Praktisk anvendelse af direkte og omvendt proportional afhængighed. Direkte og omvendt proportionalitet

I dag vil vi se på, hvilke mængder der kaldes omvendt proportional, hvordan en omvendt proportionalitetsgraf ser ud, og hvordan alt dette kan være nyttigt for dig ikke kun i matematiktimerne, men også uden for skolen.

Så forskellige proportioner

Proportionalitet Nævn to størrelser, der er gensidigt afhængige af hinanden.

Afhængigheden kan være direkte og omvendt. Følgelig beskrives forholdet mellem mængder ved direkte og omvendt proportionalitet.

Direkte proportionalitet- dette er et sådant forhold mellem to mængder, hvor en stigning eller et fald i den ene af dem fører til en stigning eller et fald i den anden. Dem. deres holdning ændrer sig ikke.

For eksempel, jo mere kræfter du lægger i at læse til eksamen, jo højere karakterer. Eller jo flere ting du tager med dig på en vandretur, jo tungere bliver din rygsæk at bære. Dem. Mængden af ​​indsats, der bruges på at forberede sig til eksamen, er direkte proportional med de opnåede karakterer. Og antallet af ting pakket i en rygsæk er direkte proportional med dens vægt.

Omvendt proportionalitet– dette er en funktionel afhængighed, hvor et fald eller stigning flere gange i en uafhængig værdi (det kaldes et argument) forårsager en proportional (dvs. det samme antal gange) stigning eller fald i en afhængig værdi (det kaldes en fungere).

Lad os illustrere med et simpelt eksempel. Du vil købe æbler på markedet. Æblerne på disken og mængden af ​​penge i din tegnebog er i omvendt proportion. Dem. Jo flere æbler du køber, jo færre penge har du tilbage.

Funktion og dens graf

Den omvendte proportionalitetsfunktion kan beskrives som y = k/x. I hvilken x≠ 0 og k≠ 0.

Denne funktion har følgende egenskaber:

1. Dens definitionsdomæne er mængden af ​​alle reelle tal undtagen x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Området er alle reelle tal undtagen y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Har ikke maksimum- eller minimumværdier.
4. Den er ulige, og dens graf er symmetrisk om oprindelsen.
5. Ikke-periodisk.
6. Dens graf skærer ikke koordinatakserne.
7. Har ingen nuller.
8. Hvis k> 0 (dvs. argumentet stiger), falder funktionen proportionalt på hvert af sine intervaller. Hvis k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Efterhånden som argumentet øges ( k> 0) negative værdier af funktionen er i intervallet (-∞; 0), og positive værdier er i intervallet (0; +∞). Når argumentet falder ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Grafen for en omvendt proportionalitetsfunktion kaldes en hyperbel. Vist som følger:

Omvendt proportionalitetsproblemer

For at gøre det klarere, lad os se på flere opgaver. De er ikke for komplicerede, og at løse dem vil hjælpe dig med at visualisere, hvad omvendt proportionalitet er, og hvordan denne viden kan være nyttig i din hverdag.

Opgave nr. 1. En bil kører med en hastighed på 60 km/t. Det tog ham 6 timer at nå til sin destination. Hvor lang tid vil det tage ham at tilbagelægge den samme afstand, hvis han bevæger sig med dobbelt hastighed?

Vi kan starte med at nedskrive en formel, der beskriver sammenhængen mellem tid, distance og hastighed: t = S/V. Enig, det minder os meget om den omvendte proportionalitetsfunktion. Og det indikerer, at den tid, en bil bruger på vejen, og den hastighed, den bevæger sig med, er i omvendt proportion.

For at verificere dette, lad os finde V 2, som ifølge betingelsen er 2 gange højere: V 2 = 60 * 2 = 120 km/t. Derefter beregner vi afstanden ved hjælp af formlen S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nu er det ikke svært at finde ud af den tid t 2, der kræves af os i henhold til betingelserne for problemet: t 2 = 360/120 = 3 timer.

Som du kan se, er rejsetid og hastighed faktisk omvendt proportional: Ved en hastighed, der er 2 gange højere end den oprindelige hastighed, vil bilen bruge 2 gange mindre tid på vejen.

Løsningen på dette problem kan også skrives som en proportion. Så lad os først lave dette diagram:

↓ 60 km/t – 6 timer

↓120 km/t – x t

Pile angiver et omvendt proportionalt forhold. De foreslår også, at når man opstiller en proportion, skal højre side af posten vendes: 60/120 = x/6. Hvor får vi x = 60 * 6/120 = 3 timer.

