حل عدم المساواة مع المعامل. طريقة الفاصل هي طريقة عالمية لحل عدم المساواة باستخدام المعامل

المؤسسة التعليمية البلدية "مدرسة خفاستوفيتشي الثانوية"

"الطريقة الفاصلة لحل المعادلات والمتباينات بوحدات متعددة"

ورقة بحثية في الرياضيات

مكتمل:

طالب في الصف العاشر

جوليشيفا إيفجينيا

مشرف:

مدرس الرياضيات

شابينسكايا إن.

مقدمة ……………………………………………………………….3 الفصل الأول: طرق حل المشكلات بعدة وحدات …… …………… …………………… 4 1.1.تعريف الوحدة النمطية. الحل حسب التعريف.........4 1.2 حل المعادلات ذات الوحدات المتعددة باستخدام طريقة الفواصل......5 1.3 . مشاكل مع وحدات متعددة. طرق الحل………………………….7 1.4. طريقة الفترات في المسائل مع الوحدات……………………………………9 الفصل الثاني. المعادلات والمتباينات التي تحتوي على الوحدات……………………….11 2.1 حل المعادلات ذات عدة وحدات باستخدام طريقة الفاصل..….11 2.2 حل المتباينات ذات عدة وحدات باستخدام طريقة الفاصل.…13 الاستنتاج………………………………………………… ……………………… 15 الأدب ………………………………………………………………………… 16

مقدمة

يعد مفهوم القيمة المطلقة من أهم خصائص العدد سواء في مجال الأعداد الحقيقية أو المركبة. يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع ليس فقط في أقسام مختلفة من دورة الرياضيات المدرسية، ولكن أيضًا في دورات الرياضيات العليا والفيزياء والعلوم التقنية التي تتم دراستها في الجامعات. غالبًا ما توجد المشكلات المتعلقة بالقيم المطلقة في أولمبياد الرياضيات وامتحانات القبول بالجامعات وامتحان الدولة الموحدة.

موضوع:"طريقة الفاصل الزمني لحل المعادلات والمتباينات ذات الوحدات المتعددة بطريقة الفاصل الزمني."

مجال الهدف:الرياضيات.

موضوع الدراسة:حل المعادلات والمتباينات بالمعامل.

موضوع البحث:طريقة الفاصل الزمني لحل مع عدة وحدات.

الغرض من الدراسة:التعرف على فعالية حل المعادلات والمتباينات بعدة وحدات باستخدام طريقة الفترات.

فرضية:إذا كنت تستخدم طريقة الفاصل الزمني لحل المتباينات والمعادلات باستخدام عدة وحدات، فيمكنك تبسيط عملك بشكل كبير.

طرق العمل:جمع المعلومات وتحليلها.

المهام:

دراسة الأدبيات حول هذا الموضوع.

فكر في حلول المتباينات والمعادلات ذات الوحدات المتعددة.

تحديد الحل الأكثر فعالية.

التركيز العملي للمشروع:

يمكن استخدام هذا العمل كوسيلة تعليمية للطلاب وأداة تعليمية للمعلمين.

الفصل 1.

1.1. تعريف الوحدة النمطية. الحل حسب التعريف.

بحكم التعريف، فإن المعامل، أو القيمة المطلقة، لعدد غير سالب a يتطابق مع الرقم نفسه، ومعامل الرقم السالب يساوي الرقم المقابل، أي:

معامل الرقم دائمًا غير سالب. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

مثال 1.حل المعادلة |–x| = -3.

ولا داعي لتحليل الحالات هنا، لأن القيمة المطلقة لعدد ما تكون دائما غير سالبة، وهذا يعني أن هذه المعادلة ليس لها حلول.

دعونا نكتب الحل لهذه المعادلات البسيطة في الصورة العامة:

مثال 2.حل المعادلة |x| = 2 - س.

حل. عند x 0 لدينا المعادلة x = 2 - x، أي. x = 1. بما أن 1 0, x = 1 هو جذر المعادلة الأصلية. وفي الحالة الثانية (س

الجواب: س = 1.

مثال 3.حل المعادلة 3|س – 3| + س = -1.

حل. هنا يتم تحديد التقسيم إلى حالات بواسطة إشارة التعبير x – 3. بالنسبة لـ x – 3 ³ 0 لدينا 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. لكن 2 – 3 0.

الجواب: المعادلة ليس لها جذور.

مثال 4.حل المعادلة |x – 1| = 1 - س.

حل. بما أن 1 - x = - (x - 1)، يتبع مباشرة من تعريف المعامل أن المعادلة تتحقق بهؤلاء وفقط أولئك x الذين x - 1 0. وقد تم اختزال هذه المعادلة إلى متباينة، و الجواب هو الفترة بأكملها (شعاع).

الجواب: × 1.

1.2. حل المعادلات ذات المعامل باستخدام الأنظمة.

تسمح لنا الأمثلة التي تمت مناقشتها سابقًا بصياغة قواعد لإزالة معامل تسجيل الدخول في المعادلات. للمعادلات من الصيغة |f(x)| = g(x) هناك قاعدتان من هذا القبيل:

القاعدة الأولى: |f(x)| = ز(س) Û (1)
القاعدة الثانية: |f(x)| = ز(س) Û (2)

دعونا نشرح الترميز المستخدم هنا. تمثل الأقواس المتعرجة الأنظمة، وتمثل الأقواس المربعة المجاميع.

حلول نظام المعادلات هي قيم المتغير التي تلبي جميع معادلات النظام في وقت واحد.

حلول مجموعة من المعادلات هي جميع قيم المتغير، كل منها هو جذر واحدة على الأقل من المعادلات في المجموعة.

تكون المعادلتان متكافئتين إذا كان حل كل منهما هو حل للأخرى أيضًا، أي إذا تطابقت مجموعتا حلولهما.

إذا كانت المعادلة تحتوي على عدة وحدات، فيمكنك التخلص منها واحدة تلو الأخرى باستخدام القواعد المحددة. ولكن عادة ما تكون هناك طرق أقصر. سنتعرف عليها لاحقا، لكن الآن دعونا نلقي نظرة على حل أبسط هذه المعادلات:

|و(س)| = |ز(س)| Û

يأتي هذا التكافؤ من حقيقة واضحة مفادها أنه إذا كانت القيم المطلقة لعددين متساويتين، فإن الأرقام نفسها إما متساوية أو متضادة.

مثال 1. حل المعادلة |x 2 – 7x + 11| = س + 1.
حل. دعونا نتخلص من الوحدة بطريقتين موضحتين أعلاه:

الطريقة الأولى: الطريقة الثانية:

كما ترون، في كلتا الحالتين علينا حل نفس المعادلتين التربيعيتين، لكن في الحالة الأولى تكون مصحوبة بمتباينات تربيعية، وفي الثانية بمتباينات خطية. ولذلك فإن الطريقة الثانية لهذه المعادلة هي أبسط. عند حل المعادلات التربيعية نجد جذور الأول، كلا الجذرين يحققان المتراجحة. مميز المعادلة الثانية سالب، وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور.

إجابة: .
مثال 2. حل المعادلة |x 2 – x – 6| = |2س 2 + س – 1|.

حل. نحن نعلم بالفعل أنه ليست هناك حاجة للنظر في (ما يصل إلى 4) متغيرات لتوزيع علامات التعبيرات ضمن الوحدات هنا: هذه المعادلة تعادل مجموعة من معادلتين تربيعيتين دون أي متباينات إضافية: والتي تعادل: المعادلة الأولى لمجموعة الحلول ليس لها (مميزها سلبي)، والثانية أن المعادلة لها جذرين.

1.3. مشاكل مع وحدات متعددة. طرق الحل.

التوسع المتسلسل للوحدات.

هناك طريقتان رئيسيتان لحل المعادلات والمتباينات التي تحتوي على وحدات متعددة. يمكننا أن نسميها "المسلسل" و "الموازية". الآن دعونا نتعرف على أولهم.

وتتمثل فكرتها في عزل الوحدة الأولى من الوحدات في جزء واحد من المعادلة (أو عدم المساواة) ويتم الكشف عنها باستخدام إحدى الطرق الموصوفة سابقًا. ثم يتكرر الأمر نفسه مع كل من المعادلات الناتجة ذات الوحدات وهكذا حتى نتخلص من جميع الوحدات.

