at løse den anden ulighed bruger vi intervalmetoden
I den første ulighed laver vi udskiftningen
så kommer vi til uligheden 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, som opfylder uligheden -0,5< y < 1.
Hvorfra, siden
vi får uligheden
som udføres hvornår x, hvortil 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Nu, under hensyntagen til løsningen på systemets anden ulighed, opnår vi endelig
Svar:
Eksempel 5.
Løsning:
Ulighed svarer til en samling af systemer
eller
Lad os bruge intervalmetoden eller
Svar:
Eksempel 6.
Løsning:
Ulighed er lig med system
Lade
Så y > 0,
og den første ulighed
systemet tager form
eller udfolder sig
kvadratisk trinomial faktoriseret,
Anvender intervalmetoden til den sidste ulighed,
vi ser, at dets løsninger opfylder betingelsen y> 0 vil være alle y > 4.
Således er den oprindelige ulighed ækvivalent med systemet:
Så løsningerne på uligheden er alle
2.2. Rationaliseringsmetode.
Tidligere blev ulighed ikke løst ved hjælp af rationaliseringsmetoden, den var ikke kendt. Dette er "en ny moderne effektiv metode til at løse eksponentielle og logaritmiske uligheder" (citat fra bogen af S.I. Kolesnikova)
Og selvom læreren kendte ham, var der en frygt - kender Unified State Exam-eksperten ham, og hvorfor giver de ham ikke i skolen? Der var situationer, hvor læreren sagde til eleven: "Hvor fik du den fra - 2."
Nu promoveres metoden overalt. Og for eksperter er der retningslinjer forbundet med denne metode, og i "Most Complete Editions of Standard Options..." i Løsning C3 bruges denne metode.
VIDUNDERLIG METODE!
"Tryllebord"
I andre kilder
Hvis a >1 og b >1, derefter log a b >0 og (a -1)(b -1)>0;
Hvis a >1 og 0 hvis 0<-en<1 и b
>1, log derefter a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
hvis 0<-en<1 и 00 og (a-1)(b-1)>0. Den udførte begrundelse er enkel, men forenkler løsningen af logaritmiske uligheder betydeligt. Eksempel 4.
log x (x 2 -3)<0
Løsning:
Eksempel 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Løsning: Svar. (0; 0,5)U. Eksempel 6.
For at løse denne ulighed skriver vi i stedet for nævneren (x-1-1)(x-1), og i stedet for tælleren skriver vi produktet (x-1)(x-3-9 + x). Svar :
(3;6)
Eksempel 7.
Eksempel 8.
2.3. Ikke-standard substitution. Eksempel 1.
Eksempel 2.
Eksempel 3.
Eksempel 4.
Eksempel 5.
Eksempel 6.
Eksempel 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Lad os lave erstatningen y=3 x -1; så vil denne ulighed tage form Log 4 log 0,25 Fordi log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , så omskriver vi den sidste ulighed som 2log 4 y -log 4 2 y ≤. Lad os foretage erstatningen t =log 4 y og få uligheden t 2 -2t +≥0, hvis løsning er intervallerne - For at finde værdierne af y har vi således et sæt af to simple uligheder Derfor er den oprindelige ulighed ækvivalent med sættet af to eksponentielle uligheder, Løsningen på den første ulighed i dette sæt er intervallet 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Således er den oprindelige ulighed opfyldt for alle værdier af x fra intervallerne 0<х≤1 и 2≤х<+.
Eksempel 8.
Løsning:
Ulighed er lig med system Løsningen på den anden ulighed, der definerer ODZ'en, vil være sættet af disse x,
for hvilket x > 0.
For at løse den første ulighed laver vi substitutionen Så får vi uligheden eller Sættet af løsninger til den sidste ulighed findes ved metoden intervaller: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, får vi eller Mange af dem x, som tilfredsstiller den sidste ulighed tilhører ODZ ( x> 0), er derfor en løsning på systemet, og deraf den oprindelige ulighed. Svar: 2.4. Opgaver med fælder. Eksempel 1.
.
Løsning. ODZ for uligheden er alle x, der opfylder betingelsen 0 Eksempel 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
.
Løsningen på dette sæt er intervallerne 0<у≤2 и 8≤у<+.
altså aggregater
Konklusion
Det var ikke let at finde specifikke metoder til at løse C3-problemer fra en stor overflod af forskellige undervisningskilder. I løbet af det udførte arbejde var jeg i stand til at studere ikke-standardiserede metoder til løsning af komplekse logaritmiske uligheder. Disse er: ækvivalente overgange og den generaliserede metode til intervaller, metoden til rationalisering , ikke-standard substitution , opgaver med fælder på ODZ. Disse metoder er ikke inkluderet i skolens læseplan.
Ved hjælp af forskellige metoder løste jeg 27 uligheder foreslået på Unified State-eksamenen i del C, nemlig C3. Disse uligheder med løsninger ved metoder dannede grundlaget for samlingen "C3 Logaritmiske uligheder med løsninger", som blev et projektprodukt af min aktivitet. Den hypotese, jeg stillede i starten af projektet, blev bekræftet: C3-problemer kan løses effektivt, hvis du kender disse metoder.
