Reduktion af brøker til en ny nævner - regler og eksempler. Reduktion af brøker til den laveste fællesnævner, regel, eksempler, løsninger

Når man adderer og subtraherer algebraiske brøker med forskellige nævnere, fører brøkerne først til fællesnævner. Det betyder, at de finder én nævner, der er divideret med den oprindelige nævner af hver algebraisk brøk, der indgår i det givne udtryk.

Som du ved, hvis tælleren og nævneren for en brøk ganges (eller divideres) med det samme tal bortset fra nul, ændres brøkens værdi ikke. Dette er hovedegenskaben ved en brøk. Derfor, når brøker reduceres til en fællesnævner, multiplicerer de i det væsentlige den oprindelige nævner af hver brøk med den manglende faktor for at opnå en fællesnævner. I dette tilfælde skal du gange brøkens tæller med denne faktor (den er forskellig for hver brøk).

For eksempel givet følgende sum af algebraiske brøker:

Det er nødvendigt at forenkle udtrykket, det vil sige tilføje to algebraiske brøker. For at gøre dette skal du først og fremmest bringe brøkleddet til en fællesnævner. Det første skridt er at finde et monomial, der er deleligt med både 3x og 2y. I dette tilfælde er det ønskeligt, at det er det mindste, det vil sige finde det mindste fælles multiplum (LCM) for 3x og 2y.

For numeriske koefficienter og variable søges LCM separat. LCM(3, 2) = 6, og LCM(x, y) = xy. Derefter ganges de fundne værdier: 6xy.

Nu skal vi bestemme med hvilken faktor vi skal gange 3x for at få 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Det betyder, at når man reducerer den første algebraiske brøk til en fællesnævner, skal dens tæller ganges med 2y (nævneren er allerede blevet ganget, når man reducerer til en fællesnævner). Multiplikatoren for tælleren for den anden brøk søges på samme måde. Det vil være lig med 3x.

Således får vi:

Så kan du agere som med brøker med identiske nævnere: læg tællerne sammen, og skriv én fællesnævner:

Efter transformationerne opnås et forenklet udtryk, som er én algebraisk brøk, som er summen af ​​de to oprindelige:

Algebraiske brøker i det oprindelige udtryk kan indeholde nævnere, der er polynomier i stedet for monomer (som i eksemplet ovenfor). I dette tilfælde, før du søger efter en fællesnævner, bør du faktorisere nævnerne (hvis det er muligt). Dernæst samles fællesnævneren ud fra forskellige faktorer. Hvis multiplikatoren er i flere oprindelige nævnere, tages den én gang. Hvis multiplikatoren har forskellige potenser i de oprindelige nævnere, tages den med den største. For eksempel:

Her kan polynomiet a 2 – b 2 repræsenteres som produktet (a – b)(a + b). Faktoren 2a – 2b udvides til 2(a – b). Fællesnævneren vil således være 2(a – b)(a + b).

Jeg ønskede oprindeligt at inkludere fællesnævnerteknikker i afsnittet om at tilføje og trække brøker fra. Men der viste sig at være så meget information, og dens betydning er så stor (trods alt har ikke kun numeriske brøker fællesnævnere), at det er bedre at studere dette spørgsmål separat.

Så lad os sige, at vi har to brøker med forskellige nævnere. Og vi vil gerne sikre os, at nævnerne bliver de samme. Den grundlæggende egenskab ved en brøk kommer til undsætning, som, lad mig minde dig om, lyder sådan her:

En brøk vil ikke ændre sig, hvis dens tæller og nævner ganges med det samme tal bortset fra nul.

Hvis man vælger faktorerne rigtigt, bliver brøkernes nævnere således lige store – denne proces kaldes reduktion til en fællesnævner. Og de nødvendige tal, "udligner" nævnerne, kaldes yderligere faktorer.

Hvorfor skal vi reducere brøker til en fællesnævner? Her er blot et par grunde:

1. Addere og trække brøker med forskellige nævnere. Der er ingen anden måde at udføre denne operation på;
2. Sammenligning af brøker. Nogle gange forenkler reduktion til en fællesnævner denne opgave i høj grad;
3. Løsning af problemer, der involverer brøker og procenter. Procentdele er i det væsentlige almindelige udtryk, der indeholder brøker.

Der er mange måder at finde tal på, som, når de ganges med dem, vil gøre nævnerne af brøker ens. Vi vil kun overveje tre af dem - i rækkefølge efter stigende kompleksitet og i en vis forstand effektivitet.

