Kanoniske ligninger for en linje i rummet er ligninger, der definerer en linje, der går gennem et givet punkt kollineært med retningsvektoren.

Lad et punkt og en retningsvektor være givet. Et vilkårligt punkt ligger på en linje l kun hvis vektorerne og er kollineære, dvs. betingelsen er opfyldt for dem:

.

Ovenstående ligninger er de kanoniske ligninger for den rette linje.

Tal m , n Og s er projektioner af retningsvektoren på koordinatakserne. Da vektoren er ikke-nul, så er alle tal m , n Og s kan ikke samtidigt være lig med nul. Men en eller to af dem kan vise sig at være nul. I analytisk geometri, for eksempel, er følgende indtastning tilladt:

,

hvilket betyder, at vektorens projektioner på aksen Åh Og Oz er lig med nul. Derfor er både vektoren og den rette linje defineret af de kanoniske ligninger vinkelrette på akserne Åh Og Oz, dvs. fly yOz .

Eksempel 1. Skriv ligninger for en linje i rummet vinkelret på en plan og passerer gennem skæringspunktet for dette plan med aksen Oz .

Løsning. Lad os finde skæringspunktet for dette plan med aksen Oz. Da ethvert punkt ligger på aksen Oz, har koordinater , så forudsat i den givne ligning af planet x = y = 0, vi får 4 z- 8 = 0 eller z= 2. Derfor skæringspunktet for dette plan med aksen Oz har koordinater (0; 0; 2) . Da den ønskede linje er vinkelret på planet, er den parallel med sin normalvektor. Derfor kan den rette linjes vektor være normalvektoren givet fly.

Lad os nu nedskrive de krævede ligninger af en lige linje, der går gennem et punkt EN= (0; 0; 2) i vektorens retning:

Ligninger for en linje, der går gennem to givne punkter

En ret linje kan defineres af to punkter, der ligger på den Og I dette tilfælde kan den rettede vektor for den rette linje være vektoren. Så tager linjens kanoniske ligninger formen

.

Ovenstående ligninger bestemmer en linje, der går gennem to givne punkter.

Eksempel 2. Skriv en ligning for en linje i rummet, der går gennem punkterne og .

Løsning. Lad os nedskrive de krævede ligninger for den rette linje i formen ovenfor i den teoretiske reference:

.

Siden , så er den ønskede rette linje vinkelret på aksen Åh .

Lige som skæringslinjen mellem fly

En ret linje i rummet kan defineres som skæringslinjen mellem to ikke-parallelle planer og, dvs. som et sæt punkter, der opfylder et system af to lineære ligninger

Systemets ligninger kaldes også de generelle ligninger for en ret linje i rummet.

Eksempel 3. Sammensæt kanoniske ligninger af en linje i rummet givet ved generelle ligninger

Løsning. For at skrive de kanoniske ligninger for en linje eller, hvad der er det samme, ligningerne for en linje, der går gennem to givne punkter, skal du finde koordinaterne for to vilkårlige punkter på linjen. De kan f.eks. være skæringspunkterne for en ret linje med to koordinatplaner yOz Og xOz .

Skæringspunktet mellem en linje og et plan yOz har en abscisse x= 0 . Derfor antager man i dette ligningssystem x= 0, får vi et system med to variable:

Hendes beslutning y = 2 , z= 6 sammen med x= 0 definerer et punkt EN(0; 2; 6) den ønskede linje. Derefter antages i det givne ligningssystem y= 0, får vi systemet

Hendes beslutning x = -2 , z= 0 sammen med y= 0 definerer et punkt B(-2; 0; 0) skæring af en linje med et plan xOz .

Lad os nu nedskrive ligningerne for linjen, der går gennem punkterne EN(0; 2; 6) og B (-2; 0; 0) :

,

eller efter at have divideret nævnerne med -2:

,

Ligning for en ret linje på et plan.
Retningsvektoren er lige. Normal vektor

En lige linje på et plan er en af ​​de enkleste geometriske figurer, du kender fra folkeskolen, og i dag vil vi lære at håndtere det ved hjælp af metoderne til analytisk geometri. For at mestre materialet skal du kunne bygge en lige linje; vide, hvilken ligning der definerer en ret linje, især en ret linje der går gennem koordinaternes oprindelse og rette linjer parallelt med koordinatakserne. Disse oplysninger kan findes i manualen Grafer og egenskaber for elementære funktioner, Jeg oprettede det til Mathan, men afsnittet om den lineære funktion viste sig at være meget vellykket og detaljeret. Derfor kære tekander, varm op der først. Derudover skal du have grundlæggende viden om vektorer, ellers vil forståelsen af ​​materialet være ufuldstændig.

I denne lektion vil vi se på måder, hvorpå du kan oprette en ligning af en lige linje på et plan. Jeg anbefaler ikke at forsømme praktiske eksempler (selvom det virker meget enkelt), da jeg vil give dem elementære og vigtige fakta, tekniske teknikker, der vil være påkrævet i fremtiden, herunder i andre sektioner af højere matematik.

• Hvordan skriver man en ligning for en ret linje med en vinkelkoefficient?
• Hvordan?
• Hvordan finder man en retningsvektor ved hjælp af den generelle ligning for en ret linje?
• Hvordan skriver man en ligning for en ret linje givet et punkt og en normalvektor?

og vi begynder:

Ligning af en ret linje med hældning

Den velkendte "skole" form for en lige linje ligning kaldes ligning af en ret linje med hældning. For eksempel, hvis en lige linje er givet af ligningen, så er dens hældning: . Lad os overveje den geometriske betydning af denne koefficient, og hvordan dens værdi påvirker placeringen af ​​linjen:

I et geometrikursus er det bevist at hældningen af ​​den rette linje er lig med tangens af vinklen mellem positiv akseretningog denne linje: , og vinklen "skrues af" mod uret.

For ikke at rode på tegningen tegnede jeg kun vinkler for to lige linjer. Lad os overveje den "røde" linje og dens hældning. Ifølge ovenstående: (“alfa”-vinklen er angivet med en grøn bue). For den "blå" lige linje med vinkelkoefficienten er ligheden sand ("beta"-vinklen er angivet med en brun bue). Og hvis tangens af vinklen er kendt, så er den om nødvendigt let at finde og selve hjørnet ved hjælp af den omvendte funktion - arctangens. Som de siger, en trigonometrisk tabel eller en mikroberegner i dine hænder. Således, vinkelkoefficienten karakteriserer graden af ​​hældning af den rette linje til abscisseaksen.

Følgende tilfælde er mulige:

1) Hvis hældningen er negativ: så går linjen groft sagt fra top til bund. Eksempler er de "blå" og "hindbær" lige linjer på tegningen.

2) Hvis hældningen er positiv: , så går linjen fra bund til top. Eksempler - "sorte" og "røde" lige linjer i tegningen.

3) Hvis hældningen er nul: , så tager ligningen formen , og den tilsvarende rette linje er parallel med aksen. Et eksempel er den "gule" lige linje.

4) For en familie af linjer parallelt med en akse (der er intet eksempel på tegningen, bortset fra selve aksen), vinkelkoefficienten eksisterer ikke (tangens på 90 grader er ikke defineret).

Jo større hældningskoefficienten er i absolut værdi, jo stejlere går linjegrafen..

Overvej for eksempel to lige linjer. Her har den lige linje derfor en stejlere hældning. Lad mig minde dig om, at modulet giver dig mulighed for at ignorere skiltet, vi kun er interesseret i absolutte værdier vinkelkoefficienter.

Til gengæld er en lige linje stejlere end lige linjer .

Omvendt: Jo mindre hældningskoefficienten er i absolut værdi, jo fladere er den lige linje.

Til lige linjer uligheden er sand, således er den rette linje fladere. Børns rutsjebane, for ikke at give dig selv blå mærker og stød.

Hvorfor er dette nødvendigt?

Forlæng din pine Kendskab til ovenstående fakta giver dig mulighed for straks at se dine fejl, især fejl, når du konstruerer grafer - hvis tegningen viser sig at være "åbenbart noget galt." Det er tilrådeligt, at du med det samme det var tydeligt, at for eksempel den lige linje er meget stejl og går fra bund til top, og den lige linje er meget flad, presset tæt på aksen og går fra top til bund.

I geometriske problemer vises der ofte flere lige linjer, så det er praktisk at udpege dem på en eller anden måde.

Betegnelser: lige linjer er angivet med små latinske bogstaver: . En populær mulighed er at udpege dem ved hjælp af det samme bogstav med naturlige abonnenter. For eksempel kan de fem linjer, vi lige har kigget på, betegnes med .

Da enhver ret linje er entydigt bestemt af to punkter, kan den betegnes med disse punkter: osv. Betegnelsen antyder klart, at punkterne hører til linjen.

Det er tid til at varme lidt op:

Hvordan skriver man en ligning for en ret linje med en vinkelkoefficient?

Hvis et punkt, der tilhører en bestemt linje, og vinkelkoefficienten for denne linje er kendt, så er ligningen for denne linje udtrykt med formlen:

Eksempel 1

Skriv en ligning for en linje med hældning, hvis det vides, at punktet hører til den givne linje.

Løsning: Lad os sammensætte ligningen for den rette linje ved hjælp af formlen . I dette tilfælde:

Svar:

Undersøgelse gøres enkelt. Først ser vi på den resulterende ligning og sikrer os, at vores hældning er på plads. For det andet skal punktets koordinater opfylde denne ligning. Lad os sætte dem ind i ligningen:

Den korrekte lighed opnås, hvilket betyder, at punktet opfylder den resulterende ligning.

Konklusion: Ligningen blev fundet korrekt.

Et mere vanskeligt eksempel at løse på egen hånd:

Eksempel 2

Skriv en ligning for en ret linje, hvis det vides, at dens hældningsvinkel til aksens positive retning er , og punktet hører til denne rette linje.

Hvis du har problemer, så læs det teoretiske materiale igen. Mere præcist, mere praktisk, springer jeg mange beviser over.

Den sidste klokke har ringet, dimissionsceremonien er afsluttet, og uden for portene til vores fødeskole venter os selv den analytiske geometri. Løjerne er forbi... Eller måske er de lige begyndt =)

Vi vifter nostalgisk med pennen til det velkendte og stifter bekendtskab med den generelle ligning af en lige linje. For i analytisk geometri er det præcis, hvad der bruges:

Den generelle ligning for en ret linje har formen: , hvor er nogle tal. Samtidig er koefficienterne samtidigt er ikke lig med nul, da ligningen mister sin betydning.

Lad os klæde os i et jakkesæt og binde ligningen med hældningskoefficienten. Lad os først flytte alle termerne til venstre side:

Udtrykket med "X" skal sættes i første række:

I princippet har ligningen allerede formen , men ifølge reglerne for matematisk etikette skal koefficienten for det første led (i dette tilfælde) være positiv. Skiftende tegn:

Husk denne tekniske funktion! Vi gør den første koefficient (oftest) positiv!

I analytisk geometri vil ligningen for en ret linje næsten altid være givet i generel form. Nå, hvis det er nødvendigt, kan det nemt reduceres til "skole" -formen med en vinkelkoefficient (med undtagelse af lige linjer parallelt med ordinataksen).

Lad os spørge os selv hvad nok ved at konstruere en ret linje? To point. Men mere om denne barndomshændelse, der nu holder med pile. Hver lige linje har en meget specifik hældning, som er let at "tilpasse" sig. vektor.

En vektor, der er parallel med en linje, kaldes retningsvektoren for den linje. Det er indlysende, at enhver lige linje har uendeligt mange retningsvektorer, og alle vil være kollineære (co-directional eller ej - det betyder ikke noget).

Jeg vil betegne retningsvektoren som følger: .

Men én vektor er ikke nok til at konstruere en lige linje, vektoren er fri og ikke bundet til noget punkt på planet. Derfor er det desuden nødvendigt at kende et eller andet punkt, der hører til linjen.

Hvordan skriver man en ligning for en ret linje ved hjælp af et punkt og en retningsvektor?

Hvis et bestemt punkt, der tilhører en linje og retningsvektoren for denne linje er kendt, kan ligningen for denne linje kompileres ved hjælp af formlen:

Nogle gange kaldes det linjens kanoniske ligning .

Hvad skal man gøre hvornår en af ​​koordinaterne er lig med nul, vil vi forstå i praktiske eksempler nedenfor. Bemærk i øvrigt - begge på én gang koordinater kan ikke være lig med nul, da nulvektoren ikke angiver en bestemt retning.

Eksempel 3

Skriv en ligning for en ret linje ved hjælp af et punkt og en retningsvektor

Løsning: Lad os sammensætte ligningen for en ret linje ved hjælp af formlen. I dette tilfælde:

Ved at bruge proportionernes egenskaber slipper vi af med fraktioner:

Og vi bringer ligningen til sin generelle form:

Svar:

Som regel er det ikke nødvendigt at lave en tegning i sådanne eksempler, men for forståelsens skyld:

På tegningen ser vi startpunktet, den oprindelige retningsvektor (den kan plottes fra et hvilket som helst punkt på planet) og den konstruerede rette linje. Forresten er det i mange tilfælde mest bekvemt at konstruere en lige linje ved hjælp af en ligning med en vinkelkoefficient. Det er nemt at omdanne vores ligning til form og nemt vælge et andet punkt for at konstruere en lige linje.

Som bemærket i begyndelsen af ​​afsnittet, har en ret linje et uendeligt antal retningsvektorer, og alle er kollineære. For eksempel tegnede jeg tre sådanne vektorer: . Uanset hvilken retningsvektor vi vælger, vil resultatet altid være den samme lige linjeligning.

Lad os lave en ligning for en ret linje ved hjælp af et punkt og en retningsvektor:

Løsning af andelen:

Divider begge sider med –2 og få den velkendte ligning:

Interesserede kan teste vektorer på samme måde eller enhver anden collineær vektor.

Lad os nu løse det omvendte problem:

Hvordan finder man en retningsvektor ved hjælp af den generelle ligning for en ret linje?

Meget simpelt:

Hvis en linje er givet ved en generel ligning i et rektangulært koordinatsystem, så er vektoren retningsvektoren for denne linje.

Eksempler på at finde retningsvektorer for rette linjer:

Udsagnet giver os mulighed for kun at finde én retningsvektor ud af et uendeligt antal, men vi behøver ikke mere. Selvom det i nogle tilfælde er tilrådeligt at reducere koordinaterne for retningsvektorerne:

Således specificerer ligningen en ret linje, der er parallel med aksen, og koordinaterne for den resulterende retningsvektor er bekvemt divideret med -2, hvilket giver nøjagtigt basisvektoren som retningsvektoren. Logisk.

På samme måde angiver ligningen en ret linje parallel med aksen, og ved at dividere vektorens koordinater med 5 får vi enhedsvektoren som retningsvektoren.

Lad os nu gøre det kontrollere eksempel 3. Eksemplet gik op, så jeg minder dig om, at vi i det kompilerede ligningen for en ret linje ved hjælp af et punkt og en retningsvektor

For det første, ved hjælp af ligningen for den rette linje rekonstruerer vi dens retningsvektor: – alt er i orden, vi har modtaget den oprindelige vektor (i nogle tilfælde kan resultatet være en kollineær vektor til den originale, og det er normalt let at bemærke ved proportionaliteten af ​​de tilsvarende koordinater).

For det andet, skal punktets koordinater opfylde ligningen. Vi erstatter dem i ligningen:

Den korrekte ligestilling blev opnået, hvilket vi er meget glade for.

Konklusion: Opgaven blev udført korrekt.

Eksempel 4

Skriv en ligning for en ret linje ved hjælp af et punkt og en retningsvektor

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Løsningen og svaret er i slutningen af ​​lektionen. Det er stærkt tilrådeligt at kontrollere ved hjælp af den netop omtalte algoritme. Prøv altid (hvis det er muligt) at tjekke et udkast. Det er dumt at lave fejl, hvor de kan undgås 100 %.

I tilfælde af, at en af ​​retningsvektorens koordinater er nul, fortsæt meget enkelt:

Eksempel 5

Løsning: Formlen er ikke egnet, da nævneren på højre side er nul. Der er en vej ud! Ved at bruge proportionernes egenskaber omskriver vi formlen i formen, og resten rullede langs et dybt spor:

Svar:

Undersøgelse:

1) Gendan den rette linjes retningsvektor:
– den resulterende vektor er kollineær med den oprindelige retningsvektor.

2) Indsæt koordinaterne for punktet i ligningen:

Den korrekte ligestilling opnås

Konklusion: opgave udført korrekt

Spørgsmålet opstår, hvorfor bekymre sig om formlen, hvis der er en universel version, der vil fungere under alle omstændigheder? Der er to grunde. For det første er formlen i form af en brøk meget bedre husket. Og for det andet er ulempen ved den universelle formel det risikoen for at blive forvirret stiger markant ved udskiftning af koordinater.

Eksempel 6

Skriv en ligning for en ret linje ved hjælp af et punkt og en retningsvektor.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd.

Lad os vende tilbage til de allestedsnærværende to punkter:

Hvordan skriver man en ligning af en ret linje ved hjælp af to punkter?

Hvis to punkter er kendt, så kan ligningen for en ret linje, der går gennem disse punkter, kompileres ved hjælp af formlen:

Faktisk er dette en type formel, og her er hvorfor: hvis to punkter er kendt, så vil vektoren være retningsvektoren for den givne linje. I klassen Vektorer til dummies vi overvejede det enkleste problem - hvordan man finder koordinaterne for en vektor fra to punkter. Ifølge dette problem er retningsvektorens koordinater:

Note : Punkterne kan "byttes" og formlen kan bruges . En sådan løsning vil være ækvivalent.

Eksempel 7

Skriv en ligning for en ret linje ved hjælp af to punkter .

Løsning: Vi bruger formlen:

Samling af nævnerne:

Og bland bunken:

Lige nu er det praktisk at slippe af med brøktal. I dette tilfælde skal du gange begge sider med 6:

Åbn parenteserne og kom i tankerne om ligningen:

Svar:

Undersøgelse er indlysende - koordinaterne for de indledende punkter skal opfylde den resulterende ligning:

1) Erstat koordinaterne for punktet:

Ægte ligestilling.

2) Erstat koordinaterne for punktet:

Ægte ligestilling.

Konklusion: Linjens ligning er skrevet korrekt.

Hvis mindst én af punkterne ikke opfylder ligningen, se efter en fejl.

Det er værd at bemærke, at grafisk verifikation i dette tilfælde er vanskelig, da man konstruerer en lige linje og ser, om punkterne tilhører den , ikke så simpelt.

Jeg vil bemærke et par flere tekniske aspekter af løsningen. Måske i dette problem er det mere rentabelt at bruge spejlformlen og på samme punkter lav en ligning:

Færre fraktioner. Hvis du vil, kan du udføre løsningen til ende, resultatet skal være den samme ligning.

Det andet punkt er at se på det endelige svar og finde ud af, om det kunne forenkles yderligere? For eksempel, hvis du får ligningen , så er det tilrådeligt at reducere den med to: – ligningen vil definere den samme rette linje. Dette er dog allerede et samtaleemne om linjers relative position.

Efter at have modtaget svaret i eksempel 7, for en sikkerheds skyld, kontrollerede jeg, om ALLE koefficienter i ligningen er delelige med 2, 3 eller 7. Selvom der oftest foretages sådanne reduktioner under løsningen.

Eksempel 8

Skriv en ligning for en linje, der går gennem punkterne .

