I dag vil vi fortælle dig, hvordan du finder generatrixen af en kegle, som ofte er påkrævet i skolegeometriproblemer.
Konceptet med en keglegeneratrix
En højre kegle er en figur, der opnås ved at dreje en retvinklet trekant rundt om dets ene ben. Keglens bund danner en cirkel. Den lodrette del af keglen er en trekant, den vandrette del er en cirkel. Højden af en kegle er det segment, der forbinder toppen af keglen med midten af bunden. Generatrixen af en kegle er et segment, der forbinder keglens toppunkt med et hvilket som helst punkt på linjen i grundcirklen.
Da en kegle dannes ved at dreje en retvinklet trekant, viser det sig, at det første ben i en sådan trekant er højden, det andet er radius af cirklen, der ligger ved bunden, og hypotenusen er keglens generatrix. Det er ikke svært at gætte, at Pythagoras sætning er nyttig til at beregne længden af generatoren. Og nu mere om, hvordan man finder længden af keglens generatrix.
At finde generatoren
Den nemmeste måde at forstå, hvordan man finder en generator, er med et specifikt eksempel. Antag, at følgende betingelser for problemet er givet: højden er 9 cm, diameteren af basiscirklen er 18 cm. Det er nødvendigt at finde en generatrix.
Så højden af keglen (9 cm) er et af benene i den højre trekant, ved hjælp af hvilken denne kegle blev dannet. Det andet ben vil være radius af basiscirklen. Radius er halvdelen af diameteren. Således deler vi diameteren givet til os i to og får længden af radius: 18:2 = 9. Radius er 9.
Nu er det meget nemt at finde keglens generatrix. Da det er en hypotenuse, vil kvadratet af dens længde være lig med summen af kvadraterne på benene, det vil sige summen af kvadraterne af radius og højde. Så kvadratet af længden af generatoren = 64 (kvadraten af længden af radius) + 64 (kvadratet af længden af højden) = 64x2 = 128. Nu tager vi kvadratroden af 128. Som en resultat får vi otte rødder af to. Dette vil være keglens generatrix.
Som du kan se, er der ikke noget kompliceret ved dette. For eksempel tog vi simple forhold til problemet, men i et skoleforløb kan de være mere komplekse. Husk, at for at beregne længden af generatricen skal du finde ud af radius af cirklen og højden af keglen. Ved at kende disse data er det let at finde længden af generatricen.
De rotationslegemer, der studeres i skolen, er cylinderen, keglen og kuglen.
Hvis du i et problem på Unified State-eksamen i matematik skal beregne volumen af en kegle eller arealet af en kugle, skal du betragte dig selv som heldig.
Anvend formler for volumen og overfladeareal af en cylinder, kegle og kugle. Alle af dem er i vores tabel. Lær udenad. Det er her, viden om stereometri begynder.
Nogle gange er det godt at tegne udsigten fra oven. Eller, som i dette problem, nedefra.
2. Hvor mange gange er volumen af en kegle omskrevet omkring en regulær firkantet pyramide større end volumen af en kegle indskrevet i denne pyramide?
Det er enkelt - tegn udsigten nedefra. Vi ser, at radius af den større cirkel er gange større end radius af den mindre. Højden på begge kegler er den samme. Derfor vil volumen af den større kegle være dobbelt så stor.
Endnu en vigtig pointe. Vi husker, at i problemerne i del B af Unified State Examination i matematik skrives svaret som et heltal eller en sidste decimalbrøk. Derfor bør der ikke være nogen eller i dit svar i del B. Det er heller ikke nødvendigt at erstatte den omtrentlige værdi af tallet! Det skal helt sikkert krympe! Det er til dette formål, at opgaven i nogle problemer er formuleret, for eksempel som følger: "Find arealet af cylinderens sideflade divideret med."
Hvor ellers bruges formlerne for volumen og overfladeareal af omdrejningslegemer? Selvfølgelig i opgave C2 (16). Vi vil også fortælle dig om det.
Vi ved, hvad en kegle er, lad os prøve at finde dens overfladeareal. Hvorfor skal du løse sådan et problem? For eksempel skal du forstå, hvor meget dej der skal bruges til at lave en vaffelkegle? Eller hvor mange mursten skal der til for at lave et muret borgtag?
Måling af det laterale overfladeareal af en kegle kan simpelthen ikke gøres. Men lad os forestille os det samme horn pakket ind i stof. For at finde området af et stykke stof skal du klippe det og lægge det ud på bordet. Resultatet er en flad figur, vi kan finde dens areal.
Ris. 1. Udsnit af en kegle langs generatricen
Lad os gøre det samme med keglen. Lad os "skære" dens sideflade langs en hvilken som helst generatrix, for eksempel (se fig. 1).
Lad os nu "afvikle" sidefladen på et fly. Vi får en sektor. Centrum af denne sektor er keglens toppunkt, sektorens radius er lig med keglens generatrix, og længden af dens bue falder sammen med omkredsen af keglens bund. Denne sektor kaldes udviklingen af keglens sideflade (se fig. 2).
Ris. 2. Udvikling af sidefladen
Ris. 3. Vinkelmåling i radianer
Lad os prøve at finde området for sektoren ved hjælp af de tilgængelige data. Lad os først introducere notationen: Lad vinklen ved sektorens toppunkt være i radianer (se fig. 3).
Vi vil ofte have at gøre med vinklen i toppen af sweep i problemer. Lad os nu prøve at besvare spørgsmålet: kan denne vinkel ikke vise sig at være mere end 360 grader? Det vil sige, ville det ikke vise sig, at fejet ville overlappe sig selv? Selvfølgelig ikke. Lad os bevise dette matematisk. Lad scanningen "overlægge" sig selv. Det betyder, at længden af sweep-buen er større end længden af cirklen med radius. Men som allerede nævnt er længden af sweep-buen længden af radiuscirklen. Og radius af keglens basis er selvfølgelig mindre end generatricen, for eksempel fordi benet i en retvinklet trekant er mindre end hypotenusen
Lad os så huske to formler fra planimetrikurset: buelængde. Sektorområde:.
I vores tilfælde spilles rollen af generatoren , og buens længde er lig med omkredsen af keglens bund, dvs. Vi har:
Endelig får vi:.
Sammen med det laterale overfladeareal kan det samlede overfladeareal også findes. For at gøre dette skal området af basen føjes til området af den laterale overflade. Men basen er en cirkel med radius, hvis areal ifølge formlen er lig med .
Endelig har vi: , hvor er radius af bunden af cylinderen, er generatricen.
Lad os løse et par problemer ved hjælp af de givne formler.
Ris. 4. Påkrævet vinkel
Eksempel 1. Udviklingen af keglens laterale overflade er en sektor med en vinkel i spidsen. Find denne vinkel, hvis keglens højde er 4 cm og basens radius er 3 cm (se fig. 4).
Ris. 5. Ret trekant danner en kegle
Ved den første handling finder vi ifølge Pythagoras sætning generatoren: 5 cm (se fig. 5). Dernæst ved vi det .
Eksempel 2. Keglens aksiale tværsnitsareal er lig med , højden er lig med . Find det samlede overfladeareal (se fig. 6).
