Begrebet indskrevet og central vinkel
Lad os først introducere begrebet en central vinkel.
Note 1
Bemærk det gradmålet for en midtervinkel er lig med gradmålet for den bue, den hviler på.
Lad os nu introducere begrebet en indskrevet vinkel.
Definition 2
En vinkel, hvis toppunkt ligger på en cirkel, og hvis sider skærer den samme cirkel, kaldes en indskrevet vinkel (fig. 2).
Figur 2. Indskrevet vinkel
Indskrevet vinkelsætning
Sætning 1
Gradmålet for en indskrevet vinkel er lig med halvdelen af gradmålet for den bue, den hviler på.
Bevis.
Lad os få en cirkel med centrum i punktet $O$. Lad os betegne den indskrevne vinkel $ACB$ (fig. 2). Følgende tre tilfælde er mulige:
- Ray $CO$ falder sammen med enhver side af vinklen. Lad dette være siden $CB$ (fig. 3).
Figur 3.
I dette tilfælde er buen $AB$ mindre end $(180)^(()^\circ )$, derfor er midtervinklen $AOB$ lig med buen $AB$. Da $AO=OC=r$, så er trekanten $AOC$ ligebenet. Det betyder, at grundvinklerne $CAO$ og $ACO$ er lig med hinanden. Ifølge sætningen om den ydre vinkel i en trekant har vi:
- Ray $CO$ deler en indre vinkel i to vinkler. Lad den skære cirklen i punktet $D$ (fig. 4).
Figur 4.
Vi får
- Ray $CO$ deler ikke den indre vinkel i to vinkler og falder ikke sammen med nogen af dens sider (fig. 5).
Figur 5.
Lad os betragte vinklerne $ACD$ og $DCB$ separat. Efter hvad der blev bevist i punkt 1, får vi
Vi får
Sætningen er blevet bevist.
Lad os give konsekvenser fra denne sætning.
Konsekvens 1: Indskrevne vinkler, der hviler på den samme bue, er ens med hinanden.
Konsekvens 2: En indskrevet vinkel, der danner en diameter, er en ret vinkel.
I dag skal vi se på en anden type opgaver 6 - denne gang med en cirkel. Mange elever kan ikke lide dem og synes, de er svære. Og helt forgæves, da sådanne problemer er løst elementært, hvis du kender nogle teoremer. Eller de tør slet ikke, hvis du ikke kender dem.
Før jeg taler om de vigtigste egenskaber, lad mig minde dig om definitionen:
En indskrevet vinkel er en, hvis toppunkt ligger på selve cirklen, og hvis sider skærer en korde ud på denne cirkel.
En central vinkel er enhver vinkel med sit toppunkt i midten af cirklen. Dens sider skærer også denne cirkel og skærer en korde på den.
Så begreberne indskrevne og centrale vinkler er uløseligt forbundet med cirklen og akkorderne inde i den. Og nu hovedudsagnet:
Sætning. Den centrale vinkel er altid det dobbelte af den indskrevne vinkel, baseret på den samme bue.
På trods af udsagnets enkelhed er der en hel klasse af problemer 6, der kan løses ved hjælp af det - og intet andet.
Opgave. Find en spids indskreven vinkel underspændt af en korde svarende til radius af cirklen.
Lad AB være den akkord, der overvejes, O midten af cirklen. Yderligere konstruktion: OA og OB er radierne af cirklen. Vi får:
Overvej trekant ABO. I den AB = OA = OB - alle sider er lig med radius af cirklen. Derfor er trekant ABO ligesidet, og alle vinkler i den er 60°.
Lad M være toppunktet for den indskrevne vinkel. Da vinklerne O og M hviler på den samme bue AB, er den indskrevne vinkel M 2 gange mindre end midtervinklen O. Vi har:
M = O: 2 = 60: 2 = 30
Opgave. Den midterste vinkel er 36° større end den indskrevne vinkel, der er afgrænset af den samme cirkelbue. Find den indskrevne vinkel.
Lad os introducere følgende notation:
- AB er akkorden i cirklen;
- Punkt O er midten af cirklen, så vinkel AOB er den centrale vinkel;
- Punkt C er toppunktet for den indskrevne vinkel ACB.
Da vi leder efter den indskrevne vinkel ACB, lad os betegne den ACB = x. Så er midtervinklen AOB x + 36. På den anden side er midtervinklen 2 gange den indskrevne vinkel. Vi har:
AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 x;
x = 36.
Så vi fandt den indskrevne vinkel AOB - den er lig med 36°.
En cirkel er en vinkel på 360°
Efter at have læst undertitlen vil kyndige læsere sandsynligvis nu sige: "Ugh!" Det er faktisk ikke helt korrekt at sammenligne en cirkel med en vinkel. For at forstå, hvad vi taler om, tag et kig på den klassiske trigonometriske cirkel:
Hvad er dette billede til? Og desuden er en fuld rotation en vinkel på 360 grader. Og hvis du deler det, for eksempel, i 20 lige store dele, så vil størrelsen af hver af dem være 360: 20 = 18 grader. Det er præcis, hvad der kræves for at løse problem B8.
Punkterne A, B og C ligger på cirklen og opdeler den i tre buer, hvis gradmål er i forholdet 1: 3: 5. Find den største vinkel på trekanten ABC.
Lad os først finde gradmålet for hver bue. Lad den mindste være x. På figuren er denne bue betegnet AB. Så kan de resterende buer - BC og AC - udtrykkes som AB: bue BC = 3x; AC = 5x. I alt giver disse buer 360 grader:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.
Overvej nu en stor bue AC, der ikke indeholder punkt B. Denne bue er ligesom den tilsvarende midtervinkel AOC 5x = 5 40 = 200 grader.
Vinkel ABC er den største af alle vinkler i en trekant. Det er en indskrevet vinkel, der er dækket af den samme bue som den centrale vinkel AOC. Det betyder, at vinkel ABC er 2 gange mindre end AOC. Vi har:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Dette vil være gradsmålet for den større vinkel i trekant ABC.
Cirkel afgrænset omkring en retvinklet trekant
Mange mennesker glemmer dette teorem. Men forgæves, for nogle B8-problemer kan slet ikke løses uden. Mere præcist er de løst, men med en sådan mængde af beregninger, at du hellere vil falde i søvn end at nå frem til svaret.
Sætning. Centrum af en cirkel, der er afgrænset omkring en retvinklet trekant, ligger ved hypotenusens midtpunkt.
Hvad følger af denne sætning?
- Hypotenusens midtpunkt er lige langt fra alle trekantens hjørner. Dette er en direkte konsekvens af sætningen;
- Medianen tegnet til hypotenusen deler den oprindelige trekant i to ligebenede trekanter. Det er præcis, hvad der kræves for at løse problem B8.
I trekant ABC tegner vi medianen CD. Vinkel C er 90° og vinkel B er 60°. Find vinkel ACD.
Da vinkel C er 90°, er trekant ABC en retvinklet trekant. Det viser sig, at CD er medianen, der trækkes til hypotenusen. Det betyder, at trekanter ADC og BDC er ligebenede.
Overvej især trekant ADC. I den AD = CD. Men i en ligebenet trekant er vinklerne ved bunden ens - se "Opgave B8: Linjestykker og vinkler i trekanter." Derfor er den ønskede vinkel ACD = A.
Så det er tilbage at finde ud af, hvad vinklen A er lig med. For at gøre dette, lad os vende tilbage til den oprindelige trekant ABC. Lad os betegne vinklen A = x. Da summen af vinklerne i en trekant er 180°, har vi:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.
Det sidste problem kan selvfølgelig løses anderledes. For eksempel er det nemt at bevise, at trekant BCD ikke bare er ligebenet, men ligesidet. Så vinklen BCD er 60 grader. Derfor er vinklen ACD 90 − 60 = 30 grader. Som du kan se, kan du bruge forskellige ligebenede trekanter, men svaret vil altid være det samme.
Oftest begynder processen med at forberede sig til Unified State Exam i matematik med en gentagelse af grundlæggende definitioner, formler og teoremer, herunder om emnet "Centrale og indskrevne vinkler i en cirkel." Som regel studeres denne sektion af planimetri i gymnasiet. Det er ikke overraskende, at mange studerende står over for behovet for at gennemgå grundlæggende begreber og teoremer om emnet "Central Angle of a Circle". Efter at have forstået algoritmen til at løse sådanne problemer, vil skolebørn være i stand til at regne med at modtage konkurrencedygtige resultater baseret på resultaterne af at bestå den unified state-eksamen.
