Lektion fra serien "Geometriske algoritmer"

Hej kære læser!

I dag vil vi begynde at lære algoritmer relateret til geometri. Faktum er, at der er en hel del olympiadeproblemer inden for datalogi relateret til beregningsgeometri, og at løse sådanne problemer giver ofte vanskeligheder.

I løbet af flere lektioner vil vi overveje en række elementære delopgaver, som løsningen af ​​de fleste problemer inden for beregningsgeometri er baseret på.

I denne lektion vil vi lave et program til at finde ligningen for en linje, passerer gennem givet to point. For at løse geometriske problemer har vi brug for en vis viden om beregningsgeometri. Vi vil bruge en del af lektionen til at lære dem at kende.

Indsigt fra Computational Geometry

Beregningsgeometri er en gren af ​​datalogi, der studerer algoritmer til løsning af geometriske problemer.

De indledende data for sådanne problemer kan være et sæt punkter på et plan, et sæt segmenter, en polygon (specificeret for eksempel ved en liste over dets hjørner i urets rækkefølge) osv.

Resultatet kan enten være et svar på et spørgsmål (såsom hører et punkt til et segment, skærer to segmenter hinanden, ...), eller et eller andet geometrisk objekt (f.eks. den mindste konvekse polygon, der forbinder givne punkter, arealet af en polygon osv.).

Vi vil kun overveje problemer med beregningsgeometri på planet og kun i det kartesiske koordinatsystem.

Vektorer og koordinater

For at anvende metoderne til beregningsgeometri er det nødvendigt at oversætte geometriske billeder til talsproget. Vi vil antage, at planet får et kartesisk koordinatsystem, hvor rotationsretningen mod uret kaldes positiv.

Nu får geometriske objekter et analytisk udtryk. Så for at angive et punkt er det nok at angive dets koordinater: et par tal (x; y). Et segment kan specificeres ved at angive koordinaterne for dets ender en lige linje kan angives ved at angive koordinaterne for et par af dets punkter.

Men vores vigtigste værktøj til at løse problemer vil være vektorer. Lad mig derfor huske nogle oplysninger om dem.

Segment AB, hvilket har en pointe EN betragtes som begyndelsen (anvendelsespunktet) og punktet I– ende, kaldet en vektor AB og er f.eks. angivet med enten , eller med fed lille bogstav EN .

For at angive længden af ​​en vektor (det vil sige længden af ​​det tilsvarende segment), vil vi bruge modulsymbolet (for eksempel ).

En vilkårlig vektor vil have koordinater svarende til forskellen mellem de tilsvarende koordinater for dens ende og begyndelse:

,

her er pointerne EN Og B har koordinater henholdsvis.

Til beregninger vil vi bruge konceptet orienteret vinkel, altså en vinkel, der tager højde for vektorernes relative position.

Orienteret vinkel mellem vektorer -en Og b positiv, hvis rotationen er fra vektoren -en til vektor b udføres i positiv retning (mod uret) og negativ i det andet tilfælde. Se fig. 1a, fig. 1b. Det siges også, at et par vektorer -en Og b positivt (negativt) orienteret.

Værdien af ​​den orienterede vinkel afhænger således af rækkefølgen, som vektorerne er opført i, og kan tage værdier i intervallet.

Mange problemer inden for beregningsgeometri bruger begrebet vektorprodukter (skævt eller pseudoskalært) af vektorer.

Vektorproduktet af vektorerne a og b er produktet af længderne af disse vektorer og sinus af vinklen mellem dem:

.

Krydsprodukt af vektorer i koordinater:

Udtrykket til højre er en andenordens determinant:

I modsætning til definitionen givet i analytisk geometri, er det en skalar.

Tegnet for vektorproduktet bestemmer vektorernes position i forhold til hinanden:

-en Og b positivt orienteret.

Hvis værdien er , så et par vektorer -en Og b negativt orienteret.

Krydsproduktet af ikke-nul vektorer er nul, hvis og kun hvis de er kollineære ( ). Det betyder, at de ligger på samme linje eller på parallelle linjer.

Lad os se på nogle få simple problemer, der er nødvendige, når du løser mere komplekse.

Lad os bestemme ligningen for en ret linje ud fra koordinaterne til to punkter.

Ligning for en linje, der går gennem to forskellige punkter, der er specificeret ved deres koordinater.

Lad to ikke-sammenfaldende punkter angives på en ret linje: med koordinater (x1; y1) og med koordinater (x2; y2). Følgelig har en vektor med en begyndelse i et punkt og en ende i et punkt koordinater (x2-x1, y2-y1). Hvis P(x, y) er et vilkårligt punkt på vores linje, så er vektorens koordinater lig med (x-x1, y – y1).

Ved at bruge vektorproduktet kan betingelsen for vektorers kollinearitet og skrives som følger:

Dem. (x-x1)(y2-yl)-(y-yl)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Vi omskriver den sidste ligning som følger:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Så den rette linje kan specificeres med en ligning på formen (1).

Opgave 1. Koordinaterne for to punkter er givet. Find dens repræsentation på formen ax + by + c = 0.

I denne lektion lærte vi nogle oplysninger om beregningsgeometri. Vi løste problemet med at finde ligningen for en linje ud fra koordinaterne af to punkter.

I den næste lektion vil vi lave et program til at finde skæringspunktet for to linjer givet af vores ligninger.

Definition. Enhver ret linje på planet kan specificeres ved en førsteordens ligning

Axe + Wu + C = 0,

Desuden er konstanterne A og B ikke lig med nul på samme tid. Denne første ordens ligning kaldes generel ligning af en ret linje. Afhængigt af værdierne af konstanterne A, B og C er følgende specielle tilfælde mulige:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – den rette linje går gennem origo

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ret linje parallel med Ox-aksen

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – ret linje parallel med Oy-aksen

B = C = 0, A ≠0 – den rette linje falder sammen med Oy-aksen

A = C = 0, B ≠0 – den rette linje falder sammen med Ox-aksen

Ligningen for en ret linje kan præsenteres i forskellige former afhængigt af givne begyndelsesbetingelser.

Ligning af en ret linje fra et punkt og normalvektor

Definition. I det kartesiske rektangulære koordinatsystem er en vektor med komponenter (A, B) vinkelret på den rette linje givet af ligningen Ax + By + C = 0.

Eksempel. Find ligningen for linjen, der går gennem punktet A(1, 2) vinkelret på (3, -1).

Løsning. Med A = 3 og B = -1, lad os sammensætte ligningen for den rette linje: 3x – y + C = 0. For at finde koefficienten C erstatter vi koordinaterne for det givne punkt A i det resulterende udtryk. 3 – 2 + C = 0, derfor C = -1 . I alt: den påkrævede ligning: 3x – y – 1 = 0.

Ligning for en linje, der går gennem to punkter

Lad to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) være givet i rummet, så er ligningen for linjen, der går gennem disse punkter:

Hvis nogen af ​​nævnerne er lig med nul, skal den tilsvarende tæller være lig med nul På planet er ligningen for linjen skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2.

Brøken = k kaldes hældning direkte.

Eksempel. Find ligningen for linjen, der går gennem punkterne A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved at anvende formlen skrevet ovenfor får vi:

Ligning for en ret linje fra et punkt og hældning

Hvis den samlede Ax + Bu + C = 0, føres til formen:

og udpege , så kaldes den resulterende ligning ligning af en ret linje med hældningk.

Ligning af en ret linje fra et punkt og en retningsvektor

I analogi med punktet, der betragter ligningen for en ret linje gennem en normalvektor, kan du indtaste definitionen af ​​en ret linje gennem et punkt og den rette linjes retningsvektor.

Definition. Hver ikke-nul vektor (α 1, α 2), hvis komponenter opfylder betingelsen A α 1 + B α 2 = 0, kaldes en retningsvektor for linjen

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Find ligningen for en ret linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gennem punktet A(1, 2).

Løsning. Vi vil lede efter ligningen for den ønskede linje på formen: Ax + By + C = 0. I overensstemmelse med definitionen skal koefficienterne opfylde betingelserne:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Så har ligningen for den rette linje formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0. for x = 1, y = 2 får vi C/ A = -3, dvs. påkrævet ligning:

Ligning af en linje i segmenter

Hvis i den generelle ligning for den rette linje Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, divideret med –С: eller

Den geometriske betydning af koefficienterne er, at koefficienten EN er koordinaten for skæringspunktet for linjen med Ox-aksen, og b– koordinaten for skæringspunktet mellem den rette linje og Oy-aksen.

Eksempel. Den generelle ligning for linjen x – y + 1 = 0. Find ligningen for denne linje i segmenter.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal ligning af en linje

Hvis begge sider af ligningen Ax + By + C = 0 ganges med tallet som hedder normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normal ligning af en linje. Tegnet ± for den normaliserende faktor skal vælges således, at μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Eksempel. Den generelle ligning for linjen 12x – 5y – 65 = 0 Det er påkrævet at skrive forskellige typer ligninger for denne linje.

ligning af denne linje i segmenter:

ligning af denne linje med hældning: (divider med 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Det skal bemærkes, at ikke hver ret linje kan repræsenteres af en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer parallelt med akserne eller passerer gennem koordinaternes oprindelse.

Eksempel. Den rette linje afskærer lige positive segmenter på koordinatakserne. Skriv en ligning af en ret linje, hvis arealet af trekanten dannet af disse segmenter er 8 cm 2.

Løsning. Ligningen for den rette linje har formen: , ab /2 = 8; ab = 16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Eksempel. Skriv en ligning for en ret linje, der går gennem punkt A(-2, -3) og origo.

Løsning. Ligningen for den rette linje er: hvor xl = y1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Vinkel mellem rette linjer på et plan

Definition. Hvis to linjer er givet y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, så vil den spidse vinkel mellem disse linjer blive defineret som

.

To linjer er parallelle, hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette, hvis k 1 = -1/ k 2.

Sætning. Linjerne Ax + Bу + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle, når koefficienterne A 1 = λA, B 1 = λB er proportionale. Hvis også C 1 = λC, så falder linjerne sammen. Koordinaterne for skæringspunktet for to linjer findes som en løsning på disse linjers ligningssystem.

Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt vinkelret på en given linje

Definition. En ret linje, der går gennem punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelret på den rette linje y = kx + b, er repræsenteret ved ligningen:

Afstand fra punkt til linje

Sætning. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er givet, så bestemmes afstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 som

.

Bevis. Lad punktet M 1 (x 1, y 1) være bunden af ​​vinkelret faldet fra punkt M til en given ret linje. Så afstanden mellem punkterne M og M 1:

(1)

Koordinaterne x 1 og y 1 kan findes ved at løse ligningssystemet:

Systemets anden ligning er ligningen for en linje, der går gennem et givet punkt M 0 vinkelret på en given linje. Hvis vi transformerer systemets første ligning til formen:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

når vi løser det, får vi:

Ved at erstatte disse udtryk i ligning (1), finder vi:

Sætningen er blevet bevist.

Eksempel. Bestem vinklen mellem linjerne: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Eksempel. Vis, at linjerne 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.

Løsning. Vi finder: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, derfor er linjerne vinkelrette.

Eksempel. Givet er hjørnerne af trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Find ligningen for højden tegnet fra toppunktet C.

Løsning. Vi finder ligningen for side AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Den nødvendige højdeligning har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Så y =. Fordi højden passerer gennem punkt C, så opfylder dens koordinater denne ligning: hvorfra b = 17. I alt:.

Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.

Egenskaber for en ret linje i euklidisk geometri.

Et uendeligt antal lige linjer kan tegnes gennem ethvert punkt.

Gennem to ikke-sammenfaldende punkter kan der tegnes en enkelt ret linje.

To divergerende linjer i et plan enten skærer hinanden i et enkelt punkt eller er

parallel (følger af den foregående).

I tredimensionelt rum er der tre muligheder for den relative position af to linjer:

• linjer skærer hinanden;

• linjer er parallelle;

• rette linjer skærer hinanden.

Lige linje— algebraisk kurve af første orden: en ret linje i det kartesiske koordinatsystem

er givet på planen ved en ligning af første grad (lineær ligning).

Generel ligning for en ret linje.

Definition. Enhver ret linje på planet kan specificeres ved en førsteordens ligning

Axe + Wu + C = 0,

og konstant A, B er ikke lig med nul på samme tid. Denne første ordens ligning kaldes generel

ligning af en ret linje. Afhængig af værdierne af konstanterne A, B Og MED Følgende særlige tilfælde er mulige:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- en lige linje går gennem oprindelsen

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- lige linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- lige linje parallelt med aksen Åh

. B = C = 0, A ≠ 0- den rette linje falder sammen med aksen Åh

. A = C = 0, B ≠ 0- den rette linje falder sammen med aksen Åh

Ligningen for en ret linje kan præsenteres i forskellige former afhængigt af en given given

begyndelsesbetingelser.

Ligning af en ret linje fra et punkt og en normalvektor.

Definition. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelret på linjen givet af ligningen

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Find ligningen for en linje, der går gennem et punkt A(1, 2) vinkelret på vektoren (3, -1).

Løsning. Med A = 3 og B = -1, lad os sammensætte ligningen for den rette linje: 3x - y + C = 0. For at finde koefficienten C

Lad os erstatte koordinaterne for det givne punkt A i det resulterende udtryk. Vi får derfor: 3 - 2 + C = 0

C = -1. I alt: den påkrævede ligning: 3x - y - 1 = 0.

Ligning for en linje, der går gennem to punkter.

Lad to point gives i rummet M 1 (x 1, y 1, z 1) Og M2 (x 2, y 2, z 2), Så en linjes ligning,

passerer gennem disse punkter:

Hvis nogen af ​​nævnerne er nul, skal den tilsvarende tæller sættes lig med nul. På

plan, er ligningen for den lige linje skrevet ovenfor forenklet:

Hvis x 1 ≠ x 2 Og x = x 1, hvis x 1 = x 2 .

Brøk = k ringede hældning direkte.

Eksempel. Find ligningen for linjen, der går gennem punkterne A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved at anvende formlen skrevet ovenfor får vi:

Ligning af en ret linje ved hjælp af et punkt og hældning.

Hvis den generelle ligning af linjen Axe + Wu + C = 0 føre til:

og udpege , så kaldes den resulterende ligning

ligning af en ret linje med hældning k.

Ligning af en ret linje fra et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet, der betragter ligningen for en ret linje gennem normalvektoren, kan du indtaste opgaven

en ret linje gennem et punkt og en retningsvektor af en ret linje.

Definition. Hver ikke-nul vektor (α 1 , α 2), hvis komponenter opfylder betingelsen

Aa1 + Ba2 = 0 ringede retningsvektor af en ret linje.

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Find ligningen for en ret linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gennem punktet A(1, 2).

Løsning. Vi vil lede efter ligningen for den ønskede linje i formen: Axe + By + C = 0. Ifølge definitionen,

koefficienter skal opfylde følgende betingelser:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Så har ligningen for den rette linje formen: Axe + Ay + C = 0, eller x + y + C/A = 0.

på x = 1, y = 2 vi får C/A = -3, dvs. påkrævet ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning af en ret linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligning for den lige linje Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, divideret med -С:

eller hvor

Den geometriske betydning af koefficienterne er, at koefficienten a er koordinaten for skæringspunktet

lige med akse Åh, EN b- koordinat for skæringspunktet mellem linjen og aksen Åh.

Eksempel. Den generelle ligning for en ret linje er givet x - y + 1 = 0. Find ligningen for denne linje i segmenter.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal ligning af en linje.

Hvis begge sider af ligningen Axe + Wu + C = 0 dividere med tal som hedder

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning af en linje.

Tegnet ± for den normaliserende faktor skal vælges således μ*C< 0.

r- længden af ​​den vinkelrette faldet fra origo til den rette linje,

EN φ - vinklen dannet af denne vinkelrette med aksens positive retning Åh.

Eksempel. Linjens generelle ligning er givet 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for at skrive forskellige typer ligninger

denne lige linje.

Ligningen for denne linje i segmenter:

Ligningen af ​​denne linje med hældningen: (divider med 5)

Ligning af en linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Det skal bemærkes, at ikke hver lige linje kan repræsenteres af en ligning i segmenter, for eksempel lige linjer,

parallelt med akserne eller passerer gennem origo.

Vinklen mellem rette linjer på et plan.

Definition. Hvis der er givet to linjer y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, så den spidse vinkel mellem disse linjer

vil blive defineret som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

Hvis k 1 = -1/ k 2 .

Sætning.

Direkte Axe + Wu + C = 0 Og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel, når koefficienterne er proportionale

A1 = λA, B1 = λB. Hvis også С 1 = λС, så falder linjerne sammen. Koordinater for skæringspunktet mellem to linjer

findes som en løsning på disse linjers ligningssystem.

Ligningen for en linje, der går gennem et givet punkt vinkelret på en given linje.

Definition. Linje, der går gennem et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelret på linjen y = kx + b

repræsenteret ved ligningen:

Afstand fra et punkt til en linje.

Sætning. Hvis der gives et point M(x 0, y 0), derefter afstanden til den lige linje Axe + Wu + C = 0 defineret som:

Bevis. Lad pointen M 1 (x 1, y 1)- bunden af ​​en vinkelret faldet fra et punkt M for en given

direkte. Derefter afstanden mellem punkter M Og M 1:

(1)

Koordinater x 1 Og ved 1 kan findes som en løsning på ligningssystemet:

Systemets anden ligning er ligningen for en ret linje, der går gennem et givet punkt M 0 vinkelret

givet lige linje. Hvis vi transformerer systemets første ligning til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

når vi løser det, får vi:

Ved at erstatte disse udtryk i ligning (1), finder vi:

Sætningen er blevet bevist.

