Denne artikel diskuterer, hvordan man finder værdierne af matematiske udtryk. Lad os starte med simple numeriske udtryk og derefter overveje tilfælde, efterhånden som deres kompleksitet øges. Til sidst præsenterer vi et udtryk, der indeholder bogstavsymboler, parenteser, rødder, specielle matematiske symboler, potenser, funktioner osv. Traditionen tro vil vi forsyne hele teorien med rigelige og detaljerede eksempler.
Hvordan finder man værdien af et numerisk udtryk?
Numeriske udtryk er blandt andet med til at beskrive et problems tilstand i matematisk sprog. Generelt kan matematiske udtryk enten være meget enkle, bestående af et par tal og aritmetiske symboler, eller meget komplekse, indeholdende funktioner, potenser, rødder, parenteser osv. Som en del af en opgave er det ofte nødvendigt at finde meningen med et bestemt udtryk. Hvordan man gør dette vil blive diskuteret nedenfor.
De simpleste sager
Det er tilfælde, hvor udtrykket ikke indeholder andet end tal og aritmetiske operationer. For med succes at finde værdierne af sådanne udtryk, har du brug for viden om rækkefølgen af at udføre aritmetiske operationer uden parentes samt evnen til at udføre operationer med forskellige tal.
Hvis udtrykket kun indeholder tal og regnetegn " + " , " · " , " - " , " ÷ " , så udføres handlingerne fra venstre mod højre i følgende rækkefølge: først multiplikation og division, derefter addition og subtraktion. Lad os give eksempler.
Eksempel 1: Værdien af et numerisk udtryk
Lad dig finde værdierne af udtrykket 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
Lad os først gange og dividere. Vi får:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Nu udfører vi subtraktionen og får det endelige resultat:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Eksempel 2: Værdien af et numerisk udtryk
Lad os beregne: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Først udfører vi brøkkonvertering, division og multiplikation:
0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Lad os nu lave noget addition og subtraktion. Lad os gruppere brøkerne og bringe dem til en fællesnævner:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Den nødvendige værdi er fundet.
Udtryk med parentes
Hvis et udtryk indeholder parenteser, definerer de rækkefølgen af operationer i det udtryk. Handlingerne i parentes udføres først, og derefter alle de andre. Lad os vise dette med et eksempel.
Eksempel 3: Værdien af et numerisk udtryk
Lad os finde værdien af udtrykket 0,5 · (0,76 - 0,06).
Udtrykket indeholder parenteser, så vi udfører først subtraktionsoperationen i parentes, og først derefter multiplikationen.
0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.
Betydningen af udtryk, der indeholder parentes inden for parentes, findes efter samme princip.
Eksempel 4: Værdien af et numerisk udtryk
Lad os beregne værdien 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .
Vi vil udføre handlinger, der starter fra de inderste parenteser, flytter til de ydre.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Når du finder betydningen af udtryk med parenteser, er det vigtigste at følge rækkefølgen af handlinger.
Udtryk med rødder
Matematiske udtryk, hvis værdier vi skal finde, kan indeholde rodtegn. Desuden kan selve udtrykket være under rodtegnet. Hvad skal man gøre i dette tilfælde? Først skal du finde værdien af udtrykket under roden og derefter udtrække roden fra tallet opnået som et resultat. Hvis det er muligt, er det bedre at slippe af med rødder i numeriske udtryk og erstatte dem med numeriske værdier.
Eksempel 5: Værdien af et numerisk udtryk
Lad os beregne værdien af udtrykket med rødder - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Først beregner vi de radikale udtryk.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Nu kan du beregne værdien af hele udtrykket.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Ofte kræver det at finde betydningen af et udtryk med rødder først at konvertere det oprindelige udtryk. Lad os forklare dette med endnu et eksempel.
Eksempel 6: Værdien af et numerisk udtryk
Hvad er 3 + 1 3 - 1 - 1
Som du kan se, har vi ikke mulighed for at erstatte roden med en nøjagtig værdi, hvilket komplicerer tælleprocessen. Men i dette tilfælde kan du anvende den forkortede multiplikationsformel.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Således:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Udtryk med beføjelser
Hvis et udtryk indeholder potenser, skal deres værdier beregnes, før du fortsætter med alle andre handlinger. Det sker, at eksponenten eller selve gradens basis er udtryk. I dette tilfælde beregnes først værdien af disse udtryk, og derefter værdien af graden.
Eksempel 7: Værdien af et numerisk udtryk
Lad os finde værdien af udtrykket 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Lad os begynde at beregne i rækkefølge.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.
Det eneste, der er tilbage, er at udføre tilføjelsesoperationen og finde ud af betydningen af udtrykket:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Det er også ofte tilrådeligt at forenkle et udtryk ved at bruge en grads egenskaber.
Eksempel 8: Værdien af et numerisk udtryk
Lad os beregne værdien af følgende udtryk: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Eksponenterne er igen sådan, at deres nøjagtige numeriske værdier ikke kan opnås. Lad os forenkle det originale udtryk for at finde dets værdi.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Udtryk med brøker
Hvis et udtryk indeholder brøker, skal alle brøker i det ved beregning af et sådant udtryk repræsenteres som almindelige brøker og deres værdier beregnes.
Hvis tælleren og nævneren for en brøk indeholder udtryk, beregnes først værdierne af disse udtryk, og den endelige værdi af selve brøken nedskrives. Aritmetiske operationer udføres i standardrækkefølgen. Lad os se på eksempelløsningen.
Eksempel 9: Værdien af et numerisk udtryk
Lad os finde værdien af udtrykket, der indeholder brøker: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Som du kan se, er der tre brøker i det oprindelige udtryk. Lad os først beregne deres værdier.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Lad os omskrive vores udtryk og beregne dets værdi:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1
Ofte, når man finder betydningen af udtryk, er det praktisk at reducere brøker. Der er en uudtalt regel: Før du finder dens værdi, er det bedst at forenkle ethvert udtryk til det maksimale og reducere alle beregninger til de enkleste tilfælde.
Eksempel 10: Værdien af et numerisk udtryk
Lad os beregne udtrykket 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Vi kan ikke helt udtrække roden af fem, men vi kan forenkle det oprindelige udtryk gennem transformationer.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Det oprindelige udtryk har formen:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Lad os beregne værdien af dette udtryk:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Udtryk med logaritmer
Når logaritmer er til stede i et udtryk, beregnes deres værdi fra begyndelsen, hvis det er muligt. For eksempel kan du i udtrykket log 2 4 + 2 · 4 straks skrive værdien af denne logaritme ned i stedet for log 2 4 og derefter udføre alle handlingerne. Vi får: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Numeriske udtryk kan også findes under selve logaritmetegnet og ved dets base. I dette tilfælde er den første ting at gøre at finde deres betydninger. Lad os tage udtrykket log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Vi har:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Hvis det er umuligt at beregne den nøjagtige værdi af logaritmen, hjælper en forenkling af udtrykket med at finde dens værdi.
Eksempel 11: Værdien af et numerisk udtryk
Lad os finde værdien af udtrykket log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
Ved egenskaben ved logaritmer:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Ved at bruge logaritmernes egenskaber igen får vi for den sidste brøk i udtrykket:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Nu kan du fortsætte med at beregne værdien af det oprindelige udtryk.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Udtryk med trigonometriske funktioner
Det sker, at udtrykket indeholder de trigonometriske funktioner af sinus, cosinus, tangent og cotangens samt deres inverse funktioner. Værdien beregnes fra før alle andre aritmetiske operationer udføres. Ellers er udtrykket forenklet.
Eksempel 12: Værdien af et numerisk udtryk
Find værdien af udtrykket: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Først beregner vi værdierne af de trigonometriske funktioner, der er inkluderet i udtrykket.
sin - 5 π 2 = - 1
Vi erstatter værdierne i udtrykket og beregner dets værdi:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
Udtryksværdien er fundet.
Ofte skal det først konverteres for at finde værdien af et udtryk med trigonometriske funktioner. Lad os forklare med et eksempel.
Eksempel 13: Værdien af et numerisk udtryk
Vi skal finde værdien af udtrykket cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Til konverteringen vil vi bruge de trigonometriske formler for cosinus af en dobbelt vinkel og cosinus af en sum.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 - cos 1 π 1-1 = 0.
Generelt tilfælde af et numerisk udtryk
Generelt kan et trigonometrisk udtryk indeholde alle de elementer, der er beskrevet ovenfor: parenteser, potenser, rødder, logaritmer, funktioner. Lad os formulere en generel regel for at finde betydningen af sådanne udtryk.
Sådan finder du værdien af et udtryk
- Rødder, potenser, logaritmer mv. erstattes af deres værdier.
- Handlingerne i parentes udføres.
- De resterende handlinger udføres i rækkefølge fra venstre mod højre. Først - multiplikation og division, derefter - addition og subtraktion.
Lad os se på et eksempel.
Eksempel 14: Værdien af et numerisk udtryk
Lad os beregne værdien af udtrykket - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
Udtrykket er ret komplekst og besværligt. Det var ikke tilfældigt, at vi valgte netop et sådant eksempel, efter at have forsøgt at passe ind i det alle de ovenfor beskrevne tilfælde. Hvordan finder man betydningen af et sådant udtryk?
Det er kendt, at når man beregner værdien af en kompleks brøkform, findes værdierne af brøkens tæller og nævner først hver for sig. Vi vil successivt transformere og forenkle dette udtryk.
Lad os først og fremmest beregne værdien af det radikale udtryk 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. For at gøre dette skal du finde værdien af sinus og det udtryk, der er argumentet for den trigonometriske funktion.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Nu kan du finde ud af værdien af sinus:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.
Vi beregner værdien af det radikale udtryk:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Med nævneren af brøken er alt enklere:
Nu kan vi skrive værdien af hele brøken:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .
Med dette i betragtning skriver vi hele udtrykket:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Endeligt resultat:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
I dette tilfælde var vi i stand til at beregne de nøjagtige værdier af rødder, logaritmer, sinus osv. Hvis dette ikke er muligt, kan du forsøge at slippe af med dem gennem matematiske transformationer.
Beregning af udtryksværdier ved hjælp af rationelle metoder
Numeriske værdier skal beregnes konsekvent og nøjagtigt. Denne proces kan rationaliseres og accelereres ved hjælp af forskellige egenskaber ved operationer med tal. For eksempel er det kendt, at et produkt er lig nul, hvis mindst en af faktorerne er lig nul. Tager man denne egenskab i betragtning, kan vi umiddelbart sige, at udtrykket 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 er lig med nul. Samtidig er det slet ikke nødvendigt at udføre handlingerne i den rækkefølge, der er beskrevet i artiklen ovenfor.
Det er også praktisk at bruge egenskaben til at trække lige tal fra. Uden at udføre nogen handlinger kan du bestille, at værdien af udtrykket 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 også er nul.
En anden teknik til at fremskynde processen er brugen af identitetstransformationer såsom gruppering af termer og faktorer og placering af den fælles faktor uden for parentes. En rationel tilgang til at beregne udtryk med brøker er at reducere de samme udtryk i tæller og nævner.
Tag for eksempel udtrykket 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Uden at udføre operationerne i parentes, men ved at reducere brøken, kan vi sige, at værdien af udtrykket er 1 3 .
Find værdierne af udtryk med variable
Værdien af et bogstaveligt udtryk og et udtryk med variable findes for specifikke givne værdier af bogstaver og variable.
Find værdierne af udtryk med variable
For at finde værdien af et bogstaveligt udtryk og et udtryk med variabler, skal du erstatte de givne værdier af bogstaver og variable i det originale udtryk og derefter beregne værdien af det resulterende numeriske udtryk.
Eksempel 15: Værdien af et udtryk med variable
Beregn værdien af udtrykket 0, 5 x - y givet x = 2, 4 og y = 5.
Vi erstatter værdierne af variablerne i udtrykket og beregner:
0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.
Nogle gange kan du transformere et udtryk, så du får dets værdi uanset værdierne af de bogstaver og variabler, der er inkluderet i det. For at gøre dette skal du om muligt slippe af med bogstaver og variabler i udtrykket ved hjælp af identiske transformationer, egenskaber for aritmetiske operationer og alle mulige andre metoder.
For eksempel har udtrykket x + 3 - x naturligvis værdien 3, og for at beregne denne værdi er det ikke nødvendigt at kende værdien af variablen x. Værdien af dette udtryk er lig med tre for alle værdier af variablen x fra dens række af tilladte værdier.
Et andet eksempel. Værdien af udtrykket x x er lig med én for alle positive x'er.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
Så hvis et numerisk udtryk består af tal og tegnene +, −, · og:, så skal du i rækkefølge fra venstre mod højre først udføre multiplikation og division og derefter addition og subtraktion, som vil give dig mulighed for at finde ønsket værdi af udtrykket.
Lad os give nogle eksempler til afklaring.
Eksempel.
Beregn værdien af udtrykket 14−2·15:6−3.
Løsning.
For at finde værdien af et udtryk skal du udføre alle de handlinger, der er angivet i det i overensstemmelse med den accepterede rækkefølge for at udføre disse handlinger. Først, i rækkefølge fra venstre mod højre, udfører vi multiplikation og division, vi får 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Nu udfører vi også de resterende handlinger i rækkefølge fra venstre mod højre: 14−5−3=9−3=6. Sådan fandt vi værdien af det oprindelige udtryk, det er lig med 6.
Svar:
14−2·15:6−3=6.
Eksempel.
Find meningen med udtrykket.
Løsning.
I dette eksempel skal vi først lave multiplikationen 2·(−7) og divisionen med multiplikationen i udtrykket . Når vi husker hvordan , finder vi 2·(−7)=−14. Og at udføre handlingerne i udtrykket først 
, hvorefter 
, og udfør: 
.
Vi erstatter de opnåede værdier i det oprindelige udtryk: .
Men hvad hvis der er et numerisk udtryk under rodtegnet? For at opnå værdien af en sådan rod skal du først finde værdien af det radikale udtryk og overholde den accepterede rækkefølge for at udføre handlinger. For eksempel.
I numeriske udtryk skal rødder opfattes som nogle tal, og det er tilrådeligt straks at erstatte rødderne med deres værdier og derefter finde værdien af det resulterende udtryk uden rødder ved at udføre handlinger i den accepterede rækkefølge.
Eksempel.
Find betydningen af udtrykket med rødder.
Løsning.
Lad os først finde værdien af roden 
. For at gøre dette beregner vi først værdien af det radikale udtryk, vi har −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Og for det andet finder vi rodens værdi.
Lad os nu beregne værdien af den anden rod ud fra det oprindelige udtryk: .
Endelig kan vi finde betydningen af det oprindelige udtryk ved at erstatte rødderne med deres værdier: .
Svar:
Ganske ofte, for at finde betydningen af et udtryk med rødder, er det først nødvendigt at transformere det. Lad os vise løsningen af eksemplet.
Eksempel.
Hvad er meningen med udtrykket 
.
Løsning.
Vi er ikke i stand til at erstatte roden af tre med dens nøjagtige værdi, hvilket forhindrer os i at beregne værdien af dette udtryk på den måde, der er beskrevet ovenfor. Vi kan dog beregne værdien af dette udtryk ved at udføre simple transformationer. Gældende kvadratforskelformel: . Taget i betragtning, får vi 
. Værdien af det oprindelige udtryk er således 1.
Svar:
.
Med grader
Hvis grundtallet og eksponenten er tal, beregnes deres værdi ved at bestemme graden, for eksempel 3 2 =3·3=9 eller 8 −1 =1/8. Der er også indgange, hvor grundtallet og/eller eksponenten er nogle udtryk. I disse tilfælde skal du finde værdien af udtrykket i basen, værdien af udtrykket i eksponenten og derefter beregne værdien af selve graden.
Eksempel.
Find værdien af et udtryk med formpotenser 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.
Løsning.
I det oprindelige udtryk er der to potenser 2 3·4−10 og (1−1/2) 3,5−2·1/4. Deres værdier skal beregnes, før der udføres andre handlinger.
Lad os starte med potensen 2 3·4−10. Dens indikator indeholder et numerisk udtryk, lad os beregne dets værdi: 3·4−10=12−10=2. Nu kan du finde værdien af selve graden: 2 3·4−10 =2 2 =4.
Grundtallet og eksponenten (1−1/2) 3,5−2 1/4 indeholder udtryk, vi beregner deres værdier for derefter at finde eksponentens værdi. Det har vi (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.
Nu vender vi tilbage til det oprindelige udtryk, erstatter graderne i det med deres værdier og finder værdien af det udtryk, vi har brug for: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.
Svar:
2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.
Det er værd at bemærke, at der er mere almindelige tilfælde, hvor det er tilrådeligt at udføre foreløbige forenkling af udtryk med beføjelser ved basen.
Eksempel.
Find meningen med udtrykket 
.
Løsning.
At dømme efter eksponenterne i dette udtryk, vil det ikke være muligt at opnå nøjagtige værdier af eksponenterne. Lad os prøve at forenkle det originale udtryk, måske vil dette hjælpe med at finde dets betydning. Det har vi 
Svar:
.
Potenser i udtryk går ofte hånd i hånd med logaritmer, men vi vil tale om at finde betydningen af udtryk med logaritmer i en af de.
Find værdien af et udtryk med brøker
Numeriske udtryk kan indeholde brøker i deres notation. Når du skal finde værdien af et sådant udtryk, skal andre brøker end brøker erstattes af deres værdier, før du fortsætter med resten af trinene.
Tælleren og nævneren af brøker (som er forskellige fra almindelige brøker) kan indeholde både nogle tal og udtryk. For at beregne værdien af en sådan brøk, skal du beregne værdien af udtrykket i tælleren, beregne værdien af udtrykket i nævneren og derefter beregne værdien af selve brøken. Denne rækkefølge forklares ved, at brøken a/b, hvor a og b er nogle udtryk, i det væsentlige repræsenterer en kvotient af formen (a):(b), da .
Lad os se på eksempelløsningen.
Eksempel.
Find betydningen af et udtryk med brøker 
.
Løsning.
Der er tre brøker i det oprindelige numeriske udtryk 
Og . For at finde værdien af det oprindelige udtryk skal vi først erstatte disse brøker med deres værdier. Lad os gøre dette.
En brøks tæller og nævner indeholder tal. For at finde værdien af en sådan brøk skal du erstatte brøklinjen med et divisionstegn og udføre denne handling: 
.
I brøkens tæller er der et udtryk 7−2·3, dets værdi er let at finde: 7−2·3=7−6=1. Således,. Du kan fortsætte med at finde værdien af den tredje brøk.
Den tredje brøk i tælleren og nævneren indeholder numeriske udtryk, derfor skal du først beregne deres værdier, og dette vil give dig mulighed for at finde værdien af selve brøken. Det har vi 
.
Det er tilbage at erstatte de fundne værdier i det originale udtryk og udføre de resterende handlinger: .
Svar:
.
Ofte, når du finder værdierne af udtryk med brøker, skal du udføre forenkling af brøkudtryk, baseret på at udføre operationer med fraktioner og reducerende fraktioner.
Eksempel.
Find meningen med udtrykket 
.
Løsning.
Roden af fem kan ikke udtrækkes fuldstændigt, så for at finde værdien af det oprindelige udtryk, lad os først forenkle det. Til dette lad os slippe af med irrationaliteten i nævneren første brøk: 
. Herefter vil det oprindelige udtryk tage formen 
. Efter at have trukket brøkerne fra, vil rødderne forsvinde, hvilket giver os mulighed for at finde værdien af det oprindeligt givne udtryk: .
Svar:
.
Med logaritmer
Hvis et numerisk udtryk indeholder , og hvis det er muligt at slippe af med dem, så gøres dette før andre handlinger udføres. For eksempel, når man finder værdien af udtrykket log 2 4+2·3, erstattes logaritmen log 2 4 med dens værdi 2, hvorefter de resterende handlinger udføres i den sædvanlige rækkefølge, det vil sige log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.
Når der er numeriske udtryk under fortegn for logaritmen og/eller ved dens base, findes først deres værdier, hvorefter værdien af logaritmen beregnes. Overvej for eksempel et udtryk med en logaritme af formen 
. I bunden af logaritmen og under dens fortegn er der numeriske udtryk, vi finder deres værdier: . Nu finder vi logaritmen, hvorefter vi afslutter beregningerne:.
Hvis logaritmer ikke beregnes nøjagtigt, så foreløbig forenkling af det ved hjælp af . I dette tilfælde skal du have en god beherskelse af artikelmaterialet konvertering af logaritmiske udtryk.
Eksempel.
Find værdien af et udtryk med logaritmer 
.
Løsning.
Lad os starte med at beregne log 2 (log 2 256) . Da 256=2 8, så log 2 256=8, derfor, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.
Logaritmerne log 6 2 og log 6 3 kan grupperes. Summen af logaritmerne log 6 2+log 6 3 er lig med logaritmen af produktlog 6 (2 3), således, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.
Lad os nu se på brøken. Til at begynde med vil vi omskrive logaritmens basis i nævneren i form af en almindelig brøk som 1/5, hvorefter vi vil bruge logaritmernes egenskaber, som vil give os mulighed for at opnå værdien af brøken: 
.
Det eneste, der er tilbage, er at erstatte de opnåede resultater med det originale udtryk og afslutte dets værdi: 
Svar:
Hvordan finder man værdien af et trigonometrisk udtryk?
Når et numerisk udtryk indeholder eller osv., beregnes deres værdier før andre handlinger udføres. Hvis der er numeriske udtryk under tegnet for trigonometriske funktioner, beregnes deres værdier først, hvorefter værdierne af de trigonometriske funktioner findes.
Eksempel.
Find meningen med udtrykket 
.
Løsning.
Når vi vender os til artiklen, får vi 
og cosπ=−1 . Vi erstatter disse værdier i det oprindelige udtryk, det tager formen 
. For at finde dens værdi skal du først udføre eksponentiering og derefter afslutte beregningerne: .
Svar:
.
Det er værd at bemærke, at beregning af værdierne af udtryk med sinus, cosinus osv. kræver ofte forudgående konvertering af et trigonometrisk udtryk.
Eksempel.
Hvad er værdien af det trigonometriske udtryk 
.
Løsning.
Lad os transformere det oprindelige udtryk ved at bruge , i dette tilfælde skal vi bruge dobbeltvinklet cosinusformlen og sumcosinusformlen: 
De transformationer, vi lavede, hjalp os med at finde meningen med udtrykket.
Svar:
.
Generel sag
Generelt kan et numerisk udtryk indeholde rødder, potenser, brøker, nogle funktioner og parenteser. At finde værdierne af sådanne udtryk består i at udføre følgende handlinger:
- første rødder, potenser, brøker mv. erstattes af deres værdier,
- yderligere handlinger i parentes,
- og i rækkefølge fra venstre mod højre udføres de resterende operationer - multiplikation og division, efterfulgt af addition og subtraktion.
