Før man finder arealet af en trapezoid, er det nødvendigt at bestemme de kendte elementer i trapezoidet. Et trapez er et geometrisk objekt, nemlig en firkant, der har to parallelle sider (to baser). De to andre sider er laterale. Hvis disse to sider af firkanten også er parallelle, så vil det ikke længere være et trapez, men et parallelogram. Hvis mindst en vinkel af en trapez er 90 grader, kaldes en sådan trapez rektangulær. Vi vil se på, hvordan man finder arealet af et rektangulært trapez senere. Der er også en ligebenet trapez, hvis navn taler for sig selv: siderne af en sådan trapez er lige store. Afstanden mellem baserne på en trapez kaldes højden, og højden bruges meget ofte til at finde areal. Midtlinjen i et trapez er et segment, der forbinder sidernes midtpunkter.

Grundlæggende formler til at finde arealet af en trapez

• S= h*(a+b)/2
  Hvor h er højden af ​​trapezet, er a, b baserne. Den mest almindeligt anvendte formel til at finde arealet af en trapez er halvdelen af ​​summen af ​​baserne ganget med højden.
• S = m*h
  Hvor m er midterlinjen af ​​trapezoidet, er h højden. Arealet af en trapezoid er også lig med produktet af trapezets midtlinje og dens højde.
• S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
  Hvor d1, d2 er diagonalerne af trapezoidet, er sin(d1^d2) sinus for vinklen mellem diagonalerne i trapezoidet.

Der er også forskellige formler afledt af de grundlæggende, såvel som en formel til beregning af arealet af en trapezoid, når alle dens sider er kendt. Denne formel er dog ret besværlig og bruges sjældent, fordi du ved at kende alle siderne af trapezet simpelthen kan bestemme højden eller dens midterlinje. Du kan også indskrive en cirkel i en ligebenet trapez. I dette tilfælde vil arealet af trapezet blive beregnet ved hjælp af formlen: 8* radius af cirklen i kvadrat.

Sådan finder du arealet af en rektangulær trapez

Som tidligere nævnt kaldes et trapez for rektangulært, hvis det har mindst én ret vinkel. At finde området for en sådan trapez er meget simpelt. Grundlæggende, for at finde arealet af et rektangulært trapez, bruges de samme formler som for et almindeligt trapez. Det er dog værd at huske, at en af ​​siderne af en sådan trapez vil være højden. Løsning af problemer med at finde arealet af en rektangulær trapez kommer også ofte ned på at finde arealet af rektanglet og trekanten dannet af den udeladte højde. Sådanne opgaver er ret enkle.

Instruktioner

For at gøre begge metoder mere forståelige kan vi give et par eksempler.

Eksempel 1: længden af ​​trapezets midtlinje er 10 cm, dens areal er 100 cm². For at finde højden af ​​denne trapez skal du gøre:

h = 100/10 = 10 cm

Svar: højden af ​​denne trapez er 10 cm

Eksempel 2: arealet af trapezet er 100 cm², længderne af baserne er 8 cm og 12 cm For at finde højden af ​​denne trapez, skal du udføre følgende handling:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Svar: højden af ​​denne trapez er 20 cm

Bemærk venligst

Der er flere typer trapez:
Et ligebenet trapez er et trapez, hvor siderne er lig med hinanden.
Et retvinklet trapez er et trapez med en af ​​dens indvendige vinkler, der måler 90 grader.
Det er værd at bemærke, at højden i en rektangulær trapez falder sammen med længden af ​​siden i en ret vinkel.
Du kan tegne en cirkel omkring en trapez eller passe den ind i en given figur. Du kan kun indskrive en cirkel, hvis summen af ​​dens baser er lig med summen af ​​dens modstående sider. En cirkel kan kun beskrives omkring en ligebenet trapez.

Nyttige råd

Et parallelogram er et specialtilfælde af et trapez, fordi definitionen af ​​et trapez ikke modsiger definitionen af ​​et parallelogram. Et parallelogram er en firkant, hvis modsatte sider er parallelle med hinanden. For en trapez, refererer definitionen kun til et par af dens sider. Derfor er ethvert parallelogram også et trapez. Det omvendte udsagn er ikke sandt.