Hvordan forbereder man sig nemt og effektivt til at bestå certificeringstesten?
Når de studerer, før de har bestået den forenede statseksamen, står mange gymnasieelever over for problemet med at finde de nødvendige oplysninger om emnet "Centrale og indskrevne vinkler i en cirkel." Det er ikke altid, at en skolebog er lige ved hånden. Og det tager nogle gange meget tid at søge efter formler på internettet.
Vores uddannelsesportal vil hjælpe dig med at "pumpe op" dine færdigheder og forbedre din viden inden for en så vanskelig del af geometri som planimetri. "Shkolkovo" tilbyder gymnasieelever og deres lærere en ny måde at opbygge processen med at forberede sig til den forenede statseksamen. Alt grundmateriale præsenteres af vores specialister i den mest tilgængelige form. Efter at have læst oplysningerne i afsnittet "Teoretisk baggrund" vil eleverne lære, hvilke egenskaber en cirkels centrale vinkel har, hvordan man finder dens værdi osv.
Derefter anbefaler vi, at du udfører passende øvelser for at konsolidere den erhvervede viden og øvede færdigheder. Et stort udvalg af opgaver til at finde størrelsen af en vinkel indskrevet i en cirkel og andre parametre er præsenteret i afsnittet "Katalog". For hver øvelse skrev vores eksperter en detaljeret løsning og angav det rigtige svar. Listen over opgaver på siden bliver løbende suppleret og opdateret.
Gymnasieelever kan forberede sig til Unified State-eksamenen ved at øve øvelser, for eksempel at finde størrelsen af en central vinkel og længden af en cirkelbue, online, fra enhver russisk region.
Om nødvendigt kan den afsluttede opgave gemmes i afsnittet "Favoritter" for at vende tilbage til den senere og igen analysere princippet om dens løsning.
Vinkel ABC er en indskrevet vinkel. Den hviler på lysbuen AC, indesluttet mellem dens sider (fig. 330).
Sætning. En indskrevet vinkel måles ved den halvdel af den bue, som den lægger sig under.
Dette skal forstås sådan: en indskrevet vinkel indeholder lige så mange vinkelgrader, minutter og sekunder, som der er buegrader, minutter og sekunder indeholdt i den halvdel af buen, den hviler på.
Når denne sætning skal bevises, skal tre tilfælde tages i betragtning.
Første sag. Cirklens centrum ligger på siden af den indskrevne vinkel (fig. 331).
Lad ∠ABC være en indskrevet vinkel, og midten af cirklen O ligger på siden BC. Det er påkrævet at bevise, at det er målt med en halv bue AC.
Forbind punkt A til midten af cirklen. Vi får en ligebenet \(\Delta\)AOB, hvor AO = OB, som radierne af den samme cirkel. Derfor er ∠A = ∠B.
∠AOC er uden for trekanten AOB, så ∠AOC = ∠A + ∠B, og da vinklerne A og B er lige store, så er ∠B 1/2 ∠AOC.
Men ∠AOC måles ved bue AC, derfor er ∠B målt med halvdelen af bue AC.
For eksempel, hvis \(\breve(AC)\) indeholder 60°18', så indeholder ∠B 30°9'.
Andet tilfælde. Cirklens centrum ligger mellem siderne af den indskrevne vinkel (fig. 332).
Lad ∠ABD være en indskrevet vinkel. Cirkel O's centrum ligger mellem dens sider. Vi skal bevise, at ∠ABD måles med halvdelen af buen AD.
For at bevise dette, lad os tegne diameteren BC. Vinkel ABD er opdelt i to vinkler: ∠1 og ∠2.
∠1 er målt med en halv bue AC, og ∠2 er målt med en halv bue CD, derfor måles hele ∠ABD med 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), dvs. halvbue AD.
For eksempel, hvis \(\breve(AD)\) indeholder 124°, så indeholder ∠B 62°.
Tredje tilfælde. Cirklens centrum ligger uden for den indskrevne vinkel (fig. 333).
Lad ∠MAD være en indskrevet vinkel. Centrum af cirkel O er uden for hjørnet. Vi skal bevise, at ∠MAD måles med halvdelen af buen MD.
For at bevise dette, lad os tegne diameteren AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Men ∠MAB måler 1/2 \(\breve(MB)\), og ∠DAB måler 1/2 \(\breve(DB)\).
Derfor måler ∠MAD 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), dvs. 1/2 \(\breve(MD)\).
For eksempel, hvis \(\breve(MD)\) indeholder 48° 38", så indeholder ∠MAD 24° 19' 8".
Konsekvenser
1.
Alle indskrevne vinkler, der ligger under den samme bue, er lig med hinanden, da de måles med halvdelen af den samme bue
(Fig. 334, a).
2. En indskreven vinkel, der er underbygget af en diameter, er en ret vinkel, da den underspænder en halv cirkel. En halv cirkel indeholder 180 buegrader, hvilket betyder, at vinklen baseret på diameteren indeholder 90 buegrader (fig. 334, b).
Central vinkel er en vinkel, hvis toppunkt er i midten af cirklen.
Indskrevet vinkel- en vinkel, hvis toppunkt ligger på en cirkel, og hvis sider skærer den.
Figuren viser centrale og indskrevne vinkler, samt deres vigtigste egenskaber.
Så, størrelsen af midtervinklen er lig med vinkelstørrelsen af den bue, den hviler på. Det betyder, at en midtervinkel på 90 grader vil hvile på en bue lig med 90°, det vil sige en cirkel. Den centrale vinkel, lig med 60°, hviler på en bue på 60 grader, det vil sige på den sjette del af cirklen.
Størrelsen af den indskrevne vinkel er to gange mindre end den centrale vinkel baseret på den samme bue.
For at løse problemer skal vi også bruge begrebet "akkord".
Lige centrale vinkler underlægger lige akkorder.
1. Hvad er den indskrevne vinkel underspændt af cirklens diameter? Giv dit svar i grader.
En indskreven vinkel, der er dækket af en diameter, er en ret vinkel.
2. Den midterste vinkel er 36° større end den spidse indskrevne vinkel, der er dækket af den samme cirkelbue. Find den indskrevne vinkel. Giv dit svar i grader.
Lad midtervinklen være lig med x, og den indskrevne vinkel overtrukket af den samme bue være lig med y.
Vi ved, at x = 2y.
Derfor 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Cirklens radius er lig med 1. Find værdien af den stumpe indskrevne vinkel overtrukket af korden, lig med . Giv dit svar i grader.
Lad akkorden AB være lig med . Den stumpe indskrevne vinkel baseret på denne akkord vil blive betegnet med α.
I trekant AOB er siderne AO og OB lig med 1, side AB er lig . Vi har allerede stødt på sådanne trekanter. Det er klart, at trekant AOB er rektangulær og ligebenet, det vil sige vinklen AOB er 90°.
Så er buen ACB lig med 90°, og buen AKB er lig med 360° - 90° = 270°.
Den indskrevne vinkel α hviler på buen AKB og er lig med halvdelen af denne bues vinkelværdi, det vil sige 135°.
Svar: 135.
4. Akkorden AB deler cirklen i to dele, hvis gradværdier er i forholdet 5:7. I hvilken vinkel er denne akkord synlig fra punktet C, som hører til den mindre cirkelbue? Giv dit svar i grader.
Det vigtigste i denne opgave er den korrekte tegning og forståelse af forholdene. Hvordan forstår du spørgsmålet: "I hvilken vinkel er akkorden synlig fra punkt C?"
Forestil dig, at du sidder i punkt C, og du skal se alt, hvad der sker på akkorden AB. Det er som om akkorden AB er en skærm i en biograf :-)
Det er klart, at du skal finde vinklen ACB.
Summen af de to buer, som akkorden AB deler cirklen i, er lig med 360°, dvs.
5x + 7x = 360°
Derfor x = 30°, og så hviler den indskrevne vinkel ACB på en bue lig med 210°.
Størrelsen af den indskrevne vinkel er lig med halvdelen af vinkelstørrelsen af den bue, den hviler på, hvilket betyder, at vinkel ACB er lig med 105°.