Derudover opdagede jeg interessante fakta om logaritmer. Det var interessant for mig at gøre dette. Mine projektprodukter vil være nyttige for både elever og lærere.
Konklusioner:
Dermed er projektets mål nået, og problemet er løst. Og jeg fik den mest komplette og varierede oplevelse af projektaktiviteter på alle stadier af arbejdet. Mens jeg arbejdede på projektet, var min primære udviklingsmæssige indflydelse på mental kompetence, aktiviteter relateret til logiske mentale operationer, udvikling af kreativ kompetence, personligt initiativ, ansvar, vedholdenhed og aktivitet.
En garanti for succes ved oprettelse af et forskningsprojekt for Jeg fik: betydelig skoleerfaring, evnen til at få information fra forskellige kilder, kontrollere dens pålidelighed og rangordne den efter vigtighed.
Udover direkte fagkundskab i matematik udvidede jeg mine praktiske kompetencer inden for datalogi, fik ny viden og erfaring inden for psykologi, etablerede kontakter til klassekammerater og lærte at samarbejde med voksne. Under projektaktiviteterne blev organisatoriske, intellektuelle og kommunikative almenpædagogiske færdigheder udviklet.
Litteratur
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Ulighedssystemer med en variabel (standardopgaver C3).
2. Malkova A. G. Forberedelse til Unified State Examen i Matematik.
3. Samarova S. S. Løsning af logaritmiske uligheder.
4. Matematik. Samling af træningsværker redigeret af A.L. Semenov og I.V. Jasjtjenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-
Logaritmiske uligheder
I tidligere lektioner har vi stiftet bekendtskab med logaritmiske ligninger, og nu ved vi, hvad de er, og hvordan vi løser dem. Dagens lektion vil blive afsat til studiet af logaritmiske uligheder. Hvad er disse uligheder, og hvad er forskellen mellem at løse en logaritmisk ligning og en ulighed?
Logaritmiske uligheder er uligheder, der har en variabel, der vises under logaritmetegnet eller ved sin base.
Eller vi kan også sige, at en logaritmisk ulighed er en ulighed, hvor dens ukendte værdi, som i en logaritmisk ligning, vil fremstå under logaritmens fortegn.
De enkleste logaritmiske uligheder har følgende form:
hvor f(x) og g(x) er nogle udtryk, der afhænger af x.
Lad os se på dette ved at bruge dette eksempel: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Løsning af logaritmiske uligheder
Før du løser logaritmiske uligheder, er det værd at bemærke, at når de er løst, ligner de eksponentielle uligheder, nemlig:
For det første, når vi går fra logaritmer til udtryk under logaritmetegnet, skal vi også sammenligne logaritmens basis med en;
For det andet, når vi løser en logaritmisk ulighed ved hjælp af en ændring af variable, skal vi løse uligheder med hensyn til ændringen, indtil vi får den enkleste ulighed.
Men du og jeg har overvejet lignende aspekter af løsning af logaritmiske uligheder. Lad os nu være opmærksomme på en ret væsentlig forskel. Du og jeg ved, at den logaritmiske funktion har et begrænset definitionsdomæne, derfor skal vi, når vi går fra logaritmer til udtryk under logaritmetegnet, tage højde for rækkevidden af tilladte værdier (ADV).
Det vil sige, at det skal tages i betragtning, at når du løser en logaritmisk ligning, kan du og jeg først finde ligningens rødder, og derefter tjekke denne løsning. Men at løse en logaritmisk ulighed vil ikke fungere på denne måde, da at gå fra logaritmer til udtryk under logaritmetegnet, vil det være nødvendigt at nedskrive ulighedens ODZ.
Derudover er det værd at huske på, at teorien om uligheder består af reelle tal, som er positive og negative tal, samt tallet 0.
For eksempel, når tallet "a" er positivt, skal du bruge følgende notation: a >0. I dette tilfælde vil både summen og produktet af disse tal også være positive.
Hovedprincippet for at løse en ulighed er at erstatte den med en enklere ulighed, men hovedsagen er, at den svarer til den givne. Yderligere opnåede vi også en ulighed og erstattede den igen med en, der har en enklere form osv.
Når du løser uligheder med en variabel, skal du finde alle dens løsninger. Hvis to uligheder har den samme variabel x, så er sådanne uligheder ækvivalente, forudsat at deres løsninger er sammenfaldende.
Når du udfører opgaver med at løse logaritmiske uligheder, skal du huske, at når a > 1, så stiger den logaritmiske funktion, og når 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Metoder til løsning af logaritmiske uligheder
Lad os nu se på nogle af de metoder, der finder sted, når man løser logaritmiske uligheder. For bedre forståelse og assimilering vil vi forsøge at forstå dem ved hjælp af specifikke eksempler.
Vi ved alle, at den enkleste logaritmiske ulighed har følgende form:
I denne ulighed er V – et af følgende ulighedstegn:<,>, ≤ eller ≥.
Når bunden af en given logaritme er større end én (a>1), hvilket gør overgangen fra logaritmer til udtryk under logaritmetegnet, så er ulighedstegnet i denne version bevaret, og uligheden vil have følgende form:
som svarer til dette system: