Løser Kuznetsov.
III Diagrammer

Opgave 7. Udfør en komplet undersøgelse af funktionen og konstruer dens graf.

        Før du begynder at downloade dine muligheder, prøv at løse problemet i henhold til eksemplet nedenfor for mulighed 3. Nogle af mulighederne er arkiveret i .rar-format

        7.3 Udfør en komplet undersøgelse af funktionen og plot den

Løsning.

        1) Definitionsomfang:         eller        , det vil sige        .
.
Således:         .

        2) Der er ingen skæringspunkter med Ox-aksen. Faktisk har ligningen         ingen løsninger.
Der er ingen skæringspunkter med Oy-aksen, da        .

        3) Funktionen er hverken lige eller ulige. Der er ingen symmetri om ordinataksen. Der er heller ingen symmetri om oprindelsen. Fordi
.
Vi ser, at         og        .

        4) Funktionen er kontinuerlig i definitionsdomænet
.

; .

; .
Følgelig er punktet         et diskontinuitetspunkt af den anden slags (uendelig diskontinuitet).

5) Lodrette asymptoter:       

Lad os finde den skrå asymptote        . Her

;
.
Derfor har vi en vandret asymptote: y=0. Der er ingen skrå asymptoter.

        6) Lad os finde den første afledte. Første afledte:
.
Og her er hvorfor
.
Lad os finde stationære punkter, hvor den afledede er lig med nul, dvs
.

        7) Lad os finde den anden afledede. Anden afledte:
.
Og dette er let at verificere, da

I nogen tid nu er den indbyggede certifikatdatabase for SSL holdt op med at fungere korrekt i TheBat (det er ikke klart af hvilken grund).

Når du tjekker indlægget, vises en fejl:

Ukendt CA-certifikat
Serveren præsenterede ikke et rodcertifikat i sessionen, og det tilsvarende rodcertifikat blev ikke fundet i adressebogen.
Denne forbindelse kan ikke være hemmelig. Behage
kontakt din serveradministrator.

Og du tilbydes et valg af svar - JA / NEJ. Og så hver gang du fjerner mail.

Løsning

I dette tilfælde skal du erstatte S/MIME- og TLS-implementeringsstandarden med Microsoft CryptoAPI i TheBat-indstillingerne!

Da jeg skulle kombinere alle filerne til én, konverterede jeg først alle doc-filerne til en enkelt pdf-fil (ved hjælp af Acrobat-programmet), og overførte den derefter til fb2 gennem en online-konverter. Du kan også konvertere filer individuelt. Formaterne kan være absolut alle (kilde) - doc, jpg og endda et zip-arkiv!

Navnet på siden svarer til essensen :) Online Photoshop.

Opdatering maj 2015

Jeg fandt en anden god side! Endnu mere praktisk og funktionel til at skabe en helt tilpasset collage! Dette er webstedet http://www.fotor.com/ru/collage/. Nyd det for dit helbred. Og jeg vil selv bruge det.

I mit liv stødte jeg på problemet med at reparere en elektrisk komfur. Jeg har allerede gjort meget, lært meget, men på en eller anden måde haft lidt med fliser at gøre. Det var nødvendigt at udskifte kontakterne på regulatorer og brændere. Spørgsmålet opstod - hvordan bestemmes brænderens diameter på en elektrisk komfur?

Svaret viste sig at være enkelt. Du behøver ikke at måle noget, du kan nemt bestemme efter øjet, hvilken størrelse du har brug for.

Mindste brænder- dette er 145 millimeter (14,5 centimeter)

Midterste brænder- det er 180 millimeter (18 centimeter).

Og endelig det meste stor brænder- det er 225 millimeter (22,5 centimeter).

Det er nok at bestemme størrelsen med øjet og forstå, hvilken diameter du har brug for brænderen. Da jeg ikke vidste dette, var jeg bekymret for disse dimensioner, jeg vidste ikke, hvordan jeg skulle måle, hvilken kant jeg skulle navigere osv. Nu er jeg klog :) Jeg håber, jeg også hjalp dig!

I mit liv stod jeg over for et sådant problem. Jeg tror, ​​jeg ikke er den eneste.

Hvordan studerer man en funktion og bygger dens graf?

