Brugen af ligninger er udbredt i vores liv. De bruges i mange beregninger, konstruktion af strukturer og endda sport. Mennesket brugte ligninger i oldtiden, og siden er deres brug kun steget. Potens- eller eksponentialligninger er ligninger, hvor variablerne er i potenser, og grundfladen er et tal. For eksempel:
At løse en eksponentiel ligning kommer ned til 2 ret simple trin:
1. Du skal kontrollere, om grundlaget for ligningen til højre og venstre er ens. Hvis årsagerne ikke er de samme, leder vi efter muligheder for at løse dette eksempel.
2. Efter at grundlerne er blevet ens, sidestiller vi graderne og løser den resulterende nye ligning.
Antag, at vi får en eksponentialligning af følgende form:
Det er værd at starte løsningen af denne ligning med en analyse af grundlaget. Baserne er forskellige - 2 og 4, men for at løse skal de være ens, så vi transformerer 4 ved hjælp af følgende formel -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
Vi tilføjer til den oprindelige ligning:
Lad os tage det ud af parentes \
Lad os udtrykke \
Da graderne er de samme, kasserer vi dem:
Svar: \
Hvor kan jeg løse en eksponentiel ligning ved hjælp af en online løser?
Du kan løse ligningen på vores hjemmeside https://site. Den gratis online løser giver dig mulighed for at løse online ligninger af enhver kompleksitet i løbet af få sekunder. Alt du skal gøre er blot at indtaste dine data i solveren. Du kan også se videoinstruktioner og lære, hvordan du løser ligningen på vores hjemmeside. Og hvis du stadig har spørgsmål, kan du stille dem i vores VKontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Tilmeld dig vores gruppe, vi er altid glade for at hjælpe dig.
Ligninger
Hvordan løser man ligninger?
I dette afsnit vil vi huske (eller studere, afhængigt af hvem du vælger) de mest elementære ligninger. Så hvad er ligningen? I menneskelige termer er dette en form for matematisk udtryk, hvor der er et lighedstegn og et ukendt. Hvilket normalt betegnes med bogstavet "X". Løs ligningen- dette er at finde sådanne værdier af x, der, når de erstattes i original udtryk vil give os den korrekte identitet. Lad mig minde dig om, at identitet er et udtryk, der er hævet over enhver tvivl, selv for en person, der absolut ikke er belastet med matematisk viden. Som 2=2, 0=0, ab=ab osv. Så hvordan løser man ligninger? Lad os finde ud af det.
Der er alle mulige ligninger (jeg er overrasket, ikke?). Men al deres uendelige variation kan kun opdeles i fire typer.
4. Alle andre.)
Alt det andet, selvfølgelig, mest af alt, ja...) Dette inkluderer kubisk, eksponentiel, logaritmisk, trigonometrisk og alle mulige andre. Vi vil arbejde tæt sammen med dem i de relevante afsnit.
Jeg vil sige med det samme, at nogle gange er ligningerne for de tre første typer så skruet sammen, at du ikke engang genkender dem... Ingenting. Vi vil lære at slappe af dem.
Og hvorfor har vi brug for disse fire typer? Og hvad så lineære ligninger løst på én måde firkant andre, brøkrationaler - tredje, EN hvile De tør slet ikke! Nå, det er ikke, at de slet ikke kan bestemme, det er, at jeg tog fejl med matematik.) Det er bare, at de har deres egne specielle teknikker og metoder.
Men for enhver (jeg gentager - for enhver!) ligninger giver et pålideligt og fejlsikkert grundlag for løsning. Virker overalt og altid. Dette fundament - Det lyder skræmmende, men det er meget enkelt. Og meget (Meget!) vigtig.
Faktisk består løsningen af ligningen af netop disse transformationer. 99 % Svar på spørgsmålet: " Hvordan løser man ligninger?" ligger netop i disse transformationer. Er hintet klart?)
Identiske transformationer af ligninger.
I nogen ligninger For at finde det ukendte skal du transformere og forenkle det originale eksempel. Og altså når udseendet ændrer sig essensen af ligningen har ikke ændret sig. Sådanne transformationer kaldes identisk eller tilsvarende.
Bemærk, at disse transformationer gælder specifikt til ligningerne. Der er også identitetstransformationer i matematik udtryk. Dette er et andet emne.
Nu vil vi gentage alt, alt, alt grundlæggende identiske transformationer af ligninger.
Grundlæggende, fordi de kan anvendes til enhver ligninger - lineære, kvadratiske, brøkdele, trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske osv. osv.
Første identitetstransformation: du kan lægge til (fratrække) til begge sider af enhver ligning enhver(men et og samme!) tal eller udtryk (inklusive et udtryk med en ukendt!). Dette ændrer ikke på essensen af ligningen.
Forresten brugte du konstant denne transformation, du troede bare, at du overfører nogle udtryk fra en del af ligningen til en anden med et fortegnsskifte. Type:
Sagen er velkendt, vi flytter de to til højre, og vi får:
Faktisk dig taget væk fra begge sider af ligningen er to. Resultatet er det samme:
x+2 - 2 = 3 - 2
At flytte termer til venstre og højre med et fortegnsskifte er simpelthen en forkortet version af den første identiske transformation. Og hvorfor har vi brug for så dyb viden? – spørger du. Intet i ligningerne. For guds skyld, bær det ud. Bare glem ikke at ændre skiltet. Men i uligheder kan vanen med overførsel føre til en blindgyde...
Anden identitetstransformation: begge sider af ligningen kan ganges (divideres) med det samme ikke-nul tal eller udtryk. Her opstår allerede en forståelig begrænsning: at gange med nul er dumt, og at dividere er fuldstændig umuligt. Det er den transformation, du bruger, når du løser noget sejt som
Det er klart X= 2. Hvordan fandt du det? Ved valg? Eller gik det bare op for dig? For ikke at vælge og ikke vente på indsigt, skal du forstå, at du er retfærdig divideret begge sider af ligningen med 5. Ved deling af venstre side (5x), blev de fem reduceret, hvilket efterlod ren X. Hvilket er præcis, hvad vi havde brug for. Og når vi dividerer højre side af (10) med fem, får vi, du ved, to.
Det er det.
Det er sjovt, men disse to (kun to!) identiske transformationer er grundlaget for løsningen alle matematikkens ligninger. Wow! Det giver mening at se på eksempler på hvad og hvordan, ikke?)
Eksempler på identiske transformationer af ligninger. Hovedproblemer.
Lad os starte med først identitetstransformation. Overfør venstre-højre.
Et eksempel for de yngre.)
Lad os sige, at vi skal løse følgende ligning:
3-2x=5-3x
Lad os huske besværgelsen: "med X'er - til venstre, uden X'er - til højre!" Denne besværgelse er instruktioner til brug af den første identitetstransformation.) Hvad er udtrykket med et X til højre? 3x? Svaret er forkert! På vores højre side - 3x! Minus tre x! Når du flytter til venstre, vil tegnet derfor skifte til plus. Det vil vise sig:
3-2x+3x=5
Så X'erne blev samlet i en bunke. Lad os komme ind på tallene. Der er en tre til venstre. Med hvilket skilt? Svaret "med ingen" accepteres ikke!) Foran de tre er der faktisk intet tegnet. Og det betyder, at før de tre er der plus. Så matematikerne var enige. Der er ikke skrevet noget, hvilket betyder plus. Derfor vil triplen blive overført til højre side med et minus. Vi får:
-2x+3x=5-3
Der er kun småting tilbage. Til venstre - medbring lignende, til højre - tæl. Svaret kommer med det samme:
I dette eksempel var én identitetstransformation nok. Den anden var ikke nødvendig. Nå, okay.)
Et eksempel for ældre børn.)
Hvis du kan lide denne side...
Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)
Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)
Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.
at løse matematik. Find hurtigt løse en matematisk ligning i tilstanden online. Hjemmesiden www.site tillader løse ligningen næsten enhver given algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ligning online. Når du studerer næsten enhver gren af matematik på forskellige stadier, skal du beslutte dig ligninger online. For at få et svar med det samme, og vigtigst af alt et præcist svar, har du brug for en ressource, der giver dig mulighed for at gøre dette. Takket være webstedet www.site løse ligninger online vil tage et par minutter. Den største fordel ved www.site ved løsning af matematiske ligninger online- dette er hastigheden og nøjagtigheden af svaret. Siden er i stand til at løse evt algebraiske ligninger online, trigonometriske ligninger online, transcendentale ligninger online, og også ligninger med ukendte parametre i mode online. Ligninger tjene som et kraftfuldt matematisk apparat løsninger praktiske problemer. Med hjælpen matematiske ligninger det er muligt at udtrykke fakta og relationer, der ved første øjekast kan virke forvirrende og komplekse. Ukendte mængder ligninger kan findes ved at formulere problemstillingen i matematisk sprog i formen ligninger Og beslutte modtaget opgave i tilstanden online på hjemmesiden www.site. Enhver algebraisk ligning, trigonometrisk ligning eller ligninger indeholdende transcendental funktioner, du nemt kan beslutte online og få det præcise svar. Når man studerer naturvidenskab, støder man uundgåeligt på behovet løsning af ligninger. I dette tilfælde skal svaret være nøjagtigt og skal indhentes straks i tilstanden online. Derfor for løse matematiske ligninger online vi anbefaler siden www.site, som bliver din uundværlige lommeregner til løse algebraiske ligninger online, trigonometriske ligninger online, og også transcendentale ligninger online eller ligninger med ukendte parametre. For praktiske problemer med at finde rødderne til forskellige matematiske ligninger ressource www.. Løsning ligninger online selv, er det nyttigt at kontrollere det modtagne svar vha online ligningsløsning på hjemmesiden www.site. Du skal skrive ligningen korrekt og få det med det samme online løsning, hvorefter der kun er tilbage at sammenligne svaret med din løsning på ligningen. Det tager ikke mere end et minut at tjekke svaret, det er nok løse ligning online og sammenlign svarene. Dette vil hjælpe dig med at undgå fejl i afgørelse og ret svaret i tide hvornår løsning af ligninger online være det algebraisk, trigonometrisk, transcendental eller ligning med ukendte parametre.
I 7. klasses matematikkursus møder vi for første gang ligninger med to variable, men de studeres kun i sammenhæng med ligningssystemer med to ukendte. Det er grunden til, at en hel række problemer, hvor visse betingelser indføres på ligningens koefficienter, der begrænser dem, falder ud af syne. Derudover ignoreres metoder til at løse problemer som "Løs en ligning i naturlige eller heltal", selvom problemer af denne art findes oftere og oftere i Unified State Exam-materialerne og i optagelsesprøver.
Hvilken ligning vil blive kaldt en ligning med to variable?
Så for eksempel er ligningerne 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 eller xy = 12 ligninger i to variable.
Betragt ligningen 2x – y = 1. Det bliver sandt, når x = 2 og y = 3, så dette par af variabelværdier er en løsning på den pågældende ligning.
Løsningen til enhver ligning med to variable er således et sæt ordnede par (x; y), værdier af de variable, der gør denne ligning til en sand numerisk lighed.
En ligning med to ukendte kan:
EN) har én løsning. For eksempel har ligningen x 2 + 5y 2 = 0 en unik løsning (0; 0);
b) har flere løsninger. For eksempel har (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 løsninger: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) har ingen løsninger. For eksempel har ligningen x 2 + y 2 + 1 = 0 ingen løsninger;
G) har uendeligt mange løsninger. For eksempel er x + y = 3. Løsningerne til denne ligning vil være tal, hvis sum er lig med 3. Mættet af løsninger til denne ligning kan skrives på formen (k; 3 – k), hvor k er en hvilken som helst reel antal.
