ستتعلم في هذه المقالة كيفية العثور على مساحة الشكل المحدد بخطوط باستخدام الحسابات التكاملية. نواجه صياغة مثل هذه المشكلة لأول مرة في المدرسة الثانوية، عندما انتهينا للتو من دراسة التكاملات المحددة وحان الوقت لبدء التفسير الهندسي للمعرفة المكتسبة عمليًا.

إذن، ما هو المطلوب لحل مشكلة إيجاد مساحة الشكل بنجاح باستخدام التكاملات:

• القدرة على عمل رسومات مختصة؛
• القدرة على حل تكامل محدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز المعروفة؛
• القدرة على "رؤية" خيار الحل الأكثر ربحية - أي. هل تفهم كيف سيكون تنفيذ التكامل أكثر ملاءمة في حالة أو أخرى؟ على طول المحور السيني (OX) أو المحور الصادي (OY)؟
• حسنًا، أين سنكون بدون الحسابات الصحيحة؟) وهذا يتضمن فهم كيفية حل هذا النوع الآخر من التكاملات والحسابات الرقمية الصحيحة.

خوارزمية حل مشكلة حساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط:

1. نحن نبني الرسم. من المستحسن القيام بذلك على قطعة من الورق متقلب، على نطاق واسع. نوقع اسم هذه الوظيفة بقلم رصاص فوق كل رسم بياني. يتم التوقيع على الرسوم البيانية فقط لتسهيل إجراء المزيد من الحسابات. بعد تلقي رسم بياني للشكل المطلوب، سيكون من الواضح في معظم الحالات على الفور حدود التكامل التي سيتم استخدامها. وهكذا نحل المشكلة بيانيا. ومع ذلك، يحدث أن تكون قيم النهايات كسرية أو غير منطقية. لذلك، يمكنك إجراء حسابات إضافية، انتقل إلى الخطوة الثانية.

2. إذا لم يتم تحديد حدود التكامل بشكل صريح، فإننا نجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية مع بعضها البعض ونرى ما إذا كان حلنا الرسومي يتطابق مع الحل التحليلي.

3. بعد ذلك، تحتاج إلى تحليل الرسم. اعتمادًا على كيفية ترتيب الرسوم البيانية للدالة، هناك طرق مختلفة للعثور على مساحة الشكل. دعونا نلقي نظرة على أمثلة مختلفة لإيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات.

3.1. النسخة الأكثر كلاسيكية وبساطة من المشكلة هي عندما تحتاج إلى العثور على مساحة شبه منحرف منحني. ما هو شبه منحرف منحني؟ هذا شكل مسطح محدود بالمحور السيني (ص = 0)، مستقيم س = أ، س = بوأي منحنى مستمر على الفترة من أل ب. علاوة على ذلك، فإن هذا الرقم غير سلبي ولا يقع تحت المحور السيني. في هذه الحالة، فإن مساحة شبه المنحرف المنحني تساوي عدديًا تكاملًا معينًا، يتم حسابه باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

مثال 1 ص = س2 - 3س + 3، س = 1، س = 3، ص = 0.

ما هي الخطوط التي يحدها الشكل؟ لدينا قطع مكافئ ص = س2 - 3س + 3الذي يقع فوق المحور أوه، فهو غير سلبي، لأنه جميع نقاط هذا القطع المكافئ لها قيم موجبة. بعد ذلك، نظرا للخطوط المستقيمة س = 1و س = 3، والتي تعمل بالتوازي مع المحور المرجع أمبير، هي الخطوط الحدودية للشكل على اليسار واليمين. حسنًا ص = 0، وهو أيضًا المحور السيني، الذي يحد الشكل من الأسفل. الشكل الناتج مظلل، كما يمكن رؤيته من الشكل الموجود على اليسار. في هذه الحالة، يمكنك البدء فورًا في حل المشكلة. أمامنا مثال بسيط على شبه منحرف منحني، والذي يمكننا حله أيضًا باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز.

3.2. في الفقرة 3.1 السابقة، قمنا بدراسة الحالة عندما يقع شبه منحرف منحني فوق المحور السيني. الآن فكر في الحالة التي تكون فيها شروط المشكلة هي نفسها، فيما عدا أن الدالة تقع تحت المحور السيني. تتم إضافة علامة ناقص إلى صيغة نيوتن-لايبنتز القياسية. سننظر في كيفية حل هذه المشكلة أدناه.

مثال 2 . حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط ص = x2 + 6x + 2، x = -4، x = -1، y = 0.

في هذا المثال لدينا القطع المكافئ ص = س2 + 6س + 2، والذي ينبع من المحور أوه، مستقيم س = -4، س = -1، ص = 0. هنا ص = 0يحد الرقم المطلوب من فوق. مباشر س = -4و س = -1هذه هي الحدود التي سيتم من خلالها حساب التكامل المحدد. يتطابق مبدأ حل مشكلة إيجاد مساحة الشكل بشكل شبه كامل مع المثال رقم 1. والفرق الوحيد هو أن الدالة المعطاة ليست موجبة، وهي أيضًا مستمرة على الفاصل الزمني [-4; -1] . ماذا تقصد غير إيجابية؟ كما يتبين من الشكل، فإن الشكل الذي يقع ضمن علامة x المحددة له إحداثيات "سلبية" حصريًا، وهو ما نحتاج إلى رؤيته وتذكره عند حل المشكلة. نبحث عن مساحة الشكل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز، مع وضع علامة الطرح في البداية فقط.

المقال لم يكتمل.

دعونا ننتقل إلى النظر في تطبيقات حساب التفاضل والتكامل. سنقوم في هذا الدرس بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعًا حساب مساحة الشكل المستوي باستخدام تكامل محدد. وأخيرًا، دع كل من يبحث عن المعنى في الرياضيات العليا يجده. أنت لا تعرف أبدا. في الحياة الواقعية، سيتعين عليك تقريب قطعة أرض داشا باستخدام الدوال الأولية والعثور على مساحتها باستخدام تكامل محدد.

لإتقان المادة بنجاح، يجب عليك:

1) فهم التكامل غير المحدد على الأقل بمستوى متوسط. وبالتالي، يجب على الدمى قراءة الدرس أولا لا.

2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز وحساب التكامل المحدد. يمكنك إقامة علاقات ودية دافئة مع تكاملات معينة على الصفحة تكامل محدد. أمثلة على الحلول. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذا فإن معرفتك ومهاراتك في الرسم ستكون أيضًا مشكلة ذات صلة. كحد أدنى، يجب أن تكون قادرًا على إنشاء خط مستقيم وقطع مكافئ وقطع زائد.

لنبدأ بشبه منحرف منحني. شبه المنحرف المنحني هو شكل مسطح يحده الرسم البياني لبعض الوظائف ذ = و(س)، المحور ثوروالخطوط س = أ; س = ب.

مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع تساوي عدديا تكاملا محددا

أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الصف تكامل محدد. أمثلة على الحلولقلنا أن التكامل المحدد هو عدد. والآن حان الوقت لذكر حقيقة مفيدة أخرى. من وجهة نظر الهندسة، التكامل المحدد هو المساحة. إنه، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل معين. النظر في التكامل المحدد

متكامل

يحدد منحنى على المستوى (يمكن رسمه إذا رغبت في ذلك)، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحرف المنحني المقابل.

مثال 1

, , , .

هذا هو بيان مهمة نموذجية. النقطة الأكثر أهمية في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك، يجب بناء الرسم يمين.

عند إنشاء الرسم، أوصي بالترتيب التالي: في البدايةفمن الأفضل بناء جميع الخطوط المستقيمة (إذا كانت موجودة) وفقط ثم- القطع المكافئ، القطع الزائد، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. يمكن العثور على تقنية البناء نقطة بنقطة في المواد المرجعية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية. هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا لدرسنا - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة، قد يبدو الحل هكذا.

لنقم بالرسم (لاحظ أن المعادلة ذ= 0 يحدد المحور ثور):

لن نقوم بتظليل شبه المنحرف المنحني هنا، فمن الواضح ما هي المنطقة التي نتحدث عنها. ويستمر الحل هكذا:

على المقطع [-2؛ 1] الرسم البياني الوظيفي ذ = س 2+2 تقع فوق المحورثور، لهذا السبب:

إجابة: .

من يواجه صعوبات في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز

,

الرجوع إلى المحاضرة تكامل محدد. أمثلة على الحلول. بعد اكتمال المهمة، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة، نحسب عدد الخلايا في الرسم "بالعين" - حسنًا، سيكون هناك حوالي 9، وهو ما يبدو صحيحًا. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا على الإجابة، على سبيل المثال: 20 وحدة مربعة، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني، على الأكثر عشرات. إذا كانت الإجابة سلبية، فقد تم حل المهمة بشكل غير صحيح.

مثال 2

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط xy = 4, س = 2, س= 4 والمحور ثور.

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه المنحرف المنحني موجودًا تحت المحورثور?

مثال 3

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط ذ = السابق, س= 1 ومحاور الإحداثيات.

الحل: لنقم بالرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني تقع بالكامل تحت المحور ثور ، فيمكن إيجاد مساحتها باستخدام الصيغة:

في هذه الحالة:

.

انتباه! ولا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد دون أي معنى هندسي، فقد يكون سالبًا.

2) إذا طلب منك إيجاد مساحة شكل ما باستخدام تكامل محدد، فإن المساحة تكون موجبة دائمًا! ولهذا السبب يظهر الطرح في الصيغة التي تمت مناقشتها للتو.

في الممارسة العملية، غالبا ما يقع الرقم في كل من المستوى العلوي والسفلي، وبالتالي، من أبسط المهام المدرسية ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المستوي المحدود بالخطوط ذ = 2س – س 2 , ذ = -س.

الحل: أولا تحتاج إلى رسم. عند إنشاء رسم في مسائل المساحة، نحن مهتمون أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ ذ = 2س – س 2 ومستقيم ذ = -س. يمكن القيام بذلك بطريقتين. الطريقة الأولى هي التحليلية. نحن نحل المعادلة:

وهذا يعني أن الحد الأدنى للتكامل أ= 0، الحد الأعلى للتكامل ب= 3. غالبًا ما يكون بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع، وتصبح حدود التكامل واضحة "بنفسها". ومع ذلك، لا يزال يتعين في بعض الأحيان استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود، على سبيل المثال، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بدرجة كافية، أو إذا لم يكشف البناء التفصيلي عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). دعنا نعود إلى مهمتنا: من الأكثر عقلانية أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطعًا مكافئًا. لنقم بالرسم:

دعونا نكرر أنه عند البناء النقطي، غالبًا ما يتم تحديد حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل:

إذا كان على الجزء [ أ; ب] بعض الوظائف المستمرة و(س) أكبر من أو يساويبعض الوظائف المستمرة ز(س) ، فيمكن العثور على مساحة الشكل المقابل باستخدام الصيغة:

هنا لم تعد بحاجة إلى التفكير في مكان وجود الرقم - فوق المحور أو أسفل المحور، ولكن يهم الرسم البياني الذي هو أعلى(نسبة إلى رسم بياني آخر)، وأيهما أدناه.

في المثال قيد النظر، من الواضح أنه في المقطع يقع القطع المكافئ فوق الخط المستقيم، وبالتالي من 2 س – سيجب طرح 2 - س.

قد يبدو الحل المكتمل كما يلي:

الرقم المطلوب محدود بقطع مكافئ ذ = 2س – س 2 في الأعلى ومستقيم ذ = -سأقل.

على الجزء 2 س – س 2 ≥ -س. وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة: .

وفي الحقيقة فإن الصيغة المدرسية لمساحة شبه المنحرف المنحني في النصف السفلي من المستوى (أنظر المثال رقم 3) هي حالة خاصة من الصيغة

.

لأن المحور ثورتعطى بواسطة المعادلة ذ= 0، والرسم البياني للوظيفة ز(س) يقع أسفل المحور ثور، الذي - التي

.

والآن بعض الأمثلة للحل الخاص بك

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

عند حل المسائل التي تتضمن حساب المساحة باستخدام تكامل محدد، تحدث أحيانًا حادثة مضحكة. لقد تم الرسم بشكل صحيح، وكانت الحسابات صحيحة، ولكن بسبب الإهمال... تم العثور على منطقة الرقم الخطأ.

مثال 7

أولاً لنقم بالرسم:

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). ولكن من الناحية العملية، وبسبب عدم الانتباه، غالبًا ما يقرر الأشخاص أنهم بحاجة إلى العثور على مساحة الشكل المظلل باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا لأنه يحسب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) على الجزء [-1؛ 1] فوق المحور ثوريقع الرسم البياني مباشرة ذ = س+1;

2) على قطعة فوق المحور ثوريقع الرسم البياني للقطع الزائد ذ = (2/س).

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق، وبالتالي:

إجابة:

مثال 8

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

دعونا نعرض المعادلات في صيغة "المدرسة".

وقم بعمل رسم نقطة بنقطة:

يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد": ب = 1.

ولكن ما هو الحد الأدنى؟! من الواضح أن هذا ليس عددا صحيحا، ولكن ما هو؟

ربما، أ=(-1/3)؟ ولكن أين هو الضمان الذي يتم به الرسم بدقة مثالية، قد يكون ذلك جيدا أ=(-1/4). ماذا لو بنينا الرسم البياني بشكل غير صحيح؟

في مثل هذه الحالات، عليك قضاء وقت إضافي وتوضيح حدود التكامل تحليليا.

دعونا نجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية

للقيام بذلك، نحل المعادلة:

.

لذلك، أ=(-1/3).

الحل الآخر تافه. الشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات. الحسابات هنا ليست أبسط. على الجزء

, ,

وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة:

في ختام الدرس، دعونا نلقي نظرة على مهمتين أكثر صعوبة.

مثال 9

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

الحل: لنرسم هذا الشكل في الرسم.

لإنشاء رسم نقطة بنقطة، تحتاج إلى معرفة مظهر الجيوب الأنفية. بشكل عام، من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الأولية، وكذلك بعض قيم الجيب. يمكن العثور عليها في جدول القيم الدوال المثلثية. في بعض الحالات (على سبيل المثال، في هذه الحالة)، من الممكن إنشاء رسم تخطيطي، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل بشكل صحيح بشكل أساسي.

لا توجد مشاكل مع حدود التكامل هنا، فهي تتبع الشرط مباشرة:

- يتغير "x" من صفر إلى "pi". دعونا نتخذ قرارًا آخر:

على قطعة، الرسم البياني للدالة ذ= الخطيئة 3 ستقع فوق المحور ثور، لهذا السبب:

(1) يمكنك أن ترى كيف يتم دمج جيب الجيب وجيب التمام في القوى الفردية في الدرس تكاملات الدوال المثلثية. نحن نقرص جيبًا واحدًا.

(2) نستخدم الهوية المثلثية الرئيسية في النموذج

(3) دعونا نغير المتغير ر=cos س، إذن: يقع فوق المحور، وبالتالي:

.

.

ملحوظة:لاحظ كيف يتم أخذ تكامل المماس المكعب؛ ويتم استخدام النتيجة الطبيعية للهوية المثلثية الأساسية هنا

.

المهمة رقم 3. قم بعمل رسم وحساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط

تطبيق التكامل في حل المسائل التطبيقية

حساب المساحة

التكامل المحدد للدالة المستمرة غير السالبة f(x) يساوي عدديًامساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحدها المنحنى y = f(x) والمحور O x والخطوط المستقيمة x = a و x = b. ووفقاً لهذا يتم كتابة معادلة المساحة على النحو التالي:

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لحساب مساحات الأشكال المستوية.

المهمة رقم 1. احسب المساحة المحددة بالخطوط y = x 2 +1، y = 0، x = 0، x = 2.

حل.دعونا نبني الشكل الذي سيتعين علينا حساب مساحته.

y = x 2 + 1 هو قطع مكافئ تتجه فروعه نحو الأعلى، ويتم إزاحة القطع المكافئ لأعلى بالنسبة إلى المحور O y بمقدار وحدة واحدة (الشكل 1).

الشكل 1. رسم بياني للدالة y = x 2 + 1

المهمة رقم 2. احسب المساحة المحددة بالخطوط y = x 2 – 1، y = 0 في النطاق من 0 إلى 1.

حل.الرسم البياني لهذه الدالة عبارة عن قطع مكافئ من الفروع التي يتم توجيهها لأعلى، ويتم إزاحة القطع المكافئ بالنسبة إلى المحور O y لأسفل بمقدار وحدة واحدة (الشكل 2).

الشكل 2. رسم بياني للدالة y = x 2 – 1

المهمة رقم 3. قم بعمل رسم وحساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط

ص = 8 + 2س – س 2 و ص = 2س – 4.

حل.أول هذين الخطين عبارة عن قطع مكافئ تتجه فروعه إلى الأسفل، حيث أن معامل x 2 سلبي، والخط الثاني عبارة عن خط مستقيم يتقاطع مع محوري الإحداثيات.

لإنشاء قطع مكافئ، نجد إحداثيات رأسه: y’=2 – 2x; 2 – 2س = 0، س = 1 – حدود الرأس؛ y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 هو الإحداثي، N(1;9) هو الرأس.

الآن لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم من خلال حل نظام المعادلات:

مساواة الأطراف اليمنى في المعادلة التي يكون طرفاها الأيسر متساويين.

نحصل على 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 أو x 2 – 12 = 0، ومن هنا .

لذا، فإن النقاط هي نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم (الشكل 1).

الشكل 3 الرسوم البيانية للوظائف y = 8 + 2x – x 2 و y = 2x – 4

لنرسم خطًا مستقيمًا y = 2x – 4. ويمر بالنقاط (0;-4)، (2;0) على محاور الإحداثيات.

لإنشاء القطع المكافئ، يمكنك أيضًا استخدام نقاط تقاطعه مع المحور 0x، أي جذور المعادلة 8 + 2x – x 2 = 0 أو x 2 – 2x – 8 = 0. باستخدام نظرية فييتا، يكون الأمر سهلاً لإيجاد جذوره: x 1 = 2، x 2 = 4.

ويبين الشكل 3 شكلاً (القطعة المكافئة M 1 N M 2) يحدها هذه الخطوط.

الجزء الثاني من المشكلة هو إيجاد مساحة هذا الشكل. يمكن العثور على مساحتها باستخدام تكامل محدد وفقًا للصيغة .

وبالعلاقة مع هذا الشرط نحصل على التكامل:

2 حساب حجم الجسم الدوراني

يتم حساب حجم الجسم الناتج من دوران المنحنى y = f(x) حول المحور O x بالصيغة:

عند الدوران حول المحور O، تبدو الصيغة كما يلي:

المهمة رقم 4. حدد حجم الجسم الناتج من دوران شبه منحرف منحني يحده خطوط مستقيمة x = 0 x = 3 ومنحني y = حول المحور O x.

حل.دعونا نرسم صورة (الشكل 4).

الشكل 4. رسم بياني للدالة y =

الحجم المطلوب هو

المهمة رقم 5. احسب حجم الجسم الناتج من دوران شبه منحرف منحني يحده المنحنى y = x 2 والخطين المستقيمين y = 0 و y = 4 حول المحور O y.

حل.لدينا:

أسئلة المراجعة

ستتعلم في هذه المقالة كيفية العثور على مساحة الشكل المحدد بخطوط باستخدام الحسابات التكاملية. نواجه صياغة مثل هذه المشكلة لأول مرة في المدرسة الثانوية، عندما انتهينا للتو من دراسة التكاملات المحددة وحان الوقت لبدء التفسير الهندسي للمعرفة المكتسبة عمليًا.

إذن، ما هو المطلوب لحل مشكلة إيجاد مساحة الشكل بنجاح باستخدام التكاملات:

• القدرة على عمل رسومات مختصة؛
• القدرة على حل تكامل محدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز المعروفة؛
• القدرة على "رؤية" خيار الحل الأكثر ربحية - أي. هل تفهم كيف سيكون تنفيذ التكامل أكثر ملاءمة في حالة أو أخرى؟ على طول المحور السيني (OX) أو المحور الصادي (OY)؟
• حسنًا، أين سنكون بدون الحسابات الصحيحة؟) وهذا يتضمن فهم كيفية حل هذا النوع الآخر من التكاملات والحسابات الرقمية الصحيحة.

خوارزمية حل مشكلة حساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط:

1. نحن نبني الرسم. من المستحسن القيام بذلك على قطعة من الورق متقلب، على نطاق واسع. نوقع اسم هذه الوظيفة بقلم رصاص فوق كل رسم بياني. يتم التوقيع على الرسوم البيانية فقط لتسهيل إجراء المزيد من الحسابات. بعد تلقي رسم بياني للشكل المطلوب، سيكون من الواضح في معظم الحالات على الفور حدود التكامل التي سيتم استخدامها. وهكذا نحل المشكلة بيانيا. ومع ذلك، يحدث أن تكون قيم النهايات كسرية أو غير منطقية. لذلك، يمكنك إجراء حسابات إضافية، انتقل إلى الخطوة الثانية.

2. إذا لم يتم تحديد حدود التكامل بشكل صريح، فإننا نجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية مع بعضها البعض ونرى ما إذا كان حلنا الرسومي يتطابق مع الحل التحليلي.

3. بعد ذلك، تحتاج إلى تحليل الرسم. اعتمادًا على كيفية ترتيب الرسوم البيانية للدالة، هناك طرق مختلفة للعثور على مساحة الشكل. دعونا نلقي نظرة على أمثلة مختلفة لإيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات.

3.1. النسخة الأكثر كلاسيكية وبساطة من المشكلة هي عندما تحتاج إلى العثور على مساحة شبه منحرف منحني. ما هو شبه منحرف منحني؟ هذا شكل مسطح محدود بالمحور السيني (ص = 0)، مستقيم س = أ، س = بوأي منحنى مستمر على الفترة من أل ب. علاوة على ذلك، فإن هذا الرقم غير سلبي ولا يقع تحت المحور السيني. في هذه الحالة، فإن مساحة شبه المنحرف المنحني تساوي عدديًا تكاملًا معينًا، يتم حسابه باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

مثال 1 ص = س2 - 3س + 3، س = 1، س = 3، ص = 0.

ما هي الخطوط التي يحدها الشكل؟ لدينا قطع مكافئ ص = س2 - 3س + 3الذي يقع فوق المحور أوه، فهو غير سلبي، لأنه جميع نقاط هذا القطع المكافئ لها قيم موجبة. بعد ذلك، نظرا للخطوط المستقيمة س = 1و س = 3، والتي تعمل بالتوازي مع المحور المرجع أمبير، هي الخطوط الحدودية للشكل على اليسار واليمين. حسنًا ص = 0، وهو أيضًا المحور السيني، الذي يحد الشكل من الأسفل. الشكل الناتج مظلل، كما يمكن رؤيته من الشكل الموجود على اليسار. في هذه الحالة، يمكنك البدء فورًا في حل المشكلة. أمامنا مثال بسيط على شبه منحرف منحني، والذي يمكننا حله أيضًا باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز.

3.2. في الفقرة 3.1 السابقة، قمنا بدراسة الحالة عندما يقع شبه منحرف منحني فوق المحور السيني. الآن فكر في الحالة التي تكون فيها شروط المشكلة هي نفسها، فيما عدا أن الدالة تقع تحت المحور السيني. تتم إضافة علامة ناقص إلى صيغة نيوتن-لايبنتز القياسية. سننظر في كيفية حل هذه المشكلة أدناه.

مثال 2 . حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط ص = x2 + 6x + 2، x = -4، x = -1، y = 0.

في هذا المثال لدينا القطع المكافئ ص = س2 + 6س + 2، والذي ينبع من المحور أوه، مستقيم س = -4، س = -1، ص = 0. هنا ص = 0يحد الرقم المطلوب من فوق. مباشر س = -4و س = -1هذه هي الحدود التي سيتم من خلالها حساب التكامل المحدد. يتطابق مبدأ حل مشكلة إيجاد مساحة الشكل بشكل شبه كامل مع المثال رقم 1. والفرق الوحيد هو أن الدالة المعطاة ليست موجبة، وهي أيضًا مستمرة على الفاصل الزمني [-4; -1] . ماذا تقصد غير إيجابية؟ كما يتبين من الشكل، فإن الشكل الذي يقع ضمن علامة x المحددة له إحداثيات "سلبية" حصريًا، وهو ما نحتاج إلى رؤيته وتذكره عند حل المشكلة. نبحث عن مساحة الشكل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز، مع وضع علامة الطرح في البداية فقط.

المقال لم يكتمل.

في الواقع، من أجل العثور على مساحة الشكل، لا تحتاج إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدد والمحدد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذلك ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مشكلة أكثر إلحاحًا. في هذا الصدد، من المفيد تحديث ذاكرتك بالرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية، وعلى الأقل، تكون قادرًا على إنشاء خط مستقيم وقطع زائد.

شبه المنحرف المنحني هو شكل مسطح يحده محور وخطوط مستقيمة ورسم بياني لدالة مستمرة على قطعة لا تتغير الإشارة في هذه الفترة. دع هذا الرقم يكون موجودا ليس أقلالمحور السيني:

ثم مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع تساوي عدديا تكاملا محددا. أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا.