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning, som giver dig mulighed for bedre at forstå og øve beregningsteknikker.

Svarende til det foregående afsnit: hvis i formlen en af ​​nævnerne (koordinaten til retningsvektoren) bliver nul, så omskriver vi den i formen . Igen, læg mærke til, hvor akavet og forvirret hun ser ud. Jeg ser ikke meget mening i at give praktiske eksempler, da vi allerede faktisk har løst dette problem (se nr. 5, 6).

Direkte normal vektor (normal vektor)

Hvad er normalt? Med enkle ord er en normal en vinkelret. Det vil sige, at normalvektoren af ​​en linje er vinkelret på en given linje. Det er klart, at enhver ret linje har et uendeligt antal af dem (såvel som retningsvektorer), og alle de normale vektorer af den rette linje vil være kollineære (codirectional eller ej, det gør ingen forskel).

Det vil være endnu nemmere at håndtere dem end med guidevektorer:

Hvis en linje er givet ved en generel ligning i et rektangulært koordinatsystem, så er vektoren normalvektoren for denne linje.

Hvis retningsvektorens koordinater forsigtigt skal "trækkes ud" fra ligningen, så kan koordinaterne for normalvektoren simpelthen "fjernes".

Normalvektoren er altid ortogonal på linjens retningsvektor. Lad os verificere ortogonaliteten af ​​disse vektorer vha prik produkt:

Jeg vil give eksempler med de samme ligninger som for retningsvektoren:

Er det muligt at konstruere en ligning for en ret linje givet et punkt og en normalvektor? Jeg mærker det i maven, det er muligt. Hvis den normale vektor er kendt, er retningen af ​​selve den lige linje klart defineret - dette er en "stiv struktur" med en vinkel på 90 grader.

Hvordan skriver man en ligning for en ret linje givet et punkt og en normalvektor?

Hvis et bestemt punkt, der tilhører en linje og normalvektoren for denne linje er kendt, så udtrykkes ligningen for denne linje med formlen:

Her fungerede alt uden brøker og andre overraskelser. Dette er vores normale vektor. Elsk ham. Og respekt =)

Eksempel 9

Skriv en ligning for en ret linje givet et punkt og en normalvektor. Find linjens retningsvektor.

Løsning: Vi bruger formlen:

Den generelle ligning for den rette linje er opnået, lad os kontrollere:

1) "Fjern" koordinaterne for normalvektoren fra ligningen: – ja, faktisk, den oprindelige vektor blev opnået fra betingelsen (eller en collineær vektor skulle opnås).

2) Lad os tjekke, om punktet opfylder ligningen:

Ægte ligestilling.

Når vi er overbevist om, at ligningen er sammensat korrekt, vil vi fuldføre den anden, nemmere del af opgaven. Vi tager den rette linje ud:

Svar:

På tegningen ser situationen således ud:

Til træningsformål en lignende opgave til selvstændig løsning:

Eksempel 10

Skriv en ligning for en ret linje givet et punkt og en normalvektor. Find linjens retningsvektor.

Den sidste del af lektionen vil blive afsat til mindre almindelige, men også vigtige typer ligninger af en linje på et plan

Ligning af en ret linje i segmenter.
Ligning af en linje i parametrisk form

Ligningen for en ret linje i segmenter har formen , hvor er konstanter, der ikke er nul. Nogle ligningstyper kan ikke repræsenteres i denne form, for eksempel direkte proportionalitet (da det frie led er lig med nul, og der ikke er nogen måde at få en på den rigtige side).

Dette er billedligt talt en "teknisk" form for ligning. En almindelig opgave er at repræsentere den generelle ligning af en linje som en ligning af en linje i segmenter. Hvordan er det praktisk? Ligningen for en linje i segmenter giver dig mulighed for hurtigt at finde skæringspunkterne for en linje med koordinatakser, hvilket kan være meget vigtigt i nogle problemer med højere matematik.

Lad os finde skæringspunktet mellem linjen og aksen. Vi nulstiller "y", og ligningen tager formen . Det ønskede punkt opnås automatisk: .

Det samme med aksen – det punkt, hvor den rette linje skærer ordinataksen.

Denne artikel afslører udledningen af ​​ligningen for en ret linje, der går gennem to givne punkter i et rektangulært koordinatsystem placeret på et plan. Lad os udlede ligningen for en ret linje, der går gennem to givne punkter i et rektangulært koordinatsystem. Vi vil tydeligt vise og løse flere eksempler relateret til det gennemgåede materiale.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Før du opnår ligningen for en linje, der går gennem to givne punkter, er det nødvendigt at være opmærksom på nogle fakta. Der er et aksiom, der siger, at gennem to divergerende punkter på et plan er det muligt at tegne en ret linje og kun én. Med andre ord er to givne punkter på et plan defineret af en ret linje, der går gennem disse punkter.

Hvis planet er defineret af det rektangulære koordinatsystem Oxy, vil enhver ret linje afbildet i det svare til ligningen for en ret linje på planet. Der er også en forbindelse med den rette linjes retning. Disse data er tilstrækkelige til at kompilere ligningen for en ret linje, der går gennem to givne punkter.

Lad os se på et eksempel på løsning af et lignende problem. Det er nødvendigt at oprette en ligning for en ret linje a, der går gennem to divergerende punkter M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2), placeret i det kartesiske koordinatsystem.

I den kanoniske ligning for en linje på en plan, med formen x - x 1 a x = y - y 1 a y, er et rektangulært koordinatsystem O x y angivet med en linje, der skærer det i et punkt med koordinaterne M 1 (x 1, y 1) med en ledevektor a → = (a x , a y) .

Det er nødvendigt at oprette en kanonisk ligning af en lige linje a, som vil passere gennem to punkter med koordinaterne M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2).

Lige a har en retningsvektor M 1 M 2 → med koordinater (x 2 - x 1, y 2 - y 1), da den skærer punkterne M 1 og M 2. Vi har fået de nødvendige data for at transformere den kanoniske ligning med koordinaterne for retningsvektoren M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) og koordinaterne for de punkter M 1, der ligger på dem (x 1, y 1) og M2 (x 2, y 2). Vi får en ligning med formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Overvej figuren nedenfor.

Efter beregningerne nedskriver vi de parametriske ligninger for en linje på en plan, der går gennem to punkter med koordinaterne M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2). Vi får en ligning af formen x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y2+ (y2 - y1) · λ.

Lad os se nærmere på løsningen af ​​flere eksempler.

Eksempel 1

Nedskriv ligningen for en ret linje, der går gennem 2 givne punkter med koordinaterne M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Løsning

Den kanoniske ligning for en linje, der skærer i to punkter med koordinaterne x 1, y 1 og x 2, y 2 har formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Ifølge betingelserne for problemet har vi, at x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Det er nødvendigt at erstatte de numeriske værdier i ligningen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Herfra får vi, at den kanoniske ligning har formen x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Svar: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Hvis du har brug for at løse et problem med en anden type ligning, så kan du først gå til den kanoniske, da det er lettere at komme fra den til en hvilken som helst anden.

Eksempel 2

Sammensæt den generelle ligning for en ret linje, der går gennem punkter med koordinaterne M 1 (1, 1) og M 2 (4, 2) i O x y-koordinatsystemet.

Løsning

Først skal du nedskrive den kanoniske ligning for en given linje, der går gennem givne to punkter. Vi får en ligning på formen x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Lad os bringe den kanoniske ligning til den ønskede form, så får vi:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Svar: x-3 y + 2 = 0.

Eksempler på sådanne opgaver blev diskuteret i skolebøgerne under algebratimerne. Skoleproblemer adskilte sig ved, at ligningen for en ret linje med en vinkelkoefficient var kendt med formen y = k x + b. Hvis du skal finde værdien af ​​hældningen k og tallet b, for hvilke ligningen y = k x + b definerer en linje i O x y-systemet, der går gennem punkterne M 1 (x 1, y 1) og M 2 ( x 2, y 2) , hvor x 1 ≠ x 2. Når x 1 = x 2 , så antager vinkelkoefficienten værdien af ​​uendelighed, og den rette linje M 1 M 2 er defineret af en generel ufuldstændig ligning på formen x - x 1 = 0 .

Fordi pointene M 1 Og M 2 er på en ret linje, så opfylder deres koordinater ligningen y 1 = k x 1 + b og y 2 = k x 2 + b. Det er nødvendigt at løse ligningssystemet y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b for k og b.

For at gøre dette finder vi k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Med disse værdier af k og b bliver ligningen for en linje, der går gennem de givne to punkter, y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Det er umuligt at huske et så stort antal formler på én gang. For at gøre dette er det nødvendigt at øge antallet af gentagelser for at løse problemer.

Eksempel 3

Nedskriv ligningen for en ret linje med en vinkelkoefficient, der går gennem punkter med koordinaterne M 2 (2, 1) og y = k x + b.

Løsning

For at løse problemet bruger vi en formel med en vinkelkoefficient på formen y = k x + b. Koefficienterne k og b skal have en sådan værdi, at denne ligning svarer til en ret linje, der går gennem to punkter med koordinaterne M 1 (- 7, - 5) og M 2 (2, 1).

Points M 1 Og M 2 er placeret på en ret linje, så skal deres koordinater gøre ligningen y = k x + b til en sand lighed. Af dette får vi, at - 5 = k · (- 7) + b og 1 = k · 2 + b. Lad os kombinere ligningen i systemet - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b og løse.

Ved udskiftning får vi det

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nu er værdierne k = 2 3 og b = - 1 3 substitueret i ligningen y = k x + b. Vi finder, at den påkrævede ligning, der passerer gennem de givne punkter, vil være en ligning på formen y = 2 3 x - 1 3 .

Denne løsningsmetode forudbestemmer spild af en masse tid. Der er en måde, hvorpå opgaven løses i bogstaveligt talt to trin.

Lad os skrive den kanoniske ligning for linjen, der går gennem M 2 (2, 1) og M 1 (- 7, - 5), med formen x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Lad os nu gå videre til hældningsligningen. Vi får det: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Svar: y = 2 3 x - 1 3 .

Hvis der i tredimensionelt rum er et rektangulært koordinatsystem O x y z med to givne ikke-sammenfaldende punkter med koordinaterne M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2), lige linje M, der går gennem dem 1 M 2, er det nødvendigt at opnå ligningen for denne linje.

Vi har, at kanoniske ligninger af formen x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z og parametriske ligninger af formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ er i stand til at definere en linje i koordinatsystemet O x y z, der går gennem punkter med koordinater (x 1, y 1, z 1) med en retningsvektor a → = (a x, a y, a z).

Lige M 1 M 2 har en retningsvektor på formen M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), hvor den rette linje går gennem punktet M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2 , y 2 , z 2), derfor kan den kanoniske ligning have formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, igen parametrisk x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λz = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Overvej en tegning, der viser 2 givne punkter i rummet og ligningen for en ret linje.

Eksempel 4

Skriv ligningen for en linje defineret i et rektangulært koordinatsystem O x y z i tredimensionelt rum, der går gennem givne to punkter med koordinaterne M 1 (2, - 3, 0) og M 2 (1, - 3, - 5).

Løsning

Det er nødvendigt at finde den kanoniske ligning. Da vi taler om tredimensionelt rum, betyder det, at når en linje passerer gennem givne punkter, vil den ønskede kanoniske ligning have formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Som betingelse har vi, at x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Det følger, at de nødvendige ligninger vil blive skrevet som følger:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Svar: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Egenskaber for en ret linje i euklidisk geometri.

Et uendeligt antal lige linjer kan tegnes gennem ethvert punkt.

Gennem to ikke-sammenfaldende punkter kan der tegnes en enkelt ret linje.

To divergerende linjer i et plan enten skærer hinanden i et enkelt punkt eller er

parallel (følger af den foregående).

I tredimensionelt rum er der tre muligheder for den relative position af to linjer:

• linjer skærer hinanden;

• linjer er parallelle;

• rette linjer skærer hinanden.

Lige linje— algebraisk kurve af første orden: en ret linje i det kartesiske koordinatsystem

er givet på planen ved en ligning af første grad (lineær ligning).

Generel ligning for en ret linje.

Definition. Enhver ret linje på planet kan specificeres ved en førsteordens ligning

Axe + Wu + C = 0,

og konstant A, B er ikke lig med nul på samme tid. Denne første ordens ligning kaldes generel

ligning af en ret linje. Afhængig af værdierne af konstanterne A, B Og MED Følgende særlige tilfælde er mulige:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- en lige linje går gennem oprindelsen

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- lige linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- lige linje parallelt med aksen Åh

. B = C = 0, A ≠ 0- den rette linje falder sammen med aksen Åh

. A = C = 0, B ≠ 0- den rette linje falder sammen med aksen Åh

Ligningen for en ret linje kan præsenteres i forskellige former afhængigt af en given given

begyndelsesbetingelser.

Ligning af en ret linje fra et punkt og en normalvektor.

Definition. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelret på linjen givet af ligningen

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Find ligningen for en linje, der går gennem et punkt A(1, 2) vinkelret på vektoren (3, -1).

Løsning. Med A = 3 og B = -1, lad os sammensætte ligningen for den rette linje: 3x - y + C = 0. For at finde koefficienten C

Lad os erstatte koordinaterne for det givne punkt A i det resulterende udtryk. Vi får derfor: 3 - 2 + C = 0

C = -1. I alt: den påkrævede ligning: 3x - y - 1 = 0.

Ligning for en linje, der går gennem to punkter.

Lad to point gives i rummet M 1 (x 1, y 1, z 1) Og M2 (x 2, y 2, z 2), Så en linjes ligning,

passerer gennem disse punkter:

Hvis nogen af ​​nævnerne er nul, skal den tilsvarende tæller sættes lig med nul. På

plan, er ligningen for den lige linje skrevet ovenfor forenklet:

Hvis x 1 ≠ x 2 Og x = x 1, hvis x 1 = x 2 .

Brøk = k ringede hældning direkte.

Eksempel. Find ligningen for linjen, der går gennem punkterne A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved at anvende formlen skrevet ovenfor får vi:

Ligning af en ret linje ved hjælp af et punkt og hældning.

Hvis den generelle ligning af linjen Axe + Wu + C = 0 føre til:

og udpege , så kaldes den resulterende ligning

ligning af en ret linje med hældning k.

Ligning af en ret linje fra et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet, der betragter ligningen for en ret linje gennem normalvektoren, kan du indtaste opgaven

en ret linje gennem et punkt og en retningsvektor af en ret linje.

Definition. Hver ikke-nul vektor (α 1 , α 2), hvis komponenter opfylder betingelsen

Aa1 + Ba2 = 0 ringede retningsvektor af en ret linje.