Multiplikation på kryds og tværs

Den enkleste og mest pålidelige metode, som med garanti vil udligne nævnerne. Vi vil handle "på hovedet": vi multiplicerer den første brøk med nævneren af ​​den anden brøk, og den anden med nævneren i den første. Som et resultat vil nævnerne af begge brøker blive lig med produktet af de oprindelige nævnere. Tag et kig:

Som yderligere faktorer skal du overveje nævnerne af nabobrøker. Vi får:

Ja, så enkelt er det. Hvis du lige er begyndt at studere brøker, er det bedre at arbejde med denne metode - på denne måde sikrer du dig mod mange fejl og får med garanti resultatet.

Den eneste ulempe ved denne metode er, at du skal tælle meget, fordi nævnerne ganges "hele vejen", og resultatet kan blive meget store tal. Dette er prisen, man skal betale for pålidelighed.

Fælles Divisor-metode

Denne teknik hjælper med at reducere beregninger betydeligt, men den bruges desværre ret sjældent. Metoden er som følger:

1. Før du går ligeud (dvs. ved at bruge kryds og tværs-metoden), skal du tage et kig på nævnerne. Måske er den ene af dem (den der er større) opdelt i den anden.
2. Tallet fra denne division vil være en ekstra faktor for brøken med en mindre nævner.
3. I dette tilfælde skal en brøk med en stor nævner slet ikke ganges med noget – det er her besparelsen ligger. Samtidig er sandsynligheden for fejl kraftigt reduceret.

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykkene:

Bemærk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da den ene nævner i begge tilfælde er divideret uden en rest med den anden, bruger vi metoden med fælles faktorer. Vi har:

Bemærk, at den anden brøk ikke blev ganget med noget overhovedet. Faktisk halverede vi mængden af ​​beregninger!

Jeg tog i øvrigt ikke brøkerne i dette eksempel tilfældigt. Hvis du er interesseret, så prøv at tælle dem ved at bruge kryds- og tværs-metoden. Efter reduktion vil svarene være de samme, men der vil være meget mere arbejde.

Dette er den fælles divisormetodes magt, men igen, den kan kun bruges, når en af ​​nævnerne er delelig med den anden uden en rest. Hvilket sker ret sjældent.

Mindst almindelig multiple metode

Når vi reducerer brøker til en fællesnævner, forsøger vi i det væsentlige at finde et tal, der er deleligt med hver af nævnerne. Så bringer vi nævnerne af begge brøker til dette tal.

Der er mange af sådanne tal, og det mindste af dem vil ikke nødvendigvis være lig med det direkte produkt af nævnerne af de oprindelige brøker, som det antages i "kryds-kryds"-metoden.

For eksempel, for nævnere 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, da 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Dette tal er meget mindre end produktet 8 · 12 = 96.

Det mindste tal, der er deleligt med hver af nævnerne, kaldes deres mindste fælles multiplum (LCM).

Notation: Det mindste fælles multiplum af a og b er angivet med LCM(a ; b) . For eksempel, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Hvis det lykkes dig at finde et sådant tal, vil den samlede mængde af beregninger være minimal. Se på eksemplerne:

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykkene:

Bemærk at 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen fælles faktorer udover 1), og faktor 117 er fælles. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Ligeledes 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er fælles. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Lad os nu bringe brøkerne til fællesnævnere:

Læg mærke til, hvor nyttigt det var at faktorisere de oprindelige nævnere:

1. Efter at have opdaget identiske faktorer, nåede vi straks frem til det mindste fælles multiplum, hvilket generelt set er et ikke-trivielt problem;
2. Fra den resulterende udvidelse kan du finde ud af, hvilke faktorer der "mangler" i hver brøk. For eksempel er 234 · 3 = 702, derfor er den ekstra faktor 3 for den første brøk.

For at forstå, hvor stor en forskel den mindst almindelige multiple-metode gør, kan du prøve at beregne de samme eksempler ved hjælp af kryds- og tværs-metoden. Selvfølgelig uden lommeregner. Jeg tror, ​​at kommentarer efter dette vil være unødvendige.

Tro ikke, at der ikke vil være så komplekse brøker i de rigtige eksempler. De mødes hele tiden, og ovenstående opgaver er ikke grænsen!

Det eneste problem er, hvordan man finder netop denne NOC. Nogle gange kan alt findes på få sekunder, bogstaveligt talt "ved øjet", men generelt er dette en kompleks beregningsopgave, der kræver separat overvejelse. Det vil vi ikke komme ind på her.

Nævneren for den aritmetiske brøk a/b er tallet b, som viser størrelsen af ​​brøkerne af en enhed, som brøken er sammensat af. Nævneren af ​​en algebraisk brøk A/B er det algebraiske udtryk B. For at udføre regneoperationer med brøker skal de reduceres til den laveste fællesnævner.

Du skal bruge

• For at arbejde med algebraiske brøker og finde den laveste fællesnævner skal du vide, hvordan du faktoriserer polynomier.

Instruktioner

Lad os overveje at reducere to aritmetiske brøker n/m og s/t til den mindste fællesnævner, hvor n, m, s, t er heltal. Det er klart, at disse to brøker kan reduceres til en hvilken som helst nævner, der kan divideres med m og t. Men de forsøger at føre til den laveste fællesnævner. Det er lig med det mindste fælles multiplum af nævnerne m og t af de givne brøker. Det mindste multiplum (LMK) af et tal er det mindste, der er deleligt med alle givne tal på samme tid. Dem. i vores tilfælde skal vi finde det mindste fælles multiplum af tallene m og t. Betegnes som LCM (m, t). Dernæst ganges brøkerne med de tilsvarende: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Lad os finde den laveste fællesnævner af tre brøker: 4/5, 7/8, 11/14. Lad os først udvide nævnerne 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Beregn derefter LCM (5, 8, 14) ved at gange alle numre inkluderet i mindst én af udvidelserne. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Bemærk, at hvis en faktor opstår i udvidelsen af ​​flere tal (faktor 2 i udvidelsen af ​​nævnere 8 og 14), så tager vi faktoren til i højere grad (2^3 i vores tilfælde).

Så den generelle er modtaget. Det er lig med 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Her får vi de tal, som vi skal gange brøkerne med de tilsvarende nævnere for at bringe dem til den laveste fællesnævner. Vi får 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Reduktion af algebraiske brøker til den laveste fællesnævner udføres i analogi med aritmetiske. For klarhedens skyld, lad os se på problemet ved hjælp af et eksempel. Lad to brøker (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) og (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) være givet. Lad os faktorisere begge nævnere. Bemærk, at nævneren for den første brøk er et perfekt kvadrat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. For

For at løse eksempler med brøker skal du kunne finde den laveste fællesnævner. Nedenfor er detaljerede instruktioner.

Sådan finder du den laveste fællesnævner - koncept

Den mindste fællesnævner (LCD), i enkle ord, er det mindste antal, der er deleligt med nævnerne af alle brøker i et givet eksempel. Med andre ord kaldes det Least Common Multiple (LCM). NOS bruges kun, hvis nævnerne af brøkerne er forskellige.

Sådan finder du den laveste fællesnævner - eksempler

Lad os se på eksempler på at finde NOC'er.

Beregn: 3/5 + 2/15.

Løsning (handlingssekvens):

• Vi ser på brøkernes nævnere, sikrer os, at de er forskellige, og at udtrykkene er så forkortede som muligt.
• Vi finder det mindste tal, der er deleligt med både 5 og 15. Dette tal vil være 15. Således er 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Vi fandt ud af nævneren. Hvad vil der stå i tælleren? En ekstra multiplikator vil hjælpe os med at finde ud af dette. En yderligere faktor er tallet opnået ved at dividere NZ med nævneren af ​​en bestemt brøk. For 3/5 er tillægsfaktoren 3, da 15/5 = 3. For den anden brøk er tillægsfaktoren 1, da 15/15 = 1.
• Efter at have fundet ud af den ekstra faktor, multiplicerer vi den med tællere af brøkerne og tilføjer de resulterende værdier. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Svar: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Hvis der i eksemplet ikke lægges til eller trækkes fra 2, men 3 eller flere brøker, så skal NCD søges efter så mange brøker, som er givet.

Beregn: 1/2 – 5/12 + 3/6

Løsning (handlingssekvens):

• At finde den laveste fællesnævner. Det mindste antal deleligt med 2, 12 og 6 er 12.
• Vi får: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Vi leder efter yderligere multiplikatorer. For 1/2 – 6; for 5/12 – 1; for 3/6 – 2.
• Vi multiplicerer med tællere og tildeler de tilsvarende fortegn: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Svar: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.