من وجهة نظر الهندسة، التكامل المحدد هو المنطقة.

إنه،تكامل معين (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل معين. على سبيل المثال، النظر في التكامل المحدد. يحدد التكامل منحنى على المستوى الموجود فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في ذلك يمكنهم رسم رسم)، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحرف المنحني المقابل.

مثال 1

هذا هو بيان مهمة نموذجية. النقطة الأولى والأكثر أهمية في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك، يجب بناء الرسم يمين.

عند إنشاء الرسم، أوصي بالترتيب التالي: في البدايةفمن الأفضل بناء جميع الخطوط المستقيمة (إذا كانت موجودة) وفقط ثم- القطع المكافئ، القطع الزائد، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. يعد بناء الرسوم البيانية للوظائف أكثر ربحية نقطة بنقطة.

في هذه المشكلة، قد يبدو الحل هكذا.
لنرسم الرسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

يوجد على المقطع رسم بياني للوظيفة فوق المحور، لهذا السبب:

إجابة:

بعد اكتمال المهمة، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا، سيكون هناك حوالي 9، يبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا على الإجابة، على سبيل المثال: 20 وحدة مربعة، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني، على الأكثر عشرات. إذا كانت الإجابة سلبية، فقد تم حل المهمة بشكل غير صحيح.

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ومحاور الإحداثيات.

حل: لنقم بالرسم:

إذا كان موجودا شبه منحرف منحني تحت المحور(أو على الأقل لا أعلىالمحور المحدد)، فيمكن إيجاد مساحتها باستخدام الصيغة:

في هذه الحالة:

انتباه! ولا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد دون أي معنى هندسي، فقد يكون سالبًا.

2) إذا طلب منك إيجاد مساحة شكل ما باستخدام تكامل محدد، فإن المساحة تكون موجبة دائمًا! ولهذا السبب يظهر الطرح في الصيغة التي تمت مناقشتها للتو.

في الممارسة العملية، غالبا ما يقع الرقم في كل من المستوى العلوي والسفلي، وبالتالي، من أبسط المهام المدرسية ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المستوي المحدود بالخطوط .

حل: أولا تحتاج إلى إكمال الرسم. بشكل عام، عند إنشاء رسم في مسائل المساحة، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم. يمكن القيام بذلك بطريقتين. الطريقة الأولى هي التحليلية. نحن نحل المعادلة:

وهذا يعني أن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.

إذا كان ذلك ممكنا، فمن الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة..

إن بناء الخطوط نقطة تلو الأخرى أكثر ربحية وأسرع بكثير، وتصبح حدود التكامل واضحة "في حد ذاتها". ومع ذلك، لا يزال يتعين في بعض الأحيان استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود، على سبيل المثال، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بدرجة كافية، أو إذا لم يكشف البناء التفصيلي عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

دعنا نعود إلى مهمتنا: من الأكثر عقلانية أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطعًا مكافئًا. لنقم بالرسم:

والآن صيغة العمل: إذا كان هناك بعض الوظائف المستمرة في المقطع أكبر من أو يساويبعض الدوال المستمرة، فيمكن إيجاد مساحة الشكل المحدود بالتمثيلات البيانية لهذه الدوال والخطوط باستخدام الصيغة:

هنا لم تعد بحاجة إلى التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفله، وبشكل تقريبي، يهم الرسم البياني الذي هو أعلى(نسبة إلى رسم بياني آخر)، وأيهما أدناه.

في المثال قيد النظر، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم، وبالتالي من الضروري الطرح منه

قد يبدو الحل المكتمل كما يلي:

الشكل المطلوب محدود بقطع مكافئ في الأعلى وخط مستقيم في الأسفل.
على المقطع حسب الصيغة المقابلة:

إجابة:

مثال 4

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط , , .

حل: أولا، دعونا نرسم:

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). لكن من الناحية العملية، وبسبب عدم الانتباه، غالباً ما يحدث "خلل" يجعلك بحاجة إلى العثور على مساحة الشكل المظلل باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا لأنه يحسب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين.

حقًا:

1) يوجد في الجزء الموجود فوق المحور رسم بياني لخط مستقيم؛

2) يوجد في المقطع الموجود فوق المحور رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق، وبالتالي: