En af de vigtige økonomiske problemer er at bestemme den optimale strategi for at erstatte gamle maskiner, aipcraTOB og maskiner med nye. Aldring af udstyr betyder dets fysiske og moralske slitage, som et resultat af hvilket omkostningerne til reparation og vedligeholdelse stiger, produktionsomkostninger til produktion stiger og falder
ydeevne og væskeværdi. Der kommer et tidspunkt, hvor det er mere rentabelt at sælge gammelt udstyr og erstatte det med nyt end at betjene det til en pris høje omkostninger; Desuden kan den udskiftes med nyt udstyr af samme type eller nyt, mere avanceret. Den optimale strategi for udskiftning af udstyr er at bestemme dets optimale timing. Optimalitetskriteriet i dette tilfælde kan være fortjenesten fra driften af udstyret, som bør optimeres, eller de samlede driftsomkostninger i den betragtede periode, som bør minimeres.
Lad os introducere følgende notation:
r(t)- årlige vedligeholdelsesomkostninger for aldersudstyr t lægge sig ned;
g(t)- restværdi af aldersudstyr t lægge sig ned;
R 0 - indkøbspris for udstyr.
Overvej perioden Når, inden for hvilke det er nødvendigt at bestemme den optimale udstyrsudskiftningscyklus.
Lad os betegne med L*(/) de optimale omkostninger opnået fra
udstyrs alder tår for de resterende Nårs udstyrsbrugscyklus, underlagt en optimal strategi.
Udstyrets alder tælles i processtrømmens retning. Således svarer / = 0 til tilfældet med brug af nyt udstyr. På hvert trin af /V-stadiet processen skal der træffes en beslutning om at beholde, udskifte eller reparere udstyr. Den valgte mulighed skal sikre, at de samlede driftsomkostninger minimeres i den periode, der er under overvejelse.
Det forudsættes, at overgangen fra at arbejde på aldersudstyr t At gøre klar til at arbejde på nyt udstyr sker øjeblikkeligt, det vil sige, at udskiftning af gammelt udstyr og overgangen til at arbejde på nyt udstyr passer ind i én periode.
Eksempel 4.2
Udstyret bruges i fem år og sælges derefter. I begyndelsen af hvert år kan du beslutte, om du vil beholde udstyret eller erstatte det med nyt. Udgifter til nyt udstyr P 0= 4000 gnid. Efter tårs drift (1 g(t) = Р 0 2~‘ rub. (væskeværdi). Vedligeholdelsesomkostninger i løbet af året afhænger af udstyrets alder t og er lige r(t) = 600(/ + 1).
Definere optimal strategi drift af udstyret, så de samlede omkostninger, under hensyntagen til det første køb og endelige salg, er minimale.
Løsning. Metoden til at opdele kontrol i trin er naturlig - men gennem årene, n= 5. Tilstandsparameter - maskinalder lu= t,,v 0 = 0 - bilen er ny ved begyndelsen af det første driftsår. Kontrol ved hvert trin afhænger af to variable Hvis Og Hvis.
Tilstandsligningerne afhænger af kontrollen:
Effektivitetsindikator for trin A:
(på Hvis koster kun for betjening af maskinens alder t, på Hvis maskinen er solgt (-4000 2~"), en ny købes (4000) og betjenes det første år (600), de samlede omkostninger er (-4000 2" + 4000 + 600)).
Lad l'(?) være de betingede optimale omkostninger til drift af maskinen, startende fra A"te trin til slutningen, forudsat at ved begyndelsen af A"te trin er maskinen gammel. Lad os skrive Wellman-ligningerne for funktionerne A(r), og erstatte maksimeringsproblemet med minimeringsproblemet:
Værdi 4000 2 0+11 - udgift til bilalderen tår (ifølge betingelserne sælges bilen efter fem års drift):
Fra definitionen af funktioner А* (/) følger A min = А*(0).
Lad os forestille os geometrisk løsning denne opgave. Lad os plotte trinnummeret på x-aksen Til, og langs ordinaten - maskinens alder /. Prik (Til - 1, /) på flyet svarer til begyndelsen af A - - driftsåret for maskinen, alder / år. Bevægelse på grafen afhængig af den accepterede kontrol på / o-te trin vist i fig. 4.3.
Ris. 4.3
Tilstanden for starten af maskinens drift svarer til punktet,v‘(0, 0), slutningen - til punkterne.5(5,/). Enhver bane, der overfører punkt DA-1, /) fra punkt 5 består af segmenter - trin svarende til driftsår. Det er nødvendigt at vælge en bane, hvor omkostningerne ved at betjene maskinen vil være minimale.
Over hvert segment, der forbinder punkterne (A' - 1, /) og (A, / + 1), er de tilsvarende kontroller skrevet Hvis omkostninger (600(/ + 1)), og over det segment, der forbinder punkterne (Til- 1, /) og ( Til, /), - omkostninger svarende til forvaltning Hvis(4600 - 4000 2 "). På denne måde placeres alle segmenter, der forbinder punkter på 1rafix, svarende til overgange fra enhver tilstand ld_| til tilstanden s k(se fig. 4.3).
Dernæst udføres betinget optimering på den markerede fafa. I stater (5, /) er bilen solgt, den betingede optimale indkomst fra salget er 4000 2~‘, men da den objektive funktion er relateret til omkostninger, placeres værdien af indkomst med et minustegn i punktcirklerne (5, /). Derefter vælger de i efterfølgende faser minimumsomkostninger blandt to mulige overgange, er skrevet i cirklen af et givet punkt, og de tilsvarende kontroller på dette trin er markeret med en stiplet pil. I dette tilfælde løses Wellman-ligningerne ved hvert trin trafikalt (fig. 4.4).
Efter at have udført betinget optimering opnår vi ved punkt (0, 0) minimumsomkostningerne ved drift af maskinen i cirka fem år med efterfølgende salg: A min = 11.900 Dernæst konstrueres den optimale bane, der bevæger sig fra punktet Så (0, 0) langs de stiplede pile i.?. Vi får et sæt punkter: ((0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)), som svarer til det optimale kontrollere U"(u c , U‘, U U c , U c). Optimal tilstand
operation er at udskifte maskinen med en ny i begyndelsen af det tredje år.
Således giver den mærkede graf (netværk) dig mulighed for visuelt at fortolke designskema og løse problemet ved hjælp af metoden dynamisk programmering.
Dynamiske programmeringsmodeller og beregningsprocedurer er meget fleksible med hensyn til evnen til at inkorporere forskellige modifikationer af problemet. For eksempel kan et lignende problem komme i betragtning stort antal kontrolmuligheder, "reparation", " større renovering"og osv. Alle disse faktorer kan tages i betragtning af et dynamisk programmeringsberegningsskema.
Denne service er beregnet til online løse problemet med optimal udstyrsopgraderingsstrategi. Typisk er følgende parametre angivet i kildedataene:
- r(t) er omkostningerne ved produkter, der er produceret i løbet af hvert år af planlægningsperioden ved brug af dette udstyr;
- u(t) - årlige omkostninger forbundet med driften af udstyr;
- s(t) - restværdi af udstyr;
- p er prisen på nyt udstyr, som inkluderer omkostninger forbundet med installation, idriftsættelse og opstart af udstyr og ændres ikke i en given planperiode.
Planlægning af kapitalinvesteringer.
Eksempel nr. 1. Find den optimale strategi for drift af udstyr i en periode på 6 år, hvis årsindkomsten r(t) og restværdien S(t) afhængig af alder er angivet i tabellen, er prisen på nyt udstyr P = 13, og alderen på udstyret ved begyndelsen af driftsperioden var 1 år.| t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| r(t) | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
| s(t) | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 | 6 | 4 |
Fase I. Betinget optimering(k = 6,5,4,3,2,1).
Kontrolvariabel til kth trin er en logisk variabel, der kan tage en af to værdier: behold (C) eller udskift (R) udstyr i begyndelsen af det k-te år.
1. trin: k = 6. For 1. trin er systemets mulige tilstande t = 1,2,3,4,5,6, og de funktionelle ligninger har formen:
F6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F 6 (1) = max(7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = max(7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = max(6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = max(6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = max(5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = max(5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2. trin: k = 5. For 2. trin er systemets mulige tilstande t = 1,2,3,4,5, og de funktionelle ligninger har formen:
F 5 (t) = max(r(t) + F6 (t+1); S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = max(7 + 7; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = max(7 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = max(6 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = max(6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = max(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (3)
3. trin: k = 4. For 3. trin er systemets mulige tilstande t = 1,2,3,4, og de funktionelle ligninger har formen:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1); S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = max(7 + 13; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = max(7 + 12; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = max(6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (N/W)
F 4 (4) = max(6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (N/W)
F 4 (5) = max(5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (3)
F 4 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (W)
4. trin: k = 3. For 4. trin er systemets mulige tilstande t = 1,2,3, og de funktionelle ligninger har formen:
F3 (t) = max(r(t) + F4 (t+1); S(t) - P + r(0) + F4 (1))
F 3 (1) = max(7 + 19; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = max(7 + 17; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = max(6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (W)
F 3 (4) = max(6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (W)
F 3 (5) = max(5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (W)
F 3 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (W)
5. trin: k = 2. For 5. trin er systemets mulige tilstande t = 1,2, og de funktionelle ligninger har formen:
F 2 (t) = max(r(t) + F3 (t+1); S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = max(7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (N/W)
F 2 (2) = max(7 + 23; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = max(6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (W)
F 2 (4) = max(6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (W)
F 2 (5) = max(5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (W)
F 2 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (W)
6. trin: k = 1. For 6. trin er systemets mulige tilstande t = 1, og de funktionelle ligninger har formen:
F 1 (t) = max(r(t) + F2 (t+1); S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = max(7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = max(7 + 29; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = max(6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (N/W)
F 1 (4) = max(6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (N/W)
F 1 (5) = max(5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (3)
F 1 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (W)
Resultaterne af beregninger ved hjælp af Bellman-ligningerne F k (t) er angivet i tabellen, hvor k er driftsåret, og t er udstyrets alder.
Tabel – Matrix for maksimal profit
| k/t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 37 | 36 | 34 | 33 | 32 | 30 |
| 2 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 25 |
| 3 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 19 |
| 4 | 20 | 19 | 17 | 16 | 15 | 13 |
| 5 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 6 |
| 6 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
Tabellen fremhæver værdien af funktionen svarende til tilstand (3) - udskiftning af udstyr.
Når du løser dette problem i nogle tabeller, når du vurderer valget nødvendig kontrol vi opnåede de samme F-værdier for begge kontrolmuligheder. I dette tilfælde er det i overensstemmelse med algoritmen til løsning af sådanne problemer nødvendigt at vælge en udstyrsbevaringskontrol.
Fase II. Ubetinget optimering(k = 6,5,4,3,2,1).
I henhold til problemets forhold er udstyrets alder t 1 =1 år. Planlagt periode N=6 år.
Ved begyndelsen af det 1. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Fortjenesten vil være F 1 (1) = 37.
Optimal kontrol for k = 1, x 1 (1) = (C), dvs. den maksimale indkomst for år 1 til 6 opnås, hvis udstyret bevares, dvs. ikke udskiftet.
Ved begyndelsen af det 2. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Overskuddet vil være F 2 (2) = 30.
Optimal kontrol for k = 2, x 2 (2) = (C), dvs. den maksimale indkomst for år 2 til 6 opnås, hvis udstyret bevares, dvs. ikke udskiftet.
Ved begyndelsen af det 3. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Overskuddet vil være F 3 (3) = 23.
Ubetinget optimal kontrol for k = 3, x 3 (3)=(3), dvs. For at opnå maksimalt overskud for de resterende år er det nødvendigt at udskifte udstyr i år.
Ved begyndelsen af det 4. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Fortjenesten vil være F 4 (1) = 20.
Optimal kontrol for k = 4, x 4 (1) = (C), dvs. den maksimale indkomst for år 1 til 6 opnås, hvis udstyret bevares, dvs. ikke udskiftet.
Ved begyndelsen af det 5. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Overskuddet vil være F 5 (2) = 13.
Optimal kontrol for k = 5, x 5 (2) = (C), dvs. den maksimale indkomst for år 2 til 6 opnås, hvis udstyret bevares, dvs. ikke udskiftet.
Ved begyndelsen af det 6. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Overskuddet vil være F 6 (3) = 6.