Det lader til, at jeg begynder at forstå det åndeligt indsigtsfulde ansigt hos lederen af ​​verdensproletariatet, forfatteren til samlede værker i 55 bind... Den lange rejse begyndte med grundlæggende information om funktioner og grafer, og nu ender arbejdet med et arbejdskrævende emne med et logisk resultat - en artikel om en komplet undersøgelse af funktionen. Den længe ventede opgave er formuleret som følger:

Studer en funktion ved hjælp af differentialregningsmetoder og opbyg dens graf baseret på resultaterne af undersøgelsen

Eller kort sagt: Undersøg funktionen og byg en graf.

Hvorfor udforske? I simple tilfælde vil det ikke være svært for os at forstå de elementære funktioner, tegne en graf opnået ved hjælp af elementære geometriske transformationer osv. Egenskaberne og de grafiske repræsentationer af mere komplekse funktioner er dog langt fra indlysende, hvorfor der er brug for en hel undersøgelse.

Løsningens hovedtrin er opsummeret i referencematerialet Funktionsstudieordning, dette er din guide til afsnittet. Dummies har brug for en trin-for-trin forklaring af et emne, nogle læsere ved ikke, hvor de skal starte, eller hvordan de skal organisere deres forskning, og avancerede studerende er muligvis kun interesserede i nogle få punkter. Men hvem du end er, kære besøgende, vil det foreslåede resumé med henvisninger til forskellige lektioner hurtigt orientere og guide dig i interesseretningen. Robotterne fældede tårer =) Manualen var lagt ud som pdf-fil og tog sin rette plads på siden Matematiske formler og tabeller.

Jeg er vant til at opdele en funktions forskning i 5-6 punkter:

6) Yderligere point og graf baseret på forskningsresultaterne.

Med hensyn til den endelige handling, tror jeg, at alt er klart for alle - det vil være meget skuffende, hvis det i løbet af få sekunder bliver streget over, og opgaven returneres til revision. EN KORREKT OG NØJAGTIG TEGNING er hovedresultatet af løsningen! Det vil sandsynligvis "dække over" analytiske fejl, mens en forkert og/eller skødesløs tidsplan vil give problemer selv med en perfekt gennemført undersøgelse.

Det skal bemærkes, at i andre kilder kan antallet af forskningspunkter, rækkefølgen af ​​deres implementering og designstilen afvige væsentligt fra det skema, jeg foreslog, men i de fleste tilfælde er det ganske tilstrækkeligt. Den enkleste version af problemet består af kun 2-3 trin og er formuleret sådan her: "undersøg funktionen ved hjælp af den afledede og byg en graf" eller "undersøg funktionen ved hjælp af 1. og 2. afledede, byg en graf."

Naturligvis, hvis din manual beskriver en anden algoritme i detaljer, eller din lærer strengt kræver, at du overholder hans forelæsninger, så bliver du nødt til at foretage nogle justeringer af løsningen. Ikke sværere end at udskifte en motorsavsgaffel med en ske.

Lad os tjekke funktionen for lige/ulige:

Dette efterfølges af et skabelonsvar:
, hvilket betyder, at denne funktion ikke er lige eller ulige.

Da funktionen er kontinuerlig på , er der ingen lodrette asymptoter.

Der er heller ingen skrå asymptoter.

Note : Jeg minder dig om, at jo højere vækstordre, end , derfor er den endelige grænse nøjagtig " plus uendelighed."

Lad os finde ud af, hvordan funktionen opfører sig i det uendelige:

Med andre ord, hvis vi går til højre, så går grafen uendeligt langt op, går vi til venstre, går den uendeligt langt ned. Ja, der er også to grænser under en enkelt post. Hvis du har svært ved at tyde skiltene, så besøg venligst lektionen om infinitesimale funktioner.

Altså funktionen ikke begrænset fra oven Og ikke begrænset nedefra. I betragtning af, at vi ikke har nogen brudpunkter, bliver det klart funktionsområde: – også ethvert reelt tal.

NYTTIG TEKNISK TEKNIK

Hvert trin i opgaven bringer ny information om funktionens graf, derfor er det praktisk at bruge en slags LAYOUT under løsningen. Lad os tegne et kartesisk koordinatsystem på et udkast. Hvad er allerede kendt med sikkerhed? For det første har grafen ingen asymptoter, derfor er der ingen grund til at tegne lige linjer. For det andet ved vi, hvordan funktionen opfører sig i det uendelige. Ifølge analysen tegner vi en første tilnærmelse:

Bemærk venligst, at pga kontinuitet fungerer på og det faktum, at grafen skal krydse aksen mindst én gang. Eller måske er der flere skæringspunkter?

3) Nullpunkter for funktionen og intervaller af konstant fortegn.

Lad os først finde skæringspunktet for grafen med ordinataksen. Det er enkelt. Det er nødvendigt at beregne værdien af ​​funktionen ved:

Halvanden over havets overflade.

For at finde skæringspunkterne med aksen (funktionens nuller) skal vi løse ligningen, og her venter os en ubehagelig overraskelse:

Der lurer et gratis medlem for enden, hvilket gør opgaven meget sværere.

En sådan ligning har mindst én reel rod, og oftest er denne rod irrationel. I det værste eventyr venter de tre små grise på os. Ligningen kan løses ved hjælp af den såkaldte Cardano formler, men skaderne på papir kan sammenlignes med næsten hele undersøgelsen. I den forbindelse er det klogere at prøve at vælge mindst én, enten mundtligt eller i et udkast. hel rod. Lad os tjekke, om disse tal er:
– ikke egnet;
- Der er!

Heldigt her. I tilfælde af fiasko kan du også teste , og hvis disse tal ikke passer, så er jeg bange for, at der er meget lille chance for en rentabel løsning på ligningen. Så er det bedre at springe forskningspunktet helt over – måske bliver noget mere tydeligt på det sidste trin, når yderligere punkter bliver brudt igennem. Og hvis rødderne klart er "dårlige", så er det bedre at forblive beskedent tavs om intervallerne for konstante tegn og at tegne mere omhyggeligt.

Vi har dog en smuk rod, så vi deler polynomiet for ingen rest:

Algoritmen til at dividere et polynomium med et polynomium diskuteres i detaljer i lektionens første eksempel Komplekse grænser.

Som et resultat, venstre side af den oprindelige ligning nedbrydes til produktet:

Og nu lidt om en sund livsstil. Det forstår jeg selvfølgelig godt andengradsligninger skal løses hver dag, men i dag gør vi en undtagelse: ligningen har to rigtige rødder.

Lad os plotte de fundne værdier på tallinjen Og interval metode Lad os definere tegnene for funktionen:


og Således på intervallerne tidsplanen er placeret
under x-aksen og i intervallerne – over denne akse.

Resultaterne giver os mulighed for at forfine vores layout, og den anden tilnærmelse af grafen ser sådan ud:

Bemærk venligst, at en funktion skal have mindst et maksimum på et interval og mindst et minimum på et interval. Men vi ved endnu ikke, hvor mange gange, hvor og hvornår tidsplanen løber. En funktion kan i øvrigt have uendeligt mange ekstremer.

4) Stigende, faldende og ekstreme af funktionen.

Lad os finde kritiske punkter:

Denne ligning har to reelle rødder. Lad os sætte dem på tallinjen og bestemme fortegnene for den afledte:


Derfor øges funktionen med og falder med.
På det tidspunkt når funktionen sit maksimum: .
På det tidspunkt når funktionen et minimum: .

Etablerede fakta driver vores skabelon ind i en ret stiv ramme:

Det er overflødigt at sige, at differentialregning er en kraftfuld ting. Lad os endelig forstå formen af ​​grafen:

5) Konveksitet, konkavitet og bøjningspunkter.

Lad os finde de kritiske punkter i den anden afledede:

Lad os definere tegnene:


Grafen for funktionen er konveks på og konkav på . Lad os beregne ordinaten af ​​bøjningspunktet: .

Næsten alt er blevet klart.

6) Det er tilbage at finde yderligere punkter, der vil hjælpe dig mere præcist at konstruere en graf og udføre selvtest. I dette tilfælde er der få af dem, men vi vil ikke overse dem:

Lad os lave tegningen:

Bøjningspunktet er markeret med grønt, yderligere punkter markeres med kryds. Grafen for en kubisk funktion er symmetrisk omkring dens bøjningspunkt, som altid er placeret strengt i midten mellem maksimum og minimum.

Efterhånden som opgaven skred frem, leverede jeg tre hypotetiske foreløbige tegninger. I praksis er det nok at tegne et koordinatsystem, markere de fundne punkter og efter hvert forskningspunkt mentalt vurdere, hvordan grafen for funktionen kan se ud. Det vil ikke være svært for elever med et godt forberedelsesniveau at udføre en sådan analyse udelukkende i deres hoveder uden at involvere et udkast.

For at løse det selv:

Eksempel 2

Udforsk funktionen og byg en graf.

Alt er hurtigere og sjovere her, et omtrentligt eksempel på det endelige design i slutningen af ​​lektionen.

Studiet af fraktioneret rationelle funktioner afslører mange hemmeligheder:

Eksempel 3

Brug differentialregningsmetoder til at studere en funktion og konstruer dens graf ud fra resultaterne af undersøgelsen.

Løsning: den første fase af undersøgelsen er ikke kendetegnet ved noget bemærkelsesværdigt, med undtagelse af et hul i definitionsområdet:

1) Funktionen er defineret og kontinuerlig på hele tallinjen undtagen punktet, definitionsdomæne: .

, hvilket betyder, at denne funktion ikke er lige eller ulige.

Funktionen er naturligvis ikke-periodisk.

Funktionens graf repræsenterer to kontinuerlige grene placeret i venstre og højre halvplan - dette er måske den vigtigste konklusion af punkt 1.

2) Asymptoter, opførsel af en funktion i det uendelige.

a) Ved hjælp af ensidige grænser undersøger vi funktionsadfærden nær et mistænkeligt punkt, hvor der tydeligvis burde være en lodret asymptote:

Faktisk holder funktionerne endeløst hul på punktet
og den rette linje (akse) er lodret asymptote grafik

b) Lad os kontrollere, om der findes skrå asymptoter:

Ja, det er lige skrå asymptote grafik, hvis.

Det giver ingen mening at analysere grænserne, da det allerede er klart, at funktionen omfatter sin skrå asymptote ikke begrænset fra oven Og ikke begrænset nedefra.

Det andet forskningspunkt gav en masse vigtig information om funktionen. Lad os lave en grov skitse:

Konklusion nr. 1 vedrører intervaller med konstant fortegn. Ved "minus uendeligt" er grafen for funktionen tydeligt placeret under x-aksen, og ved "plus uendelig" er den over denne akse. Derudover fortalte de ensidede grænser os, at både til venstre og til højre for punktet er funktionen også større end nul. Bemærk venligst, at i venstre halvplan skal grafen krydse x-aksen mindst én gang. Der er muligvis ikke nogen nuller af funktionen i højre halvplan.

Konklusion nr. 2 er, at funktionen øges på og til venstre for punktet (går "fra bund til top"). Til højre for dette punkt falder funktionen (går "fra top til bund"). Den højre gren af ​​grafen skal bestemt have mindst ét ​​minimum. På venstrefløjen er ekstremer ikke garanteret.

Konklusion nr. 3 giver pålidelig information om grafens konkavitet i nærheden af ​​punktet. Vi kan endnu ikke sige noget om konveksitet/konkavitet ved uendeligheder, da en linje kan presses mod sin asymptote både oppefra og nedefra. Generelt er der en analytisk måde at finde ud af dette på lige nu, men formen på grafen vil blive tydeligere på et senere tidspunkt.

Hvorfor så mange ord? For at kontrollere efterfølgende forskningspunkter og undgå fejl! Yderligere beregninger bør ikke modsige de dragede konklusioner.

3) Grafens skæringspunkter med koordinatakserne, intervaller af konstant fortegn for funktionen.

Funktionens graf skærer ikke aksen.

Ved hjælp af intervalmetoden bestemmer vi tegnene:

, Hvis ;
, hvis .

Resultaterne af dette punkt er helt i overensstemmelse med konklusion nr. 1. Efter hvert trin skal du se på udkastet, kontrollere forskningen mentalt og færdiggøre grafen for funktionen.

I det undersøgte eksempel er tælleren delt led for led med nævneren, hvilket er meget fordelagtigt for differentiering:

Faktisk er dette allerede blevet gjort, når man har fundet asymptoter.

– kritisk punkt.

Lad os definere tegnene:

stiger med og falder med

På det tidspunkt når funktionen et minimum: .

Der var heller ingen uoverensstemmelser med konklusion nr. 2, og højst sandsynligt er vi på rette vej.

Det betyder, at grafen for funktionen er konkav gennem hele definitionsdomænet.

Fantastisk - og du behøver ikke tegne noget.

Der er ingen bøjningspunkter.

Konkavitet er i overensstemmelse med konklusion nr. 3, desuden indikerer det, at ved uendelig (både der og der) er grafen for funktionen placeret højere dens skrå asymptote.

6) Vi vil samvittighedsfuldt sætte yderligere point til opgaven. Det er her, vi skal arbejde hårdt, da vi kun kender to punkter fra forskningen.

Og et billede, som mange sikkert har forestillet sig for længe siden:

Under udførelsen af ​​opgaven skal du omhyggeligt sikre, at der ikke er nogen modsætninger mellem faserne af forskningen, men nogle gange er situationen presserende eller endda desperat blindgyde. Analyserne "sammenhænger ikke" - det er alt. I dette tilfælde anbefaler jeg en nødteknik: vi finder så mange punkter som muligt, der hører til grafen (så meget tålmodighed, som vi har), og markerer dem på koordinatplanet. I de fleste tilfælde vil grafisk analyse af de fundne værdier fortælle dig, hvor sandheden er, og hvor den er falsk. Derudover kan grafen bygges på forhånd ved hjælp af et eller andet program, for eksempel i Excel (selvfølgelig kræver det færdigheder).

Eksempel 4

Brug differentialregningsmetoder til at studere en funktion og konstruere dens graf.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. I den forstærkes selvkontrol af funktionens paritet - grafen er symmetrisk om aksen, og hvis der er noget i din forskning, der modsiger dette faktum, så se efter en fejl.

En lige eller ulige funktion kan kun studeres ved , og brug derefter grafens symmetri. Denne løsning er optimal, men efter min mening ser den meget usædvanlig ud. Personligt ser jeg på hele tallinjen, men jeg finder stadig yderligere punkter kun til højre:

Eksempel 5

Udfør en komplet undersøgelse af funktionen og konstruer dens graf.

Løsning: tingene blev svære:

1) Funktionen er defineret og fortløbende på hele tallinjen: .

Dette betyder, at denne funktion er ulige, dens graf er symmetrisk om oprindelsen.

Funktionen er naturligvis ikke-periodisk.

2) Asymptoter, opførsel af en funktion i det uendelige.

Da funktionen er kontinuerlig på , er der ingen lodrette asymptoter

For en funktion, der indeholder en eksponent, er det typisk adskille studie af "plus" og "minus af uendelighed", men vores liv bliver lettere af grafens symmetri - enten er der en asymptote til både venstre og højre, eller også er der ingen. Derfor kan begge uendelige grænser skrives under en enkelt post. Under løsningen bruger vi L'Hopitals regel:

Den rette linje (akse) er den vandrette asymptote af grafen ved .

Bemærk venligst, hvordan jeg på snedig vis undgik den fulde algoritme til at finde den skrå asymptote: grænsen er fuldstændig lovlig og tydeliggør funktionsmåden i det uendelige, og den vandrette asymptote blev opdaget "som om på samme tid."

Af kontinuiteten og eksistensen af ​​en horisontal asymptote følger det, at funktionen afgrænset ovenfor Og afgrænset nedenfor.

3) Grafens skæringspunkter med koordinatakserne, intervaller med konstant fortegn.

Her forkorter vi også løsningen:
Grafen går gennem oprindelsen.

Der er ingen andre skæringspunkter med koordinatakserne. Ydermere er fortegnskonstansintervallerne indlysende, og aksen behøver ikke tegnes: , hvilket betyder, at fortegnet for funktionen kun afhænger af "x":
, Hvis ;
, hvis.

4) Stigende, faldende, ekstrema af funktionen.


– kritiske punkter.

Punkterne er symmetriske omkring nul, som det skal være.

Lad os bestemme tegnene for den afledte:


Funktionen øges med et interval og falder med intervaller

På det tidspunkt når funktionen sit maksimum: .

På grund af ejendommen (det mærkelige af funktionen) minimum skal ikke beregnes:

Da funktionen falder over intervallet, er grafen naturligvis placeret ved "minus uendeligt" under dens asymptote. I løbet af intervallet falder funktionen også, men her er det modsatte - efter at have passeret maksimumpunktet nærmer linjen sig aksen ovenfra.

Af ovenstående følger også, at grafen for funktionen er konveks ved "minus uendeligt" og konkav ved "plus uendelig".

Efter dette studiepunkt blev rækken af ​​funktionsværdier tegnet:

Hvis du har en misforståelse af nogle punkter, opfordrer jeg dig endnu en gang til at tegne koordinatakser i din notesbog og, med en blyant i hænderne, genanalysere hver konklusion af opgaven.

5) Konveksitet, konkavitet, knæk på grafen.

– kritiske punkter.

Symmetrien af ​​punkterne er bevaret, og højst sandsynligt tager vi ikke fejl.

Lad os definere tegnene:


Grafen for funktionen er konveks på og konkav på .

Konveksiteten/konkaviteten ved de ekstreme intervaller blev bekræftet.

På alle kritiske punkter er der knæk i grafen. Lad os finde ordinaterne af bøjningspunkterne og igen reducere antallet af beregninger ved at bruge funktionens uligehed: