Den inverse matrix for en given matrix er sådan en matrix, der multiplicerer den originale med, som giver identitetsmatrixen: En obligatorisk og tilstrækkelig betingelse for tilstedeværelsen af en invers matrix er, at determinanten af den oprindelige matrix er ikke lig med nul (hvilket igen indebærer, at matrixen skal være kvadratisk). Hvis determinanten af en matrix er lig med nul, kaldes den ental, og en sådan matrix har ikke en invers. I højere matematik er inverse matricer vigtige og bruges til at løse en række problemer. For eksempel på finde den inverse matrix en matrixmetode til løsning af ligningssystemer blev konstrueret. Vores serviceside tillader beregne invers matrix online to metoder: Gauss-Jordan-metoden og brug af matrixen af algebraiske additioner. Den første involverer et stort antal elementære transformationer inde i matrixen, den anden involverer beregningen af determinanten og algebraiske tilføjelser til alle elementer. For at beregne determinanten for en matrix online, kan du bruge vores anden service - Beregning af determinanten for en matrix online
.Find den omvendte matrix for webstedet
internet side giver dig mulighed for at finde omvendt matrix online hurtigt og gratis. På siden foretages beregninger ved hjælp af vores service og resultatet er givet med en detaljeret løsning til at finde omvendt matrix. Serveren giver altid kun et præcist og korrekt svar. I opgaver pr. definition omvendt matrix online, er det nødvendigt, at determinanten matricer var ellers ikke nul internet side vil rapportere umuligheden af at finde den inverse matrix på grund af det faktum, at determinanten af den oprindelige matrix er lig med nul. Opgaven med at finde omvendt matrix findes i mange grene af matematikken, der er et af de mest grundlæggende begreber inden for algebra og et matematisk værktøj i anvendte problemer. Uafhængig definition af invers matrix kræver en betydelig indsats, meget tid, beregninger og stor omhu for at undgå tastefejl eller mindre fejl i beregninger. Derfor vores service finde den inverse matrix online vil gøre din opgave meget lettere og vil blive et uundværligt værktøj til at løse matematiske problemer. Også selvom du find den inverse matrix selv, anbefaler vi at tjekke din løsning på vores server. Indtast din oprindelige matrix på vores hjemmeside. Beregn invers matrix online og tjek dit svar. Vores system laver aldrig fejl og finder omvendt matrix givet dimension i mode online med det samme! På siden internet side tegnindtastninger er tilladt i elementer matricer, I dette tilfælde omvendt matrix online vil blive præsenteret i generel symbolsk form.
Lad os fortsætte samtalen om handlinger med matricer. I løbet af studiet af denne forelæsning vil du nemlig lære, hvordan du finder den inverse matrix. Lære. Også selvom matematik er svært.
Hvad er en invers matrix? Her kan vi tegne en analogi med omvendte tal: overvej for eksempel det optimistiske tal 5 og dets omvendte tal. Produktet af disse tal er lig med en:. Alt er ens med matricer! Produktet af en matrix og dens inverse matrix er lig med - identitetsmatrix, som er matrixanalogen af den numeriske enhed. Men først ting først - lad os først løse et vigtigt praktisk problem, nemlig at lære at finde denne meget omvendte matrix.
Hvad skal du vide og være i stand til at gøre for at finde den inverse matrix? Du skal kunne bestemme kvalifikationer. Du skal forstå, hvad det er matrix og være i stand til at udføre nogle handlinger med dem.
Der er to hovedmetoder til at finde den inverse matrix:
ved hjælp af algebraiske tilføjelser Og ved hjælp af elementære transformationer.
I dag vil vi studere den første, enklere metode.
Lad os starte med det mest forfærdelige og uforståelige. Lad os overveje firkant matrix. Den inverse matrix kan findes ved hjælp af følgende formel:
Hvor er determinanten for matricen, er den transponerede matrix af algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i matrixen.
Konceptet med en invers matrix eksisterer kun for kvadratiske matricer, matricer "to og to", "tre gange tre" osv.
Betegnelser: Som du måske allerede har bemærket, er den omvendte matrix angivet med et hævet skrift
Lad os starte med det enkleste tilfælde - en to-til-to-matrix. Oftest kræves selvfølgelig "tre gange tre", men ikke desto mindre anbefaler jeg stærkt at studere en enklere opgave for at forstå det generelle princip for løsningen.
Eksempel:
Find det omvendte af en matrix
Lad os bestemme. Det er praktisk at nedbryde rækkefølgen af handlinger punkt for punkt.
1) Først finder vi matricens determinant.
Hvis din forståelse af denne handling ikke er god, så læs materialet Hvordan beregner man determinanten?
Vigtig! Hvis determinanten af matricen er lig med NUL– omvendt matrix EKSISTERER IKKE.
I det undersøgte eksempel viste det sig, , hvilket betyder, at alt er i orden.
2) Find matrixen af mindreårige.
For at løse vores problem er det ikke nødvendigt at vide, hvad en mindreårig er, men det er tilrådeligt at læse artiklen Sådan beregnes determinanten.
Matrixen af mindreårige har samme dimensioner som matrixen, det vil sige i dette tilfælde.
Det eneste, der er tilbage at gøre, er at finde fire tal og sætte dem i stedet for stjerner.
Lad os vende tilbage til vores matrix
Lad os først se på elementet øverst til venstre:
Sådan finder du det mindre?
Og dette gøres sådan: STRÆK MENTALT rækken og kolonnen ud, hvori dette element er placeret:
Det resterende antal er mindre af dette element, som vi skriver i vores matrix af mindreårige:
Overvej følgende matrixelement:
Mentalt streg rækken og kolonnen ud, hvor dette element vises:
Tilbage er det mindre af dette element, som vi skriver i vores matrix:
På samme måde betragter vi elementerne i anden række og finder deres mindreårige:
Parat.
Det er simpelt. I matrixen af mindreårige du har brug for SKIFT SKILT to tal:
Det er de tal, jeg har sat en cirkel om!
– matrix af algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i matrixen.
Og bare...
4) Find den transponerede matrix af algebraiske additioner.
– transponeret matrix af algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i matrixen.
5) Svar.
Lad os huske vores formel
Alt er fundet!
Så den omvendte matrix er: 
Det er bedre at lade svaret være som det er. INTET BEHOV divider hvert element i matricen med 2, da resultatet er brøktal. Denne nuance diskuteres mere detaljeret i samme artikel. Handlinger med matricer.
Hvordan tjekker man løsningen?
Du skal udføre matrix multiplikation eller
Undersøgelse: 
Modtaget allerede nævnt identitetsmatrix er en matrix med dem ved hoveddiagonal og nuller andre steder.
Således er den inverse matrix fundet korrekt.
Hvis du udfører handlingen, bliver resultatet også en identitetsmatrix. Dette er et af de få tilfælde, hvor matrixmultiplikation er kommutativ, flere detaljer kan findes i artiklen Egenskaber for operationer på matricer. Matrix udtryk. Bemærk også, at under kontrollen bliver konstanten (brøken) fremført og behandlet til allersidst - efter matrixmultiplikationen. Dette er en standardteknik.
Lad os gå videre til en mere almindelig case i praksis - tre-til-tre-matricen:
Eksempel:
Find det omvendte af en matrix 
Algoritmen er nøjagtig den samme som for tilfældet "to og to".
Vi finder den inverse matrix ved hjælp af formlen: , hvor er den transponerede matrix af algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i matrixen.
1) Find matricens determinant.
Her afsløres determinanten på første linje.
Glem heller ikke det, hvilket betyder, at alt er i orden - der findes en invers matrix.
2) Find matrixen af mindreårige.
Matrixen af mindreårige har en dimension på "tre gange tre" 
, og vi skal finde ni tal.
Jeg vil se nærmere på et par mindreårige:
Overvej følgende matrixelement: 
STRÆK MENTALT rækken og kolonnen ud, hvori dette element er placeret: 
Vi skriver de resterende fire tal i to-til-to-determinanten. 
Denne to-til-to determinant og er minor af dette element. Det skal beregnes: 
Det er det, den mindreårige er fundet, vi skriver det i vores matrix af mindreårige: 
Som du sikkert har gættet, skal du beregne ni to-til-to determinanter. Processen er selvfølgelig kedelig, men sagen er ikke den mest alvorlige, den kan være værre.
Nå, for at konsolidere – at finde en anden mindreårig på billederne: 
Prøv selv at beregne de resterende mindreårige.
Endeligt resultat: 
– matrix af mindreårige af de tilsvarende elementer i matrixen.
Det faktum, at alle de mindreårige viste sig at være negative, er en ren ulykke.
3) Find matrixen af algebraiske additioner.
I matrixen af mindreårige er det nødvendigt SKIFT SKILT udelukkende for følgende elementer: 
I dette tilfælde:
Vi overvejer ikke at finde den inverse matrix for en "fire gange fire" matrix, da en sådan opgave kun kan gives af en sadistisk lærer (for at eleven skal beregne en "fire gange fire" determinant og 16 "tre gange tre" determinanter ). I min praksis var der kun et sådant tilfælde, og testens kunde betalte ret dyrt for min pine =).
I en række lærebøger og manualer kan du finde en lidt anderledes tilgang til at finde den inverse matrix, men jeg anbefaler at bruge løsningsalgoritmen skitseret ovenfor. Hvorfor? Fordi sandsynligheden for at blive forvirret i beregninger og tegn er meget mindre.
For enhver ikke-singular matrix A er der en unik matrix A -1, således at
A*A -1 =A -1 *A = E,
hvor E er identitetsmatrixen af samme orden som A. Matrixen A -1 kaldes den inverse af matrix A.
Hvis nogen har glemt det, i identitetsmatrixen, bortset fra diagonalen fyldt med enere, er alle andre positioner udfyldt med nuller, et eksempel på en identitetsmatrix:
Find den inverse matrix ved hjælp af adjoint matrix-metoden
Den inverse matrix er defineret af formlen:
hvor A ij - elementer a ij.
De der. For at beregne den inverse matrix, skal du beregne determinanten af denne matrix. Find derefter de algebraiske komplementer for alle dets elementer og komponer en ny matrix ud fra dem. Dernæst skal du transportere denne matrix. Og divider hvert element i den nye matrix med determinanten for den oprindelige matrix.
Lad os se på et par eksempler.
Find A -1 for en matrix
Løsning Lad os finde A -1 ved hjælp af adjoint matrix-metoden. Vi har det A = 2. Lad os finde de algebraiske komplementer af elementerne i matrix A. I dette tilfælde vil de algebraiske komplementer af matrixelementerne være de tilsvarende elementer i selve matrixen taget med et fortegn i overensstemmelse med formlen
Vi har A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Vi danner den adjunkte matrix
Vi transporterer matrix A*:
Vi finder den inverse matrix ved hjælp af formlen:
Vi får:
Brug adjoint matrix-metoden til at finde A -1 if
Løsning Først og fremmest beregner vi definitionen af denne matrix for at verificere eksistensen af den inverse matrix. Vi har
Her tilføjede vi elementerne i den anden række elementerne i den tredje række, tidligere ganget med (-1), og udvidede derefter determinanten for den anden række. Da definitionen af denne matrix er forskellig fra nul, eksisterer dens inverse matrix. For at konstruere den adjoint matrix finder vi de algebraiske komplementer af elementerne i denne matrix. Vi har
Ifølge formlen
transportmatrix A*:
Derefter ifølge formlen
At finde den inverse matrix ved hjælp af metoden med elementære transformationer
Ud over metoden til at finde den inverse matrix, som følger af formlen (adjoint matrix-metoden), findes der en metode til at finde den inverse matrix, kaldet metoden for elementære transformationer.
Elementære matrix transformationer
Følgende transformationer kaldes elementære matrixtransformationer:
1) omarrangering af rækker (kolonner);
2) gange en række (søjle) med et andet tal end nul;
3) tilføjelse til elementerne i en række (kolonne) de tilsvarende elementer i en anden række (kolonne), tidligere ganget med et bestemt tal.
For at finde matrixen A -1 konstruerer vi en rektangulær matrix B = (A|E) af ordener (n; 2n), og tildeler matrix A til højre identitetsmatrixen E gennem en delelinje:
Lad os se på et eksempel.
Brug metoden til elementære transformationer, find A -1 if
Løsning Vi danner matrix B:
Lad os betegne rækkerne af matrix B med α 1, α 2, α 3. Lad os udføre følgende transformationer på rækkerne af matrix B.
Matrix algebra - Invers matrixomvendt matrix
Invers matrix er en matrix, der, når den ganges både til højre og venstre med en given matrix, giver identitetsmatrixen.
Lad os betegne den inverse matrix af matricen EN gennem , så får vi ifølge definitionen:
Hvor E– identitetsmatrix.
Firkantet matrix hedder ikke speciel (ikke-degenereret) hvis dens determinant ikke er nul. Ellers hedder det særlig (degenerere) eller ental.
Sætningen siger: Hver ikke-singular matrix har en invers matrix.
Operationen med at finde den inverse matrix kaldes appel matricer. Lad os overveje matrixinversionsalgoritmen. Lad en ikke-singular matrix gives n- rækkefølge:
hvor Δ = det EN ≠ 0.
Algebraisk tilføjelse af et element matricer n- orden EN kaldes determinanten af en matrix taget med et bestemt fortegn ( n–1) rækkefølge opnået ved sletning jeg-th linje og j matrix kolonne EN:
Lad os skabe den såkaldte vedhæftet matrix:
hvor er de algebraiske komplementer af de tilsvarende elementer i matrixen EN.
Bemærk, at algebraiske tilføjelser af matrixrækkeelementer EN er placeret i de tilsvarende kolonner i matrixen Ã
, det vil sige, at matrixen transponeres på samme tid.
Ved at dividere alle elementerne i matricen Ã
ved Δ – værdien af matrixdeterminanten EN, får vi den inverse matrix som et resultat:
Lad os bemærke en række særlige egenskaber ved den inverse matrix:
1) for en given matrix EN dens omvendte matrix
er den eneste ene;
2) hvis der er en invers matrix, så højre omvendt Og venstre bagside matricerne falder sammen med den;
3) en speciel (ental) kvadratisk matrix har ikke en invers matrix.
Grundlæggende egenskaber for en invers matrix:
1) determinanten af den inverse matrix og determinanten af den oprindelige matrix er reciproke;
2) den inverse matrix af produktet af kvadratiske matricer er lig med produktet af den inverse matrix af faktorer, taget i omvendt rækkefølge:
3) den transponerede inverse matrix er lig med den inverse matrix for den givne transponerede matrix:
EKSEMPEL Beregn det inverse af den givne matrix.
Metoder til at finde den inverse matrix, . Overvej en kvadratisk matrix
Lad os betegne Δ =det A.
Den kvadratiske matrix A kaldes ikke-degenereret, eller ikke speciel, hvis dens determinant ikke er nul, og degenereret, eller særlig, hvisΔ = 0.
En kvadratisk matrix B er for en kvadratisk matrix A af samme orden, hvis deres produkt er A B = B A = E, hvor E er identitetsmatrixen af samme orden som matricerne A og B.
Sætning . For at matrix A skal have en invers matrix, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dens determinant er forskellig fra nul.
Den omvendte matrix af matrix A, betegnet med A- 1, så B = A - 1 og beregnes efter formlen
, (1)
hvor A i j er algebraiske komplementer af elementer a i j af matrix A..
At beregne A -1 ved hjælp af formel (1) for højordens matricer er meget arbejdskrævende, så i praksis er det praktisk at finde A -1 ved hjælp af metoden med elementære transformationer (ET). Enhver ikke-singular matrix A kan reduceres til identitetsmatrixen E ved kun at anvende kolonnerne (eller kun rækkerne) på identitetsmatrixen Hvis transformationerne perfekt over matrixen A anvendes i samme rækkefølge på identitetsmatrixen E. resultatet vil være en omvendt matrix. Det er praktisk at udføre EP på matricerne A og E samtidigt og skrive begge matricer side om side gennem en linje. Lad os igen bemærke, at når du søger efter den kanoniske form af en matrix, for at finde den, kan du bruge transformationer af rækker og kolonner. Hvis du skal finde det omvendte af en matrix, skal du kun bruge rækker eller kun kolonner under transformationsprocessen.
Eksempel 2.10. Til matrix 
find A -1.
Løsning.Først finder vi determinanten af matrix A 
Det betyder, at den inverse matrix eksisterer, og vi kan finde den ved hjælp af formlen: 
, hvor A i j (i,j=1,2,3) er algebraiske tilføjelser af elementer a i j af den oprindelige matrix. 
Hvor 
.
Eksempel 2.11. Brug metoden til elementære transformationer, find A -1 for matrixen: A = .
Løsning.Vi tildeler den oprindelige matrix til højre en identitetsmatrix af samme rækkefølge: 
. Ved at bruge elementære transformationer af kolonnerne vil vi reducere den venstre "halvdel" til identiteten, samtidig med at vi udfører nøjagtig de samme transformationer på den højre matrix.
For at gøre dette, skift første og anden kolonne: 
~
. Til den tredje kolonne tilføjer vi den første, og til den anden - den første, ganget med -2: 
. Fra den første kolonne trækker vi den anden fordoblet, og fra den tredje - den anden ganget med 6; 
. Lad os tilføje den tredje kolonne til den første og anden: 
. Gang den sidste kolonne med -1: 
. Den kvadratiske matrix opnået til højre for den lodrette streg er den inverse matrix af den givne matrix A. Så,
.