Optimal kontrol for k = 6, x 6 (3) = (C), dvs. den maksimale indkomst for år 3 til 6 opnås, hvis udstyret vedligeholdes, dvs. ikke udskiftet.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (3)→ F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Efter 6 års drift af udstyret skal udskiftning således ske ved begyndelsen af 3. driftsår
Eksempel nr. 2. Problemet med at planlægge kapitalinvesteringer. Planlægningsinterval T=5 år. Omkostningsfunktion til reparationer og videre drift K(t)=t+2t 2 (r.); erstatningsfunktion P(t)=10+0,05t 2 (s.). Bestem den optimale udskiftnings- og reparationsstrategi for nyt udstyr (t=0) og udstyr i alderen t=1, t=2, t=3.
Bestem de optimale planlagte omkostninger for årene af femårsplanen, hvis mængden af udstyr efter aldersgrupper er som følger: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2 )=8, n(t=3)= 5
Dynamisk programmering. Problem med udskiftning af udstyr
Find det optimale tidspunkt for udskiftning af udstyr. Startpris for udstyr q 0 =6000 konventionelt. enheder, bjærgningsværdi L(t)=q 0 2 -i, omkostninger til vedligeholdelse af udstyr i alderen i år i 1 år S(t)=0,1q 0 (t+1), udstyrets levetid 5 år. Ved slutningen af dets levetid sælges udstyret. Løs problemet grafisk.
Indtast for at bygge en graf i Wolfram Mathematica 6.0-software
g = Plot[(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]
Som et resultat får vi en graf:
Det ser vi på grafen optimal tid udskiftning af udstyr er det andet år af dets drift.
Dynamisk programmering. Optimal fordeling af midler mellem virksomheder
Find den optimale fordeling af midler i mængden af 9 konventionelle enheder. enheder mellem fire virksomheder. Overskuddet fra hver virksomhed er en funktion af de midler, der er investeret i den og er vist i tabellen:
|
Investeringer |
|||||||||
|
jeg virksomhed |
|||||||||
|
II virksomhed |
|||||||||
|
III virksomhed |
|||||||||
|
IV virksomhed |
Investeringer i hver virksomhed er multipla af 1 konventionel enhed. enheder
Lad os opdele processen med at allokere midler til virksomheder i 4 faser: i første fase tildeles y 1 midler til virksomhed P 1, i anden - y 2 midler til virksomhed P 2, i tredje - y 3 midler til virksomhed P 3, på den fjerde tredje - y 4 midler til virksomheden P 4
x n = x n - 1 - y n, n = 1,2,3, 4.
Bemærk, at på det fjerde trin af allokering af midler investeres hele saldoen x 3 i virksomheden P 4, derfor y 3 = x 4.
Lad os bruge Bellmans ligninger for N = 4.
Som et resultat får vi følgende tabeller:
Tabel 1
 |
||||||||||||
Tabel 2
Tabel 3
Tabel 4
Af tabel 4 følger, at den optimale kontrol vil være y 1 * = 3, mens den optimale fortjeneste er 42. Dernæst får vi
x 1 = x 0 - y 1 *=9-3=6, 2 (x 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1
x 2 = x 1 - y 2 *=6-1=5, 3 (x 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1
x 3 = x 2 - y 3 *=5-1=4, 4 (x 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4
Den mest optimale investering er således i virksomhederne P1, P2, P3 og P4 kontanter i mængden af henholdsvis 4, 1,1 og 3 konventionelle enheder. I dette tilfælde vil overskuddet være maksimalt og beløbe sig til 42 konventionelle enheder. enheder
Det er kendt, at udstyr slides over tid, ældes fysisk og mentalt. Under drift falder dens produktivitet som regel, og driftsomkostningerne stiger. aktuelle reparationer. Over tid bliver det nødvendigt at udskifte udstyr, da dets videre drift er dyrere end reparationer. Herfra Udskiftningsproblemet kan formuleres som følger. I driftsprocessen giver udstyret et årligt overskud, kræver driftsomkostninger og har en restværdi. Disse egenskaber afhænger af udstyrets alder. I ethvert år kan udstyret gemmes, sælges til restprisen og købes nyt. Hvis udstyret bibeholdes, stiger driftsomkostningerne, og produktiviteten falder. Udskiftning kræver betydelig yderligere kapitalinvestering. Opgaven er at fastlægge den optimale udskiftningsstrategi i planlægningsperioden, så det samlede overskud for denne periode er maksimalt.
For at formulere problemet kvantitativt introducerer vi følgende notation: r(t) er prisen på produkter produceret pr. år på en enhed af udstyr i en alder af t år; u(t) - omkostninger forbundet med driften af dette udstyr; s(t) - restværdi af udstyr på t år; p - købspris for udstyr; T - varigheden af planlægningsperioden; t = 0,1, 2,... , T er nummeret på det aktuelle år.
Løsning. For at løse problemet anvender vi R. Bellmans optimalitetsprincip. Lad os overveje intervallerne (årene) af planlægningsperioden i rækkefølge fra slutningen til begyndelsen. Lad os introducere en funktion af betinget optimale værdier af målfunktionen Fk(t). Denne funktion viser det maksimale overskud modtaget fra udstyr på t år i løbet af de sidste k år af planlægningsperioden. Her betragtes udstyrets alder i retning af tidens naturlige progression. For eksempel svarer t = 0 til brugen af helt nyt udstyr. Tidstrinene i processen er nummereret i omvendt rækkefølge. For eksempel med k = 1, betragtes det sidste år i planperioden, med k = 2 - de sidste to år osv., med k = T - de sidste T år, altså hele planperioden. Ændringsretningerne i t og k er vist på figuren.
I denne opgave består systemet af udstyr. Hendes tilstand er præget af alder. Kontrolvektoren er en beslutning i øjeblikket t = = 0,1, 2,... , T om vedligeholdelse eller udskiftning af udstyr. For at finde den optimale udskiftningspolitik bør man analysere, i overensstemmelse med princippet om optimalitet, processen fra ende til begyndelse. For at gøre dette vil vi lave en antagelse om udstyrets tilstand i begyndelsen af det sidste år (k = 1). Lad udstyret være t år gammelt. I begyndelsen af T-året er der to muligheder: 1) gem udstyret til T-året, så vil overskuddet for det sidste år være r(t) - u(t); 2) sælge udstyret til restværdi og købe nyt, så vil overskuddet for det sidste år være lig med s(t) - p + r(0) - u(0), hvor r(0) er prisen på produkter produceret på nyt udstyr i det første år af dets introduktion; u(0) er driftsomkostninger i år. Her er det tilrådeligt at folde processen ud fra ende til begyndelse. For det sidste år (k = 1) vil den optimale politik set ud fra hele processen være den politik, der kun giver maksimalt overskud for det sidste år. Under hensyntagen til værdien af fortjenesten for forskellige handlingsforløb (udskiftning - bevaring), kommer vi til den konklusion, at beslutningen om at udskifte udstyr på t år bør træffes i det tilfælde, hvor fortjenesten fra nyt udstyr i den sidste periode er større end fra gammelt udstyr, dvs. givet det
Så for det sidste år er den optimale politik og maksimale profit F 1 (t) fundet fra betingelsen
Lad k = 2, dvs. overvej profitten for to sidste år. Vi foretager en antagelse om udstyrets mulige tilstand i begyndelsen af det næstsidste år. Hvis du i begyndelsen af dette år beslutter dig for at beholde udstyret, vil der ved årets udgang blive modtaget et overskud r(t) - u(t). I begyndelsen af det sidste år vil udstyret gå til tilstand t + 1, og under den optimale politik i det sidste år vil det generere et overskud svarende til F 1 (t + 1). Således vil det samlede overskud i to år være r(t) - u(t) + F 1 (t + 1). Hvis der i begyndelsen af næstsidste år træffes beslutning om at udskifte udstyr, vil overskuddet for næstsidste år være s(t)-p+r(0)-u(0). Da nyt udstyr blev købt, vil det i begyndelsen af sidste år være i tilstanden t = 1. Derfor vil det samlede overskud for de sidste to år, med en optimal politik i det sidste år, være
Den betinget optimale politik i de sidste to år vil være den, der giver det maksimale overskud:
Tilsvarende finder vi udtryk for det betinget optimale overskud for de sidste tre år, fire osv. Den generelle funktionsligning vil have formen
Udfolder vi således hele processen fra ende til begyndelse, finder vi, at det maksimale overskud for planlægningsperioden T vil være F T (t 0). Da starttilstanden til er kendt, finder vi ud fra udtrykket for F T (t 0). optimal løsning i begyndelsen af det første år, derefter den resulterende optimale løsning for det andet år osv. Lad os se på et numerisk eksempel.
Udvikl en optimal politik for udskiftning af udstyr under følgende forhold:
1) omkostningerne r(t) for produkter produceret ved brug af udstyret pr. år og omkostningerne u(t) forbundet med driften af udstyret er angivet i tabellen;
2) bilens bjærgningsværdi afhænger ikke af dens alder og er lig med 2;
3) prisen på nyt udstyr ændrer sig ikke over tid og er lig med 15;
4) planperiodens varighed er 12 år.
Så s(t) = 2, p = 15, T = 12.
Lad os skrive de funktionelle ligninger for F 1 (t) og F til (t) med de numeriske værdier i vores eksempel:
Ved hjælp af udtryk (8.9), (8.10) vil vi sekventielt beregne værdierne af den maksimale profit F til (t) og skrive dem i en speciel tabel (tabel 8.4). Vi opnår den første linje ved at give parameteren t i lighed (8.9) værdierne 0,1,... ,12 og bruge de indledende data fra tabellen. 8.3. For eksempel ved t = 0
Bemærk, at hvis overskuddet fra nyt udstyr er lig med overskuddet fra gammelt udstyr, så er det bedre at beholde det gamle i endnu et år:
Fra bordet 8.3 er det tydeligt, at r(t) – u(t) falder med stigende t. Derfor, når t > 9, vil udskiftningspolitikken for udstyr være optimal. For at skelne, hvilken politik der resulterer i en betinget optimal profitværdi, vil vi afgrænse disse værdier (op til t = 9 inklusive, bevaringspolitikken er optimal) med en tyk streg. At udfylde den anden linje i tabellen. 8.4 bruger vi formel (8.10). For k = 2 får vi
Lad os give parameteren t værdierne 0,1,2,... ,12, tag værdierne af r(t) og u(t) fra tabellen. 8.3, og værdierne af F 1 (t + 1) er fra den første række i tabellen. 8.4. For den tredje linje beregningsformel vi får fra lighed (8.10) for k = 3:
osv. Udfyldning af tabellen. 8.4, bruger vi dens data til at løse problemet. Denne tabel indeholder en masse værdifuld information og giver os mulighed for at løse hele familien af problemer, som vi fordybede det oprindelige problem i.
Lad f.eks. i begyndelsen af planlægningsperioden have udstyr, der er 6 år gammelt. Vi vil udvikle en "erstatningspolitik" for en 12-årig periode, der giver maksimal profit. Oplysninger hertil findes i tabellen. 8.4. Den maksimale fortjeneste, der kan opnås på 12 år, forudsat at der i begyndelsen var udstyr, der var 6 år gammelt, findes i tabel. 8.4 ved skæringspunktet mellem kolonne t = 6 og række F12(t); det er 180 enheder.
Den maksimale profitværdi F12(6) = 180 skrives til højre for den stiplede linje, dvs. inden for "erstatningspolitik". Det betyder, at for at opnå maksimal profit over 12 år, skal udstyret udskiftes i begyndelsen af det første år. I løbet af det første år vil det nye udstyr ældes med et år, det vil sige efter at have udskiftet udstyret og arbejdet på det i 1 år, vil vi have udstyr 1 år gammelt 11 år før planperiodens udløb. Fra bordet 8.4 tager vi F11(l) = 173. Denne værdi er placeret i området "bevaringspolitik", dvs. i det andet år af planperioden er det nødvendigt at bevare udstyr på 1 år, og efter at have arbejdet på det i et år, 10 år før planperiodens udløb vil vi have udstyr, der er 2 år gammelt.
Vi finder ud af, at værdien F10(2) = 153 er placeret i lagerområdet. Vi har arbejdet på udstyret i endnu et år. Nu er der 9 år tilbage til planperiodens udløb, og udstyrets alder er 3 år. Vi finder F9(3) = 136. Dette er fredningsområdet. Vi har arbejdet på udstyret i endnu et år. Hans alder bliver 4 år. Der er 8 år tilbage til planperiodens udløb. Vi definerer F8(4) = 120. Dette er substitutionsområdet. Vi udskifter udstyr med nyt. Vi vil arbejde på det på fjerde år. Den ældes med et år. Der vil være 7 år tilbage til planperiodens udløb. Vi finder F7(l) = 113. Dette er fredningsområdet. Fortsat lignende ræsonnement fastslår vi, at F6(2) = 93, F5(3) = 76 er placeret i fredningsområdet, F4(4) = 60 - i erstatningsområdet, F3(l) = 53, F2(2) = 33, F1(3) = 16 - i spareområdet. Den udviklede politik vil blive repræsenteret af følgende kæde:
I stedet for at søge efter en optimal "erstatningspolitik" for en planlægningsperiode på 12 år, fordybede vi det oprindelige problem i en familie med lignende, når perioden varierer fra 1 til 12. Løsningen udføres efter princippet optimalitet for enhver tilstand af systemet, uanset dets historie. Den optimale "udskiftningspolitik" er optimal i det resterende antal år. Tabel 8.4 indeholder oplysninger til løsning af andre problemer. Ud fra den kan du finde den optimale strategi for udskiftning af udstyr med enhver starttilstand fra 0 til 12 år og for enhver planlagt periode, der ikke overstiger 12 år. Lad os for eksempel finde en "udskiftningspolitik" for en planlægningsperiode på 10 år, hvis der oprindeligt var udstyr, der var fem år gammelt:
Vi har forenklet opgaven med at udskifte udstyr. I praksis negligeres detaljerne ikke. Det er let at tage højde for for eksempel tilfældet, hvor restværdien af udstyr s(t) afhænger af tid. Der kan træffes beslutning om at erstatte udstyr ikke med nyt udstyr, men med udstyr, der allerede har været i brug i nogen tid. Det er heller ikke svært at tage højde for muligheden for eftersyn af gammelt udstyr. I dette tilfælde skal begrebet "tilstand" af systemet omfatte tidspunktet for den sidste udstyrsreparation. Funktionen Fk(ti,t2) udtrykker overskuddet for de sidste k år af planperioden, forudsat at der i første omgang var udstyr i alderen t1, der havde gennemgået større reparationer efter t2 års brug. Karakteristikkerne r, s og og vil også være funktioner af to variable t1 og t2.
optimal dynamisk programmeringsstrategi
I generel opfattelse Problemet er stillet som følger: Bestem den optimale strategi for brug af udstyr over en periode, der varer m år, og fortjenesten for hvert I år, i= ved at bruge udstyr på t år, bør være maksimal.
Følgende er kendt: r(t) - indtægter fra salg af produkter produceret pr. år på udstyr på t år, l(t) - årlige omkostninger afhængigt af udstyrets alder t, c(t) - restværdi af udstyr på t år, P - koster nyt udstyr. Udstyrets alder refererer til udstyrets driftsperiode efter sidste udskiftning, udtrykt i år.
For at bygge en matematisk model udføres de trin, der er formuleret nedenfor, sekventielt.
1. Bestemmelse af antallet af trin. Antallet af trin er lig med antallet af år, hvor udstyret er i brug.
2. Bestemmelse af systemtilstande. Systemets tilstand er karakteriseret ved udstyrets alder t; t=.
3. Definition af kontroller. I begyndelsen af det i-te trin, i=, kan en af to kontroller vælges: udskift eller udskift udstyr. Hver kontrolmulighed er tildelt et nummer
uс - hvis udstyret ikke udskiftes;
uз - hvis udstyret udskiftes.
4. Bestemmelse af udbetalingsfunktionen på i-te trin. Udbetalingsfunktionen på i-te trin er overskuddet fra brugen af udstyr ved udgangen af det i-te driftsår, t=, i=.
u1= uс - hvis udstyret ikke udskiftes i begyndelsen af det i-te år;
u2= uз - hvis udstyret udskiftes.
Således, hvis udstyret ikke sælges, er fortjenesten fra dets brug forskellen mellem produktionsomkostningerne og driftsomkostningerne. Ved udskiftning af udstyr er fortjeneste forskellen mellem udstyrets restværdi og omkostningerne til nyt udstyr, hvortil kommer forskellen mellem produktionsomkostningerne og driftsomkostningerne for nyt udstyr, hvis alder ved begyndelsen af i -trin er 0 år.
5. Definition af tilstandsændringsfunktionen
u1 uс - hvis Xi=0
u2= uз - hvis Xi=1
6. Opstilling af en funktionel ligning for i=m.
7. Opstilling af den grundlæggende funktionelle ligning
Hvor Wi(t) er overskuddet fra brugen af udstyr i alderen t år fra det i-te trin (fra slutningen af det i-te år) til slutningen af driftsperioden.
Wi+1(t+1) - profit fra brugen af udstyr i alderen t+1 år fra (i+1) trin til slutningen af driftsperioden;
Der er således konstrueret en matematisk model af problemet.
Algoritme til at løse problemet
Lad os introducere følgende notation:
t er udstyrets alder.
L(t) - produktion af produkter på udstyr, hvis alder er t år.
R(t) - vedligeholdelsesomkostninger for udstyr.
P(t) - restværdi af udstyr.
P - omkostninger til nyt udstyr
Fn(t) - profit fra gammelt udstyr, hvis alder er t år.
n-sidste år.
på gammelt udstyr (1)
Dette er den funktionelle ligning
Input dokument formular
Data kan indtastes ved hjælp af en tabel:
Bord nr. 1. Data input information.
Ifølge formlen
Beskrivelse af software og hardware
Programmet er udviklet i programmeringssproget Borland
Delphi 7.0 bruger operativsystem Microsoft Windows XP Professional
Ved udvikling af programmet blev Delphi-komponenter brugt:
String Grid - til at udfylde mapper og vise resultater
Rediger - for at indtaste værdier
Knap - for at oprette en knap
Etiket - laver etiketter for brugervenlighed
Billede - billeder
Hovedmenu - Programmenu
OpenDialog - åbner en dialog
Under udvikling software Følgende systemværktøjer blev også brugt:
Antivirusprogram (Dr.Web 4.44)
Arkiveringsprogrammer (WinRar v3.45).
Microsoft Office-værktøjer ( Microsoft Word, Excel).
grafiske editorer (PhotoShop v CS3)
Ved udvikling af softwaren blev der brugt en pc med følgende egenskaber:
Processor: Intel Pentium(R) 3,00 GHz
RAM: 1 Gb DDR2 PC 533
Videokort: NVIDIA Gee Force FX 6600 128Mb
Harddisk: 200 Gb
Skærm: 17" 1280x1025 ved 75Hz
Debugging eksempel
Lad os finde den maksimale fortjeneste ved udskiftning af udstyr efter 2 år:
Ifølge formlen
Konklusion: Vi får det maksimale overskud på 215 enheder, hvis vi skifter udstyret efter 2 år til det tredje.
Beskrivelse af programmet
Programmet "Løsning af problemer med udskiftning af udstyr" er beregnet til virksomheder, der er involveret i enhver form for aktivitet, der kræver brug af bestemt udstyr. Af en række årsager slides udstyr fysisk, dvs. går i stykker og ikke kan repareres, eller der opstår sådanne fejl, hvor det er lettere at købe nyt udstyr end at reparere gammelt udstyr, eller det slides moralsk op, dvs. Væksthastigheden for den økonomiske udvikling af industrien til produktion af dette udstyr er meget høj. Således, for at "produktproduktion" på sådant udstyr kan nå maksimal effekt, skal den ændres med jævne mellemrum. Dette program beregner det antal år, hvorefter du skal skifte udstyr for at få maksimal profit.
For at udvikle programmet "Løsning af udstyrsudskiftningsproblemer" blev programmeringssproget Delphi 6 brugt. I øjeblikket er dette objektorienterede programmeringsmiljø meget populært. Det giver dig mulighed for at oprette applikationer af forskellig grad af kompleksitet - fra simple programmer til professionelle programmer designet til at arbejde med databaser. Derudover præsenteres programhjælp i HTML-sider ved hjælp af Arachnophilia-programmet.
Alt arbejde med programmet er baseret på at arbejde med menuen dens beskrivelse kan findes i menupunktet Hjælp/Indhold/Arbejde med menuen.
Dette program blev oprettet ved at udføre kursusprojekt om emnet" Matematiske metoder", om dette emne.