Bestem den optimale strategi for brug af udstyr over en længere periode Tår, og overskud for hver jegår, jeg= fra udstyrsbrugsalderen tår bør være maksimalt.
Kendt
r(t) – omsætning fra salg af produkter produceret om året ved brug af ældgammelt udstyr tår;
l(t) – årlige omkostninger afhængig af udstyrets alder t;
Med(t) – restværdi af aldersudstyr tår;
R – udgifter til nyt udstyr.
Udstyrets alder refererer til udstyrets driftsperiode efter sidste udskiftning, udtrykt i år.
Lad os bruge ovenstående trin til at kompilere en matematisk model af problemet.
1. Bestemmelse af antallet af trin. Antallet af trin er lig med antallet af år udstyret har været i brug.
2. Bestemmelse af systemtilstande. Systemets tilstand er karakteriseret ved udstyrets alder t, t= .
3. Definition af ligninger. I begyndelsen jeg-trin jeg= en af to kontroller kan vælges: udskift eller ikke udskift udstyr. Hver kontrolmulighed er tildelt et nummer
4. Fastsættelse af udbetalingsfunktionen på jeg-trin. Vinder funktion til jeg trin er fortjenesten fra brugen af udstyr i slutningen jeg- driftsår, t= , jeg= . Således, hvis udstyret ikke sælges, er fortjenesten fra dets brug forskellen mellem produktionsomkostningerne og driftsomkostningerne. Ved udskiftning af udstyr er fortjeneste forskellen mellem udstyrets restværdi og prisen på nyt udstyr, hvortil kommer forskellen mellem produktionsomkostningerne og driftsomkostningerne for nyt udstyr, hvis alder ved begyndelsen jeg Trin 0 er 0 år.
5. Definition af tilstandsændringsfunktionen
(9.7)
Således, hvis udstyret ikke ændrer sig x i=0, så stiger udstyrets alder med et år t+1 hvis udstyret ændres x i=1, så vil udstyret være et år gammelt.
6. Udarbejdelse af en funktionel ligning for jeg=T
Den øverste linje i den funktionelle ligning svarer til den situation, hvor sidste år udstyret ændres ikke, og virksomheden får en gevinst svarende til forskellen mellem omsætningen r(t) og årlige omkostninger l(t).
7. Opstilling af den grundlæggende funktionelle ligning
Hvor W i(t tår siden jeg-th trin (fra slutningen jegår) indtil udgangen af driftsperioden;
W i + 1 (t) – fortjeneste ved brug af aldersudstyr t+ 1 år fra ( jeg+1) trin indtil slutningen af driftsperioden.
En matematisk model af problemet er blevet konstrueret.
Eksempel
T=12, p= 10, Med(t)=0, r(t) – l(t)=φ (t).
Værdier φ (t) er angivet i tabel 9.1.
Tabel 9.1.
| t | |||||||||||||
| φ (t) |
For dette eksempel vil de funktionelle ligninger se ud
Lad os se på at udfylde tabellen i flere trin.
Betinget optimering starter fra sidste 12. trin. For jeg=12 mulige tilstande af systemet tages i betragtning t= 0, 1, 2, …, 12. Den funktionelle ligning på 12. trin har formen
1) t= 0 
X 12 (0)=0.
2) t= 1 
X 12 (1)=0.
10) t= 9 
X 12 (9)=0.
11) t= 10 
X 12 (10)=0; X 12 (10)=1.
13) t= 12 
X 12 (12)=0; X 12 (12)=1.
På 12. trin skal udstyr i alderen 0 – 9 år således ikke udskiftes. Udstyr i alderen 10 - 12 år kan udskiftes eller fortsættes i brug, da for t= 10, 11, 12 er der to betingede optimeringskontroller 1 og 0.
På baggrund af beregningsresultaterne udfyldes to kolonner i tabel 9.2 tilsvarende i= 12.
Betinget optimering af 11. trin.
For jeg=11 alle mulige tilstande i systemet tages i betragtning t=0, 1, 2, …, 12. Den funktionelle ligning på 11. trin har formen
1) t= 0 X 11 (0)=0.
2) t= 1 X 11 (1)=0.
6) t= 5 X 11 (5)=0; X 11 (5)=1.
7) t= 6 X 11 (6)=1.
13) t= 12 X 11 (12)=1.
Derfor bør du på trin 11 ikke udskifte udstyr, der er 0 – 4 år gammelt. For udstyr, der er 5 år gammelt, er to brugsstrategier mulige: udskiftning eller fortsat drift.
Fra det 6. år og fremefter bør udstyret udskiftes. På baggrund af beregningsresultaterne udfyldes to kolonner i tabel 9.2 tilsvarende jeg=11.
1) t= 0 X 10 (0)=0.
2) t= 1 X 10 (1)=0.
3) t= 2 X 10 (2)=0.
4) t= 3 X 10 (3)=0.
5) t= 4 X 10 (4)=1.
13) t= 12 X 10 (12)=1.
På trin 10 bør du ikke udskifte udstyr, der er 0 – 3 år gammelt. Fra år 4 og fremefter bør udstyr udskiftes, da nyt udstyr giver større overskud.
På baggrund af beregningsresultaterne udfyldes to kolonner i 9.2, tilsvarende jeg=10.
De resterende ni kolonner i tabel 9.2 er udfyldt på samme måde. Ved beregning W i + 1 (t) ved hvert værditrin φ (t) for alle t=0, 1, 2, …, 12 er taget fra tabel 9.1 af de indledende data, der er angivet i problemformuleringen, og værdierne W i(t) – fra den sidste kolonne udfyldt i det foregående trin i 9.2.
Den betingede optimeringsfase slutter efter udfyldning af tabel 9.2.
Ubetinget optimering begynder med det første skridt.
Lad os antage det i det første trin jeg=1 der er nyt udstyr, hvis alder er 0 år.
For t=t 1 = 0 er det optimale udbytte W 1 (0)=82. Denne værdi svarer til den maksimale fortjeneste ved at bruge nyt udstyr i 12 år.
W*=W 1 (0)=82.
Jeg vinder W 1 (0)=82 svarer X 1 (0)=0.
For jeg=2 ved formel (9,7) t 2 =t 1 +1=1.
Ubetinget optimal kontrol X 2 (1)=0.
For jeg=3 ifølge formel (9.7) t 3 =t 2 +1=2.
Ubetinget optimal kontrol X 3 (2)=0.
| jeg=4 | t 4 =t 3 +1=3 | X 4 (3)=0 |
| jeg=5 | t 5 =t 4 +1=4 | X 5 (4)=1 |
| jeg=6 | t 6 = 1 | X 6 (1)=0 |
| jeg=7 | t 7 =t 6 +1=2 | X 7 (2)=0 |
| jeg=8 | t 8 =t 7 +1=3 | X 8 (3)=0 |
| jeg=9 | t 9 =t 8 +1=4 | x 9 (4)=1 |
| jeg=10 | t 10 = 1 | X 10 (1)=0 |
| jeg=11 | t 11 =t 10 +1=2 | X 11 (2)=0 |
| jeg=12 | t 12 =t 11 +1=3 | X 12 (3)=0 |
Til dette formål er den optimale strategi at udskifte udstyr, når det fylder 4 år. På samme måde kan den optimale strategi for brug af udstyr af enhver alder bestemmes.
Den venstre kolonne i tabel 9.2 registrerer mulige tilfælde af systemet t= , i den øverste linje – trinnumre jeg= . For hvert trin bestemmes betingede optimale kontroller x i(t) og betinget optimal udbetaling W i(t) c jeg-th trin og til slutningen for udstyr alder tår.
De kontroller, der udgør den optimale strategi for brug af udstyr, er fremhævet med fed i Tabel 9.2.
Tabel 9.2.
| t | jeg=12 | jeg=11 | jeg=10 | jeg=9 | jeg=8 | jeg=7 | jeg=6 | jeg=5 | jeg=4 | jeg=3 | jeg=2 | jeg=1 | ||||||||||||
| x 12 | W 12 | x 11 | W 11 | x 10 | W 10 | x 9 | W 9 | x 8 | W 8 | x 7 | W 7 | x 6 | W 6 | x 5 | W 5 | x 4 | W 4 | x 3 | W 3 | x 2 | W 2 | x 1 | W 1 | |
| 0/1 | 0/1 | |||||||||||||||||||||||
| 0/1 | 0/1 | 0/1 | 0/1 | |||||||||||||||||||||
| 0/1 | 0/1 | 0/1 | ||||||||||||||||||||||
| 0/1 | ||||||||||||||||||||||||
| 0/1 | ||||||||||||||||||||||||
| 0/1 |
Optimal strategi for udskiftning af udstyr
Et af de vigtige økonomiske problemer er beslutsomheden optimal strategi i at erstatte gamle maskiner, enheder, maskiner med nye.
Aldring af udstyr omfatter dets fysiske og moralske slitage, som et resultat af, at produktionsomkostningerne til at producere produkter på gammelt udstyr stiger, omkostningerne til reparation og vedligeholdelse stiger, produktivitet og væskeværdi falder.
Der kommer et tidspunkt, hvor det er mere rentabelt at sælge gammelt udstyr og erstatte det med nyt end at betjene det til en pris høje omkostninger; Desuden kan den udskiftes med nyt udstyr af samme type eller nyt, mere avanceret.
Den optimale strategi for udskiftning af udstyr er at bestemme det optimale udskiftningstidspunkt. Optimalitetskriteriet i dette tilfælde kan være fortjenesten fra driften af udstyret, som bør optimeres, eller de samlede driftsomkostninger i den betragtede periode, som bør minimeres.
Lad os introducere følgende notation: r(t) er prisen på produkter produceret på et år på en enhed af udstyr på t år;
u(t) - årlige vedligeholdelsesomkostninger for udstyr på t år;
s(t) - restværdi af udstyr på t år;
P er købsprisen for udstyret.
Lad os overveje en periode på N år, inden for hvilken det er nødvendigt at bestemme den optimale udstyrsudskiftningscyklus.
Lad os angive med fN(t) den maksimale indkomst modtaget fra udstyr på t år i de resterende N år af udstyrsbrugscyklussen, med forbehold for en optimal strategi.
Udstyrets alder tælles i processtrømmens retning. Således svarer t = 0 til tilfældet med brug af nyt udstyr. Tidsfaserne i processen er nummereret i den modsatte retning i forhold til processens forløb. Således refererer N = 1 til et tidstrin, der er tilbage indtil afslutningen af processen, og N = N - til begyndelsen af processen.
På hvert trin i N-stadie-processen skal der træffes en beslutning om at beholde eller udskifte udstyr. Den valgte mulighed skal sikre maksimal profit.
Funktionelle ligninger baseret på princippet om optimalitet har formen:
Den første ligning beskriver en N-trins proces, og den anden beskriver en et-trins proces. Begge ligninger har to dele: den øverste linje bestemmer den indkomst, der modtages ved at vedligeholde udstyret; lavere - indkomst modtaget ved udskiftning af udstyr og videreførelse af arbejdsprocessen på nyt udstyr.
I den første ligning er funktionen r(t) - u(t) forskellen mellem omkostningerne ved fremstillede produkter og driftsomkostningerne på det N. trin af processen.
Funktionen fN–1 (t + 1) karakteriserer det samlede overskud fra (N - 1) resterende etaper for udstyr, hvis alder ved begyndelsen af disse stadier er (t + 1) år.
Bundlinjen i den første ligning er karakteriseret som følger: Funktionen s(t) - P repræsenterer nettoomkostningerne ved at udskifte udstyr, der er t år gammelt.
Funktionen r(0) udtrykker indtægter modtaget fra nyt udstyr på 0 år. Det antages, at overgangen fra at arbejde på udstyr i alderen t år til at arbejde på nyt udstyr sker øjeblikkeligt, dvs. perioden med udskiftning af gammelt udstyr og overgangen til at arbejde på nyt udstyr passer ind i samme fase.
Den sidste funktion fN–1 repræsenterer indkomsten fra de resterende N - 1 stadier, før starten af hvilke udstyret er et år gammelt.
En lignende fortolkning kan gives til ligningen for en et-trins proces. Der er ingen led på formen f0(t + 1), da N tager værdien 1, 2,..., N. Ligheden f0(t) = 0 følger af definitionen af funktionen fN(t).
Ligningerne er tilbagevendende relationer, der giver os mulighed for at bestemme værdien af fN(t) afhængigt af fN–1(t + 1). Strukturen af disse ligninger viser, at når man flytter fra et trin i processen til det næste, stiger udstyrets alder fra t til (t + 1) år, og antallet af resterende trin falder fra N til (N - 1) .
Beregningen begynder med den første ligning. Ligningerne giver dig mulighed for at vurdere mulighederne for at udskifte og vedligeholde udstyr for at acceptere det, der giver mest indkomst. Disse forhold gør det muligt ikke kun at vælge et handlingsforløb, når man beslutter, om man skal vedligeholde eller udskifte udstyr, men også at bestemme overskuddet, når man træffer hver af disse beslutninger.
Eksempel. Bestem den optimale udstyrsudskiftningscyklus med følgende indledende data: P = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t), vist i tabellen.
Løsning. Vi skriver ligningerne i følgende form:
Vi fortsætter beregningerne indtil betingelsen f1(1) > f2(2) er opfyldt, dvs. V i øjeblikket udstyret skal udskiftes, da fortjenesten opnået ved at udskifte udstyret er større end ved brug af det gamle. Vi placerer beregningsresultaterne i tabellen, markerer udskiftningsøjeblikket med en stjerne, hvorefter vi stopper yderligere beregninger langs linjen.
Du behøver ikke løse ligningen hver gang, men udføre beregningerne i en tabel. Lad os f.eks. beregne f4(t):
Vi stopper yderligere beregninger for f4(t), da f4(4) = 23 På baggrund af beregningsresultaterne og langs linjen, der afgrænser beslutningsområderne for vedligeholdelse og udskiftning af udstyr, finder vi den optimale udstyrsudskiftningscyklus. Til denne opgave er det 4 år.
Svar. For at opnå maksimalt udbytte af at bruge udstyr i en 12-trins proces, er den optimale cyklus at udskifte udstyr hvert 4. år.
Optimal ressourceallokering
Lad der være en vis mængde ressourcer x, der skal fordeles på n forskellige virksomheder, objekter, jobs osv. for at opnå den maksimale samlede effektivitet fra den valgte distributionsmetode.
Lad os introducere følgende notation: xi - mængden af ressourcer allokeret til den i-te virksomhed (i = );
gi(xi) er hjælpefunktionen, i i dette tilfælde dette er mængden af indkomst fra brugen af ressource xi modtaget af den i-te virksomhed;
fk(x) er den højeste indkomst, der kan opnås ved at bruge ressourcer x fra de første k forskellige virksomheder.
Den formulerede opgave kan skrives i matematisk form:
med restriktioner:
For at løse problemet er det nødvendigt at opnå en gentagelsesrelation, der forbinder fk(x) og fk–1(x).
Lad os angive med xk mængden af ressource brugt af den kth metode (0 ≤ xk ≤ x), så for (k - 1) metoder er mængden af resterende ressourcer lig med (x - xk). Den største indkomst, der opnås ved brug af en ressource (x - xk) fra de første (k - 1) metoder, vil være fk–1(x - xk).
For at maksimere den samlede indkomst fra den k–th og den første (k - 1) metode, er det nødvendigt at vælge xk på en sådan måde, at følgende relationer er opfyldt:
Lad os overveje specifik opgave om fordeling af anlægsinvesteringer mellem virksomheder.
Investeringsfordeling for effektiv brug virksomhedspotentiale
Selskabets bestyrelse behandler forslag om at øge produktionskapaciteten for at øge produktionen af homogene produkter i fire virksomheder ejet af selskabet.
For at udvide produktionen tildeler bestyrelsen midler på 120 millioner rubler. med diskrethed på 20 millioner rubler. Stigningen i produktionen hos virksomheder afhænger af det tildelte beløb, dets værdier præsenteres af virksomheder og er indeholdt i tabellen.
Find den fordeling af midler mellem virksomheder, der sikrer den maksimale stigning i produktionen, og der kan ikke foretages mere end én investering pr. virksomhed.
Løsning. Lad os opdele løsningen af problemet i fire faser alt efter antallet af virksomheder, hvor der forventes at blive investeret.
Gentagelsesrelationerne vil se ud som:
for virksomhed nr. 1
for alle andre virksomheder
Vi vil udføre løsningen efter gentagelsesrelationer i fire faser.
1. etape. Vi foretager kun investeringer for den første virksomhed. Så
2. etape. Vi allokerer investeringer til den første og anden virksomhed. Gentagelsesrelationen for 2. trin har formen
ved x = 20 f2(20) = maks. (8 + 0,0 + 10) = maks. (8, 10) = 10,
ved x = 40 f2(40) = max (16,8 + 10,20) = max (16, 18, 20) =20,
ved x = 60 f2(60) = maks (25,16 + 10, 8 + 20,28) = maks (25,26, 28,28) = 28,
ved x = 80 f2(80) = maks (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = maks (36, 35, 36, 36, 40) = 40,
ved x = 100 f2(100) = max (44,36 + 10,25 + 20,16 + 28,8 + 40,48) = max (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,
ved x = 120 f2(120) = max (62,44 + 10,36 +20,25 + 28,16 + 40,8 + 48,62) = max (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.
3. etape. Vi finansierer 2. fase og tredje virksomhed. Vi udfører beregninger ved hjælp af formlen
ved x = 20 f3(20) = max(10, 12) = 12,
ved x = 40 f3(40) = maks. (20.10 + 12.21) = maks. (20, 22, 21) = 22,
ved x = 60 f3(60) = maks. (28.20 + 12.10 + 21.27) = maks. (28, 32, 31, 27) = 32,
ved x = 80 f3(80) = maks (40,28 + 12,20 + 21,10 + 27,38) = maks (40, 40, 41, 37, 38) = 41,
ved x = 100 f3(100) = max (48,40 + 12,28 + 21,20 + 27,10 + 38,50) = max (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,
ved x = 120 f3(120) = max (62,48 + 12,40 + 21,28 + 27,20 + 38,10 + 50,63) = max (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.
4. etape. Investeringer i mængden af 120 millioner rubler. fordelt mellem 3. etape og fjerde virksomhed.
Ved x = 120 f4(120) = max (63,52 + 11,41 + 23,32 + 30,22 + 37,12 + 51,63) = max (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.
Kontrolbetingelserne fra 1. til 4. trin opnås. Lad os vende tilbage fra 4. til 1. etape. Den maksimale stigning i produktproduktionen er 64 millioner rubler. opnået på 4. trin som 41 + 23, dvs. 23 millioner rub. svarer til tildelingen af 40 millioner rubler. den fjerde virksomhed (se tabel 29.3). Ifølge 3. fase, 41 millioner rubler. opnået som 20 + 21, dvs. 21 millioner rub. svarer til en dedikeret tildeling på 40 millioner rubler. til en tredje virksomhed. Ifølge fase 2, 20 millioner rubler. modtaget med tildelingen af 40 millioner rubler. til den anden virksomhed.
Således investeringer i mængden af 120 millioner rubler. Det er tilrådeligt at allokere 40 millioner rubler hver til den anden, tredje og fjerde virksomhed. hver, mens stigningen i produktionen vil være maksimal og beløbe sig til 64 millioner rubler.
Minimering af omkostninger til opførelse og drift af virksomheder
Optimalt placeringsproblem fremstillingsvirksomheder kan reduceres til problemet med ressourceallokering i henhold til minimeringskriteriet, under hensyntagen til de heltalsbetingelser, der pålægges variablerne.
Lad der være et givet behov for et efterspurgt produkt i et bestemt område. Der er kendte punkter, hvor det er muligt at bygge virksomheder, der producerer dette produkt. Omkostningerne til opførelse og drift af sådanne virksomheder er beregnet.
Det er nødvendigt at lokalisere virksomheder, så omkostningerne ved deres opførelse og drift er minimale.
Lad os introducere følgende notation:
x er mængden af distribueret ressource, der kan bruges på n forskellige måder,
xi - mængden af ressource brugt i henhold til i-metoden (i = );
gi(xi) er en omkostningsfunktion lig f.eks. værdien af produktionsomkostninger ved brug af ressource xi ved brug af i-metoden;
φk(x) - laveste omkostning, som skal produceres ved brug af ressource x på de første k måder.
Det er nødvendigt at minimere de samlede omkostninger ved at udvikle ressource x på alle måder:
under restriktioner
Den økonomiske betydning af variablerne xi er at finde antallet af virksomheder anbefalet til byggeri på det i-te punkt. For at lette beregningerne vil vi antage, at opførelsen af virksomheder med samme kapacitet er planlagt.
Lad os overveje det specifikke problem med at lokalisere virksomheder.
Eksempel. I tre distrikter af byen planlægger iværksætteren at bygge fem virksomheder med samme kapacitet til at producere bagværk, der er efterspurgt.
Det er nødvendigt at placere virksomhederne på en sådan måde, at der sikres minimumsomkostninger for deres opførelse og drift. Værdierne af omkostningsfunktionen gi(x) er angivet i tabellen.
I i dette eksempel gi(x) er en funktion af udgifter i millioner rubler, der karakteriserer størrelsen af bygge- og driftsomkostninger afhængigt af antallet af virksomheder beliggende i den i-te region;
φk(x) er den mindste mængde omkostninger i millioner rubler, der skal afholdes under opførelsen og driften af virksomheder i de første k regioner.
Løsning. Vi løser problemet ved hjælp af gentagelsesrelationer: for den første region
for andre områder
Vi løser problemet i tre faser.
1. etape. Hvis alle virksomheder kun bygges i det første distrikt, så
de mindst mulige omkostninger ved x = 5 er 76 millioner rubler.
2. etape. Lad os bestemme den optimale strategi for kun at lokalisere virksomheder i de to første regioner ved hjælp af formlen
Lad os finde φ2(l):
g2(1) + φ1(0) = 10 + 0 = 10,
g2(0) + φ1(l)= 0 +11 = 11,
φ2(l) = min (10, 11) = 10.
Lad os beregne φ2(2):
g2(2) + φ1(0) = 19 + 0 = 19,
g2(l) + φ1(l) = 10 + 11 = 21,
g2(0) + φ1 (2) = 0 + 18 = 18,
φ2(2) = min (19, 21, 18) = 18.
Lad os finde φ2(3):
g2(3) + φ1 (0) = 34 + 0 = 34,
g2(2) + φ1(l) = 19 + 11 = 30,
g2(1) + φ1(2) = 10 + 18 = 28,
g2(0) + φ1(3) = 0 + 35 = 35,
φ2(3) = min (34, 30, 28, 35) = 28.
Lad os definere φ2(4):
g2(4) + φ1(0) = 53 + 0 = 53,
g2(3) + φ1(l) = 34 + 11 = 45,
g2(2) + φ1(2) = 19 + 18 = 37,
g2(l) + φ1(3) = 10 + 35 = 45,
g2(0) +φ1(4) = 0 + 51 = 51,
φ2(4) = min (53, 45, 37, 45, 51) = 37.
Lad os beregne φ2(5):
g2(5) + φ1(0) = 75 + 0 = 75,
g2(4) + φ1(l) = 53 + 11 = 64,
g2(3) + φ1(2) = 34 + 18 = 52,
g2(2) + φ1(3) = 19 + 35 = 54,
g2(1) + φ1(4) = 10 + 51 = 61,
g2(0) + φ1(5) = 0 + 76 = 76,
φ2(5) = min (75, 64, 52, 54, 61, 76) = 52.
3. etape. Lad os bestemme den optimale strategi for lokalisering af fem virksomheder i tre distrikter ved hjælp af formlen
φ3(x) = min(g3(x3) + φ2(x – x3)).
Lad os finde φ3(5):
g3(5) + φ2(0) = 74 + 0 = 74,
g3(4) + φ2(1) = 54 + 10 = 64,
g3(3) + φ2(2) = 36 + 18 = 54,
g3(2) +φ2(3) = 20 + 28 = 48,
g3(1) + φ2(4) = 9 + 37 = 46,
g3(0) + φ2(5) = 0 + 52 = 52,
φ3(5) = min (74, 64, 54, 48, 46, 52) = 46.
De mindst mulige omkostninger ved x = 5 er 46 millioner rubler.
Omkostningerne til opførelse af virksomheder fra 1. til 3. etape er fastsat. Lad os vende tilbage til trin 1 den 3. Minimumsomkostninger til 46 millioner rubler. på 3. trin opnås som 9 + 37, dvs. 9 millioner rub. svarer til opførelsen af én virksomhed i den tredje region (se tabel 29.4). Ifølge 2. fase, 37 millioner rubler. opnået som 19 + 18, dvs. 19 millioner rub. svarer til opførelsen af to virksomheder i den anden region. Ifølge 1. fase, 18 millioner rubler. svarer til opførelsen af to virksomheder i den første region.
Svar. Den optimale strategi er at bygge en virksomhed i den tredje region, to virksomheder hver i den anden og første region, mens minimumsomkostningerne til opførelse og drift vil være 46 den. enheder
At finde rationelle omkostninger ved konstruktion af rørledninger og transportårer
Det er påkrævet at lægge en sti (rørledning, motorvej) mellem to punkter A og B på en sådan måde, at de samlede omkostninger ved dens konstruktion er minimale.
Løsning. Lad os opdele afstanden mellem punkt A og B i trin (segmenter). Ved hvert trin kan vi bevæge os enten ret øst (langs X-aksen) eller ret nord (langs Y-aksen). Så repræsenterer stien fra A til B en trinvist stiplet linje, hvis segmenter er parallelle med en af koordinatakserne. Omkostningerne til konstruktionen af hver sektion er kendt (fig. 29.2) i millioner rubler.
Lad os dele afstanden fra A til B i østlig retning i 4 dele, i nordlig retning - i 3 dele. Stien kan betragtes som et kontrolleret system, der bevæger sig under indflydelse af kontrol fra starttilstand A til sluttilstand B. Dette systems tilstand før starten af hvert trin vil være karakteriseret ved to heltalskoordinater x og y. For hver tilstand af systemet (knudepunkt) finder vi den betingede optimale kontrol. Det er valgt således, at omkostningerne ved alle resterende trin indtil slutningen af processen er minimale. Vi udfører den betingede optimeringsprocedure i den modsatte retning, dvs. fra punkt B til punkt A.
Lad os finde den betingede optimering af det sidste trin.
Dynamisk programmering. Problem med udskiftning af udstyr
Find det optimale tidspunkt for udskiftning af udstyr. Startpris for udstyr q 0 =6000 konventionelt. enheder, bjærgningsværdi L(t)=q 0 2 -i, omkostninger til vedligeholdelse af udstyr i alderen i år i 1 år S(t)=0,1q 0 (t+1), udstyrets levetid 5 år. Ved slutningen af dets levetid sælges udstyret. Løs problemet grafisk.
Indtast for at bygge en graf i Wolfram Mathematica 6.0-software
g = Plot[(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]
Som et resultat får vi en graf:
Det ser vi på grafen optimal tid udskiftning af udstyr er det andet år af dets drift.
Dynamisk programmering. Optimal fordeling af midler mellem virksomheder
Find den optimale fordeling af midler i mængden af 9 konventionelle enheder. enheder mellem fire virksomheder. Overskuddet fra hver virksomhed er en funktion af de midler, der er investeret i den og er vist i tabellen:
|
Investeringer |
|||||||||
|
jeg virksomhed |
|||||||||
|
II virksomhed |
|||||||||
|
III virksomhed |
|||||||||
|
IV virksomhed |
Investeringer i hver virksomhed er multipla af 1 konventionel enhed. enheder
Lad os opdele processen med at allokere midler til virksomheder i 4 faser: i første fase tildeles y 1 midler til virksomhed P 1, i anden - y 2 midler til virksomhed P 2, i tredje - y 3 midler til virksomhed P 3, på den fjerde tredje - y 4 midler til virksomheden P 4
x n = x n - 1 - y n, n = 1,2,3, 4.
Bemærk, at på det fjerde trin af allokering af midler investeres hele saldoen x 3 i virksomheden P 4, derfor y 3 = x 4.
Lad os bruge Bellmans ligninger for N = 4.
Som et resultat får vi følgende tabeller:
Tabel 1
 |
||||||||||||
Tabel 2
Tabel 3
Tabel 4
Af tabel 4 følger, at den optimale kontrol vil være y 1 * = 3, mens den optimale fortjeneste er 42. Dernæst får vi
x 1 = x 0 - y 1 *=9-3=6, 2 (x 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1
x 2 = x 1 - y 2 *=6-1=5, 3 (x 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1
x 3 = x 2 - y 3 *=5-1=4, 4 (x 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4
Den mest optimale investering er således i virksomhederne P1, P2, P3 og P4 kontanter i mængden af henholdsvis 4, 1,1 og 3 konventionelle enheder. I dette tilfælde vil overskuddet være maksimalt og beløbe sig til 42 konventionelle enheder. enheder
Under drift er udstyret udsat for fysisk og moralsk slitage. Der er to måder at restaurere udstyr på - komplet og delvist. I tilfælde af fuldstændig restaurering udskiftes udstyret med nyt i tilfælde af delvis restaurering, repareres udstyret. For optimal udnyttelse af udstyret skal du finde den alder, hvor det skal udskiftes, så indtægten fra maskinen er maksimal eller, hvis indtægt ikke kan beregnes, omkostningerne til reparation og vedligeholdelsesbehov er minimale. Denne tilgang ses ud fra forbrugerens økonomiske interesser.
For at optimere reparation og udskiftning af udstyr er det nødvendigt at udvikle en maskinudskiftningsstrategi for planlægningsperioden. Som økonomiske interesser kan en af to tilgange anvendes:
1. Maksimal indkomst fra en bil over en vis periode.
2. Minimumsomkostninger til reparations- og vedligeholdelsesbehov, hvis indtægt ikke kan opgøres.
Dette problem løses med metoden dynamisk programmering. Hovedideen med denne metode er at erstatte samtidig udvælgelse mere parametre ved at vælge dem én efter én. Denne metode kan løse en lang række optimeringsproblemer. Almindeligheden af tilgangen til at løse en lang række problemer er en af fordelene ved denne metode.
Lad os overveje en mekanisme til optimering af reparation og udskiftning af udstyr. For at løse problemet introducerer vi følgende notation:
t er udstyrets alder;
d(t) - årlig nettoindkomst fra udstyr i alderen t;
U(t) - omkostninger til reparations- og vedligeholdelsesbehov af en maskine af alderen t;
C er prisen på nyt udstyr.
For at løse dette problem introducerer vi en funktion fn(t), som viser værdien af den maksimale indkomst over de sidste n - år, forudsat at vi i begyndelsen af perioden på n - år havde en bilalder t - år.
Algoritmen til at løse problemet er som følger:
1) f1(t) = maks. d(0) - C
) fn(t) = maks. fn-1(t+1) + d(t)
fn-1(1) + d(0) - C
En stigning i omkostningerne vil føre til et fald i nettoindtægten, som beregnes som følger:
d(t) = r(t) - u(t)
r(t) - årlig indkomst fra udstyr i alderen t;
u(t) - årlige omkostninger til reparations- og vedligeholdelsesbehov
udstyr alder t.
Indtægtsmaksimeringstilgang
For at løse dette problem introducerer vi funktionen fn(t), som viser værdien af den maksimale indkomst over de sidste n-år, forudsat at vi i begyndelsen af perioden på n-år havde udstyr, der var t-år gammelt .
Hvis der er 1 år tilbage til periodens udløb
Hvis der er n år tilbage til periodens udløb
(t) = maks 
hvor t er udstyrets alder;
d (t) - årlig nettoindkomst fra udstyr i alderen t;
C er prisen på nyt udstyr.
En stigning i omkostningerne vil føre til et fald i nettoindtægten, som beregnes som følger:
(t) = r(t) - u(t)
hvor r (t) er den årlige indkomst fra udstyr i alderen t;
u(t) - årlige omkostninger til reparation og driftsbehov af udstyr i alderen t.
Lad os beregne nettoindkomsten ved hjælp af formlen, ved at kende dynamikken i indkomstindtægter og væksten i reparationsomkostninger.
Tabel 2. Nettoindtægter af udstyr fordelt på år
Denne service er beregnet til online løse problemet med optimal udstyrsopgraderingsstrategi. Typisk er følgende parametre angivet i kildedataene:
- r(t) er omkostningerne ved produkter, der er produceret i løbet af hvert år af planlægningsperioden ved brug af dette udstyr;
- u(t) - årlige omkostninger forbundet med driften af udstyr;
- s(t) - restværdi af udstyr;
- p er prisen på nyt udstyr, som inkluderer omkostninger forbundet med installation, idriftsættelse og opstart af udstyr og ændres ikke i en given planperiode.
Planlægning af kapitalinvesteringer.
Eksempel nr. 1. Find den optimale strategi for drift af udstyr i en periode på 6 år, hvis årsindkomsten r(t) og restværdien S(t) afhængig af alder er angivet i tabellen, er prisen på nyt udstyr P = 13, og alderen på udstyret ved begyndelsen af driftsperioden var 1 år.| t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| r(t) | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
| s(t) | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 | 6 | 4 |
Fase I. Betinget optimering(k = 6,5,4,3,2,1).
Kontrolvariabel til kth trin er en logisk variabel, der kan tage en af to værdier: behold (C) eller udskift (R) udstyr i begyndelsen af det k-te år.
1. trin: k = 6. For 1. trin er systemets mulige tilstande t = 1,2,3,4,5,6, og de funktionelle ligninger har formen:
F6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F 6 (1) = max(7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = max(7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = max(6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = max(6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = max(5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = max(5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2. trin: k = 5. For 2. trin er systemets mulige tilstande t = 1,2,3,4,5, og de funktionelle ligninger har formen:
F 5 (t) = max(r(t) + F6 (t+1); S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = max(7 + 7; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = max(7 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = max(6 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = max(6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = max(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (3)
3. trin: k = 4. For 3. trin er systemets mulige tilstande t = 1,2,3,4, og de funktionelle ligninger har formen:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1); S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = max(7 + 13; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = max(7 + 12; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = max(6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (N/W)
F 4 (4) = max(6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (N/W)
F 4 (5) = max(5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (3)
F 4 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (W)
4. trin: k = 3. For 4. trin er systemets mulige tilstande t = 1,2,3, og de funktionelle ligninger har formen:
F3 (t) = max(r(t) + F4 (t+1); S(t) - P + r(0) + F4 (1))
F 3 (1) = max(7 + 19; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = max(7 + 17; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = max(6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (W)
F 3 (4) = max(6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (W)
F 3 (5) = max(5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (W)
F 3 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (W)
5. trin: k = 2. For 5. trin er systemets mulige tilstande t = 1,2, og de funktionelle ligninger har formen:
F 2 (t) = max(r(t) + F3 (t+1); S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = max(7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (N/W)
F 2 (2) = max(7 + 23; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = max(6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (W)
F 2 (4) = max(6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (W)
F 2 (5) = max(5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (W)
F 2 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (W)
6. trin: k = 1. For 6. trin er systemets mulige tilstande t = 1, og de funktionelle ligninger har formen:
F 1 (t) = max(r(t) + F2 (t+1); S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = max(7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = max(7 + 29; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = max(6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (N/W)
F 1 (4) = max(6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (N/W)
F 1 (5) = max(5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (3)
F 1 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (W)
Resultaterne af beregninger ved hjælp af Bellman-ligningerne F k (t) er angivet i tabellen, hvor k er driftsåret, og t er udstyrets alder.
Tabel – Matrix for maksimal profit
| k/t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 37 | 36 | 34 | 33 | 32 | 30 |
| 2 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 25 |
| 3 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 19 |
| 4 | 20 | 19 | 17 | 16 | 15 | 13 |
| 5 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 6 |
| 6 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
Tabellen fremhæver værdien af funktionen svarende til tilstand (3) - udskiftning af udstyr.
Når du løser dette problem i nogle tabeller, når du vurderer valget nødvendig kontrol vi opnåede de samme F-værdier for begge kontrolmuligheder. I dette tilfælde er det i overensstemmelse med algoritmen til løsning af sådanne problemer nødvendigt at vælge en udstyrsbevaringskontrol.
Fase II. Ubetinget optimering(k = 6,5,4,3,2,1).
I henhold til problemets forhold er udstyrets alder t 1 =1 år. Planlagt periode N=6 år.
Ved begyndelsen af det 1. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Fortjenesten vil være F 1 (1) = 37.
Optimal kontrol for k = 1, x 1 (1) = (C), dvs. den maksimale indkomst for år 1 til 6 opnås, hvis udstyret er bevaret, dvs. ikke udskiftet.
Ved begyndelsen af det 2. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Overskuddet vil være F 2 (2) = 30.
Optimal kontrol for k = 2, x 2 (2) = (C), dvs. den maksimale indkomst for år 2 til 6 opnås, hvis udstyret vedligeholdes, dvs. ikke udskiftet.
Ved begyndelsen af det 3. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Overskuddet vil være F 3 (3) = 23.
Ubetinget optimal kontrol for k = 3, x 3 (3)=(3), dvs. For at opnå maksimalt overskud for de resterende år er det nødvendigt at udskifte udstyr i år.
Ved begyndelsen af det 4. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Fortjenesten vil være F 4 (1) = 20.
Optimal kontrol for k = 4, x 4 (1) = (C), dvs. den maksimale indkomst for år 1 til 6 opnås, hvis udstyret bevares, dvs. ikke udskiftet.
Ved begyndelsen af det 5. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Overskuddet vil være F 5 (2) = 13.
Optimal kontrol for k = 5, x 5 (2) = (C), dvs. den maksimale indkomst for år 2 til 6 opnås, hvis udstyret bevares, dvs. ikke udskiftet.
Ved begyndelsen af det 6. driftsår stiger udstyrets alder med et og vil være: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Overskuddet vil være F 6 (3) = 6.
Optimal kontrol for k = 6, x 6 (3) = (C), dvs. den maksimale indkomst for år 3 til 6 opnås, hvis udstyret vedligeholdes, dvs. ikke udskiftet.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (3)→ F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Efter 6 års drift af udstyret skal udskiftning således ske ved begyndelsen af 3. driftsår
Eksempel nr. 2. Problemet med at planlægge kapitalinvesteringer. Planlægningsinterval T=5 år. Omkostningsfunktion til reparationer og videre drift K(t)=t+2t 2 (r.); erstatningsfunktion P(t)=10+0,05t 2 (s.). Bestem den optimale udskiftnings- og reparationsstrategi for nyt udstyr (t=0) og udstyr i alderen t=1, t=2, t=3.
Bestem de optimale planlagte omkostninger for årene af femårsplanen, hvis mængden af udstyr efter aldersgrupper er som følger: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2 )=8, n(t=3)= 5