Ligningen for en linje, der går gennem et givet punkt i en given retning. Ligning for en linje, der går gennem to givne punkter. Vinklen mellem to lige linjer. Betingelsen for parallelitet og vinkelrethed af to rette linjer. Bestemmelse af skæringspunktet mellem to linjer

1. Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt EN(x 1 , y 1) i en given retning, bestemt af hældningen k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Denne ligning definerer en blyant af linjer, der går gennem et punkt EN(x 1 , y 1), som kaldes strålecentret.

2. Ligning for en linje, der går gennem to punkter: EN(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2), skrevet sådan:

Vinkelkoefficienten for en ret linje, der går gennem to givne punkter, bestemmes af formlen

3. Vinkel mellem lige linjer EN Og B er den vinkel, som den første rette linje skal drejes med EN omkring skæringspunktet for disse linjer mod uret, indtil det falder sammen med den anden linje B. Hvis to linjer er givet ved ligninger med en hældning

y = k 1 x + B 1 ,

Ligning for en linje, der går gennem to punkter. I artiklen" " Jeg lovede dig at se på den anden måde at løse de præsenterede problemer med at finde den afledede, givet en graf for en funktion og en tangent til denne graf. Vi vil diskutere denne metode i , gå ikke glip af det! Hvorfor i den næste?

Faktum er, at formlen for ligningen for en ret linje vil blive brugt der. Selvfølgelig kunne vi blot vise denne formel og råde dig til at lære den. Men det er bedre at forklare, hvor det kommer fra (hvordan det er afledt). Dette er nødvendigt! Hvis du glemmer det, kan du hurtigt gendanne detvil ikke være svært. Alt er beskrevet i detaljer nedenfor. Så vi har to punkter A på koordinatplanet(x 1;y 1) og B(x 2;y 2), tegnes en ret linje gennem de angivne punkter:

Her er selve den direkte formel:

*Det vil sige, når vi erstatter specifikke koordinater af punkter, får vi en ligning på formen y=kx+b.

**Hvis du blot "husker" denne formel, så er der stor sandsynlighed for at blive forvekslet med indeksene, når X. Derudover kan indekser betegnes på forskellige måder, for eksempel:

Derfor er det vigtigt at forstå meningen.

Nu afledningen af ​​denne formel. Det er meget enkelt!

Trekanter ABE og ACF er ens i spids vinkel (det første tegn på lighed mellem retvinklede trekanter). Det følger af dette, at forholdet mellem de tilsvarende elementer er ens, det vil sige:

Nu udtrykker vi blot disse segmenter gennem forskellen i punkternes koordinater:

Selvfølgelig vil der ikke være nogen fejl, hvis du skriver forholdet mellem elementerne i en anden rækkefølge (det vigtigste er at bevare konsistensen):

Resultatet vil være den samme ligning af linjen. Dette er alt!

Det vil sige, uanset hvordan punkterne selv (og deres koordinater) er udpeget, vil du ved at forstå denne formel altid finde ligningen for en ret linje.

Formlen kan udledes ved hjælp af egenskaberne af vektorer, men princippet om afledning vil være det samme, da vi vil tale om proportionaliteten af ​​deres koordinater. I dette tilfælde virker den samme lighed mellem retvinklede trekanter. Efter min mening er den ovenfor beskrevne konklusion mere klar)).

Se output ved hjælp af vektorkoordinater >>>

Lad en ret linje konstrueres på koordinatplanet, der går gennem to givne punkter A(x 1;y 1) og B(x 2;y 2). Lad os markere et vilkårligt punkt C på linjen med koordinater ( x; y). Vi betegner også to vektorer:

Det er kendt, at for vektorer, der ligger på parallelle linjer (eller på samme linje), er deres tilsvarende koordinater proportionale, det vil sige:

- vi nedskriver ligheden mellem forholdet mellem de tilsvarende koordinater:

Lad os se på et eksempel:

Find ligningen for en ret linje, der går gennem to punkter med koordinaterne (2;5) og (7:3).

Du behøver ikke engang at bygge den lige linje selv. Vi anvender formlen:

Det er vigtigt, at du forstår korrespondancen, når du udarbejder forholdet. Du kan ikke gå galt, hvis du skriver:

Svar: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

For at sikre, at den resulterende ligning findes korrekt, skal du sørge for at kontrollere - indsæt koordinaterne for dataene i punkternes tilstand i den. Ligningerne skal være korrekte.

Det er alt. Jeg håber, at materialet var nyttigt for dig.

Med venlig hilsen Alexander.

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.