I denne video vil vi analysere et helt sæt lineære ligninger, der er løst ved hjælp af den samme algoritme - det er derfor, de kaldes de enkleste.
Lad os først definere: hvad er en lineær ligning, og hvilken kaldes den enkleste?
En lineær ligning er en, hvor der kun er én variabel, og kun i første grad.
Den enkleste ligning betyder konstruktionen:
Alle andre lineære ligninger reduceres til den enkleste ved hjælp af algoritmen:
- Udvid parenteser, hvis nogen;
- Flyt termer, der indeholder en variabel, til den ene side af lighedstegnet og led uden variabel til den anden;
- Giv lignende udtryk til venstre og højre for lighedstegnet;
- Divider den resulterende ligning med koefficienten for variablen $x$.
Selvfølgelig hjælper denne algoritme ikke altid. Faktum er, at nogle gange efter alle disse manipulationer viser koefficienten for variablen $x$ sig at være lig nul. I dette tilfælde er to muligheder mulige:
- Ligningen har ingen løsninger overhovedet. For eksempel, når noget som $0\cdot x=8$ viser sig, dvs. til venstre er nul, og til højre er et andet tal end nul. I videoen nedenfor vil vi se på flere årsager til, hvorfor denne situation er mulig.
- Løsningen er alle tal. Det eneste tilfælde, hvor dette er muligt, er, når ligningen er blevet reduceret til konstruktionen $0\cdot x=0$. Det er ret logisk, at uanset hvilken $x$ vi erstatter, vil det stadig vise sig "nul er lig med nul", dvs. korrekt numerisk lighed.
Lad os nu se, hvordan alt dette fungerer ved hjælp af eksempler fra det virkelige liv.
Eksempler på løsning af ligninger
I dag har vi at gøre med lineære ligninger, og kun de simpleste. Generelt betyder en lineær ligning enhver lighed, der indeholder præcis én variabel, og den går kun til første grad.
Sådanne konstruktioner løses på nogenlunde samme måde:
- Først og fremmest skal du udvide parenteserne, hvis der er nogen (som i vores sidste eksempel);
- Kombiner derefter lignende
- Til sidst isoleres variablen, dvs. flytte alt, der er forbundet med variablen - de termer, den er indeholdt i - til den ene side, og flyt alt, der er tilbage uden den, til den anden side.
Så skal du som regel bringe lignende på hver side af den resulterende lighed, og derefter er der kun tilbage at dividere med koefficienten "x", og vi får det endelige svar.
I teorien ser dette fint og enkelt ud, men i praksis kan selv erfarne gymnasieelever lave stødende fejl i ret simple lineære ligninger. Typisk begås fejl enten ved åbning af parenteser eller ved beregning af "pluser" og "minusser".
Derudover sker det, at en lineær ligning slet ikke har nogen løsninger, eller at løsningen er hele tallinjen, dvs. ethvert nummer. Vi vil se på disse finesser i dagens lektion. Men vi starter, som du allerede har forstået, med de enkleste opgaver.
Skema til løsning af simple lineære ligninger
Lad mig først igen skrive hele skemaet til løsning af de enkleste lineære ligninger:
- Udvid evt. beslagene.
- Vi isolerer variablerne, dvs. Vi flytter alt, der indeholder "X'er" til den ene side, og alt uden "X'er" til den anden.
- Vi præsenterer lignende udtryk.
- Vi dividerer alt med koefficienten "x".
Selvfølgelig fungerer denne ordning ikke altid, der er visse finesser og tricks i den, og nu vil vi lære dem at kende.
Løsning af rigtige eksempler på simple lineære ligninger
Opgave nr. 1
Det første skridt kræver, at vi åbner beslagene. Men de er ikke i dette eksempel, så vi springer dette trin over. I det andet trin skal vi isolere variablerne. Bemærk venligst: vi taler kun om individuelle termer. Lad os skrive det ned:
Vi præsenterer lignende udtryk til venstre og højre, men det er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trin: dividere med koefficienten:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Så fik vi svaret.
Opgave nr. 2
Vi kan se parenteserne i denne opgave, så lad os udvide dem:
Både til venstre og til højre ser vi nogenlunde samme design, men lad os handle efter algoritmen, dvs. adskille variablerne:
Her er nogle lignende:
Ved hvilke rødder virker dette? Svar: for evt. Derfor kan vi skrive, at $x$ er et hvilket som helst tal.
Opgave nr. 3
Den tredje lineære ligning er mere interessant:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Der er flere parenteser her, men de ganges ikke med noget, de er blot foranstillet af forskellige fortegn. Lad os opdele dem:
Vi udfører det andet trin, som vi allerede kender:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Lad os regne ud:
Vi udfører det sidste trin - divider alt med koefficienten "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Ting at huske, når du løser lineære ligninger
Hvis vi ignorerer for simple opgaver, vil jeg gerne sige følgende:
- Som jeg sagde ovenfor, har ikke enhver lineær ligning en løsning - nogle gange er der simpelthen ingen rødder;
- Selvom der er rødder, kan der være nul blandt dem – det er der ikke noget galt i.
Nul er det samme tal som de andre, du skal ikke diskriminere det på nogen måde eller antage, at hvis du får nul, så har du gjort noget forkert.
En anden funktion er relateret til åbningen af beslag. Bemærk venligst: når der er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes ændrer vi tegnene til modsat. Og så kan vi åbne det ved hjælp af standardalgoritmer: vi får det, vi så i beregningerne ovenfor.
At forstå denne simple kendsgerning vil hjælpe dig med at undgå at begå dumme og sårende fejl i gymnasiet, når det tages for givet at gøre sådanne ting.
Løsning af komplekse lineære ligninger
Lad os gå videre til mere komplekse ligninger. Nu vil konstruktionerne blive mere komplekse, og når der udføres forskellige transformationer, vil der fremkomme en kvadratisk funktion. Vi skal dog ikke være bange for dette, for hvis vi ifølge forfatterens plan løser en lineær ligning, vil alle monomialer, der indeholder en kvadratisk funktion, nødvendigvis annullere under transformationsprocessen.
Eksempel nr. 1
Det første skridt er naturligvis at åbne beslagene. Lad os gøre dette meget omhyggeligt:
Lad os nu tage et kig på privatlivets fred:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Her er nogle lignende:
Denne ligning har naturligvis ingen løsninger, så vi skriver dette i svaret:
\[\varnothing\]
eller der er ingen rødder.
Eksempel nr. 2
Vi udfører de samme handlinger. Første skridt:
Lad os flytte alt med en variabel til venstre og uden den - til højre:
Her er nogle lignende:
Denne lineære ligning har naturligvis ingen løsning, så vi skriver det på denne måde:
\[\varnothing\],
eller der er ingen rødder.
Nuancer af løsningen
Begge ligninger er fuldstændig løst. Ved at bruge disse to udtryk som eksempel, blev vi igen overbevist om, at selv i de mest simple lineære ligninger er alt måske ikke så enkelt: Der kan være enten én eller ingen eller uendeligt mange rødder. I vores tilfælde betragtede vi to ligninger, begge har simpelthen ingen rødder.
Men jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på et andet faktum: hvordan man arbejder med parenteser, og hvordan man åbner dem, hvis der er et minustegn foran dem. Overvej dette udtryk:
Før du åbner, skal du gange alt med "X". Bemærk venligst: multipliceres hvert enkelt semester. Indeni er der to led - henholdsvis to led og ganget.
Og først efter at disse tilsyneladende elementære, men meget vigtige og farlige transformationer er blevet gennemført, kan du åbne beslaget ud fra det synspunkt, at der er et minustegn efter det. Ja, ja: først nu, når transformationerne er afsluttet, husker vi, at der er et minustegn foran parenteserne, hvilket betyder, at alt nedenfor blot skifter fortegn. Samtidig forsvinder selve beslagene, og vigtigst af alt forsvinder den forreste "minus" også.
Vi gør det samme med den anden ligning:
Det er ikke tilfældigt, at jeg lægger mærke til disse små, tilsyneladende ubetydelige fakta. Fordi at løse ligninger er altid en sekvens af elementære transformationer, hvor manglende evne til klart og kompetent at udføre simple handlinger fører til, at gymnasieelever kommer til mig og igen lærer at løse sådanne simple ligninger.
Selvfølgelig vil den dag komme, hvor du vil finpudse disse færdigheder til et punkt af automatik. Du skal ikke længere udføre så mange transformationer hver gang, du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, skal du skrive hver handling separat.
Løsning af endnu mere komplekse lineære ligninger
Det, vi skal løse nu, kan næppe kaldes den enkleste opgave, men meningen forbliver den samme.
Opgave nr. 1
\[\venstre(7x+1 \højre)\venstre(3x-1 \højre)-21((x)^(2))=3\]
Lad os gange alle elementerne i den første del:
Lad os gøre lidt privatliv:
Her er nogle lignende:
Lad os fuldføre det sidste trin:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Her er vores endelige svar. Og på trods af at vi i processen med at løse havde koefficienter med en andengradsfunktion, ophævede de hinanden, hvilket gør ligningen lineær og ikke kvadratisk.
Opgave nr. 2
\[\venstre(1-4x \højre)\venstre(1-3x \højre)=6x\venstre(2x-1 \højre)\]
Lad os omhyggeligt udføre det første trin: gange hvert element fra den første parentes med hvert element fra den anden. Der skulle være i alt fire nye termer efter transformationerne:
Lad os nu omhyggeligt udføre multiplikationen i hvert led:
Lad os flytte termerne med "X" til venstre, og dem uden - til højre:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Her er lignende udtryk:
Endnu en gang har vi modtaget det endelige svar.
Nuancer af løsningen
Den vigtigste note om disse to ligninger er følgende: Så snart vi begynder at gange parenteser, der indeholder mere end et led, gøres dette efter følgende regel: vi tager det første led fra det første og multiplicerer med hvert element fra den anden; så tager vi det andet element fra det første og multiplicerer på samme måde med hvert element fra det andet. Som et resultat vil vi have fire valgperioder.
Om den algebraiske sum
Med dette sidste eksempel vil jeg gerne minde eleverne om, hvad en algebraisk sum er. I klassisk matematik mener vi med $1-7$ en simpel konstruktion: træk syv fra en. I algebra mener vi følgende med dette: til tallet "én" tilføjer vi et andet tal, nemlig "minus syv". Sådan adskiller en algebraisk sum sig fra en almindelig aritmetisk sum.
Så snart du, når du udfører alle transformationerne, hver addition og multiplikation, begynder at se konstruktioner svarende til dem, der er beskrevet ovenfor, vil du simpelthen ikke have nogen problemer i algebra, når du arbejder med polynomier og ligninger.
Til sidst, lad os se på et par flere eksempler, der vil være endnu mere komplekse end dem, vi lige har set på, og for at løse dem bliver vi nødt til at udvide vores standardalgoritme lidt.
Løsning af ligninger med brøker
For at løse sådanne opgaver bliver vi nødt til at tilføje endnu et trin til vores algoritme. Men lad mig først minde dig om vores algoritme:
- Åbn beslagene.
- Separate variabler.
- Medbring lignende.
- Divider med forholdet.
Ak, denne vidunderlige algoritme, trods al dens effektivitet, viser sig ikke at være helt passende, når vi har brøker foran os. Og i det, vi vil se nedenfor, har vi en brøk til både venstre og højre i begge ligninger.
Hvordan arbejder man i dette tilfælde? Ja, det er meget enkelt! For at gøre dette skal du tilføje et trin mere til algoritmen, som kan gøres både før og efter den første handling, nemlig at slippe af med brøker. Så algoritmen vil være som følger:
- Slip af med brøker.
- Åbn beslagene.
- Separate variabler.
- Medbring lignende.
- Divider med forholdet.
Hvad vil det sige at "slippe af med fraktioner"? Og hvorfor kan dette gøres både efter og før det første standardtrin? Faktisk er alle brøker i vores tilfælde numeriske i deres nævner, dvs. Overalt er nævneren kun et tal. Derfor, hvis vi gange begge sider af ligningen med dette tal, vil vi slippe af med brøker.
Eksempel nr. 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Lad os slippe af med brøkerne i denne ligning:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Bemærk venligst: alt ganges med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser, betyder det ikke, at du skal gange hver med "fire". Lad os skrive ned:
\[\venstre(2x+1 \højre)\venstre(2x-3 \højre)=\venstre(((x)^(2))-1 \højre)\cdot 4\]
Lad os nu udvide:
Vi udelukker variablen:
Vi udfører reduktion af lignende vilkår:
\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Vi har modtaget den endelige løsning, lad os gå videre til den anden ligning.
Eksempel nr. 2
\[\frac(\venstre(1-x \højre)\venstre(1+5x \højre))(5)+((x)^(2))=1\]
Her udfører vi alle de samme handlinger:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problemet er løst.
Det var faktisk det eneste, jeg ville fortælle dig i dag.
Nøglepunkter
Nøgleresultater er:
- Kend algoritmen til løsning af lineære ligninger.
- Mulighed for at åbne beslag.
- Bare rolig, hvis du har kvadratiske funktioner et eller andet sted, de vil sandsynligvis blive reduceret i processen med yderligere transformationer.
- Der er tre typer rødder i lineære ligninger, selv de simpleste: én enkelt rod, hele tallinjen er en rod og slet ingen rødder.
Jeg håber, at denne lektion vil hjælpe dig med at mestre et simpelt, men meget vigtigt emne for yderligere forståelse af al matematik. Hvis noget ikke er klart, skal du gå til webstedet og løse de eksempler, der præsenteres der. Hold dig opdateret, mange flere interessante ting venter på dig!
Lineære ligninger. Løsning, eksempler.
Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")
Lineære ligninger.
Lineære ligninger er ikke det sværeste emne i skolematematik. Men der er nogle tricks der, der kan pusle selv en trænet elev. Lad os finde ud af det?)
Typisk er en lineær ligning defineret som en ligning af formen:
økse + b = 0 Hvor a og b– eventuelle tal.
2x + 7 = 0. Her a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 her a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Her a=12, b=1/2
Intet kompliceret, vel? Især hvis du ikke lægger mærke til ordene: "hvor a og b er et vilkårligt tal"... Og hvis du lægger mærke til det og skødesløst tænker over det?) Når alt kommer til alt, hvis a=0, b=0(er mulige tal?), så får vi et sjovt udtryk:
Men det er ikke alt! Hvis f.eks. a=0, EN b=5, Dette viser sig at være noget helt ud over det sædvanlige:
Hvilket er irriterende og underminerer tilliden til matematik, ja...) Især under eksamen. Men ud af disse mærkelige udtryk skal du også finde X! Som slet ikke eksisterer. Og overraskende nok er dette X meget nemt at finde. Vi vil lære at gøre dette. I denne lektion.
Hvordan genkender man en lineær ligning på dens udseende? Det afhænger af udseendet.) Tricket er, at lineære ligninger ikke kun er ligninger af formen økse + b = 0 , men også alle ligninger, der kan reduceres til denne form ved transformationer og forenklinger. Og hvem ved, om det kommer ned eller ej?)
En lineær ligning kan tydeligt genkendes i nogle tilfælde. Lad os sige, hvis vi har en ligning, hvor der kun er ukendte i første grad og tal. Og i ligningen er der nej brøker divideret med ukendt , dette er vigtigt! Og division efter antal, eller en numerisk brøk - det er velkomment! For eksempel:
Dette er en lineær ligning. Der er brøker her, men der er ingen x'er i kvadratet, terningen osv., og ingen x'er i nævnerne, dvs. Ingen division med x. Og her er ligningen
kan ikke kaldes lineær. Her er X'erne alle i første grad, men der er division efter udtryk med x. Efter forenklinger og transformationer kan du få en lineær ligning, en andengradsligning eller hvad du vil.
Det viser sig, at det er umuligt at genkende den lineære ligning i et eller andet kompliceret eksempel, før man næsten løser det. Det er foruroligende. Men i opgaver spørger de som regel ikke om formen på ligningen, vel? Opgaverne beder om ligninger beslutte. Det gør mig glad.)
Løsning af lineære ligninger. Eksempler.
Hele løsningen af lineære ligninger består af identiske transformationer af ligningerne. Disse transformationer (to af dem!) er i øvrigt grundlaget for løsningerne alle matematikkens ligninger. Med andre ord løsningen enhver ligningen begynder med netop disse transformationer. I tilfælde af lineære ligninger er den (løsningen) baseret på disse transformationer og ender med et fuldt svar. Det giver mening at følge linket, ikke?) Desuden er der også eksempler på løsning af lineære ligninger der.
Lad os først se på det enkleste eksempel. Uden faldgruber. Antag, at vi skal løse denne ligning.
x - 3 = 2 - 4x
Dette er en lineær ligning. X'erne er alle i første potens, der er ingen division med X'er. Men faktisk er det lige meget for os, hvilken slags ligning det er. Vi skal løse det. Ordningen her er enkel. Saml alt med X'er i venstre side af ligningen, alt uden X'er (tal) til højre.
For at gøre dette skal du overføre - 4x til venstre side, med et tegnskifte, selvfølgelig, og - 3 - til højre. Det er det forresten den første identiske transformation af ligninger. Overrasket? Det betyder, at du ikke fulgte linket, men forgæves...) Vi får:
x + 4x = 2 + 3
Her er lignende, vi overvejer:
Hvad har vi brug for for fuldstændig lykke? Ja, så der er et rent X til venstre! Fem er i vejen. At slippe af med de fem med hjælp den anden identiske transformation af ligninger. Vi dividerer nemlig begge sider af ligningen med 5. Vi får et klar svar:
Et elementært eksempel, selvfølgelig. Dette er til opvarmning.) Det er ikke særlig klart, hvorfor jeg huskede identiske transformationer her? OK. Lad os tage tyren ved hornene.) Lad os beslutte noget mere solidt.
For eksempel, her er ligningen:
Hvor skal vi starte? Med X'er - til venstre, uden X'er - til højre? Det er muligt. Små skridt ad en lang vej. Eller du kan gøre det med det samme, på en universel og kraftfuld måde. Hvis du selvfølgelig har identiske transformationer af ligninger i dit arsenal.
Jeg stiller dig et nøglespørgsmål: Hvad kan du ikke lide mest ved denne ligning?
95 ud af 100 vil svare: brøker ! Svaret er korrekt. Så lad os slippe af med dem. Derfor starter vi straks med anden identitetstransformation. Hvad skal du gange brøken til venstre med, så nævneren reduceres fuldstændigt? Det er rigtigt, på 3. Og til højre? Med 4. Men matematik giver os mulighed for at gange begge sider med samme antal. Hvordan kan vi komme ud? Lad os gange begge sider med 12! Dem. til en fællesnævner. Så bliver både de tre og de fire reduceret. Glem ikke, at du skal gange hver del helt. Sådan ser det første trin ud:
Udvidelse af beslag:
Vær opmærksom! Tæller (x+2) Jeg har sat det i parentes! Dette skyldes, at når man multiplicerer brøker, ganges hele tælleren! Nu kan du reducere fraktioner:
Udvid de resterende parenteser:
Ikke et eksempel, men ren fornøjelse!) Lad os nu huske en besværgelse fra folkeskolen: med et X - til venstre, uden et X - til højre! Og anvend denne transformation:
Her er nogle lignende:
Og dividere begge dele med 25, dvs. anvend den anden transformation igen:
Det er det. Svar: X=0,16
Bemærk venligst: for at bringe den originale forvirrende ligning til en god form, brugte vi to (kun to!) identitetstransformationer– oversættelse venstre-højre med ændring af fortegn og multiplikation-division af en ligning med det samme tal. Dette er en universel metode! Vi vil arbejde på denne måde med enhver ligninger! Absolut hvem som helst. Derfor gentager jeg kedeligt om disse identiske transformationer hele tiden.)
Som du kan se, er princippet om at løse lineære ligninger enkelt. Vi tager ligningen og forenkler den ved hjælp af identiske transformationer, indtil vi får svaret. Hovedproblemerne her er i beregningerne, ikke i princippet om løsningen.
Men... Der er sådanne overraskelser i processen med at løse de mest elementære lineære ligninger, at de kan drive dig ind i en stærk dvale...) Heldigvis kan der kun være to sådanne overraskelser. Lad os kalde dem særlige tilfælde.
Særlige tilfælde ved løsning af lineære ligninger.
Første overraskelse.
Antag, at du støder på en meget grundlæggende ligning, noget som:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Lidt kede af det flytter vi det med et X til venstre, uden et X - til højre... Med et fortegnsskifte er alt perfekt... Vi får:
2x-5x+3x=5-2-3
Vi tæller, og... ups!!! Vi får:
Denne ligestilling er i sig selv ikke forkastelig. Nul er virkelig nul. Men X mangler! Og vi skal skrive ned i svaret, hvad er x lig med? Ellers tæller løsningen ikke, vel...) blindgyde?
Berolige! I sådanne tvivlsomme tilfælde vil de mest generelle regler redde dig. Hvordan løser man ligninger? Hvad vil det sige at løse en ligning? Dette betyder, find alle værdierne af x, der, når de erstattes med den oprindelige ligning, vil give os den korrekte lighed.
Men vi har ægte lighed allerede det virkede! 0=0, hvor meget mere nøjagtigt?! Det er tilbage at finde ud af, ved hvilke x'er dette sker. Hvilke værdier af X kan erstattes med original ligning hvis disse x'er vil de stadig blive reduceret til nul? Kom så?)
Ja!!! X'er kan erstattes enhver! Hvilke vil du have? Mindst 5, mindst 0,05, mindst -220. De vil stadig skrumpe ind. Hvis du ikke tror mig, kan du tjekke det.) Erstat alle værdier af X i original ligning og udregn. Hele tiden vil du få den rene sandhed: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 og så videre.
Her er dit svar: x - et hvilket som helst tal.
Svaret kan skrives i forskellige matematiske symboler, essensen ændres ikke. Dette er et fuldstændig korrekt og fuldstændigt svar.
Anden overraskelse.
Lad os tage den samme elementære lineære ligning og ændre kun ét tal i den. Dette er, hvad vi vil beslutte:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Efter de samme identiske transformationer får vi noget spændende:
Sådan. Vi løste en lineær ligning og fik en mærkelig lighed. I matematiske termer fik vi falsk ligestilling. Men i enkle vendinger er dette ikke sandt. Rave. Men ikke desto mindre er dette nonsens en meget god grund til den korrekte løsning af ligningen.)
Igen tænker vi ud fra generelle regler. Hvad x'er, når de erstattes i den oprindelige ligning, vil give os ægte lighed? Ja, ingen! Der er ingen sådanne X'er. Lige meget hvad du putter i, vil alt blive reduceret, kun nonsens vil blive tilbage.)
Her er dit svar: der er ingen løsninger.
Dette er også et fuldstændigt svar. I matematik findes sådanne svar ofte.
Sådan. Nu håber jeg, at forsvinden af X'er i færd med at løse enhver (ikke kun lineær) ligning overhovedet ikke vil forvirre dig. Dette er allerede en velkendt sag.)
Nu hvor vi har behandlet alle faldgruberne i lineære ligninger, giver det mening at løse dem.
Hvis du kan lide denne side...
Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)
Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)
Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.
Du sidder på en restaurant og bladrer i menuen. Alle retterne ser så lækre ud, at man ikke ved, hvad man skal vælge. Måske bestille dem alle?
Du er helt sikkert stødt på sådanne problemer. Hvis ikke i mad, så i noget andet. Vi bruger enorme mængder tid og energi på at prøve at vælge mellem lige så attraktive muligheder. Men på den anden side kan mulighederne ikke være de samme, fordi hver af dem er attraktive på sin egen måde.
Når du har truffet et valg, står du over for et nyt valg. Dette er en endeløs række af vigtige beslutninger, som også inkluderer frygten for at træffe det forkerte valg. Disse tre metoder vil hjælpe dig med at træffe bedre beslutninger på alle niveauer af dit liv.
Skab vaner for at undgå hverdagens beslutninger
Ideen er, at hvis du vænner dig til at spise salat til frokost, skal du ikke bestemme, hvad du skal bestille på en cafe.
Ved at udvikle vaner, der løser disse enkle hverdagsopgaver, sparer du energi til at træffe mere komplekse og vigtige beslutninger. Derudover, hvis du får en vane med at få en salat til morgenmad, behøver du ikke spilde din viljestyrke på at forsøge at undgå at spise noget fedtet og stegt i stedet for en salat.
Men det gælder forudsigelige forhold. Hvad med uventede beslutninger?
"Hvis - så": en metode til uforudsigelige beslutninger
For eksempel er der nogen, der konstant afbryder din tale, og du er ikke sikker på, hvordan du skal reagere på dette, eller om du overhovedet skal reagere. Ifølge "hvis-så"-metoden bestemmer du: Hvis han afbryder dig to gange mere, så vil du give ham en høflig irettesættelse, og hvis dette ikke virker, så i en mere uhøflig form.
Disse to metoder hjælper os med at træffe de fleste af de beslutninger, vi står over for hver dag. Men når det kommer til strategiske planlægningsspørgsmål, såsom hvordan man reagerer på truslen fra konkurrenter, hvilke produkter man skal investere mere i, hvor man kan skære i budgettet, er de magtesløse.
Det er beslutninger, der kan blive forsinket i en uge, måned eller endda et år, hvilket bremser virksomhedens udvikling. De kan ikke håndteres af vane, og "hvis-så"-metoden vil heller ikke fungere her. Som regel er der ikke noget klart og korrekt svar på sådanne spørgsmål.
Ledelsen forsinker ofte at træffe sådanne beslutninger. Han indsamler information, vejer fordele og ulemper, fortsætter med at vente og observere situationen i håb om, at der dukker noget op, der vil indikere den rigtige beslutning.
Og hvis vi antager, at der ikke er noget rigtigt svar, vil det så hjælpe os med at træffe en beslutning hurtigt?
Forestil dig, at du skal træffe en beslutning inden for de næste 15 minutter. Ikke i morgen, ikke i næste uge, hvor du har indsamlet nok information, og ikke om en måned, hvor du taler med alle, der er relateret til problemet.
Du har et kvarter til at træffe en beslutning. Tag affære.
Dette er den tredje metode, der hjælper med at træffe svære beslutninger vedrørende langsigtet planlægning.
Brug tiden
Hvis du har undersøgt et problem og indset, at mulighederne for at løse det er lige attraktive, så accepter, at der ikke er noget rigtigt svar, sæt dig selv en tidsgrænse og vælg blot en hvilken som helst mulighed. Hvis test af en af løsningerne kræver minimal investering, så vælg den og test den. Men hvis dette ikke er muligt, så vælg hvad som helst og så hurtigt som muligt: den tid, du bruger på ubrugelig tænkning, kan bruges på en bedre måde.
Selvfølgelig kan du være uenig: "Hvis jeg venter, kan det rigtige svar dukke op." Måske, men for det første spilder du kostbar tid på at vente på, at situationen klarer sig. For det andet får ventetiden dig til at udsætte og udskyde andre beslutninger relateret til det, reducerer produktiviteten og bremser virksomhedens vækst.
Prøv det nu. Hvis du har et spørgsmål, som du har udskudt, så giv dig selv tre minutter og gør det. Hvis du har for mange af disse, så skriv en liste og sæt en tid for hver løsning.
Du vil se, med hver beslutning, du træffer, vil du føle dig lidt bedre, din angst vil falde, og du vil føle, at du bevæger dig fremad.
Så du vælger en let salat. Var dette det rigtige valg? Hvem ved... Du spiste i hvert fald, og sidder ikke sulten over menuen med retter.
Hvordan man lærer at løse simple og komplekse ligninger
Kære forældre!
Uden grundlæggende matematisk træning er uddannelse af en moderne person umulig. I skolen fungerer matematik som et støttefag for mange beslægtede discipliner. I efterskolelivet bliver efteruddannelse en reel nødvendighed, hvilket kræver grundlæggende skoledækkende uddannelse, herunder matematik.
I folkeskolen lægges ikke kun viden om grundlæggende emner, men også logisk tænkning, fantasi og rumlige begreber udvikles, og interessen for dette emne dannes.
Ved at observere kontinuitetsprincippet vil vi fokusere på det vigtigste emne, nemlig "Forholdet mellem komponenterne i handlinger ved løsning af sammensatte ligninger."
Med denne lektion kan du nemt lære at løse komplekse ligninger. I løbet af lektionen vil du lære detaljeret trin-for-trin instruktioner til løsning af komplekse ligninger.
Mange forældre er forvirrede over spørgsmålet om, hvordan de får deres børn til at lære at løse simple og komplekse ligninger. Hvis ligningerne er enkle, er det halvdelen af problemet, men der er også komplekse - for eksempel integrale. Forresten, til information er der også ligninger, som de bedste hjerner på vores planet kæmper for at løse, og for løsningen af hvilke der gives meget betydelige monetære bonusser. For eksempel, hvis du huskerPerelmanog en uafhentet kontant bonus på flere mio.
Lad os dog først vende tilbage til simple matematiske ligninger og gentage ligningstyperne og navnene på komponenterne. Lidt opvarmning:
_________________________________________________________________________
OPVARMNING
Find det ekstra tal i hver kolonne:
2) Hvilket ord mangler i hver kolonne?
3) Forbind ordene fra første kolonne med ordene fra 2. kolonne.
"Ligning" "Lighed"
4) Hvordan forklarer du, hvad "lighed" er?
5) Hvad med "ligningen"? Er dette ligestilling? Hvad er specielt ved det?
sum sigt
minuend forskel
fratrukket produkt
faktorlighed
udbytte
ligning
Konklusion: En ligning er en lighed med en variabel, hvis værdi skal findes.
_______________________________________________________________________
Jeg inviterer hver gruppe til at skrive ligninger på et stykke papir med en tusch: (på tavlen)
| Gruppe 1 - med en ukendt term; gruppe 2 - med et ukendt fald; Gruppe 3 - med en ukendt subtrahend; gruppe 4 - med en ukendt divisor; Gruppe 5 - med ukendt udbytte; Gruppe 6 - med en ukendt multiplikator. | 1 gruppe x + 8 = 15 2 gruppe x - 8 = 7 Gruppe 3 48 - x = 36 4 gruppe 540: x = 9 5 gruppe x: 15 = 9 6 gruppe x * 10 = 360 |
En af gruppen skal læse deres ligning i matematisk sprog og kommentere deres løsning, dvs. udtale den operation, der udføres, med de kendte komponenter af handlingerne (algoritmen).
Konklusion: Vi kan løse simple ligninger af alle typer ved hjælp af en algoritme, læse og skrive bogstavelige udtryk.
Jeg foreslår at løse et problem, hvor en ny type ligning dukker op.
Konklusion: Vi stiftede bekendtskab med løsningen af ligninger, hvor en af delene indeholder et numerisk udtryk, hvis værdi skal findes og en simpel ligning skal opnås.
________________________________________________________________________
Lad os overveje en anden version af ligningen, hvis løsning er reduceret til at løse en kæde af simple ligninger. Her er en introduktion til sammensatte ligninger.
| a + b * c (x - y): 3 2 * d + (m - n) Er ligninger skrevet? Hvorfor? Hvad kaldes sådanne handlinger? Læs dem og navngiv den sidste handling: | Ingen. Disse er ikke ligninger, fordi ligningen skal have et "="-tegn. Udtryk a + b * c - summen af tallet a og produktet af tallene b og c; (x - y): 3 - kvotient af forskellen mellem tallene x og y; 2 * d + (m - n) - summen af det dobbelte tal d og forskellen mellem tallene m og n. |
Jeg foreslår, at alle skriver en sætning ned i matematisk sprog:
Produktet af forskellen mellem tallene x og 4 og tallet 3 er 15.
KONKLUSION: Den problematiske situation, der er opstået, motiverer opstillingen af lektionsmålet: at lære at løse ligninger, hvor den ukendte komponent er et udtryk. Sådanne ligninger er sammensatte ligninger.
__________________________________________________________________________
Eller måske vil de ligningstyper, vi allerede har studeret, hjælpe os? (algoritmer)
Hvilken af de berømte ligninger ligner vores ligning? X * a = b
MEGET VIGTIGT SPØRGSMÅL: Hvad er udtrykket i venstre side - sum, difference, produkt eller kvotient?
(x - 4) * 3 = 15 (produkt)
Hvorfor? (da den sidste handling er multiplikation)
Konklusion:Sådanne ligninger er endnu ikke blevet overvejet. Men vi kan løse det, hvis udtrykketx - 4sæt et kort (y - igrek), og du får en ligning, der let kan løses ved hjælp af en simpel algoritme til at finde den ukendte komponent.
Når man løser sammensatte ligninger, er det nødvendigt ved hvert trin at vælge en handling på et automatiseret niveau, kommentere og navngive handlingens komponenter.
| Forenkle del |
| Ingen ↓ Ja |
(y - 5) *
4
=
28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (i)
Konklusion:I klasser med forskellig baggrund kan dette arbejde tilrettelægges forskelligt. I mere forberedte klasser, selv til primær konsolidering, kan der bruges udtryk, hvor ikke to, men tre eller flere handlinger, men deres løsning kræver et større antal trin, hvor hvert trin forenkler ligningen, indtil der opnås en simpel ligning. Og hver gang kan du observere, hvordan den ukendte komponent af handlinger ændrer sig.
_____________________________________________________________________________
KONKLUSION:
Når vi taler om noget meget simpelt og forståeligt, siger vi ofte: "Sagen er lige så klar, som to og to er fire!"
Men før de fandt ud af, at to og to er lig med fire, skulle folk studere i mange, mange tusinde år.
Mange regler fra skolelærebøger om aritmetik og geometri var kendt af de gamle grækere for mere end to tusinde år siden.
Hvor end du skal tælle, måle, sammenligne noget, kan du ikke undvære matematik.
Det er svært at forestille sig, hvordan folk ville leve, hvis de ikke vidste, hvordan de skulle tælle, måle og sammenligne. Matematik lærer dette.
I dag kastede I jer ud i skolelivet, spillede rollen som elever, og jeg inviterer jer, kære forældre, til at vurdere jeres færdigheder på en skala.
| Mine færdigheder | Dato og vurdering |
| Handlingskomponenter. | |
| Tegning af en ligning med en ukendt komponent. | |
| Læse- og skriveudtryk. | |
| Find roden til en simpel ligning. | |
| Find roden til en ligning, hvor en af delene indeholder et numerisk udtryk. | |
| Find roden til en ligning, hvor den ukendte komponent af handlingen er et udtryk. |
52. Mere komplekse eksempler på ligninger.
Eksempel 1.
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Fællesnævneren er x 2 – 1, da x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Lad os gange begge sider af denne ligning med x 2 – 1. Vi får:
eller, efter reduktion,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x = 7 og x = 3½
Lad os overveje en anden ligning:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Løser vi som ovenfor, får vi:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 eller 2x = 2 og x = 1.
Lad os se, om vores ligheder er berettigede, hvis vi erstatter x i hver af de betragtede ligninger med det fundne tal.
For det første eksempel får vi:
Vi ser, at der ikke er plads til tvivl: Vi har fundet et tal for x, således at den nødvendige lighed er berettiget.
For det andet eksempel får vi:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) eller 5/0 – 3/2 = 15/0
Her opstår tvivl: Vi står over for division med nul, hvilket er umuligt. Hvis det i fremtiden lykkes os at give en vis, om end indirekte, betydning til denne opdeling, så kan vi blive enige om, at den fundne løsning x – 1 opfylder vores ligning. Indtil da må vi indrømme, at vores ligning ikke har en løsning, der har en direkte betydning.
Sådanne tilfælde kan forekomme, når det ukendte på en eller anden måde er inkluderet i nævnerne af de brøker, der er til stede i ligningen, og nogle af disse nævnere, når løsningen er fundet, bliver nul.
Eksempel 2.
Du kan umiddelbart se, at denne ligning har form af en proportion: forholdet mellem tallet x + 3 og tallet x – 1 er lig med forholdet mellem tallet 2x + 3 og tallet 2x – 2. Lad nogen, i i betragtning af denne omstændighed, beslutte at anvende her for at frigøre ligningen fra brøker, hovedegenskaben for proportioner (produktet af de ekstreme led er lig med produktet af de midterste led). Så får han:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Her kan frygten for, at vi ikke kan klare denne ligning, blive vækket af, at ligningen indeholder led med x 2. Vi kan dog trække 2x 2 fra begge sider af ligningen - dette vil ikke bryde ligningen; så bliver vilkårene med x 2 ødelagt, og vi får:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Lad os flytte de ukendte udtryk til venstre og de kendte til højre - vi får:
3x = 3 eller x = 1
Husk denne ligning
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Vi vil straks bemærke, at den fundne værdi for x (x = 1) får nævnerne i hver brøk til at forsvinde; Vi må opgive en sådan løsning, indtil vi har overvejet spørgsmålet om division med nul.
Hvis vi også bemærker, at anvendelsen af proportionsegenskaben har kompliceret sagen, og at en enklere ligning kunne opnås ved at gange begge sider af det givne med en fællesnævner, nemlig 2(x – 1) - trods alt 2x – 2 = 2 (x – 1), så får vi:
2(x + 3) = 2x – 3 eller 2x + 6 = 2x – 3 eller 6 = –3,
hvilket er umuligt.
Denne omstændighed indikerer, at denne ligning ikke har nogen løsninger, der har en direkte betydning, som ikke ville vende nævnerne af denne ligning til nul.
Lad os nu løse ligningen:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Lad os gange begge sider af ligningen 2(x – 1), dvs. med en fællesnævner, får vi:
6x + 10 = 2x + 18
Den fundne løsning får ikke nævneren til at forsvinde og har en direkte betydning:
eller 11 = 11
Hvis nogen i stedet for at gange begge dele med 2(x – 1) skulle bruge egenskaben proportion, ville de få:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) eller
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Her ville vilkårene med x 2 ikke blive ødelagt. At flytte alle de ukendte udtryk til venstre side, og de kendte til højre, ville vi få
4x 2 – 12x = –8
x 2 – 3x = –2
Nu vil vi ikke være i stand til at løse denne ligning. I fremtiden vil vi lære at løse sådanne ligninger og finde to løsninger til det: 1) du kan tage x = 2 og 2) du kan tage x = 1. Det er nemt at tjekke begge løsninger:
1) 2 2 – 3 2 = –2 og 2) 1 2 – 3 1 = –2
Hvis vi husker den indledende ligning
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
så vil vi se, at nu får vi begge dets løsninger: 1) x = 2 er den løsning, der har en direkte betydning og ikke vender nævneren til nul, 2) x = 1 er løsningen, der vender nævneren til nul og har ikke en direkte betydning.
Eksempel 3.
Lad os finde fællesnævneren for brøkerne inkluderet i denne ligning ved at faktorisere hver af nævnerne:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Fællesnævneren er (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Lad os gange begge sider af denne ligning (og vi kan nu omskrive den som:
med en fællesnævner (x – 3) (x – 2) (x + 1). Derefter, efter at have reduceret hver brøk, får vi:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) eller
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Herfra får vi:
–x = –13 og x = 13.
Denne løsning har en direkte betydning: den får ingen af nævnerne til at forsvinde.
Hvis vi tog ligningen:
så gør vi præcis det samme som ovenfor, vi ville få det
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
hvor ville du få det fra?
hvilket er umuligt. Denne omstændighed viser, at det er umuligt at finde en løsning på den sidste ligning, der har en direkte betydning.