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Find ligningen for en ret linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gennem punktet A(1, 2).

Løsning. Vi vil lede efter ligningen for den ønskede linje i formen: Axe + By + C = 0. Ifølge definitionen,

koefficienter skal opfylde følgende betingelser:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Så har ligningen for den rette linje formen: Axe + Ay + C = 0, eller x + y + C/A = 0.

på x = 1, y = 2 vi får C/A = -3, dvs. påkrævet ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning af en ret linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligning for den lige linje Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, divideret med -С:

eller hvor

Den geometriske betydning af koefficienterne er, at koefficienten a er koordinaten for skæringspunktet

lige med akse Åh, EN b- koordinat for skæringspunktet mellem linjen og aksen Åh.

Eksempel. Den generelle ligning for en ret linje er givet x - y + 1 = 0. Find ligningen for denne linje i segmenter.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal ligning af en linje.

Hvis begge sider af ligningen Axe + Wu + C = 0 dividere med tal som hedder

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning af en linje.

Tegnet ± for den normaliserende faktor skal vælges således μ*C< 0.

r- længden af ​​den vinkelrette faldet fra origo til den rette linje,

EN φ - vinklen dannet af denne vinkelrette med aksens positive retning Åh.

Eksempel. Linjens generelle ligning er givet 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for at skrive forskellige typer ligninger

denne lige linje.

Ligningen for denne linje i segmenter:

Ligningen af ​​denne linje med hældningen: (divider med 5)

Ligning af en linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Det skal bemærkes, at ikke hver lige linje kan repræsenteres af en ligning i segmenter, for eksempel lige linjer,

parallelt med akserne eller passerer gennem origo.

Vinklen mellem rette linjer på et plan.

Definition. Hvis der er givet to linjer y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, så den spidse vinkel mellem disse linjer

vil blive defineret som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

Hvis k 1 = -1/ k 2 .

Sætning.

Direkte Axe + Wu + C = 0 Og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel, når koefficienterne er proportionale

A1 = λA, B1 = λB. Hvis også С 1 = λС, så falder linjerne sammen. Koordinater for skæringspunktet mellem to linjer

findes som en løsning på disse linjers ligningssystem.

Ligningen for en linje, der går gennem et givet punkt vinkelret på en given linje.

Definition. Linje, der går gennem et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelret på linjen y = kx + b

repræsenteret ved ligningen:

Afstand fra et punkt til en linje.

Sætning. Hvis der gives et point M(x 0, y 0), derefter afstanden til den lige linje Axe + Wu + C = 0 defineret som:

Bevis. Lad pointen M 1 (x 1, y 1)- bunden af ​​en vinkelret faldet fra et punkt M for en given

direkte. Derefter afstanden mellem punkter M Og M 1:

(1)

Koordinater x 1 Og ved 1 kan findes som en løsning på ligningssystemet:

Systemets anden ligning er ligningen for en ret linje, der går gennem et givet punkt M 0 vinkelret

givet lige linje. Hvis vi transformerer systemets første ligning til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

når vi løser det, får vi:

Ved at erstatte disse udtryk i ligning (1), finder vi:

Sætningen er blevet bevist.

Ligning parabler er en kvadratisk funktion. Der er flere muligheder for at konstruere denne ligning. Det hele afhænger af, hvilke parametre der præsenteres i problemformuleringen.

Instruktioner

En parabel er en kurve, der ligner en bue i form og er grafen for en potensfunktion. Uanset hvilke egenskaber en parabel har, er denne lige. En sådan funktion kaldes lige for alle værdier af argumentet fra definitionen, når argumentets fortegn ændres, ændres værdien ikke: f (-x) = f (x) Start med den enkleste funktion: y; = x^2. Fra dets udseende kan vi konkludere, at det er sandt for både positive og negative værdier af argumentet x. Det punkt, hvor x=0 og samtidig y =0 betragtes som et punkt.

Nedenfor er alle de vigtigste muligheder for at konstruere denne funktion og dens . Som et første eksempel betragter vi nedenfor en funktion af formen: f(x)=x^2+a, hvor a er et heltal. For at konstruere en graf for denne funktion, er det nødvendigt at flytte grafen for funktion f(x) ved en enhed. Et eksempel er funktionen y=x^2+3, hvor funktionen langs y-aksen forskydes med to enheder. Hvis en funktion med modsat fortegn er givet, for eksempel y=x^2-3, så forskydes dens graf ned langs y-aksen.

En anden type funktion, der kan gives en parabel, er f(x)=(x +a)^2. I sådanne tilfælde forskydes grafen tværtimod langs abscisseaksen (x-aksen) med en enhed. For eksempel kan vi overveje funktionerne: y=(x +4)^2 og y=(x-4)^2. I det første tilfælde, hvor der er en funktion med et plustegn, flyttes grafen langs x-aksen til venstre, og i det andet tilfælde - til højre. Alle disse tilfælde er vist i figuren.