De vigtigste metoder til løsning af ligninger med to variable er metoder baseret på faktoriseringsudtryk, isolering af et komplet kvadrat, brug af egenskaberne for en andengradsligning, begrænsede udtryk og estimeringsmetoder. Ligningen konverteres normalt til en form, hvorfra et system til at finde de ukendte kan fås.
Faktorisering
Eksempel 1.
Løs ligningen: xy – 2 = 2x – y.
Løsning.
Vi grupperer termerne med henblik på faktorisering:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Fra hver parentes udtager vi en fælles faktor:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Vi har:
y = 2, x – et hvilket som helst reelt tal eller x = -1, y – et hvilket som helst reelt tal.
Således, svaret er alle par af formen (x; 2), x € R og (-1; y), y € R.
Ligestilling mellem ikke-negative tal og nul
Eksempel 2.
Løs ligningen: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Løsning.
Gruppering:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nu kan hver parentes foldes ved hjælp af kvadratforskelformlen.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Summen af to ikke-negative udtryk er kun nul, hvis 3x – 2 = 0 og 2y – 3 = 0.
Det betyder x = 2/3 og y = 3/2.
Svar: (2/3; 3/2).
Estimationsmetode
Eksempel 3.
Løs ligningen: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Løsning.
I hver parentes fremhæver vi en komplet firkant:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Lad os estimere betydningen af udtrykkene i parentes.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 og (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, så er venstre side af ligningen altid mindst 2. Ligestilling er mulig, hvis:
(x + 1) 2 + 1 = 1 og (y – 2) 2 + 2 = 2, hvilket betyder x = -1, y = 2.
Svar: (-1; 2).
Lad os stifte bekendtskab med en anden metode til løsning af ligninger med to variable af anden grad. Denne metode består i at behandle ligningen som kvadrat med hensyn til en variabel.
Eksempel 4.
Løs ligningen: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Løsning.
Lad os løse ligningen som en andengradsligning for x. Lad os finde diskriminanten:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ligningen vil kun have en løsning, når D = 0, det vil sige, hvis y = 4. Vi erstatter værdien af y i den oprindelige ligning og finder, at x = 3.
Svar: (3; 4).
Ofte angiver de i ligninger med to ukendte restriktioner på variabler.
Eksempel 5.
Løs ligningen i hele tal: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Løsning.
Lad os omskrive ligningen på formen x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Den højre side af den resulterende ligning, når den divideres med 5, giver en rest af 2. Derfor er x 2 ikke delelig med 5. Men kvadratet af en tal, der ikke er deleligt med 5, giver en rest på 1 eller 4. Således er lighed umulig, og der er ingen løsninger.
Svar: ingen rødder.
Eksempel 6.
Løs ligningen: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Løsning.
Lad os fremhæve de komplette firkanter i hver parentes:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Venstre side af ligningen er altid større end eller lig med 3. Lighed er mulig forudsat |x| – 2 = 0 og y + 3 = 0. Således er x = ± 2, y = -3.
Svar: (2; -3) og (-2; -3).
Eksempel 7.
For hvert par negative heltal (x;y), der opfylder ligningen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, beregn summen (x + y). Angiv venligst det mindste beløb i dit svar.
Løsning.
Lad os vælge komplette firkanter:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Da x og y er heltal, er deres kvadrater også heltal. Vi får summen af kvadraterne af to heltal lig med 37, hvis vi tilføjer 1 + 36. Derfor:
(x – y) 2 = 36 og (y + 2) 2 = 1
(x – y) 2 = 1 og (y + 2) 2 = 36.
Løser vi disse systemer og tager højde for, at x og y er negative, finder vi løsninger: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Svar: -17.
Fortvivl ikke, hvis du har svært ved at løse ligninger med to ubekendte. Med lidt øvelse kan du klare enhver ligning.
Har du stadig spørgsmål? Ved du ikke, hvordan man løser ligninger i to variable?
Tilmeld dig for at få hjælp fra en vejleder.
Den første lektion er gratis!
hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.