Opgave nr. 2. Værkstedet beskæftiger 6 arbejdere, som kan udføre en given mængde arbejde på 4 timer. Hvis antallet af arbejdere halveres, hvor lang tid vil det så tage de resterende arbejdere at udføre den samme mængde arbejde?

Lad os nedskrive betingelserne for problemet i form af et visuelt diagram:

↓ 6 arbejdere – 4 timer

↓ 3 arbejdere – x t

Lad os skrive dette som en proportion: 6/3 = x/4. Og vi får x = 6 * 4/3 = 8 timer Hvis der er 2 gange færre arbejdere, vil de resterende bruge 2 gange mere tid på alt arbejdet.

Opgave nr. 3. Der er to rør, der fører ind i poolen. Gennem det ene rør strømmer vandet med en hastighed på 2 l/s og fylder bassinet på 45 minutter. Gennem et andet rør fyldes poolen på 75 minutter. Med hvilken hastighed kommer vandet ind i poolen gennem dette rør?

Til at begynde med, lad os reducere alle de mængder, der er givet os i henhold til problemets betingelser, til de samme måleenheder. For at gøre dette udtrykker vi hastigheden for at fylde poolen i liter pr. minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Da det følger af betingelsen, at bassinet fyldes langsommere gennem det andet rør, betyder det, at vandstrømningshastigheden er lavere. Proportionaliteten er omvendt. Lad os udtrykke den ukendte hastighed gennem x og tegne følgende diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Og så laver vi forholdet: 120/x = 75/45, hvorfra x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

I opgaven er påfyldningshastigheden af ​​poolen udtrykt i liter pr. sekund, lad os reducere svaret, vi modtog, til samme form: 72/60 = 1,2 l/s.

Opgave nr. 4. Et lille privat trykkeri trykker visitkort. En trykkerimedarbejder arbejder med en hastighed på 42 visitkort i timen og arbejder en hel dag - 8 timer. Hvis han arbejdede hurtigere og printede 48 visitkort på en time, hvor meget tidligere kunne han så gå hjem?

Vi følger den gennemprøvede sti og tegner et diagram i henhold til betingelserne for problemet, der angiver den ønskede værdi som x:

↓ 42 visitkort/time – 8 timer

↓ 48 visitkort/t – x t

Vi har et omvendt proportionalt forhold: antallet af gange flere visitkort en medarbejder i et trykkeri udskriver i timen, det samme antal gange kortere tid, han skal bruge til at udføre det samme arbejde. Når vi ved dette, så lad os skabe en proportion:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 timer.

Efter at have udført arbejdet på 7 timer, kunne trykkeriets medarbejdere således gå hjem en time tidligere.

Konklusion

Det forekommer os, at disse omvendte proportionalitetsproblemer er virkelig simple. Vi håber, at du nu også tænker på dem på den måde. Og det vigtigste er, at viden om den omvendt proportionelle afhængighed af mængder virkelig kan være nyttig for dig mere end én gang.

Ikke kun i matematiktimer og eksamener. Men selv da, når du gør dig klar til at tage på tur, shoppe, beslutter dig for at tjene lidt ekstra penge i ferien osv.

Fortæl os i kommentarerne, hvilke eksempler på omvendte og direkte proportionale forhold du bemærker omkring dig. Lad det være sådan et spil. Du vil se, hvor spændende det er. Glem ikke at dele denne artikel på sociale netværk, så dine venner og klassekammerater også kan spille.

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

Proportionalitet er et forhold mellem to størrelser, hvor en ændring i den ene af dem medfører en ændring i den anden med samme mængde.

Proportionalitet kan være direkte eller omvendt. I denne lektion vil vi se på hver af dem.

Lektionens indhold

Direkte proportionalitet

Lad os antage, at bilen bevæger sig med en hastighed på 50 km/t. Vi husker, at hastighed er den tilbagelagte distance pr. tidsenhed (1 time, 1 minut eller 1 sekund). I vores eksempel bevæger bilen sig med en hastighed på 50 km/t, det vil sige på en time vil den tilbagelægge en afstand på halvtreds kilometer.

Lad os i figuren skildre afstanden, som bilen har rejst på 1 time.

Lad bilen køre endnu en time med samme hastighed på halvtreds kilometer i timen. Så viser det sig, at bilen skal køre 100 km

Som det fremgår af eksemplet, førte en fordobling af tiden til en stigning i den tilbagelagte distance med samme mængde, det vil sige to gange.