De anførte handlinger udføres, indtil det endelige resultat er opnået.
Eksempel.
Find meningen med udtrykket 
.
Løsning.
Formen af dette udtryk er ret kompleks. I dette udtryk ser vi brøker, rødder, potenser, sinus og logaritmer. Hvordan finder man dens værdi?
Når vi bevæger os gennem posten fra venstre mod højre, støder vi på en brøkdel af formularen 
. Vi ved, at når vi arbejder med komplekse brøker, skal vi separat beregne værdien af tælleren, separat nævneren og til sidst finde værdien af brøken.
I tælleren har vi roden af formen 
. For at bestemme dens værdi skal du først beregne værdien af det radikale udtryk 
. Der er en sinus her. Vi kan først finde dens værdi efter at have beregnet værdien af udtrykket 
. Dette kan vi gøre:. Så hvor og fra 
.
Nævneren er enkel: .
Således, 
.
Efter at have erstattet dette resultat i det oprindelige udtryk, vil det have formen . Det resulterende udtryk indeholder graden . For at finde dens værdi skal vi først finde værdien af indikatoren, det har vi 
.
Så, .
Svar:
.
Hvis det ikke er muligt at beregne de nøjagtige værdier af rødder, potenser osv., kan du prøve at slippe af med dem ved hjælp af nogle transformationer og derefter vende tilbage til at beregne værdien i henhold til det angivne skema.
Rationelle måder at beregne værdierne af udtryk
Beregning af værdierne af numeriske udtryk kræver konsistens og nøjagtighed. Ja, det er nødvendigt at overholde rækkefølgen af handlinger, der er registreret i de foregående afsnit, men der er ingen grund til at gøre dette blindt og mekanisk. Det, vi mener med dette, er, at det ofte er muligt at rationalisere processen med at finde meningen med et udtryk. For eksempel kan visse egenskaber ved operationer med tal markant fremskynde og forenkle at finde værdien af et udtryk.
For eksempel kender vi denne egenskab ved multiplikation: Hvis en af faktorerne i produktet er lig nul, så er værdien af produktet lig nul. Ved at bruge denne egenskab kan vi umiddelbart sige, at værdien af udtrykket 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) er lig nul. Hvis vi fulgte standardrækkefølgen af operationer, ville vi først skulle beregne værdierne af de besværlige udtryk i parentes, hvilket ville tage meget tid, og resultatet ville stadig være nul.
Det er også praktisk at bruge egenskaben til at trække lige tal fra: Hvis du trækker et lige tal fra et tal, er resultatet nul. Denne egenskab kan betragtes mere bredt: forskellen mellem to identiske numeriske udtryk er nul. For eksempel, uden at beregne værdien af udtrykkene i parentes, kan du finde værdien af udtrykket (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), det er lig med nul, da det oprindelige udtryk er forskellen mellem identiske udtryk.
Identitetstransformationer kan lette den rationelle beregning af udtryksværdier. For eksempel kan gruppering af termer og faktorer være nyttige at sætte den fælles faktor ud af parentes. Så værdien af udtrykket 53·5+53·7−53·11+5 er meget let at finde efter at have taget faktoren 53 ud af parentes: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Direkte beregning ville tage meget længere tid.
For at afslutte dette punkt, lad os være opmærksomme på en rationel tilgang til beregning af værdierne af udtryk med brøker - identiske faktorer i brøkens tæller og nævner annulleres. For eksempel at reducere de samme udtryk i tælleren og nævneren af en brøk 
giver dig mulighed for straks at finde dens værdi, som er lig med 1/2.