مثال 1.حل المعادلة: +

حل. لنعزل الوحدة الثانية ونوسعها باستخدام الطريقة الأولى، أي ببساطة تحديد القيمة المطلقة:

نطبق على المعادلتين الناتجتين الطريقة الثانية لإزالة الوحدة:

وأخيرًا، نحل المعادلات الخطية الأربع الناتجة ونختار الجذور التي تحقق المتباينات المقابلة. ونتيجة لذلك، تبقى قيمتان فقط: x = –1 و .

الجواب: -1؛ .

التوسع الموازي للوحدات.

يمكنك إزالة جميع الوحدات في المعادلة أو المتباينة مرة واحدة وكتابة جميع المجموعات الممكنة من علامات التعبيرات الجزئية. إذا كانت هناك وحدات n في المعادلة، فسيكون هناك خياران n، لأن كل تعبير من التعبيرات n ضمن الوحدة، عند إزالة الوحدة، يمكن أن يتلقى إحدى العلامتين - زائد أو ناقص. من حيث المبدأ، نحن بحاجة إلى حل جميع المعادلات (أو المتباينات) ذات العدد 2n، خالية من المقاييس. لكن حلولهم لن تكون أيضًا حلولاً للمشكلة الأصلية إلا إذا كانت تقع في مناطق تتطابق فيها المعادلة المقابلة (عدم المساواة) مع المعادلة الأصلية. يتم تعريف هذه المناطق من خلال علامات التعبيرات الموجودة أسفل الوحدات. لقد قمنا بالفعل بحل المتباينة التالية، لذا يمكنك مقارنة الطرق المختلفة لحلها.

مثال 2.+
حل.

دعونا نفكر في 4 مجموعات محتملة من الرموز للتعبيرات ضمن الوحدات النمطية.

فقط الجذران الأول والثالث من هذه الجذور يحققان المتباينات المقابلة، وبالتالي المعادلة الأصلية.

الجواب: -1؛ .

وبالمثل، يمكنك حل أي مشاكل مع عدة وحدات. ولكن، مثل أي طريقة عالمية، فإن هذا الحل ليس هو الأمثل دائمًا. أدناه سنرى كيف يمكن تحسينه.

1.4. طريقة الفاصل في مشاكل الوحدات

بإلقاء نظرة فاحصة على الشروط التي تحدد خيارات مختلفة لتوزيع علامات التعبيرات الجزئية في الحل السابق، سنرى أن أحدها، 1 – 3x

تخيل أننا نحل معادلة تتضمن ثلاث وحدات من التعبيرات الخطية؛ على سبيل المثال، |x – a| + |س – ب| + |س – ج| = م.

الوحدة الأولى تساوي x – a لـ x ³ a و a – x ​​​​لـ x b و x

أنها تشكل أربعة مسافات. في كل منها، يحتفظ كل تعبير ضمن الوحدات بعلامته، وبالتالي فإن المعادلة ككل بعد توسيع الوحدات لها نفس الشكل في كل فترة. لذلك، من بين 8 خيارات ممكنة من الناحية النظرية لفتح الوحدات، تبين أن 4 فقط كافية بالنسبة لنا!

يمكنك أيضًا حل أي مشكلة باستخدام عدة وحدات. وهي أن المحور العددي مقسم إلى فترات ذات إشارة ثابتة لجميع التعبيرات ضمن الوحدات، ثم يتم حل المعادلة أو المتباينة التي تتحول إليها المشكلة المحددة في هذه الفترة على كل منها. على وجه الخصوص، إذا كانت جميع التعبيرات ضمن الوحدات عقلانية، فإنه يكفي تحديد جذورها على المحور، وكذلك النقاط التي لم يتم تعريفها فيها، أي جذور مقاماتها. تحدد النقاط المحددة الفواصل الزمنية المطلوبة للإشارة الثابتة. نحن نتصرف بنفس الطريقة تمامًا عند حل المتباينات الكسرية باستخدام طريقة الفترات. والطريقة التي وصفناها لحل المشكلات بالوحدات النمطية لها نفس الاسم.

مثال 1. حل المعادلة.

حل. دعونا نجد أصفار الدالة، من أين. نحن نحل المشكلة في كل فترة:

إذن، هذه المعادلة ليس لها حلول.

مثال 2. حل المعادلة.

حل. دعونا نجد أصفار الدالة. نحن نحل المشكلة في كل فترة:

1) (لا توجد حلول)؛

مثال 3. حل المعادلة.

حل. التعبيرات تحت علامة القيمة المطلقة تختفي عند . وبناء على ذلك، علينا أن ننظر إلى ثلاث حالات:

2) - جذر المعادلة؛

3) هو جذر هذه المعادلة.

الفصل 2. المعادلات والمتباينات التي تحتوي على وحدات.

2.1 حل المعادلات ذات الوحدات المتعددة باستخدام طريقة الفاصل.

مثال 1.

حل المعادلة:

|س+2| = |س-1|+س-3

-(س+2) = -(س-1) + س-3

س-2=-س+1+س-3

س=2 - غير مرضي

الشرط العاشر

لا توجد حلول

2. إذا -2×

س+2 = -(س-1)+س-3

يرضي

الحالة -2

3. إذا كان x≥1، إذن

الجواب: س=6

مثال 2.

حل المعادلة:

1) ابحث عن أصفار التعبيرات الجزئية

أصفار التعبيرات الجزئية تقسم خط الأعداد إلى عدة فترات. نقوم بترتيب علامات التعبيرات الجزئية على هذه الفترات.

في كل فترة نفتح الوحدات ونحل المعادلة الناتجة. بعد العثور على الجذر، نتحقق من أنه ينتمي إلى الفاصل الزمني الذي نعمل عليه حاليًا.

1. :

- يناسب.

2. :

- لا يصلح.

3. :

– يناسب.

4. :

- لا يصلح. إجابة:

2.2 حل المتباينات بعدة وحدات باستخدام طريقة الفترات.

مثال 1.

حل عدم المساواة:

|س-1| + |س-3| 4

-(س-1) - (س-3) 4

2. إذا كان 1×

س-1- (س-3) 4

24 غير صحيح

لا توجد حلول

3. إذا كان x≥3، إذن

الإجابة: xЄ (-∞;0) U (4;+∞)

مثال 2.

دعونا نحل عدم المساواة

حل. تقسم النقاط و (جذور التعبيرات الموجودة ضمن الوحدة النمطية) المحور العددي بأكمله إلى ثلاث فترات، يجب توسيع الوحدات عند كل منها.

1) متى ، ويكون للتفاوت الشكل ، أي . في هذه الحالة الجواب هو .

2) عندما يكون للمتباينة الشكل . هذه المتباينة صحيحة بالنسبة لأي قيم للمتغير، ومع الأخذ في الاعتبار أننا نحلها في المجموعة، نحصل على الإجابة في الحالة الثانية.

3) عندما تتحول المتراجحة إلى والحل في هذه الحالة هو . الحل العام للمتباينة هو الجمع بين الإجابات الثلاثة التي تم الحصول عليها.

وبالتالي، لحل المعادلات والمتباينات التي تحتوي على عدة وحدات، فمن الملائم استخدام طريقة الفاصل الزمني. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على أصفار جميع الوظائف الفرعية وتعيينها على ODZ للمعادلات والمتباينات.

خاتمة

في الآونة الأخيرة، تم استخدام الأساليب على نطاق واسع في الرياضيات لتبسيط حل المشكلات، ولا سيما طريقة الفترات، والتي يمكن أن تسرع العمليات الحسابية بشكل كبير. ولذلك، فإن دراسة طريقة الفاصل الزمني لحل المعادلات والمتباينات في عدة وحدات تعتبر ذات صلة.

أثناء العمل على موضوع "حل المعادلات والمتباينات التي تحتوي على مجهول تحت علامة المعامل باستخدام الطريقة الفاصلة"، قمت بدراسة الأدبيات المتعلقة بهذا الموضوع، وتعرفت على المنهج الجبري والرسومي لحل المعادلات والمتباينات التي تحتوي على مجهول غير معروف تحت علامة المعامل، وتوصل إلى الاستنتاج:

في بعض الحالات، عند حل المعادلات باستخدام المعامل، من الممكن حل المعادلات وفقًا للقواعد، وفي بعض الأحيان يكون استخدام طريقة الفاصل الزمني أكثر ملاءمة.

عند حل المعادلات والمتباينات التي تحتوي على معامل، تكون الطريقة الفاصلة أكثر وضوحًا وأبسط نسبيًا.

أثناء كتابتي لبحثي، اكتشفت العديد من المشكلات التي يمكن حلها باستخدام طريقة الفواصل الزمنية. المهمة الأكثر أهمية هي حل المعادلات والمتباينات بوحدات متعددة.

أثناء عملي على حل المتباينات والمعادلات بعدة وحدات باستخدام طريقة الفترات، وجدت أن سرعة حل المشكلات تضاعفت. يتيح لك ذلك تسريع عملية العمل بشكل كبير وتقليل تكاليف الوقت. وبالتالي، تم تأكيد فرضيتي "إذا استخدمت طريقة الفاصل الزمني لحل المتباينات والمعادلات باستخدام عدة وحدات، فيمكنك تبسيط عملك بشكل كبير". أثناء العمل في البحث، اكتسبت خبرة في حل المعادلات والمتباينات باستخدام وحدات متعددة. أعتقد أن المعرفة التي اكتسبتها ستسمح لي بتجنب الأخطاء عند اتخاذ القرارات.

الأدب

http://padabum.com

1. http://yukhym.com

   http://www.tutoronline.ru

   http://fizmat.by

   http://diffur.kemsu.ru

   http://solverbook.com

   زيلينسكي أ.س، بانفيلوف. حل المعادلات والمتباينات مع الوحدة الأولى. م: دار النشر المعملية، 2009. - 112 ص.

   أولنيك إس. بوتابوف م.ك. طرق الحل غير القياسية. م: دار النشر المعملية، 1997. - 219 ص.

   سيفريوكوف ب.ف.، سمولياكوف أ.ن. المعادلات والمتباينات مع المقاييس وطرق حلها. م: دار التنوير 2005. - 112 ص.

   سادوفنيتشي يو.في. امتحان الدولة الموحدة. ورشة عمل حول الرياضيات. حل المعادلات والمتباينات. تحويل التعبيرات الجبرية. م.: دار ليجن للنشر 2015 - 128 ص.

   شيفكين أ.ف. طريقة الفاصل. م: شركة ذات مسؤولية محدودة "الكلمة الروسية - كتاب تعليمي"، 2003. – 32 ص.

كلما زاد فهم الإنسان، زادت رغبته في الفهم

توما الأكويني

تتيح لك طريقة الفاصل الزمني حل أي معادلات تحتوي على معامل. جوهر هذه الطريقة هو تقسيم محور الأرقام إلى عدة أقسام (فواصل)، ويجب تقسيم المحور بواسطة أصفار التعبيرات في الوحدات. بعد ذلك، في كل قسم من الأقسام الناتجة، يكون كل تعبير فرعي إما موجبًا أو سالبًا. لذلك، يمكن فتح كل وحدة إما بعلامة الطرح أو بعلامة الجمع. بعد هذه الخطوات، كل ما تبقى هو حل كل من المعادلات البسيطة الناتجة في الفترة قيد النظر ودمج الإجابات التي تم الحصول عليها.

دعونا نلقي نظرة على هذه الطريقة باستخدام مثال محدد.

|س + 1| + |2x – 4| – |س + 3| = 2س - 6.

1) دعونا نجد أصفار التعبيرات في الوحدات. للقيام بذلك، علينا أن نساويهما بالصفر وحل المعادلات الناتجة.

س + 1 = 0 2س – 4 = 0 س + 3 = 0

س = -1 2س = 4 س = -3

2) ضع النقاط الناتجة بالترتيب المطلوب على خط الإحداثيات. وسوف يقسمون المحور بأكمله إلى أربعة أقسام.

3) دعونا نحدد على كل قسم من الأقسام الناتجة علامات التعبيرات في الوحدات. للقيام بذلك، نعوض فيها بأي أرقام من الفترات التي تهمنا. إذا كانت نتيجة الحساب رقماً موجباً نضع في الجدول "+"، وإذا كان الرقم سالباً نضع "-". ويمكن تصوير ذلك على النحو التالي:

4) الآن سوف نحل المعادلة في كل فترة من الفترات الأربع، ونكشف عن الوحدات بالإشارات الموضحة في الجدول. لذلك، دعونا ننظر إلى الفاصل الزمني الأول:

أنا الفاصل (-∞؛ -3). يتم فتح جميع الوحدات عليه بعلامة "-". نحصل على المعادلة التالية:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. دعونا نقدم مصطلحات مماثلة، مع فتح الأقواس أولاً في المعادلة الناتجة:

س – 1 – 2س + 4 + س + 3 = 2س – 6

لم يتم تضمين الإجابة المستلمة في الفاصل الزمني قيد النظر، لذلك ليس من الضروري كتابتها في الإجابة النهائية.

الفاصل الزمني الثاني [-3؛ -1). في هذا الفاصل الزمني في الجدول توجد علامات "-"، "-"، "+". هذه هي بالضبط الطريقة التي نفتح بها وحدات المعادلة الأصلية:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. لنبسط الأمر عن طريق فتح الأقواس:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. دعونا نعرض مثيلاتها في المعادلة الناتجة:

س = 6/5. الرقم الناتج لا ينتمي إلى الفترة قيد النظر، وبالتالي فهو ليس جذر المعادلة الأصلية.

الفاصل الزمني الثالث [-1؛ 2). نقوم بتوسيع وحدات المعادلة الأصلية بالإشارات التي تظهر في العمود الثالث في الشكل. نحصل على:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. دعونا نتخلص من الأقواس وننقل الحدود التي تحتوي على المتغير x إلى الجانب الأيسر من المعادلة، وتلك التي لا تحتوي على x إلى الحق. سيكون لدينا:

س + 1 – 2س + 4 – س – 3 = 2س – 6

لم يتم تضمين الرقم 2 في الفاصل الزمني قيد النظر.

الفاصل الزمني الرابع) - سوف يعتبرون هذا تلقائيًا إجابة غير صحيحة. أيضًا، عند الاختبار، إذا تم تقديم متباينة غير صارمة مع الوحدات، فابحث عن المناطق ذات الأقواس المربعة بين الحلول.

في الفترة (-3;0)، بتوسيع الوحدة، نقوم بتغيير إشارة الدالة إلى الإشارة المقابلة

مع الأخذ في الاعتبار مجال الكشف عن عدم المساواة، فإن الحل سيكون له النموذج

جنبا إلى جنب مع المنطقة السابقة، سيعطي هذا نصفين

مثال 5. أوجد حلاً للمتباينة
9x^2-|x-3|>=9x-2

حل:
يتم إعطاء متباينة غير صارمة تكون دالتها الجزئية تساوي الصفر عند النقطة x=3.<3.

بالنسبة للقيم الأصغر فهو سلبي، وبالنسبة للقيم الأكبر فهو موجب. قم بتوسيع الوحدة النمطية على الفاصل الزمني x

إيجاد مميز المعادلة

والجذور

بالتعويض بالنقطة صفر، نجد أنه على الفترة [-1/9;1] تكون الدالة التربيعية سالبة، وبالتالي فإن الفترة هي الحل. بعد ذلك نقوم بتوسيع الوحدة عند x>3 الرياضيات,

هو رمز لحكمة العلم,

نموذج للدقة العلمية والبساطة

معيار التميز والجمال في العلم.

الفيلسوف الروسي البروفيسور أ.ف. فولوشينوف

عدم المساواة مع معامل, أصعب المشاكل التي يجب حلها في الرياضيات المدرسية هي عدم المساواة

تحتوي على متغيرات تحت علامة المعامل. لحل هذه المتباينات بنجاح، يجب أن تكون لديك معرفة جيدة بخصائص الوحدة وأن تكون لديك المهارات اللازمة لاستخدامها.

المفاهيم والخصائص الأساسيةالمعامل (القيمة المطلقة) لعدد حقيقي يُشار إليه بـ

ويتم تعريفه على النحو التالي:

تتضمن الخصائص البسيطة للوحدة العلاقات التالية:

و . ملحوظة،

أن الخاصيتين الأخيرتين صالحتان لأي درجة زوجية.

علاوة على ذلك، إذا، أين، ثم و, خصائص وحدة أكثر تعقيدا, والتي يمكن استخدامها بشكل فعال عند حل المعادلات والمتباينات باستخدام الوحدات

يتم صياغتها من خلال النظريات التالية:النظرية 1.لأي وظائف تحليلية و.

عدم المساواة صحيحالنظرية 2. المساواة.

يعادل عدم المساواةالنظرية 3. المساواة.

المساواة, عدم المساواة الأكثر شيوعا في الرياضيات المدرسية, تحتوي على متغيرات غير معروفة تحت علامة المعاملهي عدم المساواة في النموذج وأين

بعض الثوابت الإيجابيةالنظرية 4. عدم المساواة, يعادل عدم المساواة المزدوجةوالحل لعدم المساواةيقلل من حل مجموعة من عدم المساواة

و .

هذه النظرية هي حالة خاصة من النظريتين 6 و 7., عدم المساواة أكثر تعقيداتحتوي على وحدة نمطية عدم المساواة في النموذج

، و .

يمكن صياغة طرق حل هذه المتباينات باستخدام النظريات الثلاث التالية.النظرية 5. يعادل الجمع بين نظامين من عدم المساواة

أنا (1)

دليل.منذ ذلك الحين

وهذا يدل على صحة (١).

النظرية 6.عدم المساواة يعادل نظام عدم المساواة

دليل.لأن ، ثم من عدم المساواةويترتب على ذلك . وفي ظل هذا الشرط، فإن عدم المساواةوفي هذه الحالة، فإن النظام الثاني للمتباينات (1) سوف يتبين أنه غير متسق.

لقد تم إثبات النظرية.

النظرية 7.النظرية 5. يعادل الجمع بين عدم المساواة ونظامين من عدم المساواة

أنا (3)

دليل.منذ ذلك الحين عدم المساواة يتم تنفيذه دائمًا، لو .

يترك ثم عدم المساواةسيكون معادلاً لعدم المساواة, والتي تتبع مجموعة من متباينتينيقلل من حل مجموعة من عدم المساواة

لقد تم إثبات النظرية.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة النموذجية لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "عدم المساواة"., تحتوي على متغيرات تحت علامة المعامل."

حل عدم المساواة مع المعامل

إن أبسط طريقة لحل عدم المساواة باستخدام المعامل هي الطريقة, على أساس توسيع الوحدة النمطية. هذه الطريقة عالمية, ومع ذلك، في الحالة العامة، يمكن أن يؤدي استخدامه إلى حسابات مرهقة للغاية. ولذلك، يجب أن يعرف الطلاب أساليب وتقنيات أخرى (أكثر فعالية) لحل مثل هذه عدم المساواة. بخاصة, فمن الضروري أن يكون لديك مهارات في تطبيق النظريات, الواردة في هذه المقالة.

مثال 1.حل عدم المساواة

. (4)

حل.سوف نقوم بحل المتراجحة (4) باستخدام الطريقة "الكلاسيكية" - طريقة الكشف عن الوحدات. ولهذا الغرض، نقسم محور الأعدادالنقاط و إلى فترات والنظر في ثلاث حالات.

1. إذا،،،،، ويأخذ عدم المساواة (4) هذا الشكلأو .

وبما أن القضية مطروحة هنا، فهي حل للتفاوت (٤).

2. إذا، ثم من عدم المساواة (4) نحصل عليهاأو . منذ تقاطع الفتراتلأي وظائف تحليلية فارغ, ثم في فترة الحل المدروسة لا توجد عدم مساواة (4).

3. إذا، ثم يأخذ عدم المساواة (4) الشكلأو . من الواضح أن هو أيضا حل لعدم المساواة (4).

إجابة: ، .

مثال 2.حل عدم المساواة.

حل.لنفترض ذلك. لأن ، ثم تأخذ عدم المساواة المعطاة الشكلأو . منذ ذلك الحين ومن هنا يتبعأو .

ومع ذلك، لذلك أو.

مثال 3.حل عدم المساواة

. (5)

حل.لأن ، فإن التفاوت (5) يعادل المتبايناتأو . من هنا، وفقا للنظرية 4, لدينا مجموعة من عدم المساواةيقلل من حل مجموعة من عدم المساواة

إجابة: ، .

مثال 4.حل عدم المساواة

. (6)

حل.دعونا نشير . ثم من عدم المساواة (6) نحصل على عدم المساواة أو .

من هنا، باستخدام طريقة الفاصل، نحصل على . لأن ، إذن هنا لدينا نظام من عدم المساواة

حل المتباينة الأولى للنظام (7) هو اتحاد فترتينو ، وحل المتباينة الثانية هو المتباينة المزدوجة. ويترتب على هذا، أن حل نظام المتباينات (7) هو اتحاد فترتينيقلل من حل مجموعة من عدم المساواة

إجابة: ،

مثال 5.حل عدم المساواة

. (8)

حل. دعونا نحول عدم المساواة (8) على النحو التالي:

أو .

باستخدام طريقة الفاصل, نحصل على حل لعدم المساواة (8).

إجابة: .

ملحوظة. وإذا وضعنا في شروط النظرية 5 نحصل على .

مثال 6.حل عدم المساواة

. (9)

حل. ومن عدم المساواة (9) يتبع. دعونا نحول عدم المساواة (9) على النحو التالي:

أو

منذ ذلك الحين أو.

إجابة: .

مثال 7.حل عدم المساواة

. (10)

حل.منذ و ، ثم أو .

في هذا الصدد ويأخذ عدم المساواة (10) هذا الشكل

أو

. (11)

ويترتب على ذلك أو. وبما أن عدم المساواة (11) تعني أيضًا أو.

إجابة: .

ملحوظة. إذا طبقنا النظرية 1 على الجانب الأيسر من عدم المساواة (10)، ثم نحصل . ويترتب على ذلك عدم المساواة (١٠).، ماذا أو . لأن ، ثم يأخذ عدم المساواة (10) الشكلأو .

مثال 8.حل عدم المساواة

. (12)

حل.منذ ذلك الحين ومن عدم المساواة (12) يتبعأو . ومع ذلك، لذلك أو. من هنا نحصل على أو .

إجابة: .

مثال 9.حل عدم المساواة

. (13)

حل.وفقا للنظرية 7، فإن حل عدم المساواة (13) هو أو .

فليكن الآن. في هذه الحالة ويأخذ عدم المساواة (13) هذا الشكلأو .

إذا قمت بدمج الفواصل الزمنيةو ، ثم حصلنا على حل للمتباينة (13) من النموذج.

مثال 10.حل عدم المساواة

. (14)

حل.دعونا نعيد كتابة المتباينة (14) بصيغة مكافئة: . إذا طبقنا النظرية 1 على الجانب الأيسر من هذه المتباينة، فسنحصل على المتباينة.

من هذا والنظرية 1 يتبع, أن عدم المساواة (14) محققة لأي قيم.

الجواب: أي رقم.

مثال 11.حل عدم المساواة

. (15)

حل. تطبيق النظرية 1 على الجانب الأيسر من عدم المساواة (15)، نحصل على . هذا وعدم المساواة (15) ينتجان المعادلة, الذي لديه النموذج.

وفقا للنظرية 3المعادلة المساواة. من هنا نحصل.

مثال 12.حل عدم المساواة

. (16)

حل. من عدم المساواة (16)، وفقا للنظرية 4، نحصل على نظام من عدم المساواة

عند حل عدم المساواةدعونا نستخدم النظرية 6 ونحصل على نظام عدم المساواةالذي يتبع منه.

خذ بعين الاعتبار عدم المساواة. وفقا للنظرية 7, نحصل على مجموعة من عدم المساواةو . التفاوت السكاني الثاني صالح لأي حقيقي.

لذلك ، الحل لعدم المساواة (16) هو.

مثال 13.حل عدم المساواة

. (17)

حل.وفقا للنظرية 1، يمكننا أن نكتب

(18)

ومع مراعاة التفاوت (17) نستنتج أن كلا التفاوتين (18) يتحولان إلى مساواة، أي إلى مساواة. هناك نظام المعادلات

حسب النظرية 3، فإن نظام المعادلات هذا يعادل نظام المتباينات

أو

مثال 14.حل عدم المساواة

. (19)

حل.منذ ذلك الحين. دعونا نضرب طرفي المتباينة (19) بالتعبير الذي يأخذ القيم الموجبة فقط لأي قيم. ومن ثم نحصل على متباينة تعادل المتباينة (19) من الصورة

من هنا نصل أو أين . منذ و فإن حل عدم المساواة (19) هويقلل من حل مجموعة من عدم المساواة

إجابة: ، .

لإجراء دراسة أكثر تعمقًا لأساليب حل عدم المساواة باستخدام المعامل، نوصي بالتحول إلى الكتب المدرسية, الواردة في قائمة الأدبيات الموصى بها.

1. مجموعة من المشاكل في الرياضيات للمتقدمين للكليات / إد. م. سكانافي. – م: السلام والتعليم، 2013. – 608 ص.

2. سوبرون ف.ب. الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية: طرق حل وإثبات المتباينات. - م: ليناند / URSS، 2018. – 264 ص.

3. سوبرون ف.ب. الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية: الأساليب غير القياسية لحل المشكلات. – م.: قرص مضغوط “Librocom” / URSS، 2017. – 296 ص.

لا تزال لديك أسئلة؟

للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.