Størrelser som tid og afstand kaldes direkte proportionale. Og forholdet mellem sådanne mængder kaldes direkte proportionalitet.

Direkte proportionalitet er forholdet mellem to mængder, hvor en stigning i den ene af dem medfører en stigning i den anden med samme mængde.

og omvendt, hvis en mængde falder et vist antal gange, så falder den anden med det samme antal gange.

Lad os antage, at den oprindelige plan var at køre en bil 100 km på 2 timer, men efter at have kørt 50 km besluttede chaufføren at hvile sig. Så viser det sig, at ved at reducere afstanden til det halve, vil tiden falde med det samme. Med andre ord vil en reduktion af den tilbagelagte afstand føre til et fald i tid med samme mængde.

Et interessant træk ved direkte proportionale mængder er, at deres forhold altid er konstant. Det vil sige, når værdierne af direkte proportionale mængder ændres, forbliver deres forhold uændret.

I det betragtede eksempel var afstanden oprindeligt 50 km, og tiden var en time. Forholdet mellem afstand og tid er tallet 50.

Men vi øgede rejsetiden med 2 gange, så den svarer til to timer. Som et resultat steg den tilbagelagte afstand med samme mængde, det vil sige, at den blev lig med 100 km. Forholdet mellem hundrede kilometer og to timer er igen tallet 50

Nummeret 50 kaldes koefficient for direkte proportionalitet. Den viser, hvor meget afstand der er pr. times bevægelse. I dette tilfælde spiller koefficienten rollen som bevægelseshastighed, da hastighed er forholdet mellem den tilbagelagte afstand og tiden.

Proportioner kan laves ud fra direkte proportionale mængder. For eksempel udgør forholdet andelen:

Halvtreds kilometer er til en time, som hundrede kilometer er til to timer.

Eksempel 2. Omkostningerne og mængden af ​​købte varer er direkte proportionale. Hvis 1 kg slik koster 30 rubler, koster 2 kg af de samme slik 60 rubler, 3 kg 90 rubler. Efterhånden som prisen på et købt produkt stiger, stiger dets mængde med det samme beløb.

Da prisen på et produkt og dets mængde er direkte proportionale mængder, er deres forhold altid konstant.

Lad os skrive ned, hvad er forholdet mellem tredive rubler og et kilogram

Lad os nu skrive ned, hvad forholdet mellem tres rubler og to kilo er. Dette forhold vil igen være lig med tredive:

Her er koefficienten for direkte proportionalitet tallet 30. Denne koefficient viser, hvor mange rubler der er pr. kg slik. I dette eksempel spiller koefficienten rollen som prisen på et kg varer, da prisen er forholdet mellem varens omkostninger og mængden.

Omvendt proportionalitet

Overvej følgende eksempel. Afstanden mellem de to byer er 80 km. Motorcyklisten forlod den første by og nåede med en hastighed på 20 km/t den anden by på 4 timer.

Hvis en motorcyklists hastighed var 20 km/t, betyder det, at han hver time tilbagelagde en strækning på tyve kilometer. Lad os i figuren afbilde den afstand, motorcyklisten har tilbagelagt, og tidspunktet for hans bevægelse:

På tilbagevejen var motorcyklistens hastighed 40 km/t, og han brugte 2 timer på samme rejse.

Det er let at bemærke, at når hastigheden ændres, ændres bevægelsestidspunktet med samme mængde. Desuden ændrede det sig i den modsatte retning - det vil sige, hastigheden steg, men tiden faldt tværtimod.

Størrelser som hastighed og tid kaldes omvendt proportional. Og forholdet mellem sådanne mængder kaldes omvendt proportionalitet.

Omvendt proportionalitet er forholdet mellem to mængder, hvor en stigning i den ene af dem medfører et fald i den anden med samme mængde.

og omvendt, hvis en mængde falder et vist antal gange, så stiger den anden med det samme antal gange.

For eksempel, hvis motorcyklistens hastighed på tilbagevejen var 10 km/t, så ville han tilbagelægge de samme 80 km på 8 timer:

Som det kan ses af eksemplet, førte et fald i hastigheden til en forøgelse af bevægelsestiden med samme mængde.

Det særlige ved omvendt proportionale mængder er, at deres produkt altid er konstant. Det vil sige, når værdierne af omvendt proportionale mængder ændres, forbliver deres produkt uændret.

