Overfladearealet af en kegle (eller blot overfladen af en kegle) er lig med summen af arealerne af basen og den laterale overflade.
Arealet af keglens laterale overflade beregnes med formlen: S = πR l, hvor R er radius af keglens basis, og l- danner en kegle.
Da arealet af keglens basis er lig med πR 2 (som arealet af en cirkel), vil arealet af keglens samlede overflade være lig med: πR 2 + πR l= πR(R+ l).
At opnå formlen for arealet af den laterale overflade af en kegle kan forklares med følgende ræsonnement. Lad tegningen vise udviklingen af en kegles sideflade. Lad os opdele buen AB i så mange lige store dele som muligt og forbinde alle delepunkterne til midten af buen, og naboerne til hinanden med akkorder.
Vi får en række lige store trekanter. Arealet af hver trekant er ah / 2 hvor EN- længden af trekantens basis, a h- hans høje.
Summen af arealerne af alle trekanter vil være: ah / 2 n = anh / 2 hvor n- antal trekanter.
Med et stort antal opdelinger bliver summen af trekanternes areal meget tæt på området for udviklingen, det vil sige arealet af keglens laterale overflade. Summen af trekanternes grundflader, dvs. en, bliver meget tæt på længden af buen AB, dvs. på omkredsen af keglens bund. Højden af hver trekant bliver meget tæt på buens radius, dvs. på keglens generatrix.
Når vi ignorerer mindre forskelle i størrelserne af disse mængder, får vi formlen for arealet af keglens laterale overflade (S):
S=C l / 2, hvor C er omkredsen af keglens bund, l- danner en kegle.
Ved at vide, at C = 2πR, hvor R er radius af cirklen af keglens basis, får vi: S = πR l.
Bemærk. I formlen S = C l / 2 er der et tegn på nøjagtig, ikke tilnærmet lighed, selvom vi på baggrund af ovenstående ræsonnement kunne betragte denne lighed for at være tilnærmet. Men i gymnasiet er det bevist, at ligestilling
S=C l / 2 er nøjagtig, ikke omtrentlig.
Sætning. Keglens laterale overflade er lig med produktet af omkredsen af basen og halvdelen af generatrixen.
Lad os indskrive en regulær pyramide i keglen (fig.) og betegne den med bogstaver R Og l tal, der udtrykker længden af omkredsen af basen og apotem af denne pyramide.
Så vil dens sideflade blive udtrykt som produktet 1/2 R l .
Lad os nu antage, at antallet af sider af polygonen indskrevet i basen stiger uden grænse. Derefter omkredsen R vil tendere til grænsen taget som længden C af grundomkredsen og apotem l vil have som grænse keglens generatrix (da ΔSAK følger at SA - SK
1 / 2 R l, vil have en tendens til grænsen på 1/2 C
L. Denne grænse tages som størrelsen af keglens laterale overflade. Ved at betegne keglens sideflade med bogstavet S kan vi skrive:
S = 1/2 C L = C 1/2 L
Konsekvenser.
1) Da C = 2 π
R, så er keglens sideflade udtrykt med formlen:
S = 1/2 2π R L= π R.L.
2) Vi opnår hele overfladen af keglen, hvis vi tilføjer den laterale overflade til området af basen; Derfor vil vi, ved at betegne hele overfladen med T, have:
T= π RL+ π R2= π R(L+R)
Sætning. Den laterale overflade af en afkortet kegle er lig med produktet af halvdelen af summen af længderne af basernes og generatorens cirkler.
Lad os indskrive en regulær afkortet pyramide i den afkortede kegle (fig.) og betegne den med bogstaver r, r 1 og l tal, der i identiske lineære enheder udtrykker længden af omkredsen af de nedre og øvre baser og apotem af denne pyramide.
Så er sidefladen af den indskrevne pyramide lig med 1/2 ( p + p 1) l
Med en ubegrænset stigning i antallet af sideflader af den indskrevne pyramide vil omkredsene R Og R 1 har en tendens til grænserne taget som længderne C og C 1 af grundcirklerne og apotemet l har som grænse generatoren L af en keglestub. Følgelig tenderer størrelsen af sidefladen af den indskrevne pyramide til en grænse lig med (C + C 1) L. Denne grænse tages som størrelsen af den laterale overflade af den afkortede kegle. Ved at betegne den laterale overflade af den afkortede kegle med bogstavet S, har vi:
S = 1/2 (C + C 1) L
Konsekvenser.
1) Hvis R og R 1 betyder radierne af cirklerne i de nedre og øvre baser, så vil den laterale overflade af den afkortede kegle være:
S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R1) L.
2) Hvis i trapezoidet OO 1 A 1 A (fig.), fra hvis rotation en afkortet kegle opnås, tegner vi midterlinjen BC, så får vi:
BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),
R + R1 = 2VS.
Derfor,
S=2 π BC L,
dvs. sidefladen af en keglestub er lig med produktet af omkredsen af midtersektionen og generatricen.
3) Den samlede overflade T af en keglestub vil blive udtrykt som følger:
T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)
Vi ved, hvad en kegle er, lad os prøve at finde dens overfladeareal. Hvorfor skal du løse sådan et problem? For eksempel skal du forstå, hvor meget dej der skal bruges til at lave en vaffelkegle? Eller hvor mange mursten skal der til for at lave et muret borgtag?
Måling af det laterale overfladeareal af en kegle kan simpelthen ikke gøres. Men lad os forestille os det samme horn pakket ind i stof. For at finde området af et stykke stof skal du klippe det og lægge det ud på bordet. Resultatet er en flad figur, vi kan finde dens areal.
Ris. 1. Udsnit af en kegle langs generatricen
Lad os gøre det samme med keglen. Lad os "skære" dens sideflade langs en hvilken som helst generatrix, for eksempel (se fig. 1).
Lad os nu "afvikle" sidefladen på et fly. Vi får en sektor. Centrum af denne sektor er keglens toppunkt, sektorens radius er lig med keglens generatrix, og længden af dens bue falder sammen med omkredsen af keglens bund. Denne sektor kaldes udviklingen af keglens sideflade (se fig. 2).
Ris. 2. Udvikling af sidefladen
Ris. 3. Vinkelmåling i radianer
Lad os prøve at finde området for sektoren ved hjælp af de tilgængelige data. Lad os først introducere notationen: Lad vinklen ved sektorens toppunkt være i radianer (se fig. 3).
Vi vil ofte have at gøre med vinklen i toppen af sweep i problemer. Lad os nu prøve at besvare spørgsmålet: kan denne vinkel ikke vise sig at være mere end 360 grader? Det vil sige, ville det ikke vise sig, at fejet ville overlappe sig selv? Selvfølgelig ikke. Lad os bevise dette matematisk. Lad scanningen "overlægge" sig selv. Det betyder, at længden af sweep-buen er større end længden af cirklen med radius. Men som allerede nævnt er længden af sweep-buen længden af radiuscirklen . Og radius af keglens basis er selvfølgelig mindre end generatricen, for eksempel fordi benet i en retvinklet trekant er mindre end hypotenusen
Lad os så huske to formler fra planimetrikurset: buelængde. Sektorområde:.
I vores tilfælde spilles rollen af generatoren , og buens længde er lig med omkredsen af keglens bund, dvs. Vi har:
Endelig får vi:.
Sammen med det laterale overfladeareal kan det samlede overfladeareal også findes. For at gøre dette skal du tilføje området af basen til området af den laterale overflade. Men basen er en cirkel med radius, hvis areal ifølge formlen er lig med .
Endelig har vi: , hvor er radius af bunden af cylinderen, er generatoren.
Lad os løse et par problemer ved hjælp af de givne formler.
Ris. 4. Påkrævet vinkel
Eksempel 1. Udviklingen af keglens laterale overflade er en sektor med en vinkel i spidsen. Find denne vinkel, hvis keglens højde er 4 cm og basens radius er 3 cm (se fig. 4).
Ris. 5. Ret trekant danner en kegle
Ved den første handling finder vi ifølge Pythagoras sætning generatoren: 5 cm (se fig. 5). Dernæst ved vi det .
Eksempel 2. Keglens aksiale tværsnitsareal er lig med , højden er lig . Find det samlede overfladeareal (se fig. 6).
Tilbage frem
Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle funktionerne i præsentationen. Hvis du er interesseret i dette arbejde, bedes du downloade den fulde version.
Lektionstype: en lektion i at lære nyt stof ved hjælp af elementer fra en problembaseret udviklende undervisningsmetode.
Lektionens mål:
- pædagogisk:
- fortrolighed med et nyt matematisk koncept;
- dannelse af nye træningscentre;
- dannelse af praktiske problemløsningsevner.
- udvikler:
- udvikling af elevernes selvstændige tænkning;
- udvikling af korrekte talefærdigheder hos skolebørn.
- pædagogisk:
- udvikle teamwork færdigheder.
Undervisningsudstyr: magnettavle, computer, lærred, multimedieprojektor, keglemodel, lektionspræsentation, handouts.
Lektionens mål (for elever):
- stifte bekendtskab med et nyt geometrisk koncept - kegle;
- udled en formel til beregning af overfladearealet af en kegle;
- lære at anvende den tilegnede viden ved løsning af praktiske problemer.
Under timerne
Fase I. Organisatorisk.
Aflevering af notesbøger med hjemmetestarbejde om det dækkede emne.
Eleverne inviteres til at finde ud af emnet for den kommende lektion ved at løse gåden (dias 1):
Billede 1.
Annoncering af emnet og målene for lektionen til eleverne (dias 2).
Fase II. Forklaring af nyt materiale.
1) Lærerforedrag.
På tavlen er der et bord med et billede af en kegle. Det nye materiale er forklaret ledsaget af programmaterialet "Stereometri". Et tredimensionelt billede af en kegle vises på skærmen. Læreren giver definitionen af en kegle og fortæller om dens elementer. (dias 3). Det siges, at en kegle er en krop dannet af en retvinklet trekants rotation i forhold til et ben. (slides 4, 5). Et billede af en scanning af keglens sideoverflade vises. (dias 6)
2) Praktisk arbejde.
Opdatering af grundlæggende viden: Gentag formlerne til at beregne arealet af en cirkel, arealet af en sektor, længden af en cirkel, længden af en cirkelbue. (dias 7-10)
Klassen er inddelt i grupper. Hver gruppe modtager en scanning af den laterale overflade af keglen skåret ud af papir (en sektor af en cirkel med et tildelt nummer). Studerende tager de nødvendige målinger og beregner arealet af den resulterende sektor. Instruktioner til udførelse af arbejde, spørgsmål - problemformuleringer - vises på skærmen (dias 11-14). En repræsentant for hver gruppe skriver resultaterne af beregningerne ned i en tabel udarbejdet på tavlen. Deltagerne i hver gruppe limer en model af en kegle sammen efter det mønster, de har. (dias 15)
3) Redegørelse og løsning af problemet.
Hvordan beregnes arealet af den laterale overflade af en kegle, hvis kun radius af basen og længden af keglens generatrix er kendt? (dias 16)
Hver gruppe tager de nødvendige mål og forsøger at udlede en formel til at beregne det nødvendige areal ved hjælp af de tilgængelige data. Når de udfører dette arbejde, skal eleverne bemærke, at omkredsen af keglens bund er lig med længden af sektorens bue - udviklingen af denne kegles laterale overflade. (dias 17-21) Ved at bruge de nødvendige formler udledes den ønskede formel. Elevernes argumenter skal se sådan ud:
Sektor-sweep-radius er lig med l, gradmål for bue – φ. Sektorens areal beregnes ved formlen: længden af buen, der afgrænser denne sektor, er lig med radius af keglens basis R. Længden af cirklen, der ligger ved keglens basis, er C = 2πR . Bemærk, at da arealet af keglens laterale overflade er lig med udviklingsarealet af dens laterale overflade, så
Så arealet af keglens laterale overflade beregnes af formlen S BOD = πRl.
Efter at have beregnet arealet af keglemodellens laterale overflade ved hjælp af en formel, der er afledt uafhængigt, skriver en repræsentant for hver gruppe resultatet af beregningerne i en tabel på tavlen i overensstemmelse med modelnumrene. Beregningsresultaterne i hver linje skal være ens. Ud fra dette bestemmer læreren rigtigheden af hver gruppes konklusioner. Resultattabellen skulle se sådan ud:
|
model nr. |
I opgave |
II opgave |
(125/3)π ~ 41,67 π |
||
(425/9)π ~ 47,22 π |
||
(539/9)π ~ 59,89 π |
Modelparametre:
- l = 12 cm, φ = 120°
- l=10 cm, φ =150°
- l=15 cm, φ =120°
- l = 10 cm, φ = 170°
- l=14 cm, φ =110°
Tilnærmelsen af beregninger er forbundet med målefejl.
Efter kontrol af resultaterne vises output fra formlerne for områderne af keglens laterale og samlede overflader på skærmen (dias 22-26), eleverne fører noter i notesbøger.
Fase III. Konsolidering af det undersøgte materiale.
1) Eleverne tilbydes problemer til mundtlig løsning på færdige tegninger.
Find områderne af de komplette overflader af keglerne vist på figurerne (dias 27-32).
2) Spørgsmål: Er arealer af overfladerne på kegler dannet ved at dreje en retvinklet trekant om forskellige ben lige store? Eleverne kommer med en hypotese og tester den. Hypotesen testes ved at løse opgaver og skrives af eleven på tavlen.
Givet:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
ВАА", АВВ" - rotationslegemer.
Find: S PPK 1, S PPK 2.
Figur 5. (dias 33)
Løsning:
1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S hoved 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S base 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).
Hvis S PPK 1 = S PPK 2, så a 2 + ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Fordi a, b, c – positive tal (længderne af trekantens sider), er ligheden kun sand, hvis a =b.
Konklusion: Overfladearealerne af to kegler er kun lige, hvis trekantens sider er lige store. (dias 34)
3) Løsning af problemet fra lærebogen: nr. 565.
Fase IV. Opsummering af lektionen.
Lektier: afsnit 55, 56; nr. 548, nr. 561. (dias 35)
Annoncering af tildelte karakterer.
Konklusioner i løbet af lektionen, gentagelse af de vigtigste informationer modtaget i løbet af lektionen.
Litteratur (dias 36)
- Geometri karakterer 10-11 - Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., "Prosveshchenie", 2008.
- "Matematiske gåder og charader" - N.V. Udaltsova, bibliotek "First of September", serie "MATHEMATICS", udgave 35, M., Chistye Prudy, 2010.
Vi ved, hvad en kegle er, lad os prøve at finde dens overfladeareal. Hvorfor skal du løse sådan et problem? For eksempel skal du forstå, hvor meget dej der skal bruges til at lave en vaffelkegle? Eller hvor mange mursten skal der til for at lave et muret borgtag?
Måling af det laterale overfladeareal af en kegle kan simpelthen ikke gøres. Men lad os forestille os det samme horn pakket ind i stof. For at finde området af et stykke stof skal du klippe det og lægge det ud på bordet. Resultatet er en flad figur, vi kan finde dens areal.
Ris. 1. Udsnit af en kegle langs generatricen
Lad os gøre det samme med keglen. Lad os "skære" dens sideflade langs en hvilken som helst generatrix, for eksempel (se fig. 1).
Lad os nu "afvikle" sidefladen på et fly. Vi får en sektor. Centrum af denne sektor er keglens toppunkt, sektorens radius er lig med keglens generatrix, og længden af dens bue falder sammen med omkredsen af keglens bund. Denne sektor kaldes udviklingen af keglens sideflade (se fig. 2).
Ris. 2. Udvikling af sidefladen
Ris. 3. Vinkelmåling i radianer
Lad os prøve at finde området for sektoren ved hjælp af de tilgængelige data. Lad os først introducere notationen: Lad vinklen ved sektorens toppunkt være i radianer (se fig. 3).
Vi vil ofte have at gøre med vinklen i toppen af sweep i problemer. Lad os nu prøve at besvare spørgsmålet: kan denne vinkel ikke vise sig at være mere end 360 grader? Det vil sige, ville det ikke vise sig, at fejet ville overlappe sig selv? Selvfølgelig ikke. Lad os bevise dette matematisk. Lad scanningen "overlægge" sig selv. Det betyder, at længden af sweep-buen er større end længden af cirklen med radius. Men som allerede nævnt er længden af sweep-buen længden af radiuscirklen . Og radius af keglens basis er selvfølgelig mindre end generatricen, for eksempel fordi benet i en retvinklet trekant er mindre end hypotenusen
Lad os så huske to formler fra planimetrikurset: buelængde. Sektorområde:.
I vores tilfælde spilles rollen af generatoren , og buens længde er lig med omkredsen af keglens bund, dvs. Vi har:
Endelig får vi:.
Sammen med det laterale overfladeareal kan det samlede overfladeareal også findes. For at gøre dette skal du tilføje området af basen til området af den laterale overflade. Men basen er en cirkel med radius, hvis areal ifølge formlen er lig med .
Endelig har vi: , hvor er radius af bunden af cylinderen, er generatoren.
Lad os løse et par problemer ved hjælp af de givne formler.
Ris. 4. Påkrævet vinkel
Eksempel 1. Udviklingen af keglens laterale overflade er en sektor med en vinkel i spidsen. Find denne vinkel, hvis keglens højde er 4 cm og basens radius er 3 cm (se fig. 4).
Ris. 5. Ret trekant danner en kegle
Ved den første handling finder vi ifølge Pythagoras sætning generatoren: 5 cm (se fig. 5). Dernæst ved vi det .
Eksempel 2. Keglens aksiale tværsnitsareal er lig med , højden er lig . Find det samlede overfladeareal (se fig. 6).