At finde værdien af et bogstaveligt udtryk og et udtryk med variable
Værdien af et bogstaveligt udtryk og et udtryk med variable findes for specifikke givne værdier af bogstaver og variable. Det vil sige, at vi taler om at finde værdien af et bogstaveligt udtryk for givne bogstavværdier, eller om at finde værdien af et udtryk med variabler for udvalgte variabelværdier.
Herske at finde værdien af et bogstaveligt udtryk eller et udtryk med variabler for givne værdier af bogstaver eller udvalgte værdier af variable er som følger: du skal erstatte de givne værdier af bogstaver eller variable i det oprindelige udtryk, og beregne værdien af det resulterende numeriske udtryk det er den ønskede værdi.
Eksempel.
Beregn værdien af udtrykket 0,5·x−y ved x=2,4 og y=5.
Løsning.
For at finde den nødvendige værdi af udtrykket skal du først erstatte de givne værdier af variablerne i det oprindelige udtryk og derefter udføre følgende trin: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.
Svar:
−3,8 .
Som en sidste bemærkning vil nogle gange udføre transformationer på bogstavelige og variable udtryk give deres værdier, uanset værdierne af bogstaverne og variablerne. For eksempel kan udtrykket x+3−x forenkles, hvorefter det får formen 3. Ud fra dette kan vi konkludere, at værdien af udtrykket x+3−x er lig med 3 for alle værdier af variablen x fra dens område af tilladte værdier (APV). Et andet eksempel: værdien af udtrykket er lig med 1 for alle positive værdier af x, så intervallet af tilladte værdier for variablen x i det oprindelige udtryk er sættet af positive tal, og i dette område er ligheden holder.
Referencer.
- Matematik: lærebog for 5. klasse. almen uddannelse institutioner / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematik. 6. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse institutioner / [N. Ja. Vilenkin og andre]. - 22. udg., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: lærebog for 7. klasse almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 17. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 240 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: lærebog for 8. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2009. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algebra og begyndelsen af analysen: Proc. for 10-11 klassetrin. almen uddannelse institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. udg. - M.: Uddannelse, 2004. - 384 s.: ill.
På 7. klasses algebrakursus beskæftigede vi os med transformationer af heltalsudtryk, det vil sige udtryk opbygget af tal og variable ved hjælp af operationerne addition, subtraktion og multiplikation samt division med et andet tal end nul. Så udtrykkene er heltal
Derimod udtrykkene
ud over handlingerne addition, subtraktion og multiplikation indeholder de division i et udtryk med variable. Sådanne udtryk kaldes brøkudtryk.
Heltals- og brøkudtryk kaldes rationelle udtryk.
Et helt udtryk giver mening for alle værdier af de variable, der er inkluderet i det, da for at finde værdien af et helt udtryk skal du udføre handlinger, der altid er mulige.
Et brøkudtryk giver måske ikke mening for nogle variabelværdier. For eksempel giver udtrykket - ikke mening, når a = 0. For alle andre værdier af a giver dette udtryk mening. Udtrykket giver mening for de værdier af x og y, når x ≠ y.
Værdierne af de variable, som udtrykket giver mening, kaldes variablenes gyldige værdier.
Et udtryk for formen er kendt som en brøk.
En brøk, hvis tæller og nævner er polynomier, kaldes en rationel brøk.
Eksempler på rationelle brøker er brøkerne
I en rationel brøk er acceptable værdier af variablerne dem, for hvilke brøkens nævner ikke forsvinder.
Eksempel 1. Lad os finde de acceptable værdier af variablen i brøken
Løsning For at finde ud af, ved hvilke værdier af a brøkens nævner bliver nul, skal du løse ligningen a(a - 9) = 0. Denne ligning har to rødder: 0 og 9. Derfor er alle tal undtagen 0 og 9 er gyldige værdier for variablen a.
Eksempel 2. Ved hvilken værdi af x er værdien af brøken 
lig med nul?
Løsning En brøk er nul, hvis og kun hvis a - 0 og b ≠ 0.