", det vil sige ligninger af første grad. I denne lektion vil vi se på det man kalder en andengradsligning og hvordan man løser det.
Hvad er en andengradsligning?
Vigtig!
Graden af en ligning bestemmes af den højeste grad, hvori det ukendte står.
Hvis den maksimale effekt, hvori det ukendte er "2", så har du en andengradsligning.
Eksempler på andengradsligninger
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Vigtig! Den generelle form for en andengradsligning ser sådan ud:
A x 2 + b x + c = 0
"a", "b" og "c" er givet tal.- "a" er den første eller højeste koefficient;
- "b" er den anden koefficient;
- "c" er et gratis medlem.
For at finde "a", "b" og "c" skal du sammenligne din ligning med den generelle form for andengradsligningen "ax 2 + bx + c = 0".
Lad os øve os i at bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" i andengradsligninger.
| Ligning | Odds | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = -8
Sådan løses andengradsligninger
I modsætning til lineære ligninger bruges en speciel metode til at løse andengradsligninger. formel til at finde rødder.
Huske!
For at løse en andengradsligning skal du bruge:
- bringe andengradsligningen til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0".
- Det vil sige, at kun "0" skal forblive på højre side;
brug formel til rødder:
Lad os se på et eksempel på, hvordan man bruger formlen til at finde rødderne til en andengradsligning. Lad os løse en andengradsligning.
X 2 − 3x − 4 = 0 Ligningen "x 2 − 3x − 4 = 0" er allerede blevet reduceret til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0" og kræver ikke yderligere forenklinger. For at løse det skal vi bare ansøge.
formel til at finde rødderne til en andengradsligning
Lad os bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" for denne ligning.
Lad os bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" for denne ligning.
Lad os bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" for denne ligning.
Lad os bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" for denne ligning.
x 1;2 =
Det kan bruges til at løse enhver andengradsligning.
I formlen “x 1;2 = ” erstattes det radikale udtryk ofte
"b 2 − 4ac" for bogstavet "D" og kaldes diskriminant. Begrebet en diskriminant diskuteres mere detaljeret i lektionen "Hvad er en diskriminant".
Lad os se på et andet eksempel på en andengradsligning.
x 2 + 9 + x = 7x
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Nu kan du bruge formlen for rødderne.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Svar: x = 3
Der er tidspunkter, hvor andengradsligninger ikke har nogen rødder. Denne situation opstår, når formlen indeholder et negativt tal under roden.
I det moderne samfund kan evnen til at udføre operationer med ligninger, der indeholder en kvadratisk variabel, være nyttig inden for mange aktivitetsområder og er meget udbredt i praksis i den videnskabelige og tekniske udvikling. Bevis på dette kan findes i design af hav- og flodfartøjer, fly og raketter. Ved hjælp af sådanne beregninger bestemmes bevægelsesbanerne for en lang række kroppe, herunder rumobjekter. Eksempler med løsning af kvadratiske ligninger bruges ikke kun i økonomisk prognose, i design og konstruktion af bygninger, men også i de mest almindelige hverdagsforhold. De kan være nødvendige på vandreture, ved sportsbegivenheder, i butikker ved indkøb og i andre meget almindelige situationer.
Lad os opdele udtrykket i dets komponenter
Graden af en ligning bestemmes af den maksimale værdi af graden af den variabel, som udtrykket indeholder. Hvis den er lig med 2, kaldes en sådan ligning kvadratisk.
Hvis vi taler i formlersproget, så kan de angivne udtryk, uanset hvordan de ser ud, altid bringes til formen, når venstre side af udtrykket består af tre led. Blandt dem: akse 2 (det vil sige en variabel i anden kvadrat med dens koefficient), bx (en ukendt uden et kvadrat med dens koefficient) og c (en fri komponent, det vil sige et almindeligt tal). Alt dette på højre side er lig med 0. I det tilfælde, hvor et sådant polynomium mangler et af dets konstituerende led, med undtagelse af akse 2, kaldes det en ufuldstændig andengradsligning. Eksempler med løsning af sådanne problemer, værdierne af de variable, som er lette at finde, bør overvejes først.
Hvis udtrykket ser ud som om det har to led på højre side, mere præcist axe 2 og bx, er den nemmeste måde at finde x ved at sætte variablen ud af parentes. Nu vil vores ligning se således ud: x(ax+b). Dernæst bliver det tydeligt, at enten x=0, eller også handler problemet om at finde en variabel fra følgende udtryk: ax+b=0. Dette er dikteret af en af egenskaberne ved multiplikation. Reglen siger, at produktet af to faktorer kun resulterer i 0, hvis en af dem er nul.
Eksempel
x=0 eller 8x - 3 = 0
Som et resultat får vi to rødder af ligningen: 0 og 0,375.
Ligninger af denne art kan beskrive bevægelser af kroppe under påvirkning af tyngdekraften, som begyndte at bevæge sig fra et bestemt punkt taget som oprindelsen af koordinater. Her antager den matematiske notation følgende form: y = v 0 t + gt 2 /2. Ved at erstatte de nødvendige værdier, sidestille højre side med 0 og finde mulige ukendte, kan du finde ud af den tid, der går fra det øjeblik, kroppen rejser sig til det øjeblik, den falder, samt mange andre størrelser. Men vi taler om dette senere.
Faktorering af et udtryk
Reglen beskrevet ovenfor gør det muligt at løse disse problemer i mere komplekse sager. Lad os se på eksempler på løsning af andengradsligninger af denne type.
X 2 - 33x + 200 = 0
Dette kvadratiske trinomium er komplet. Lad os først transformere udtrykket og faktorisere det. Der er to af dem: (x-8) og (x-25) = 0. Som et resultat har vi to rødder 8 og 25.
Eksempler med løsning af andengradsligninger i klasse 9 gør det muligt for denne metode at finde en variabel i udtryk ikke kun af anden, men endda af tredje og fjerde orden.
For eksempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Når man faktoriserer højre side i faktorer med en variabel, er der tre af dem, det vil sige (x+1), (x-3) og (x+ 3).
Som et resultat bliver det indlysende, at denne ligning har tre rødder: -3; -1; 3.
Firkantet rod
Et andet tilfælde af en ufuldstændig andenordens ligning er et udtryk repræsenteret i bogstavsproget på en sådan måde, at højre side er konstrueret af komponenterne axe 2 og c. Her, for at få værdien af variablen, overføres frileddet til højre side, og derefter trækkes kvadratroden ud fra begge sider af ligheden. Det skal bemærkes, at i dette tilfælde er der normalt to rødder af ligningen. De eneste undtagelser kan være ligheder, der slet ikke indeholder et led med, hvor variablen er lig nul, samt varianter af udtryk, når højre side er negativ. I sidstnævnte tilfælde er der ingen løsninger overhovedet, da ovenstående handlinger ikke kan udføres med rødder. Eksempler på løsninger til andengradsligninger af denne type bør overvejes.
I dette tilfælde vil rødderne af ligningen være tallene -4 og 4.
Beregning af landareal
Behovet for denne form for beregninger dukkede op i oldtiden, fordi udviklingen af matematik i disse fjerne tider i vid udstrækning var bestemt af behovet for at bestemme med den største nøjagtighed arealer og omkredse af jordlodder.
Vi bør også overveje eksempler på løsning af andengradsligninger baseret på problemer af denne art.
Så lad os sige, at der er et rektangulært jordstykke, hvis længde er 16 meter større end bredden. Du bør finde længden, bredden og omkredsen af webstedet, hvis du ved, at dets areal er 612 m 2.
For at komme i gang, lad os først oprette den nødvendige ligning. Lad os angive med x bredden af området, så vil dets længde være (x+16). Af det skrevet følger, at arealet er bestemt af udtrykket x(x+16), som efter betingelserne for vores opgave er 612. Det betyder, at x(x+16) = 612.
At løse komplette andengradsligninger, og dette udtryk er præcis det, kan ikke gøres på samme måde. Hvorfor? Selvom venstre side stadig indeholder to faktorer, er deres produkt slet ikke lig med 0, så her bruges forskellige metoder.
Diskriminerende
Først og fremmest vil vi lave de nødvendige transformationer, derefter vil udseendet af dette udtryk se således ud: x 2 + 16x - 612 = 0. Det betyder, at vi har modtaget udtrykket i en form svarende til den tidligere specificerede standard, hvor a=1, b=16, c= -612.
Dette kunne være et eksempel på løsning af andengradsligninger ved hjælp af en diskriminant. Her foretages de nødvendige beregninger efter skemaet: D = b 2 - 4ac. Denne hjælpemængde gør det ikke kun muligt at finde de nødvendige mængder i en andenordens ligning, den bestemmer også antallet af mulige muligheder. Hvis D>0, er der to af dem; for D=0 er der én rod. I tilfælde D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Om rødder og deres formel
I vores tilfælde er diskriminanten lig med: 256 - 4(-612) = 2704. Dette tyder på, at vores problem har et svar. Hvis du kender k, skal løsningen af andengradsligninger fortsættes med formlen nedenfor. Det giver dig mulighed for at beregne rødderne.
Det betyder, at i det præsenterede tilfælde: x 1 =18, x 2 =-34. Den anden mulighed i dette dilemma kan ikke være en løsning, fordi grundens dimensioner ikke kan måles i negative mængder, hvilket betyder, at x (det vil sige bredden af grunden) er 18 m. Herfra beregner vi længden: 18 +16=34, og omkredsen 2(34+ 18)=104(m2).
Eksempler og opgaver
Vi fortsætter vores undersøgelse af andengradsligninger. Eksempler og detaljerede løsninger på flere af dem vil blive givet nedenfor.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Lad os flytte alt til venstre side af ligheden, lave en transformation, det vil sige, at vi får den type ligning, der normalt kaldes standard, og sidestiller den til nul.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Ved at tilføje lignende, bestemmer vi diskriminanten: D = 49 - 48 = 1. Det betyder, at vores ligning vil have to rødder. Lad os beregne dem i henhold til ovenstående formel, hvilket betyder, at den første af dem vil være lig med 4/3 og den anden til 1.
2) Lad os nu løse mysterier af en anden art.
Lad os finde ud af, om der er nogen rødder her x 2 - 4x + 5 = 1? For at få et omfattende svar, lad os reducere polynomiet til den tilsvarende sædvanlige form og beregne diskriminanten. I ovenstående eksempel er det ikke nødvendigt at løse andengradsligningen, fordi dette slet ikke er essensen af problemet. I dette tilfælde er D = 16 - 20 = -4, hvilket betyder, at der virkelig ikke er nogen rødder.
Vietas sætning
Det er praktisk at løse andengradsligninger ved hjælp af ovenstående formler og diskriminanten, når kvadratroden er taget fra værdien af sidstnævnte. Men det sker ikke altid. Der er dog mange måder at opnå værdierne af variabler i dette tilfælde. Eksempel: løsning af andengradsligninger ved hjælp af Vietas sætning. Hun er opkaldt efter en, der levede i det 16. århundredes Frankrig og gjorde en strålende karriere takket være hans matematiske talent og forbindelser ved hoffet. Hans portræt kan ses i artiklen.
Det mønster, som den berømte franskmand bemærkede, var som følger. Han beviste, at ligningens rødder summeres numerisk til -p=b/a, og deres produkt svarer til q=c/a.
Lad os nu se på specifikke opgaver.
3x 2 + 21x - 54 = 0
For nemheds skyld, lad os omdanne udtrykket:
x 2 + 7x - 18 = 0
Lad os bruge Vietas sætning, dette vil give os følgende: summen af rødderne er -7, og deres produkt er -18. Herfra får vi, at ligningens rødder er tallene -9 og 2. Efter kontrol vil vi sikre os, at disse variabelværdier virkelig passer ind i udtrykket.
Parabolgraf og ligning
Begreberne andengradsfunktion og andengradsligninger er tæt beslægtede. Eksempler på dette er allerede givet tidligere. Lad os nu se lidt mere detaljeret på nogle matematiske gåder. Enhver ligning af den beskrevne type kan repræsenteres visuelt. Et sådant forhold, tegnet som en graf, kaldes en parabel. Dens forskellige typer er præsenteret i figuren nedenfor.
Enhver parabel har et toppunkt, det vil sige et punkt, hvorfra dens grene kommer frem. Hvis a>0, går de højt til uendeligt, og når a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Visuelle repræsentationer af funktioner hjælper med at løse alle ligninger, inklusive kvadratiske ligninger. Denne metode kaldes grafisk. Og værdien af variablen x er abscissekoordinaten i de punkter, hvor graflinjen skærer 0x. Koordinaterne for toppunktet kan findes ved hjælp af formlen, der netop er givet x 0 = -b/2a. Og ved at erstatte den resulterende værdi i den oprindelige ligning af funktionen, kan du finde ud af y 0, det vil sige den anden koordinat af parablens toppunkt, som hører til ordinataksen.
Skæringspunktet mellem grenene af en parabel med abscisseaksen
Der er mange eksempler på løsning af andengradsligninger, men der er også generelle mønstre. Lad os se på dem. Det er klart, at grafens skæring med 0x-aksen for a>0 kun er mulig, hvis 0 tager negative værdier. Og for en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ellers D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Ud fra parablens graf kan du også bestemme rødderne. Det modsatte er også sandt. Det vil sige, at hvis det ikke er let at få en visuel repræsentation af en andengradsfunktion, kan du sidestille højre side af udtrykket til 0 og løse den resulterende ligning. Og ved at kende skæringspunkterne med 0x-aksen er det lettere at konstruere en graf.
Fra historien
Ved hjælp af ligninger, der indeholdt en kvadratisk variabel, lavede de i gamle dage ikke kun matematiske beregninger og bestemte arealer af geometriske figurer. De gamle havde brug for sådanne beregninger til store opdagelser inden for fysik og astronomi, såvel som for at lave astrologiske prognoser.
Som moderne videnskabsmænd foreslår, var indbyggerne i Babylon blandt de første til at løse andengradsligninger. Dette skete fire århundreder før vor tidsregning. Selvfølgelig var deres beregninger radikalt forskellige fra dem, der i øjeblikket er accepteret og viste sig at være meget mere primitive. For eksempel havde mesopotamiske matematikere ingen idé om eksistensen af negative tal. De var også ukendte med andre finesser, som enhver moderne skolebørn kender.
Måske endda tidligere end Babylons videnskabsmænd begyndte vismanden fra Indien Baudhayama at løse andengradsligninger. Dette skete omkring otte århundreder før Kristi æra. Sandt nok var andenordens ligninger, de metoder til løsning, som han gav, de enkleste. Udover ham var kinesiske matematikere også interesserede i lignende spørgsmål i gamle dage. I Europa begyndte andengradsligninger først at blive løst i begyndelsen af det 13. århundrede, men senere blev de brugt i deres værker af så store videnskabsmænd som Newton, Descartes og mange andre.
For eksempel, for trinomialet \(3x^2+2x-7\), vil diskriminanten være lig med \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Og for trinomialet \(x^2-5x+11\), vil det være lig med \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Diskriminanten er betegnet med bogstavet \(D\) og bruges ofte til løsning. Også ved værdien af diskriminanten kan du forstå, hvordan grafen omtrent ser ud (se nedenfor).
Diskriminant og rødder til en andengradsligning
Diskriminantværdien viser antallet af andengradsligninger:
- hvis \(D\) er positiv, vil ligningen have to rødder;
- hvis \(D\) er lig nul – er der kun én rod;
- hvis \(D\) er negativ, er der ingen rødder.
Dette behøver ikke at blive undervist, det er ikke svært at komme til en sådan konklusion, blot ved at vide, at fra diskriminanten (det vil sige \(\sqrt(D)\) er inkluderet i formlen til at beregne rødderne af en kvadratisk ligning: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) og \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Lad os se på hvert enkelt tilfælde flere detaljer.
Hvis diskriminanten er positiv
I dette tilfælde er roden af det et positivt tal, hvilket betyder, at \(x_(1)\) og \(x_(2)\) vil have forskellige betydninger, fordi i den første formel \(\sqrt(D)\ ) tilføjes , og i den anden trækkes det fra. Og vi har to forskellige rødder.
Eksempel
: Find rødderne af ligningen \(x^2+2x-3=0\)
Løsning
:
Svar : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
Hvis diskriminanten er nul
Hvor mange rødder vil der være, hvis diskriminanten er nul? Lad os ræsonnere.
Rodformlerne ser sådan ud: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) og \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Og hvis diskriminanten er nul, så er dens rod også nul. Så viser det sig:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
Det vil sige, at værdierne af ligningens rødder vil falde sammen, fordi tilføjelse eller subtrahering af nul ikke ændrer noget.
Eksempel
: Find rødderne af ligningen \(x^2-4x+4=0\)
Løsning
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Vi skriver koefficienterne ud: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Vi beregner diskriminanten ved hjælp af formlen \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
At finde rødderne til ligningen |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
Vi har to identiske rødder, så det nytter ikke at skrive dem hver for sig – vi skriver dem som én. |
Svar : \(x=2\)
Formler for rødderne af en andengradsligning. Tilfældene af reelle, multiple og komplekse rødder overvejes. Faktorering af et kvadratisk trinomium. Geometrisk fortolkning. Eksempler på at bestemme rødder og factoring.
Grundlæggende formler
Overvej den andengradsligning:
(1)
.
Rødder af en andengradsligning(1) bestemmes af formlerne:
;
.
Disse formler kan kombineres således:
.
Når rødderne af en andengradsligning er kendt, så kan et polynomium af anden grad repræsenteres som et produkt af faktorer (faktoreret):
.
Dernæst antager vi, at det er reelle tal.
Lad os overveje diskriminant af en andengradsligning:
.
Hvis diskriminanten er positiv, så har andengradsligningen (1) to forskellige reelle rødder:
;
.
Så har faktoriseringen af det kvadratiske trinomium formen:
.
Hvis diskriminanten er lig med nul, så har andengradsligningen (1) to multiple (lige) reelle rødder:
.
Faktorisering:
.
Hvis diskriminanten er negativ, har andengradsligningen (1) to komplekse konjugerede rødder:
;
.
Her er den imaginære enhed, ;
og er de virkelige og imaginære dele af rødderne:
;
.
Så
.
Grafisk fortolkning
Hvis du plotter funktionen
,
som er en parabel, så vil skæringspunkterne for grafen med aksen være rødderne til ligningen
.
Ved skærer grafen x-aksen (aksen) i to punkter.
Når , rører grafen x-aksen på et punkt.
Når , krydser grafen ikke x-aksen.
Nedenfor er eksempler på sådanne grafer.
Nyttige formler relateret til kvadratiske ligninger
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Afledning af formlen for rødderne af en andengradsligning
Vi udfører transformationer og anvender formler (f.1) og (f.3):
,
Hvor
;
.
Så vi fik formlen for et polynomium af anden grad i formen:
.
Dette viser, at ligningen
udført kl
Og .
Det vil sige og er rødderne til andengradsligningen
.
Eksempler på at bestemme rødderne til en andengradsligning
Eksempel 1
(1.1)
.
Løsning
.
Ved at sammenligne med vores ligning (1.1) finder vi værdierne af koefficienterne:
.
Vi finder diskriminanten:
.
Da diskriminanten er positiv, har ligningen to reelle rødder:
;
;
.
Herfra får vi faktoriseringen af det kvadratiske trinomium:
.
Graf for funktionen y = 2 x 2 + 7 x + 3 skærer x-aksen i to punkter.
Lad os plotte funktionen
.
Grafen for denne funktion er en parabel. Den krydser abscisseaksen (aksen) på to punkter:
Og .
Disse punkter er rødderne til den oprindelige ligning (1.1).
Svar
;
;
.
Eksempel 2
Find rødderne til en andengradsligning:
(2.1)
.
Løsning
Lad os skrive andengradsligningen i generel form:
.
Ved at sammenligne med den oprindelige ligning (2.1) finder vi værdierne af koefficienterne:
.
Vi finder diskriminanten:
.
Da diskriminanten er nul, har ligningen to multiple (lige) rødder:
;
.
Så har faktoriseringen af trinomialet formen:
.
Graf for funktionen y = x 2 - 4 x + 4 rører x-aksen på et punkt.
Lad os plotte funktionen
.
Grafen for denne funktion er en parabel. Den berører x-aksen (aksen) på et tidspunkt:
.
Dette punkt er roden af den oprindelige ligning (2.1). Da denne rod er faktoriseret to gange:
,
så kaldes en sådan rod sædvanligvis et multiplum. Det vil sige, de mener, at der er to lige store rødder:
.
Svar
;
.
Eksempel 3
Find rødderne til en andengradsligning:
(3.1)
.
Løsning
Lad os skrive andengradsligningen i generel form:
(1)
.
Lad os omskrive den oprindelige ligning (3.1):
.
Ved at sammenligne med (1) finder vi værdierne af koefficienterne:
.
Vi finder diskriminanten:
.
Diskriminanten er negativ, .
Derfor er der ingen rigtige rødder.
;
;
.
Du kan finde komplekse rødder:
.
Så
Lad os plotte funktionen
.
Grafen for funktionen krydser ikke x-aksen. Der er ingen rigtige rødder.
Svar
Grafen for denne funktion er en parabel. Den skærer ikke x-aksen (aksen). Derfor er der ingen rigtige rødder.
;
;
.
Der er ingen rigtige rødder. Komplekse rødder:
Brugen af ligninger er udbredt i vores liv. De bruges i mange beregninger, konstruktion af strukturer og endda sport. Mennesket brugte ligninger i oldtiden, og siden er deres brug kun steget. Diskriminanten giver dig mulighed for at løse enhver andengradsligning ved hjælp af en generel formel, som har følgende form:
Diskriminantformlen afhænger af graden af polynomiet. Ovenstående formel er velegnet til at løse andengradsligninger af følgende form:
Diskriminanten har følgende egenskaber, som du skal kende:
* "D" er lig med 0, når polynomiet har flere rødder (lige rødder);
* "D" er et symmetrisk polynomium med hensyn til polynomiets rødder og er derfor et polynomium i dets koefficienter; desuden er koefficienterne for dette polynomium heltal uanset i hvilken forlængelse rødderne er taget.
Lad os sige, at vi får en andengradsligning af følgende form:
1 ligning
Ifølge formlen har vi:
Siden \ har ligningen 2 rødder. Lad os definere dem:
Hvor kan jeg løse en ligning ved hjælp af en diskriminerende online løser?