Kilder:

• hvordan man finder arealet af en trapezformel

Tip 2: Sådan finder du højden af ​​en trapez, hvis området er kendt

Et trapez er en firkant, hvor to af dens fire sider er parallelle med hinanden. De parallelle sider er baserne af den givne, de to andre er sidesiderne af den givne. trapez. Finde højde trapez, hvis kendt firkant, vil det være meget nemt.

Instruktioner

Du skal finde ud af, hvordan du regner firkant original trapez. Der er flere formler for dette, afhængig af startdata: S = ((a+b)*h)/2, hvor a og b er baser trapez, og h er dens højde (Højde trapez- vinkelret, sænket fra en base trapez til en anden);
S = m*h, hvor m er linje trapez(Den midterste linje er et segment med baser trapez og forbinder midtpunkterne af dens sider).

For at gøre det klarere kan lignende problemer overvejes: Eksempel 1: Givet en trapez med firkant 68 cm², hvis midterlinje er 8 cm, skal du finde højde givet trapez. For at løse dette problem skal du bruge den tidligere afledte formel:
h = 68/8 = 8,5 cm Svar: højde af denne trapez er 8,5 cmEksempel 2: Lad y trapez firkant er lig med 120 cm², længden af ​​bunden af ​​denne trapez henholdsvis 8 cm og 12 cm skal du finde højde denne trapez. For at gøre dette skal du anvende en af ​​de afledte formler:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmSvar: givet højde trapez lig med 12 cm

Video om emnet

Bemærk venligst

Enhver trapez har en række egenskaber:

Midtlinjen af ​​en trapez er lig med halvdelen af ​​summen af ​​dens baser;

Segmentet, der forbinder diagonalerne af en trapezoid, er lig med halvdelen af ​​forskellen på dens baser;

Hvis der trækkes en ret linje gennem midtpunkterne af baserne, så vil den skære skæringspunktet mellem diagonalerne i trapezoiden;

En cirkel kan indskrives i et trapez, hvis summen af ​​basene i trapezet er lig med summen af ​​dens sider.

Brug disse egenskaber, når du løser problemer.

Tip 3: Sådan finder du arealet af en trapez, hvis baserne er kendt

Ved geometrisk definition er et trapez en firkant med kun et par sider parallelle. Disse sider er hendes årsager. Afstand mellem årsager kaldet højde trapez. Finde firkant trapez muligt ved hjælp af geometriske formler.

Instruktioner

Mål baserne og trapez ABCD. Normalt gives de i opgaver. Lad i dette eksempel problemstille grundtallet AD (a) trapez vil være lig med 10 cm, base BC (b) - 6 cm, højde trapez BK (h) - 8 cm Brug geometrisk til at finde areal trapez, hvis længderne af dens baser og højder er kendte - S= 1/2 (a+b)*h, hvor: - a - størrelsen af ​​basen AD trapez ABCD, - b - værdien af ​​basen BC, - h - værdien af ​​højden BK.

I matematik kendes flere typer firkanter: kvadrat, rektangel, rombe, parallelogram. Blandt dem er en trapez - en type konveks firkant, hvor to sider er parallelle og de to andre ikke. De parallelle modstående sider kaldes baserne, og de to andre kaldes trapezets laterale sider. Det segment, der forbinder sidernes midtpunkter, kaldes midtlinjen. Der er flere typer trapezoider: ligebenede, rektangulære, buede. For hver type trapez er der formler til at finde arealet.

Område med trapez

For at finde arealet af en trapezoid skal du kende længden af ​​dens baser og højden. Højden af ​​et trapez er et segment vinkelret på baserne. Lad den øverste base være a, den nederste base være b, og højden være h. Derefter kan du beregne arealet S ved hjælp af formlen:

S = ½ * (a+b) * h

dem. tag halvdelen af ​​summen af ​​baserne ganget med højden.

Det vil også være muligt at beregne arealet af trapezet, hvis højden og midterlinjen er kendt. Lad os betegne den midterste linje - m. Så

Lad os løse et mere kompliceret problem: længden af ​​de fire sider af trapezoidet er kendt - a, b, c, d. Derefter vil området blive fundet ved hjælp af formlen:

Hvis længden af ​​diagonalerne og vinklen mellem dem er kendt, søges området på følgende måde:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

hvor d med indeks 1 og 2 er diagonaler. I denne formel er vinklens sinus givet i beregningen.

Givet de kendte længder af baserne a og b og to vinkler ved den nederste base, beregnes arealet som følger:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Arealet af en ligebenet trapez

Et ligebenet trapez er et specialtilfælde af et trapez. Dens forskel er, at en sådan trapez er en konveks firkant med en symmetriakse, der går gennem midtpunkterne på to modsatte sider. Dens sider er lige store.

Der er flere måder at finde arealet af en ligebenet trapez.

• Gennem længderne af tre sider. I dette tilfælde vil længderne af siderne falde sammen, derfor er de betegnet med en værdi - c, og a og b - længderne af baserne:

• Hvis længden af ​​den øverste base, siden og vinklen ved den nederste base er kendt, beregnes arealet som følger:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

hvor a er den øverste base, c er siden.

• Hvis længden af ​​den nederste i stedet for den øverste base er kendt - b, beregnes arealet ved hjælp af formlen:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Hvis, når to baser og vinklen ved den nederste base er kendt, beregnes arealet gennem vinklens tangent:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Arealet beregnes også gennem diagonalerne og vinklen mellem dem. I dette tilfælde er diagonalerne lige lange, så vi betegner hver med bogstavet d uden sænkning:

S = ½ * d2 * sin α

• Lad os beregne arealet af trapezet, ved at kende længden af ​​siden, midterlinjen og vinklen ved den nederste base.

Lad sidesiden være c, midterlinjen være m, og vinklen være a, så:

S = m * c * sin α

Nogle gange kan du indskrive en cirkel i en ligesidet trapez, hvis radius vil være r.

Det er kendt, at en cirkel kan indskrives i enhver trapez, hvis summen af ​​længderne af baserne er lig med summen af ​​længderne af dens sider. Derefter kan området findes gennem radius af den indskrevne cirkel og vinklen ved den nederste base:

S = 4r2/sinα

Den samme beregning er lavet ved hjælp af diameteren D af den indskrevne cirkel (forresten falder den sammen med højden af ​​trapez):

Ved at kende basen og vinklen beregnes arealet af en ligebenet trapez som følger:

S = a * b / sin α

(denne og efterfølgende formler er kun gyldige for trapezoider med en indskrevet cirkel).

Ved at bruge baserne og radius af cirklen findes arealet som følger:

Hvis kun baserne er kendt, beregnes arealet ved hjælp af formlen:

Gennem baserne og sidelinjen beregnes arealet af trapezoidet med den indskrevne cirkel og gennem baserne og midterlinjen - m som følger:

Arealet af en rektangulær trapez

Et trapez kaldes rektangulært, hvis en af ​​dets sider er vinkelret på bunden. I dette tilfælde falder længden af ​​siden sammen med højden af ​​trapez.

Et rektangulært trapez består af en firkant og en trekant. Når du har fundet arealet af hver af figurerne, skal du sammenlægge resultaterne og få det samlede areal af figuren.

Også generelle formler til beregning af arealet af en trapez er velegnede til at beregne arealet af en rektangulær trapez.

• Hvis længderne af baserne og højden (eller den vinkelrette side) er kendt, beregnes arealet ved hjælp af formlen:

S = (a + b) * h / 2

Sidesiden c kan fungere som h (højde). Så ser formlen sådan ud:

S = (a + b) * c / 2

• En anden måde at beregne arealet på er at gange længden af ​​midterlinjen med højden:

eller ved længden af ​​den laterale vinkelrette side:

• Den næste måde at beregne er gennem halvdelen af ​​produktet af diagonalerne og sinus af vinklen mellem dem:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Hvis diagonalerne er vinkelrette, så forenkles formlen til:

S = ½ * d1 * d2

• En anden måde at beregne er gennem halvperimeteren (summen af ​​længderne af to modstående sider) og radius af den indskrevne cirkel.

Denne formel er gyldig for baser. Hvis vi tager længderne af siderne, så vil en af ​​dem være lig med to gange radius. Formlen vil se sådan ud:

S = (2r + c) * r

• Hvis en cirkel er indskrevet i en trapez, beregnes arealet på samme måde:

hvor m er længden af ​​midterlinjen.

Arealet af en buet trapez

Et krumt trapez er en flad figur afgrænset af grafen for en ikke-negativ kontinuerlig funktion y = f(x), defineret på segmentet, x-aksen og de rette linjer x = a, x = b. I det væsentlige er to af dens sider parallelle med hinanden (baserne), den tredje side er vinkelret på baserne, og den fjerde er en kurve, der svarer til grafen for funktionen.

Arealet af et krumt trapez søges gennem integralet ved hjælp af Newton-Leibniz formlen:

Sådan beregnes arealerne af forskellige typer trapezoider. Men ud over sidernes egenskaber har trapezoider de samme egenskaber for vinkler. Som alle eksisterende firkanter er summen af ​​de indre vinkler af en trapez 360 grader. Og summen af ​​vinklerne ved siden af ​​siden er 180 grader.

Areal af en trapez. Hilsen! I denne publikation vil vi se på den angivne formel. Hvorfor er hun præcis sådan, og hvordan skal man forstå hende. Hvis der er forståelse, behøver du ikke at undervise i det. Hvis du bare vil se på denne formel og hurtigt, så kan du med det samme scrolle ned på siden))

Nu i detaljer og i rækkefølge.

Et trapez er en firkant, to sider af denne firkant er parallelle, de to andre er ikke. Dem, der ikke er parallelle, er baserne af trapez. De to andre kaldes sider.

Hvis siderne er lige store, kaldes trapezet ligebenet. Hvis en af ​​siderne er vinkelret på baserne, kaldes en sådan trapez rektangulær.

I sin klassiske form er en trapez afbildet som følger - den større base er henholdsvis nederst, den mindre er øverst. Men ingen forbyder at afbilde hende og omvendt. Her er skitserne:

Næste vigtige koncept.

Midtlinjen i et trapez er et segment, der forbinder sidernes midtpunkter. Den midterste linje er parallel med trapezets baser og lig med deres halvsum.

Lad os nu dykke dybere. Hvorfor er det sådan?

Overvej en trapez med baser a og b og med midterlinien l, og lad os udføre nogle yderligere konstruktioner: Tegn lige linjer gennem baserne og vinkelrette linjer gennem enderne af midterlinjen, indtil de krydser baserne:

*Brevbetegnelser for knudepunkter og andre punkter er ikke inkluderet med vilje for at undgå unødvendige betegnelser.

Se, trekanter 1 og 2 er ens i henhold til det andet tegn på lighed af trekanter, trekanter 3 og 4 er ens. Af trekanters lighed følger elementernes lighed, nemlig benene (de er angivet med henholdsvis blåt og rødt).

Nu opmærksomhed! Hvis vi mentalt "afskærer" de blå og røde segmenter fra den nederste base, vil vi stå tilbage med et segment (dette er siden af ​​rektanglet) svarende til midterlinjen. Dernæst, hvis vi "limer" de afskårne blå og røde segmenter til den øverste base af trapezoidet, så får vi også et segment (dette er også siden af ​​rektanglet) svarende til trapezets midtlinje.

Har du det? Det viser sig, at summen af ​​baserne vil være lig med de to midterste linjer i trapezoidet:

Se en anden forklaring

Lad os gøre følgende - konstruer en lige linje, der går gennem den nederste base af trapezoidet, og en lige linje, der vil passere gennem punkt A og B:

Vi får trekanter 1 og 2, de er ens langs siden og tilstødende vinkler (det andet tegn på lighed af trekanter). Dette betyder, at det resulterende segment (i skitsen er det angivet med blåt) er lig med den øvre base af trapez.

Overvej nu trekanten:

*Denne trapezs midterlinje og trekantens midterlinje falder sammen.

Det er kendt, at en trekant er lig med halvdelen af ​​basen parallelt med den, det vil sige:

Okay, vi fandt ud af det. Nu om området for trapez.

Formel for trapezareal:

De siger: arealet af en trapez er lig med produktet af halvdelen af ​​summen af ​​dens baser og højde.

Det vil sige, det viser sig, at det er lig med produktet af midterlinjen og højden:

Du har sikkert allerede bemærket, at dette er indlysende. Geometrisk kan dette udtrykkes på denne måde: hvis vi mentalt afskærer trekanter 2 og 4 fra trapezet og placerer dem på henholdsvis trekant 1 og 3:

Så får vi et rektangel med et areal svarende til arealet af vores trapez. Arealet af dette rektangel vil være lig med produktet af midterlinjen og højden, det vil sige, vi kan skrive:

Men pointen her er selvfølgelig ikke skriftligt, men forståelse.

Download (se) artikelmateriale i *pdf-format

Det er alt. Held og lykke til dig!

Med venlig hilsen Alexander.

OG . Nu kan vi begynde at overveje spørgsmålet om, hvordan man finder arealet af en trapez. Denne opgave opstår meget sjældent i hverdagen, men nogle gange viser det sig at være nødvendigt, for eksempel at finde arealet af et værelse i form af en trapez, som i stigende grad bruges i opførelsen af ​​moderne lejligheder eller i design renoveringsprojekter.

Et trapez er en geometrisk figur, der er dannet af fire krydsende segmenter, hvoraf to er parallelle med hinanden og kaldes basen af ​​trapez. De to andre segmenter kaldes trapezets sider. Derudover får vi brug for en anden definition senere. Dette er trapezets midterlinje, som er et segment, der forbinder sidernes midtpunkter og højden af ​​trapezet, som er lig med afstanden mellem baserne.
Ligesom trekanter har trapezoider specielle typer i form af et ligebenet (ligesidet) trapez, hvor længderne af siderne er ens, og en rektangulær trapez, hvor en af ​​siderne danner en ret vinkel med baserne.

Trapezes har nogle interessante egenskaber:

1. Trapezoidens midterlinje er lig med halvdelen af ​​summen af ​​baserne og er parallel med dem.
   
2. Ligebenede trapezoider har lige store sider og de vinkler, de danner med baserne.
   
3. Midtpunkterne for diagonalerne i en trapez og skæringspunktet for dens diagonaler er på den samme lige linje.
   
4. Hvis summen af ​​siderne af en trapez er lig med summen af ​​baserne, kan en cirkel indskrives i den
   
5. Hvis summen af ​​vinklerne dannet af siderne af en trapez ved en af ​​dens baser er 90, så er længden af ​​segmentet, der forbinder basernes midtpunkter, lig med deres halve forskel.
   
6. Et ligebenet trapez kan beskrives med en cirkel. Og omvendt. Hvis en trapez passer ind i en cirkel, så er den ligebenet.
   
7. Segmentet, der passerer gennem midtpunkterne af baserne af en ligebenet trapezoid, vil være vinkelret på dens baser og repræsenterer symmetriaksen.
   

Sådan finder du arealet af en trapez.

Arealet af trapezet vil være lig med halvdelen af ​​summen af ​​dets baser ganget med dets højde. I formelform skrives dette som et udtryk:

hvor S er arealet af trapezoidet, a, b er længden af ​​hver af trapezets baser, h er højden af ​​trapezoidet.

Du kan forstå og huske denne formel som følger. Som det følger af figuren nedenfor, ved hjælp af midterlinjen, kan en trapez omdannes til et rektangel, hvis længde vil være lig med halvdelen af ​​summen af ​​baserne.

Du kan også dekomponere enhver trapez i enklere figurer: et rektangel og en eller to trekanter, og hvis det er nemmere for dig, så find arealet af trapezet som summen af ​​arealet af dets figurer.

Der er en anden simpel formel til at beregne dens areal. Ifølge den er arealet af et trapez lig med produktet af dets midterlinje med højden af ​​trapezet og er skrevet på formen: S = m*h, hvor S er arealet, m er længden af midtlinje, h er højden af ​​trapez. Denne formel er mere egnet til matematikproblemer end til hverdagsproblemer, da du under virkelige forhold ikke kender længden af ​​midterlinjen uden foreløbige beregninger. Og du kender kun længderne af baserne og siderne.

I dette tilfælde kan arealet af trapezet findes ved hjælp af formlen:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

hvor S er arealet, a, b er baserne, c, d er trapezets sider.

Der er flere andre måder at finde arealet af en trapez. Men de er omtrent lige så ubelejlige som den sidste formel, hvilket betyder, at det ikke nytter noget at dvæle ved dem. Derfor anbefaler vi, at du bruger den første formel fra artiklen og ønsker, at du altid får præcise resultater.