I det betragtede eksempel var afstanden mellem byer 80 km. Når motorcyklistens hastighed og bevægelsestid ændrede sig, forblev denne afstand altid uændret

En motorcyklist kunne køre denne distance med en hastighed på 20 km/t på 4 timer og med en hastighed på 40 km/t på 2 timer og med en hastighed på 10 km/t på 8 timer. I alle tilfælde var produktet af hastighed og tid lig med 80 km

Kunne du lide lektionen?
Tilmeld dig vores nye VKontakte-gruppe og begynd at modtage meddelelser om nye lektioner

Færdiggjort af: Chepkasov Rodion

6. klasses elev

MBOU "Secondary School No. 53"

Barnaul

Leder: Bulykina O.G.

matematiklærer

MBOU "Secondary School No. 53"

Barnaul

Indledning. 1

Relationer og proportioner. 3

Direkte og omvendte proportionale sammenhænge. 4

Anvendelse af direkte og omvendt proportional 6

afhængigheder ved løsning af forskellige problemer.

Konklusion. 11

Litteratur. 12

Indledning.

Ordet proportion kommer fra det latinske ord proportion, som generelt betyder proportionalitet, justering af dele (et bestemt forhold mellem dele til hinanden). I oldtiden blev læren om proportioner holdt højt af pythagoræerne. Med proportioner forbandt de tanker om orden og skønhed i naturen, om konsonantakkorder i musik og harmoni i universet. De kaldte nogle typer proportioner for musikalske eller harmoniske.

Selv i oldtiden opdagede mennesket, at alle fænomener i naturen er forbundet med hinanden, at alt er i kontinuerlig bevægelse, forandring og, når det udtrykkes i tal, afslører fantastiske mønstre.

Pythagoræerne og deres tilhængere søgte et numerisk udtryk for alt i verden. De opdagede; at matematiske proportioner ligger til grund for musik (forholdet mellem strengens længde og tonehøjden, forholdet mellem intervaller, forholdet mellem lyde i akkorder, der giver en harmonisk lyd). Pythagoræerne forsøgte matematisk at underbygge ideen om verdens enhed og argumenterede for, at universets grundlag var symmetriske geometriske former. Pythagoræerne søgte et matematisk grundlag for skønhed.

Efter pythagoræerne kaldte middelalderforskeren Augustin skønhed for "numerisk lighed". Den skolastiske filosof Bonaventure skrev: "Der er ingen skønhed og fornøjelse uden proportionalitet, og proportionalitet eksisterer primært i antal Det er nødvendigt, at alt kan tælles." Leonardo da Vinci skrev om brugen af ​​proportioner i kunsten i sin afhandling om maleri: "Maleren legemliggør i form af proportioner de samme mønstre gemt i naturen, som videnskabsmanden kender i form af den numeriske lov."

Proportioner blev brugt til at løse forskellige problemer både i oldtiden og i middelalderen. Visse typer problemer løses nu nemt og hurtigt ved hjælp af proportioner. Proportioner og proportionalitet blev og bruges ikke kun i matematik, men også i arkitektur og kunst. Proportion i arkitektur og kunst betyder at opretholde visse forhold mellem størrelserne af forskellige dele af en bygning, figur, skulptur eller andet kunstværk. Proportionalitet er i sådanne tilfælde en betingelse for korrekt og smuk konstruktion og afbildning

I mit arbejde forsøgte jeg at overveje brugen af ​​direkte og omvendte proportionale forhold på forskellige områder af livet, for at spore sammenhængen med akademiske fag gennem opgaver.

Relationer og proportioner.

Kvotienten af ​​to tal kaldes holdning disse tal.

Attitude viser sig, hvor mange gange det første tal er større end det andet, eller hvilken del det første tal er af det andet.

Opgave.

2,4 tons pærer og 3,6 tons æbler blev bragt til butikken. Hvor stor en andel af de medbragte frugter er pærer?

Løsning . Lad os finde ud af, hvor meget frugt de kom med: 2,4+3,6=6(t). For at finde ud af, hvilken del af de medbragte frugter, der er pærer, laver vi forholdet 2,4:6=. Svaret kan også skrives som en decimalbrøk eller som en procentdel: = 0,4 = 40 %.

Gensidigt omvendt ringede tal, hvis produkter er lig med 1. Derfor forholdet kaldes det omvendte af forholdet.

Overvej to lige store forhold: 4,5:3 og 6:4. Lad os sætte et lighedstegn mellem dem og få proportionen: 4,5:3=6:4.

Del er ligheden mellem to relationer: a : b =c :d eller = , hvor a og d er ekstreme forhold, c og b – gennemsnitlige medlemmer(alle udtryk for andelen er forskellige fra nul).

Grundlæggende egenskab af proportion:

i det korrekte forhold er produktet af de ekstreme led lig med produktet af de midterste led.

Ved at anvende den kommutative egenskab ved multiplikation finder vi, at i den korrekte proportion kan de ekstreme led eller mellemled ombyttes. De resulterende proportioner vil også være korrekte.

Ved at bruge den grundlæggende egenskab af proportion kan du finde dens ukendte term, hvis alle andre udtryk er kendte.

For at finde det ukendte yderled af andelen skal du gange gennemsnitsleddene og dividere med det kendte ekstremled. x : b = c : d , x =

For at finde det ukendte mellemled i en proportion skal du gange de ekstreme led og dividere med det kendte mellemled. a : b = x : d , x = .

Direkte og omvendte proportionale sammenhænge.

Værdierne af to forskellige størrelser kan være gensidigt afhængige af hinanden. Så arealet af en firkant afhænger af længden af ​​dens side, og omvendt - længden af ​​siden af ​​en firkant afhænger af dens areal.

To mængder siges at være proportionale, hvis, med stigende

(mindske) en af ​​dem flere gange, den anden øger (mindsker) det samme antal gange.

Hvis to mængder er direkte proportionale, er forholdet mellem de tilsvarende værdier af disse mængder ens.

Eksempel direkte proportional afhængighed .

På en tankstation 2 liter benzin vejer 1,6 kg. Hvor meget vil de veje 5 liter benzin?

Løsning:

Vægten af ​​petroleum er proportional med dets volumen.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6 x=4

Svar: 4 kg.

Her forbliver vægt/volumenforholdet uændret.

To størrelser kaldes omvendt proportionale, hvis, når den ene af dem stiger (falder) flere gange, den anden falder (stiger) med samme mængde.

Hvis mængderne er omvendt proportionale, er forholdet mellem værdierne af en mængde lig med det omvendte forhold mellem de tilsvarende værdier af en anden mængde.

P eksempelomvendt proportional sammenhæng.

To rektangler har samme areal. Længden af ​​det første rektangel er 3,6 m, og bredden er 2,4 m. Længden af ​​det andet rektangel er 4,8 m. Find bredden af ​​det andet rektangel.

Løsning:

1 rektangel 3,6 m 2,4 m

2 rektangel 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 m 2,4 m

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Svar: 1,8 m.

Som du kan se, kan problemer, der involverer proportionale mængder, løses ved hjælp af proportioner.

Ikke hver anden mængde er direkte proportional eller omvendt proportional. For eksempel stiger et barns højde, når hans alder stiger, men disse værdier er ikke proportionale, da når alderen fordobles, fordobles barnets højde ikke.

Praktisk anvendelse af direkte og omvendt proportional afhængighed.

Opgave nr. 1

Skolebiblioteket har 210 lærebøger i matematik, hvilket er 15 % af hele bibliotekets samling. Hvor mange bøger er der i bibliotekets samling?

Løsning:

Samlet lærebøger - ? - 100 %

Matematikere - 210 -15 %

15% 210 akademisk.

X = 100* 210 = 1400 lærebøger

100 % x uch. 15

Svar: 1400 lærebøger.

Opgave nr. 2

En cyklist kører 75 km på 3 timer. Hvor lang tid vil det tage en cyklist at køre 125 km med samme hastighed?

Løsning:

3 timer – 75 km

H – 125 km

Tid og afstand er derfor direkte proportionale størrelser

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Svar: om 5 timer.

Opgave nr. 3

8 identiske rør fylder en pool på 25 minutter. Hvor mange minutter vil det tage at fylde en pool med 10 sådanne rør?

Løsning:

8 rør – 25 minutter

10 rør - ? minutter

Antallet af rør er omvendt proportional med tiden, så

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Svar: på 20 minutter.

Opgave nr. 4

Et team på 8 medarbejdere udfører opgaven på 15 dage. Hvor mange arbejdere kan udføre opgaven på 10 dage, mens de arbejder med samme produktivitet?

Løsning:

8 hverdage – 15 dage

Arbejdere - 10 dage

Antallet af arbejdere er omvendt proportionalt med antallet af dage, så

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Svar: 12 arbejdere.

Opgave nr. 5

Fra 5,6 kg tomater opnås 2 liter sauce. Hvor mange liter sauce kan man få fra 54 kg tomater?

Løsning:

5,6 kg – 2 l

54 kg - ? l

Antallet af kilo tomater er derfor direkte proportionalt med mængden af ​​opnået sauce

5,6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

Svar: 19 l.

Opgave nr. 6

Til opvarmning af skolebygningen blev kul lagret i 180 dage til forbrugstaksten

0,6 tons kul om dagen. Hvor mange dage vil denne forsyning vare, hvis der bruges 0,5 tons dagligt?

Løsning:

Antal dage

Forbrugsrate

Antallet af dage er derfor omvendt proportionalt med kulforbruget

180: x = 0,5: 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Svar: 216 dage.

Opgave nr. 7

I jernmalm er der for hver 7 dele jern 3 dele urenheder. Hvor mange tons urenheder er der i malmen, der indeholder 73,5 tons jern?

Løsning:

Antal dele

Vægt

Jern

73,5

Urenheder

Antallet af dele er derfor direkte proportionalt med massen

7: 73,5 = 3: x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Svar: 31,5 t

Opgave nr. 8

Bilen kørte 500 km og brugte 35 liter benzin. Hvor mange liter benzin skal der til for at køre 420 km?

Løsning:

Afstand, km

Benzin, l

Afstanden er direkte proportional med benzinforbruget, så

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Svar: 29,4 l

Opgave nr. 9

På 2 timer fangede vi 12 karper. Hvor mange karper fanges der på 3 timer?

Løsning:

Antallet af karper afhænger ikke af tid. Disse mængder er hverken direkte proportionale eller omvendt proportionale.

Svar: Der er intet svar.

Opgave nr. 10

En minevirksomhed skal købe 5 nye maskiner for en vis mængde penge til en pris på 12 tusind rubler pr. Hvor mange af disse maskiner kan en virksomhed købe, hvis prisen for en maskine bliver 15 tusind rubler?

Løsning:

Antal biler, stk.

Pris, tusind rubler

Antallet af biler er omvendt proportional med omkostningerne, så

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

Svar: 4 biler.

Opgave nr. 11

I byen N på firkant P er der en butik, hvis ejer er så streng, at han for forsinkelse trækker 70 rubler fra lønnen for 1 forsinkelse om dagen. To piger Yulia og Natasha arbejder i en afdeling. Deres løn afhænger af antallet af arbejdsdage. Yulia modtog 4.100 rubler på 20 dage, og Natasha skulle have modtaget mere på 21 dage, men hun kom for sent i 3 dage i træk. Hvor mange rubler vil Natasha modtage?

Løsning:

Arbejdsdage

Løn, gnid.

Julia

4100

Natasha

Lønnen er derfor direkte proportional med antallet af arbejdsdage

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 gnid. Natasha burde have modtaget den.

4305 – 3 * 70 = 4095 (gnidning)

Svar: Natasha vil modtage 4095 rubler.

Opgave nr. 12

Afstanden mellem to byer på kortet er 6 cm Find afstanden mellem disse byer på jorden, hvis kortets målestok er 1:250000.

Løsning:

Lad os betegne afstanden mellem byer på jorden med x (i centimeter) og finde forholdet mellem længden af ​​segmentet på kortet og afstanden på jorden, som vil være lig med kortets skala: 6: x = 1 : 250.000,

x = 6*250.000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Svar: 15 km.

Opgave nr. 13

4000 g opløsning indeholder 80 g salt. Hvad er koncentrationen af ​​salt i denne opløsning?

Løsning:

Vægt, g

Koncentration, %

Løsning

4000

Salt

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Svar: Saltkoncentrationen er 2%.

Opgave nr. 14

Banken giver et lån på 10 % om året. Du modtog et lån på 50.000 rubler. Hvor meget skal du returnere til banken på et år?

Løsning:

50.000 rub.

100%

x gnide.

50.000: x = 100: 10,

x= 50.000*10:100,

x=5000.

5000 rub. er 10 %.

50.000 + 5000=55.000 (gnidning)

Svar: om et år vil banken få 55.000 rubler tilbage.

Konklusion.

Som vi kan se fra de givne eksempler, er direkte og omvendte proportionale forhold anvendelige på forskellige områder af livet:

Økonomi,

Handle,

I produktion og industri,

Skolelivet,

madlavning,

Byggeri og arkitektur.

Sport,

dyrehold,

Topografier,

Fysikere,

Kemi mv.

På det russiske sprog er der også ordsprog og ordsprog, der etablerer direkte og omvendte forhold:

Når den kommer tilbage, vil den også reagere.

Jo højere stumpen er, jo højere skyggen.

Jo flere mennesker, jo mindre ilt.

Og den er klar, men dum.

Matematik er en af ​​de ældste videnskaber, den er opstået på baggrund af menneskehedens behov og ønsker. Efter at have gennemgået historien om dets dannelse siden det antikke Grækenland, er det stadig relevant og nødvendigt i enhver persons hverdag. Begrebet direkte og omvendt proportionalitet har været kendt siden oldtiden, da det var proportionslovene, der motiverede arkitekter under enhver konstruktion eller skabelse af enhver skulptur.

Viden om proportioner er meget udbredt inden for alle områder af menneskets liv og aktivitet - man kan ikke undvære den, når man maler (landskaber, stilleben, portrætter osv.), den er også udbredt blandt arkitekter og ingeniører - generelt er det svært at forestille sig at skabe noget uden at bruge viden om proportioner og deres forhold.

Litteratur.

Matematik-6, N.Ya. Vilenkin et al.

Algebra -7, G.V. Dorofeev og andre.

Matematik-9, GIA-9, redigeret af F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova

Matematik-6, didaktiske materialer, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

Problemer i matematik for klasse 4-5, I.V Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988

Samling af opgaver og eksempler i matematik klasse 5-6, N.A. Tereshin,

T.N. Tereshina, M. "Aquarium" 1997

Hovedmål:

• introducere begrebet direkte og omvendt proportional afhængighed af mængder;
• lære at løse problemer ved at bruge disse afhængigheder;
• fremme udviklingen af ​​problemløsningsevner;
• konsolidere evnen til at løse ligninger ved hjælp af proportioner;
• gentag trinene med almindelige og decimale brøker;
• udvikle elevernes logiske tænkning.

UDVIKLING AF LEKTIONEN

JEG. Selvbestemmelse til aktivitet(organisatorisk øjeblik)

- Gutter! I dag i lektionen vil vi stifte bekendtskab med problemer løst ved hjælp af proportioner.

II. Opdatering af viden og registrering af vanskeligheder i aktiviteter

2.1. Mundtligt arbejde (3 min)

– Find betydningen af ​​udtrykkene og find ud af ordet krypteret i svarene.

14 – s; 0,1 – og; 7 – l; 0,2 - a; 17 – i; 25 – til

– Det resulterende ord er styrke. Godt gået!
– Mottoet for vores lektion i dag: Magt er i viden! Jeg søger - det betyder, at jeg lærer!
– Lav en andel af de resulterende tal. (14:7 = 0,2:0,1 osv.)

2.2. Lad os overveje forholdet mellem de mængder, vi kender (7 min)

– den afstand, som bilen tilbagelægger ved konstant hastighed, og tidspunktet for dens bevægelse: S = v t ( med stigende hastighed (tid) øges afstanden;
– køretøjets hastighed og tid brugt på rejsen: v=S:t(efterhånden som tiden til at rejse stien stiger, falder hastigheden);
– prisen på varer købt til én pris og mængden af ​​dem: C = a · n (med en stigning (fald) i prisen stiger (falder) indkøbsomkostningerne);
– produktets pris og dets mængde: a = C: n (ved en stigning i mængden falder prisen)
– rektanglets areal og dets længde (bredde): S = a · b (med stigende længde (bredde), øges området;
– rektangelets længde og bredde: a = S: b (efterhånden som længden øges, aftager bredden;
– antallet af arbejdere, der udfører noget arbejde med samme arbejdsproduktivitet, og den tid, det tager at fuldføre dette arbejde: t = A: n (med en stigning i antallet af arbejdere, falder tiden brugt på at udføre arbejdet) osv. .

Vi har opnået afhængigheder, hvor ved en stigning i en mængde flere gange, en anden straks øges med samme mængde (eksempler er vist med pile) og afhængigheder, hvor den anden mængde falder med en stigning i en mængde flere gange. samme antal gange.
Sådanne afhængigheder kaldes direkte og omvendt proportionalitet.
Direkte proportional afhængighed– et forhold, hvor når en værdi stiger (falder) flere gange, så stiger (falder) den anden værdi med samme mængde.
Omvendt proportional sammenhæng– et forhold, hvor en værdi stiger (falder) flere gange, den anden værdi falder (stiger) med samme mængde.

III. Opstilling af en læringsopgave

– Hvilket problem står vi over for? (Lær at skelne mellem direkte og omvendte afhængigheder)
- Dette - mål vores lektion. Formuler nu emne lektie. (Direkte og omvendt proportional sammenhæng).
- Godt gået! Skriv emnet for lektionen ned i dine notesbøger. (Læreren skriver emnet på tavlen).

IV. "Opdagelse" af ny viden(10 min)

Lad os se på problem nr. 199.

1. Printeren udskriver 27 sider på 4,5 minutter. Hvor lang tid tager det at udskrive 300 sider?

27 sider – 4,5 min.
300 sider - x?

2. Æsken indeholder 48 pakker te, 250 g hver. Hvor mange 150 g pakker af denne te får du?

48 pakker – 250 g.
X? – 150 g.

3. Bilen kørte 310 km og brugte 25 liter benzin. Hvor langt kan en bil køre på en fuld 40L tank?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Et af koblingsgearene har 32 tænder, og det andet har 40. Hvor mange omdrejninger vil det andet gear lave, mens det første gør 215 omdrejninger?

32 tænder – 315 rev.
40 tænder – x?

For at kompilere en proportion er én retning af pilene nødvendig for dette, i omvendt proportionalitet, er ét forhold erstattet af det omvendte.

På tavlen finder eleverne betydningen af ​​mængder på stedet, eleverne løser en opgave efter eget valg.

– Formuler en regel for løsning af problemer med direkte og omvendt proportional afhængighed.

En tabel vises på tavlen:

V. Primær konsolidering i ekstern tale(10 min)

Opgaver på arkene:

1. Fra 21 kg bomuldsfrø blev der opnået 5,1 kg olie.
2. Hvor meget olie får man fra 7 kg bomuldsfrø?

For at bygge stadionet ryddede 5 bulldozere stedet på 210 minutter. Hvor lang tid ville det tage 7 bulldozere at rydde denne side?VI. Selvstændigt arbejde med selvtest efter standarden

(5 min)
To elever udfører selvstændigt opgave nr. 225 på skjulte tavler, og resten - i notesbøger. De tjekker derefter algoritmens arbejde og sammenligner den med løsningen på tavlen. Fejl korrigeres, og deres årsager bestemmes. Hvis opgaven er udført korrekt, sætter eleverne et "+"-tegn ud for dem.

Studerende, der laver fejl i selvstændigt arbejde, kan bruge konsulenter.№ 271, № 270.

VII. Inklusion i vidensystemet og gentagelse

Seks personer arbejder i bestyrelsen. Efter 3-4 minutter præsenterer elever, der arbejder ved tavlen, deres løsninger, og resten tjekker opgaverne og deltager i deres diskussion.

VIII. Refleksion over aktivitet (lektionsopsummering)
– Hvad nyt lærte du i lektionen?
-Hvad gentog de?
– Hvad er algoritmen til at løse proportionsproblemer?
– Har vi nået vores mål?

– Hvordan vurderer du dit arbejde?

Eksempel

1,6/2 = 0,8;

4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 osv. Proportionalitetsfaktor

Direkte proportionalitet

Direkte proportionalitet Et konstant forhold mellem proportionale størrelser kaldes proportionalitetsfaktor. Proportionalitetskoefficienten viser, hvor mange enheder af en mængde er pr. enhed af en anden.

- funktionel afhængighed, hvor en vis mængde afhænger af en anden størrelse på en sådan måde, at deres forhold forbliver konstant. Med andre ord ændrer disse variable sig

forholdsmæssigt(x) = , i lige store dele, det vil sige, hvis argumentet ændres to gange i en hvilken som helst retning, så ændres funktionen også to gange i samme retning.x,, i lige store dele, det vil sige, hvis argumentet ændres to gange i en hvilken som helst retning, så ændres funktionen også to gange i samme retning. = Matematisk er direkte proportionalitet skrevet som en formel:f-enco

Omvendt proportionalitet

n s

t

Omvendt proportionalitet

- dette er en funktionel afhængighed, hvor en stigning i den uafhængige værdi (argument) forårsager et proportionalt fald i den afhængige værdi (funktion).

Matematisk er omvendt proportionalitet skrevet som en formel: