بناء أقسام متعدد السطوح باستخدام مثال المنشور. الدرس العملي: "بناء مقاطع متوازية"

أهداف الدرس:فكر في حل المشكلات المتعلقة بإنشاء المقاطع إذا كانت نقطتان من المقطع تنتميان إلى نفس الوجه.

خلال الفصول الدراسية

تعلم مفاهيم جديدة
التعريف 1. مستوى القطع لمتعدد السطوح هو أي مستوى توجد على جانبيه نقاط من متعدد السطوح المحدد.
التعريف 2. قسم متعدد السطوح هو مضلع تكون أضلاعه هي الأجزاء التي يتقاطع على طولها مستوى القطع مع وجوه متعدد السطوح.
يمارس. قم بتسمية المقاطع التي يتقاطع بها مستوى القطع مع وجوه متوازي السطوح (الشكل 1). قم بتسمية مقطع متوازي السطوح.

الإجراءات الأساسية عند إنشاء الأقسام

	اساس نظرى	إجابة
1. كيفية التحقق مما إذا كان القسم قد تم إنشاؤه أم لا	تعريف القسم	يجب أن يكون مضلعًا تنتمي أضلاعه إلى وجوه متعدد السطوح
2. قبل بدء العمل، حدد ما إذا كان من الممكن إنشاء قسم بناءً على بيانات المهمة	طرق تحديد المستوى	من الممكن أن تحدد هذه العناصر المستوى بشكل فريد، أي أنه يتم إعطاء ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط، نقطة وخط، وما إلى ذلك.
3. يوجد في مستوى بعض الوجه نقطتان لمستوى القطع	إذا كانت نقطتان تنتميان إلى مستوى، فإن الخط بأكمله ينتمي إلى المستوى	ارسم خطًا مستقيمًا عبر هذه النقاط
4. في أحد الوجهين المتوازيين يوجد جانب مقطع، وفي الآخر توجد نقطة مقطع	خاصية الطائرات المتوازية	من خلال هذه النقطة ارسم خطًا موازيًا لهذه النقطة
5. توجد نقطة مقطعية في وجه واحد ومن المعلوم أن مستوى القطع يمر عبر خط موازي لهذا الوجه	علامة التوازي بين الخط والمستوى. خاصية الطائرات المتوازية	أنشئ خط تقاطع المستويات الموازي لمستقيم معين
6. نقطتا المقطع تنتميان إلى وجه واحد، والنقطة الثالثة تقع في الوجه المجاور	بديهيات القياس المجسم	يتقاطع مستوى القطع مع الوجوه على طول القطع OC وAB، والتي تسمى أثر مستوى القطع على الوجوه

حل المشاكل

مهمة 1.أي من الرباعيات، EFKM أو EFKL، يمكن أن يكون جزءًا من متعدد الوجوه هذا (الشكل 2)؟ لماذا؟

المهمة 2.رسم الطالب مقطعًا عرضيًا لرباعي الأسطح (الشكل 3). هل هذا القسم ممكن؟

حل. من الضروري إثبات أن N وM وH وL تقع في نفس المستوى. دع النقطتين N وM تنتميان إلى الوجه الخلفي، وH وL إلى الوجه السفلي، أي أن نقطة تقاطع NM وHL يجب أن تقع على خط ينتمي إلى كلا الوجهين، أي AC. دعونا نمد الخطين NM و HL ونجد نقطة تقاطعهما. هذه النقطة لن تنتمي إلى الخط AC. وهذا يعني أن النقاط N، M، L، H لا تشكل مضلعًا مسطحًا. مستحيل.

المهمة 3.أنشئ مقطعًا من رباعي السطوح ABCS مع مستوى يمر عبر النقاط K وL وN، حيث K وN هما نقطتا المنتصف للحافتين SA وSB، على التوالي (الشكل 4).

1. في أي وجه يمكن بناء جوانب المقطع؟

2. حدد إحدى النقاط التي ينقطع عندها القسم.
حل. الطريقة الأولى.حدد النقطة L.
نحدد الوجه الذي تقع فيه النقطة المحددة والذي من الضروري إنشاء قسم فيه.

نحدد الوجه الذي يقع فيه الخط المستقيم KN، ولا يمر عبر النقطة المحددة L.

أوجد خط تقاطع الوجوه ABC و ASB.

ما هو الموقع النسبي للخطين KN وAB (الشكل 5)؟
[موازي.]

ما الذي يجب إنشاؤه إذا مر مستوى القطع بخط مستقيم موازٍ لخط تقاطع المستويات؟
[ارسم خطاً موازياً للخط AB عبر النقطة L. يتقاطع هذا الخط مع الحافة CB عند النقطة P.]
نقوم بتوصيل النقاط التي تنتمي إلى نفس الوجه. KLPN - القسم المطلوب.
الطريقة الثانية. حدد النقطة N (الشكل 6).

نحدد الوجوه التي تقع فيها النقطة N والخط المستقيم KL.

سيكون خط تقاطع هذه الطائرات هو الخط المستقيم SC. أوجد نقطة تقاطع الخطين KL وSC. دعونا نشير إلى ذلك Y.
قم بتوصيل النقطتين N و Y. يتقاطع الخط NY مع الحافة CB عند النقطة P.
نقوم بتوصيل النقاط التي تنتمي إلى نفس الوجه.
KLNP - القسم المطلوب.
شرح هذا القرار.
يعمل أحد الطلاب على السبورة، والباقي في أجهزة الكمبيوتر المحمولة.

المشكلة 4. قم ببناء مقطع من خط متوازي يمر عبر النقاط M و P و H و H ` (A1B1C1) (الشكل 7).

حل. 1. قم بتوصيل النقاط التي تنتمي إلى نفس الوجه.
2. ما الخط والنقطة التي نختارها لبناء القسم؟
3. ماذا نحدد بعد ذلك؟
4. ما هو الموضع النسبي للخط المستقيم المحدد وخط تقاطع الوجوه (الشكل 8)؟

5. كيفية إنشاء أثر لمستوى القطع على الوجه B1C1D1A1 مروراً بالنقطة H؟
6. قم بتوصيل النقاط التي تنتمي إلى نفس الوجه.
7. ما هو الخط والنقطة التي يجب اختيارها لبناء أثر مستوى القطع على الوجه AA1D1D؟
8. ما هو الوضع النسبي للوجوه BB1C1C و AA1D1D؟
9. ما الخاصية التي يجب استخدامها لبناء أثر مستوى القطع على الوجه AA1D1D؟
10. قم بتسمية القسم المطلوب.

المهمة 5.إنشاء مقطع من هرم SABCD يمر بالنقاط M وP وH،
H` (ABC) (الشكل 9).

الجواب: انظر الشكل 10.

الواجب المنزلي

مهمة. كيف ستتغير الإنشاءات إذا بالضبط
كيف سيغير H موقعه؟ قم ببناء الأقسام باستخدام خيارات مختلفة (الشكل 11).

اليوم سننظر مرة أخرى في كيفية القيام بذلك بناء جزء من رباعي الاسطح مع الطائرة.
لنفكر في أبسط حالة (المستوى الإلزامي)، عندما تنتمي نقطتان من مستوى القسم إلى وجه واحد، والنقطة الثالثة تنتمي إلى وجه آخر.

دعونا نذكركم خوارزمية لبناء الأقساممن هذا النوع (الحالة: نقطتان تنتميان إلى نفس الوجه).

1. نحن نبحث عن وجه يحتوي على نقطتين من مستوى القسم. ارسم خطًا مستقيمًا عبر نقطتين تقعان على نفس الوجه. نجد نقاط تقاطعه مع حواف رباعي الاسطح. وجزء الخط المستقيم الذي ينتهي في الوجه هو جانب المقطع.

2. إذا كان من الممكن إغلاق المضلع، فقد تم إنشاء القسم. وإذا استحال الغلق نجد نقطة تقاطع الخط المشيد مع المستوى الذي يحتوي على النقطة الثالثة.

1. نرى أن النقطتين E و F تقعان على نفس الوجه (BCD)، فنرسم خطاً مستقيماً EF في المستوى (BCD).
2. لنجد نقطة تقاطع الخط المستقيم EF مع حافة رباعي السطوح BD، هذه هي النقطة H.
3. الآن أنت بحاجة إلى إيجاد نقطة تقاطع الخط المستقيم EF والمستوى الذي يحتوي على النقطة الثالثة G، أي. الطائرة (أدك).
يقع القرص المضغوط للخط المستقيم في المستويين (ADC) و (BDC)، مما يعني أنه يتقاطع مع الخط المستقيم EF، والنقطة K هي نقطة تقاطع الخط المستقيم EF والمستوى (ADC).
4. بعد ذلك، نجد نقطتين أخريين تقعان في نفس المستوى. هاتان النقطتان G وK، تقعان في مستوى الوجه الأيسر. نرسم خط GK ونحدد النقاط التي يتقاطع عندها هذا الخط مع حواف رباعي السطوح. هذه هي النقطتان M و L.
4. يبقى "إغلاق" القسم، أي ربط النقاط الموجودة على نفس الوجه. هذه هي النقاط M وH، وكذلك L وF. كلا هذين القطاعين غير مرئيين، نرسمهما بخط منقط.

تبين أن المقطع العرضي هو MHFL رباعي الزوايا. وتقع جميع رؤوسها على حواف رباعي السطوح. دعونا نختار القسم الناتج.

الآن دعونا صياغة "خصائص" القسم الذي تم إنشاؤه بشكل صحيح:

1. تقع جميع رؤوس المضلع، وهو مقطع، على حواف رباعي السطوح (متوازي الأضلاع، مضلع).

2. تقع جميع جوانب المقطع على وجوه متعدد السطوح.
3. لا يمكن أن يحتوي كل وجه من وجوه المضلع على أكثر من جانب واحد (واحد أو لا شيء!) من القسم

في هذا الدرس سوف ننظر إلى رباعي السطوح وعناصره (حواف رباعي السطوح، السطح، الوجوه، القمم). وسوف نقوم بحل العديد من المسائل المتعلقة ببناء المقاطع في الشكل الرباعي باستخدام الطريقة العامة لبناء المقاطع.

الموضوع: توازي الخطوط والمستويات

الدرس: رباعي الاسطح. مشاكل في بناء المقاطع في رباعي الاسطح

كيفية بناء رباعي الاسطح؟ لنأخذ مثلثًا عشوائيًا اي بي سي. أي نقطة دلا يقع في مستوى هذا المثلث. نحصل على 4 مثلثات. السطح الذي تشكله هذه المثلثات الأربعة يسمى رباعي الاسطح (الشكل 1). النقاط الداخلية التي يحدها هذا السطح هي أيضًا جزء من رباعي الاسطح.

أرز. 1. رباعي الاسطح ABCD

عناصر رباعي الاسطح
أ،ب, ج, د - رؤوس رباعي الاسطح.
أ.ب, تيار متردد., إعلان, قبل الميلاد, دينار بحريني, قرص مضغوط - حواف رباعية السطوح.
اي بي سي, عبد, بي دي سي, أدك - وجوه رباعية الاسطح.

تعليق:يمكن أن تؤخذ مسطحة اي بي سيخلف قاعدة رباعية الاسطح، ثم أشر ديكون قمة رباعي الاسطح. كل حافة من رباعي الاسطح هي تقاطع طائرتين. على سبيل المثال، الضلع أ.ب- هذا هو تقاطع الطائرات أ.بدو اي بي سي. كل قمة في رباعي الاسطح هي تقاطع ثلاث مستويات. قمة الرأس أيكمن في الطائرات اي بي سي, أ.بد, أدمع. نقطة أهو تقاطع الطائرات الثلاث المعينة. هذه الحقيقة مكتوبة على النحو التالي: أ= اي بي سي ∩ أ.بد ∩ تكييفد.

تعريف رباعي الاسطح

لذا، رباعي الاسطحهو سطح يتكون من أربعة مثلثات.

حافة رباعية الاسطح- خط تقاطع طائرتين من رباعي الاسطح.

اصنع 4 مثلثات متساوية من 6 أعواد ثقاب. من المستحيل حل المشكلة على متن الطائرة. ومن السهل القيام بذلك في الفضاء. لنأخذ رباعي الاسطح. 6 أعواد ثقاب هي حوافه وأربعة وجوه من رباعي الأسطح وستكون أربعة مثلثات متساوية. حلت المشكلة.

نظرا لرباعي الاسطح اي بي سيد. نقطة مينتمي إلى حافة رباعي الاسطح أ.بنقطة نينتمي إلى حافة رباعي الاسطح فيدوالفترة رينتمي إلى الحافة دمع(الصورة 2.). بناء مقطع من رباعي الاسطح مع مستوى حركة الأشخاص الطبيعيين.

أرز. 2. رسم للمشكلة 2 - إنشاء قسم من رباعي الأسطح بمستوى

حل:
النظر في وجه رباعي الاسطح دشمس. على هذا الوجه من هذه النقطة نو صتنتمي إلى الوجوه دشمس، وبالتالي رباعي الاسطح. لكن حسب حالة النقطة ن، صتنتمي إلى طائرة القطع. وسائل، NP- هذا هو خط تقاطع مستويين: مستوى الوجه دشمسوطائرة القطع. لنفترض أن الخطوط المستقيمة NPو شمسغير متوازي. إنهم يكذبون في نفس الطائرة دشمس.دعونا نجد نقطة تقاطع الخطوط NPو شمس. دعونا نشير إلى ذلك ه(تين. 3.).

أرز. 3. رسم المشكلة 2. إيجاد النقطة E

نقطة هينتمي إلى مستوى القسم حركة الأشخاص الطبيعيين، لأنه يقع على الخط NP، والخط المستقيم NPتقع بالكامل في مستوى القسم حركة الأشخاص الطبيعيين.

نقطة أيضا هيكمن في الطائرة اي بي سي، لأنها تقع على خط مستقيم شمسخارج الطائرة اي بي سي.

لقد حصلنا على ذلك يأكل- خط تقاطع الطائرات اي بي سيو حركة الأشخاص الطبيعيين,منذ نقاط هو متقع في وقت واحد في طائرتين - اي بي سيو حركة الأشخاص الطبيعيين.دعونا نربط النقاط مو ه، واستمر بشكل مستقيم يأكلإلى التقاطع مع الخط تكييف. نقطة تقاطع الخطوط يأكلو تكييفدعونا نشير س.

لذلك في هذه الحالة NPQM- القسم المطلوب .

أرز. 4. الرسم للمشكلة 2. حل المشكلة 2

دعونا الآن نفكر في القضية متى NPموازي قبل الميلاد. إذا كان مستقيما NPموازيا لخط ما، على سبيل المثال، خط مستقيم شمسخارج الطائرة اي بي سي، ثم على التوالي NPموازية للطائرة بأكملها اي بي سي.

يمر مستوى القسم المطلوب عبر الخط المستقيم NP، بالتوازي مع الطائرة اي بي سي، ويتقاطع مع المستوى في خط مستقيم إم كيو. إذن خط التقاطع إم كيوبالتوازي مع الخط NP. نحن نحصل NPQM- القسم المطلوب .

نقطة ميقع على الجانب أدفيرباعي الاسطح اي بي سيد. أنشئ مقطعًا من رباعي الأسطح بمستوى يمر عبر النقطة مبالتوازي مع القاعدة اي بي سي.

أرز. 5. رسم للمسألة 3 قم ببناء قسم من رباعي الأسطح بمستوى

حل:
طائرة القطع φ موازية للطائرة اي بي سيوفقا للشرط، وهذا يعني أن هذه الطائرة φ موازية للخطوط أ.ب, تكييف, شمس.
في الطائرة أ.بدمن خلال النقطة مدعونا نجعل مباشرة PQموازي أ.ب(الشكل 5). مستقيم PQيكمن في الطائرة أ.بد. وبالمثل في الطائرة تكييفدمن خلال النقطة ردعونا نجعل مباشرة العلاقات العامةموازي تكييف. حصلت على نقطة ر. خطين متقاطعين PQو العلاقات العامةطائرة PQRعلى التوالي موازية لخطين متقاطعين أ.بو تكييفطائرة اي بي سي، وهو ما يعني الطائرات اي بي سيو PQRموازي. PQR- القسم المطلوب . حلت المشكلة.

نظرا لرباعي الاسطح اي بي سيد. نقطة م- النقطة الداخلية، نقطة على وجه رباعي الاسطح أ.بد. ن- النقطة الداخلية للقطعة دمع(الشكل 6.). إنشاء نقطة تقاطع الخط ن.م.والطائرات اي بي سي.

أرز. 6. الرسم للمشكلة 4

حل:
لحل هذه المشكلة، سنقوم ببناء طائرة مساعدة دمينيسوتا. دعها تكون مستقيمة دميتقاطع مع الخط AB عند النقطة ل(الشكل 7.). ثم، كوروناد- هذا جزء من الطائرة دمينيسوتاورباعي الاسطح. في الطائرة دمينيسوتاالأكاذيب ومستقيمة ن.م.، والخط المستقيم الناتج كورونا. حتى إذا ن.م.غير متوازي كورونا، ثم سوف يتقاطعان في مرحلة ما ر. نقطة روستكون هناك نقطة التقاطع المطلوبة للخط ن.م.والطائرات اي بي سي.

أرز. 7. الرسم للمشكلة 4. حل المشكلة 4

نظرا لرباعي الاسطح اي بي سيد. م- النقطة الداخلية للوجه أ.بد. ر- النقطة الداخلية للوجه اي بي سي. ن- النقطة الداخلية للحافة دمع(الشكل 8.). أنشئ مقطعًا من رباعي السطوح بحيث يمر المستوى عبر النقاط م, نو ر.

أرز. 8. رسم للمسألة 5 قم ببناء قسم من رباعي الأسطح بمستوى

حل:
دعونا ننظر في الحالة الأولى، عندما الخط المستقيم مينيسوتالا موازية للطائرة اي بي سي. في المسألة السابقة وجدنا نقطة تقاطع الخط مينيسوتاوالطائرات اي بي سي. هذا هو المقصد ليتم الحصول عليها باستخدام المستوى المساعد دمينيسوتا، أي. نحن نفعل دمونحصل على نقطة F. نحن ننفذ قوات التحالفوعند التقاطع مينيسوتاحصلنا على نقطة ل.

أرز. 9. رسم المشكلة 5. إيجاد النقطة K

دعونا نجعل مباشرة ك ر. مستقيم ك رتقع في مستوى القسم وفي المستوى اي بي سي. الحصول على النقاط ص 1و ص 2. توصيل ص 1و مواستمرارًا حصلنا على هذه النقطة م 1. توصيل النقطة ص 2و ن. ونتيجة لذلك، نحصل على القسم المطلوب ص 1 ص 2 شمال البحر الأبيض المتوسط ​​1. تم حل المشكلة في الحالة الأولى.
دعونا ننظر في الحالة الثانية، عندما يكون الخط المستقيم مينيسوتاموازية للطائرة اي بي سي. طائرة حركة الأشخاص الطبيعيينيمر عبر خط مستقيم مينيسوتاموازية للطائرة اي بي سيويتقاطع مع الطائرة اي بي سيعلى طول خط مستقيم ما ص 1 ص 2، ثم على التوالي ص 1 ص 2بالتوازي مع الخط المحدد مينيسوتا(الشكل 10.).

أرز. 10. الرسم للمشكلة 5. القسم المطلوب

الآن دعونا نرسم خطًا مستقيمًا ص 1 مونحصل على نقطة م 1.ص 1 ص 2 شمال البحر الأبيض المتوسط ​​1- القسم المطلوب .

لذا، نظرنا إلى رباعي السطوح وقمنا بحل بعض مشاكل رباعي السطوح النموذجية. في الدرس التالي سوف ننظر إلى متوازي السطوح.

1. آي إم سميرنوفا، في.أ.سميرنوف. - الطبعة الخامسة، مصححة وموسعة - م: منيموسين، 2008. - 288 ص. : سوف. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (المرحلة الأساسية والمتخصصة)

2. شاريجين آي إف - م: بوستارد، 1999. - 208 ص: مريض. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام

3. E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. - الطبعة السادسة، الصورة النمطية. - م: حبارى، 008. - 233 ص. :انا. الهندسة. الصف العاشر: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام مع دراسة متعمقة ومتخصصة للرياضيات

موارد الويب الإضافية

2. كيفية بناء مقطع عرضي لرباعي الاسطح. الرياضيات ().

3. مهرجان الأفكار التربوية ().

قم بحل مسائل في المنزل حول موضوع "رباعي السطوح"، وكيفية العثور على حافة رباعي السطوح وأوجه رباعي السطوح والقمم وسطح رباعي السطوح

1. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (المستويات الأساسية والمتخصصة) I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة، مصححة وموسعة - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض. المهام 18، 19، 20 ص 50

2. نقطة هالضلع الأوسط ماجستيررباعي الاسطح مركبة جوية بدون طيار. أنشئ مقطعًا من رباعي الأسطح بحيث يمر مستوى عبر النقاط ب، جو ه.

3. في رباعي السطوح MABC، تنتمي النقطة M إلى الوجه AMV، والنقطة P تنتمي إلى الوجه BMC، والنقطة K تنتمي إلى الحافة AC. أنشئ مقطعًا من رباعي الأسطح بحيث يمر مستوى عبر النقاط م، ر، ك.

4. ما هي الأشكال التي يمكن الحصول عليها نتيجة تقاطع رباعي الأسطح مع المستوى؟

بديهيات القياس:

في الكتب المدرسية المختلفة، يمكن عرض خصائص الخطوط والمستويات بطرق مختلفة، في شكل بديهية، أو نتيجة طبيعية لها، أو نظرية، أو ليما، وما إلى ذلك. خذ بعين الاعتبار الكتاب المدرسي الذي كتبه Pogorelov A.V.

يقسم الخط المستقيم المستوى إلى نصفين مستويين.

0

من أي نصف خط يمكن رسم زاوية ذات درجة معينة قياسها أقل من 180 في نصف مستوى معين. 0 ، وواحد فقط.

أيًا كان المثلث، فهناك مثلث متساوٍ في موقع معين بالنسبة إلى نصف خط معين.

من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمكن رسم خط مستقيم واحد على الأكثر موازيًا للخط المعطى على المستوى.

بديهيات القياس المجسم:

وأيًا كان المستوى، فهناك نقاط تنتمي إلى هذا المستوى، ونقاط لا تنتمي إلى هذا المستوى، ونقاط لا تنتمي إليه.

إذا كان لطائرتين مختلفتين نقطة مشتركة، فإنهما يتقاطعان على طول خط مستقيم يمر بهذه النقطة.

إذا كان لخطين مختلفين نقطة مشتركة، فيمكن رسم مستوى من خلالهما، وواحد فقط.

ومهما كان الخط فهناك نقاط تنتمي لهذا الخط ونقاط لا تنتمي إليه.

من خلال أي نقطتين يمكنك رسم خط مستقيم، وواحد فقط.

من النقاط الثلاث على الخط، تقع نقطة واحدة فقط بين النقطتين الأخريين.

كل قطعة لها طول معين أكبر من الصفر. طول القطعة يساوي مجموع أطوال الأجزاء التي تنقسم إليها بأي نقطة من نقاطها.

الخط المستقيم الذي ينتمي إلى المستوى يقسم هذا المستوى إلى نصفين مستويين.

ولكل زاوية قياس درجة معينة أكبر من الصفر. الزاوية المستقيمة هي 180 0 . قياس درجة الزاوية يساوي مجموع قياسات درجات الزوايا التي يقسمها أي شعاع يمر بين ضلعيها.

على أي نصف خط من نقطة بدايته، يمكنك رسم مقطع بطول معين، وواحد فقط.

من نصف الخط على المستوى الذي يحتوي عليه، يمكن رسم زاوية ذات درجة معينة قياسها أقل من 180 في نصف مستوى معين 0 ، وواحد فقط.

أيًا كان المثلث، يوجد مثلث متساوٍ في مستوى معين في موقع معين بالنسبة إلى نصف خط معين في ذلك المستوى.

على المستوى، ومن خلال نقطة معينة لا تقع على خط معين، من الممكن رسم خط مستقيم واحد على الأكثر موازيًا للخط المعطى.

قسم

في الفضاء، يمكن أن يكون لشكلين، في حالتنا، المستوى ومتعدد السطوح، الترتيب المتبادل التالي: لا يتقاطعان، يتقاطعان عند نقطة ما، يتقاطعان في خط مستقيم، ويتقاطع المستوى مع متعدد السطوح على طول الجزء الداخلي منه (الشكل 1) ، وفي نفس الوقت تشكل الأشكال التالية:

أ) شكل فارغ (لا يتقاطع)

ب) نقطة

ج) الجزء

د) المضلع

إذا كان هناك مضلع عند تقاطع متعدد السطوح والمستوى، فهذا المضلعيسمى قسم من متعدد السطوح مع مستوى .

رسم بياني 1

تعريف. قسم الجسم المكاني (على سبيل المثال، متعدد السطوح) هو الشكل الناتج عن تقاطع الجسم مع المستوى.

طائرة القطع متعدد السطوح دعنا نسمي أي مستوى توجد على جانبيه نقاط لمتعدد السطوح معين.

سننظر فقط في الحالة التي يتقاطع فيها المستوى مع متعدد السطوح على طول الجزء الداخلي منه. في هذه الحالة، سيكون تقاطع هذا المستوى مع كل وجه من وجوه متعدد السطوح قطعة معينة.

إذا تقاطعت المستويات في خط مستقيم، يسمى الخط المستقيمتتبع إحدى هذه الطائرات إلى الأخرى.

بشكل عام، يتقاطع مستوى القطع لمتعدد السطوح مع مستوى كل وجه من وجوهه (وكذلك أي مستوى قطع آخر لهذا متعدد السطوح). كما أنه يتقاطع مع كل الخطوط التي تقع عليها حواف متعدد السطوح.

يسمى الخط المستقيم الذي يتقاطع على طوله مستوى القطع مع مستوى أي وجه من وجوه متعدد السطوحبعد مستوى القطع على مستوى هذا الوجه، وتسمى النقطة التي يتقاطع عندها مستوى القطع مع الخط الذي يحتوي على أي حافة من متعدد السطوحبعد مستوى القطع علىهذا الخط المستقيم. هذه النقطة هي أيضًا أثر خط على مستوى القطع. إذا كان مستوى القطع يتقاطع مباشرة مع وجه متعدد السطوح، فيمكننا التحدث عن أثر مستوى القطع على الوجه، وبالمثل، حولأثر مستوى القطع على حافة متعدد السطوح، أي حول أثر حافة على مستوى القطع.

نظرًا لأن الخط المستقيم يتم تحديده بشكل فريد بنقطتين، للعثور على أثر مستوى القطع على أي مستوى آخر، وعلى وجه الخصوص، على مستوى أي وجه لمتعدد السطوح، فإنه يكفي إنشاء نقطتين مشتركتين للمستويات

لإنشاء أثر لمستوى القطع، وكذلك لإنشاء قسم من متعدد السطوح بهذا المستوى، يجب تحديد ليس فقط متعدد السطوح، ولكن أيضًا مستوى القطع. ويعتمد بناء مستوى القسم على مواصفات هذا المستوى. الطرق الرئيسية لتحديد المستوى، وخاصة مستوى القطع، هي كما يلي:

ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط؛

خط مستقيم ونقطة لا تقع عليه؛

خطين متوازيين

خطين متقاطعين؛

نقطة وخطين متقاطعين؛

من الممكن أيضًا استخدام طرق أخرى لتحديد مستوى القطع.

لذلك، يمكن تقسيم جميع طرق إنشاء أقسام متعددات الوجوه إلى طرق.

طرق بناء مقاطع متعددات الوجوه

يتم استخدام طريقة مقاطع متعددات الوجوه في القياس المجسم في مشاكل البناء. يعتمد على القدرة على بناء قسم من متعدد السطوح وتحديد نوع القسم.

هناك ثلاث طرق رئيسية لبناء أقسام متعددات الوجوه:

الطريقة البديهية:

طريقة التتبع.

الطريقة المجمعة.

طريقة الإحداثيات.

ملحوظة أن طريقة التتبع وطريقة القسم المساعد هي أصنافالطريقة البديهية لبناء المقاطع.

يمكننا أيضًا تمييز الطرق التالية لبناء أقسام متعددات الوجوه:

بناء قسم من متعدد السطوح مع مستوى يمر عبر نقطة معينة موازية لمستوى معين؛

إنشاء مقطع يمر عبر خط معين موازيًا لخط معين آخر؛

إنشاء مقطع يمر عبر نقطة معينة موازيًا لخطين متقاطعين محددين؛

بناء قسم من متعدد السطوح مع مستوى يمر عبر خط معين عمودي على مستوى معين؛

بناء مقطع من متعدد السطوح مع مرور مستوى عبر نقطة معينة متعامدة مع خط مستقيم معين.

الإجراءات الرئيسية التي تشكل طرق بناء المقاطع هي إيجاد نقطة تقاطع الخط مع المستوى، وبناء خط تقاطع طائرتين، وبناء خط مستقيم موازٍ للمستوى، وعمودي على المستوى. لبناء خط تقاطع مستويين، عادة ما يتم العثور على نقطتين من نقاطه ويتم رسم خط من خلالهما. لإنشاء نقطة تقاطع خط مع مستوى، ابحث عن خط في المستوى يتقاطع مع الخط المعطى. ثم يتم الحصول على النقطة المطلوبة عند تقاطع الخط الموجود مع الخط المحدد.

دعونا نفكر بشكل منفصل في تلك التي ذكرناهاطرق بناء مقاطع متعددات الوجوه:

طريقة التتبع.

طريقة التتبع يعتمد (على أساس) بديهيات القياس المجسم، وجوهر الطريقة هو بناء خط مساعد، وهو صورة لخط تقاطع مستوى القطع مع مستوى أي وجه من وجوه الشكل. من الأكثر ملاءمة إنشاء صورة لخط تقاطع مستوى القطع مع مستوى القاعدة السفلية. هذا الخطيسمى الأثر الرئيسي لمستوى القطع . باستخدام التتبع، من السهل إنشاء صور لنقاط مستوى القطع الموجودة على الحواف الجانبية أو وجوه الشكل. من خلال ربط صور هذه النقاط باستمرار، نحصل على صورة للقسم المطلوب.

لاحظ أن أنه عند إنشاء المسار الرئيسي لمستوى القطع، يتم استخدام العبارة التالية.

إذا كانت النقاط تنتمي إلى مستوى القطع ولا تقع على نفس الخط المستقيم، وكان إسقاطها (مركزيًا أو موازيًا) على المستوى المختار باعتباره المستوى الرئيسي، تكون النقاط على التوالي ثم نقاط تقاطع الخطوط المقابلة، أي النقاط وتقع على نفس الخط (الشكل 1، أ، ب).

الشكل 1.أ الشكل 1.ب

هذا الخط المستقيم هو الأثر الرئيسي لمستوى القطع. نظرًا لأن النقاط تقع على المسار الرئيسي، فإنه يكفي العثور على نقطتين من هذه النقاط الثلاثة لبنائه.

طريقة الأقسام المساعدة.

تعتبر هذه الطريقة لبناء أقسام متعددات الوجوه عالمية تمامًا. في الحالات التي يكون فيها الأثر (أو الآثار) المطلوب لمستوى القطع خارج الرسم، فإن هذه الطريقة لها مزايا معينة. في الوقت نفسه، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الإنشاءات التي يتم تنفيذها باستخدام هذه الطريقة غالبا ما تكون "مزدحمة". ومع ذلك، في بعض الحالات، تكون طريقة الأقسام المساعدة هي الأكثر عقلانية.

الطريقة المجمعة

إن جوهر الطريقة المدمجة لبناء أقسام متعددات الوجوه هو تطبيق النظريات على توازي الخطوط والمستويات في الفضاء بالاشتراك مع الطريقة البديهية.

طريقة التنسيق لبناء الأقسام.

يتمثل جوهر طريقة الإحداثيات في حساب إحداثيات نقاط تقاطع الحواف أو متعدد السطوح مع مستوى القطع، والذي يتم تحديده بواسطة معادلة المستوى. يتم حساب معادلة مستوى القطع بناءً على ظروف المشكلة.

ملحوظة أن هذه الطريقة لبناء قسم من متعدد السطوح مقبولة للكمبيوتر لأنها مرتبطة بكمية كبيرة من الحسابات وبالتالي يُنصح بتنفيذ هذه الطريقة باستخدام الكمبيوتر.

ستكون مهمتنا الرئيسية هي بناء قسم من متعدد السطوح ذو مستوى، أي. في بناء تقاطع هاتين المجموعتين.

بناء أقسام متعددات الوجوه

بادئ ذي بدء، نلاحظ أن قسمًا من متعدد السطوح المحدب هو مضلع مسطح محدب، تكون رؤوسه، في الحالة العامة، نقاط تقاطع مستوى القطع مع حواف متعدد السطوح، والجوانب مع جوانبه. وجوه.

أمثلة على إنشاء الأقسام:

طرق تحديد القسم متنوعة للغاية. وأكثرها شيوعًا هي طريقة تحديد مستوى القطع بثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم.

مثال 1. من أجل ABCDA المتوازي 1 ب 1 ج 1 د 1 . إنشاء مقطع يمر عبر النقاط M، N، L.

حل:

قم بتوصيل النقطتين M و L الواقعتين في المستوى AA 1 د 1 د.

دعونا نتقاطع مع الخط ML (الذي ينتمي إلى القسم) مع الحافة A 1 د 1 1 د 1 د- احصل على النقطة X 1 .

تقع النقطة X1 على الحافة A 1 د 1 ، ومن هنا الطائرة A 1 ب 1 ج 1 د 1 نقوم بتوصيله بغرزة N ملقاة في نفس المستوى.

X 1 N يتقاطع مع الحافة A 1 ب 1 عند النقطة ك.

قم بتوصيل النقطتين K و M الواقعتين في نفس المستوى AA 1 ب 1 ب.

دعونا نجد الخط المستقيم لتقاطع مستوى القسم مع مستوى DD 1 ج 1 ج:

دعونا نتقاطع مع الخط ML (التابع للقسم) مع الحافة DD 1 ، فهما يقعان في نفس المستوى AA 1 د 1 د، نحصل على النقطة X 2 .

دعونا نتقاطع الخط KN (الذي ينتمي إلى القسم) مع الحافة D 1 ج 1 ، يقعان في نفس المستوى A 1 ب 1 ج 1 د 1 ، نحصل على النقطة X3؛

تقع النقطتان X2 وX3 في المستوى DD 1 ج 1 ج. ارسم خطًا مستقيمًا X 2 X 3 ، الذي يتقاطع مع الحافة C 1 C عند النقطة T، والحافة DC عند النقطة P. وقم بتوصيل النقطتين L و P الواقعتين في المستوى ABCD.

وبالتالي تعتبر المشكلة محلولة إذا تم العثور على جميع الأجزاء التي يتقاطع بها المستوى مع وجوه متعدد السطوح، وهو ما فعلناه. MKNTPL - القسم المطلوب.

ملحوظة. يمكن حل نفس مشكلة إنشاء مقطع باستخدام خاصية المستويات المتوازية.

مما سبق، يمكنك إنشاء خوارزمية (قاعدة) لحل المشاكل من هذا النوع.

قواعد بناء أقسام متعددات الوجوه:

1. رسم خطوط مستقيمة من خلال النقاط الموجودة في نفس المستوى؛

   نحن نبحث عن تقاطعات مباشرة لمستوى القسم مع وجوه متعدد السطوح، من أجل ذلك:

مثال 2. دل, م

دعونا نحل باستخدام الطريقة البديهية:

دعونا نرسم طائرة مساعدةدكم، الذي يتقاطع مع الحواف AB و BC عند النقطتين E وF(تقدم الحل في الشكل 2). لنقم بإنشاء "أثر" لـ CM لمستوى القسم على هذا المستوى المساعد، ونجد نقطة تقاطع CM وEF- النقطة P. النقطة P، مثلل، يقع في مستوى ABC، ومن الممكن رسم خط مستقيم يتقاطع على طوله مستوى القسم مع مستوى ABC ("أثر" القسم في مستوى ABC).

مثال 3. على حافتي AB وAD لهرم MABCD، نحدد النقطتين P وQ، على التوالي، نقاط منتصف هذه الحواف، وعلى الحافة MC نحدد نقطة R. دعونا نبني مقطعًا من الهرم بمستوي يمر عبره النقاط P و Q و R.

سنقوم بتنفيذ الحل باستخدام الطريقة المدمجة:

1). ومن الواضح أن الأثر الرئيسي للمستوى PQR هو الخط المستقيم PQ.

2). دعونا نجد النقطة K التي يتقاطع عندها مستوى MAC مع الخط المستقيم PQ. تنتمي النقطتان K وR إلى كل من مستوى PQR ومستوى MAC. ولذلك، من خلال رسم خط مستقيم KR، نحصل على خط تقاطع هذه المستويات.

3). لنجد النقطة N=AC BD، ونرسم خطًا مستقيمًا MN ونجد النقطة F=KR MN.

4). النقطة F هي النقطة المشتركة بين المستويين PQR وMDB، أي أن هذه المستويات تتقاطع على طول خط مستقيم يمر بالنقطة F. وفي الوقت نفسه، بما أن PQ هو خط الوسط للمثلث ABD، فإن PQ يوازي BD، أي أن الخط PQ موازي للمستوى MDB. ثم يتقاطع المستوى PQR الذي يمر عبر الخط المستقيم PQ مع المستوى MDB على طول خط مستقيم موازٍ للخط المستقيم PQ، أي موازٍ لـ BD ومستقيم. لذلك، في المستوى MDB عبر النقطة F، نرسم خطًا موازيًا للخط BD.

5). المزيد من الإنشاءات واضحة من الشكل. ونتيجة لذلك، نحصل على المضلع PQD"RB" - القسم المطلوب

دعونا ننظر في المقاطع العرضية للمنشور من أجل البساطة، أي سهولة التفكير المنطقي، دعونا نفكر في أقسام المكعب (الشكل 3.أ):

أرز. 3.أ

أقسام المنشور ذات المستويات الموازية للحواف الجانبية هي متوازيات أضلاع. على وجه الخصوص، المقاطع القطرية هي متوازيات الأضلاع (الشكل 4).

مواطنه. قسم قطري يتم قطع المنشور بواسطة مستوى يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتميان إلى نفس الوجه.

المضلع الناتج عن المقطع القطري للمنشور هو متوازي أضلاع. سؤال حول عدد المقاطع القطريةن-منشور الزاوية أصعب من مسألة عدد الأقطار. سيكون هناك العديد من الأقسام مثل الأقطار في القاعدة. نحن نعلم أن المنشور المحدب له مضلعات محدبة في قاعدته، ومنشور محدبن-gon من الأقطار. ومن ثم، يمكننا القول إن عدد المقاطع القطرية يساوي نصف عدد الأقطار.

ملحوظة: عند إنشاء أقسام متوازية السطوح في الشكل، ينبغي للمرء أن يأخذ في الاعتبار حقيقة أنه إذا تقاطع مستوى القطع مع وجهين متقابلين على طول بعض الأجزاء، فإن هذه الأجزاء تكون متوازية "بخاصية متوازي السطوح، أي. الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية."

سنقدم إجابات على الأسئلة المتداولة:

ما المضلعات التي يتم الحصول عليها عند قطع المكعب بالطائرة؟

"مثلث، رباعي، خماسي، مسدس."

هل يمكن قطع المكعب بالطائرة إلى شكل سباعي؟ ماذا عن المثمن؟

"لا تستطيع".

3) السؤال الذي يطرح نفسه: ما هو أكبر عدد من جوانب المضلع الذي يتم الحصول عليه عن طريق قطع متعدد السطوح بالمستوى؟

أكبر عدد من جوانب المضلع الذي يتم الحصول عليه عن طريق قطع متعدد السطوح بمستوى يساوي عدد وجوه متعدد السطوح .

مثال 3. أنشئ مقطعًا عرضيًا للمنشور A 1 ب 1 ج 1 د 1 ABCD بواسطة طائرة تمر عبر ثلاث نقاط M، N، K.

دعونا ننظر في حالة موقع النقاط M، N، K على سطح المنشور (الشكل 5).

خذ بعين الاعتبار الحالة: في هذه الحالة، من الواضح أن M1 = B1.

بناء:

مثال 4. إنشاء مقطع من متوازي السطوح ABCDA 1 ب 1 ج 1 د 1 مستوى يمر عبر النقاط M، N، P (النقاط موضحة في الرسم (الشكل 6)).

حل:

أرز. 6

تقع النقطتان N و P في مستوى القسم وفي مستوى القاعدة السفلية لمتوازي السطوح. لنرسم خطًا مستقيمًا يمر عبر هذه النقاط. هذا الخط المستقيم هو أثر مستوى القطع على مستوى قاعدة متوازي السطوح.

دعونا نواصل الخط المستقيم الذي يقع عليه الجانب AB من متوازي السطوح. يتقاطع الخطان AB وNP عند نقطة ما S. وتنتمي هذه النقطة إلى مستوى القسم.

وبما أن النقطة M تنتمي أيضًا إلى مستوى القسم وتتقاطع مع الخط AA 1 في مرحلة ما X.

تقع النقطتان X و N في نفس مستوى الوجه AA 1 د 1 D، قم بتوصيلهما واحصل على خط مستقيم XN.

بما أن مستويات وجوه متوازي السطوح متوازية، فمن خلال النقطة M يمكننا رسم خط مستقيم للوجه A 1 ب 1 ج 1 د 1 ، بالتوازي مع الخط NP. سيتقاطع هذا الخط مع الجانب B 1 مع 1 عند النقطة Y.

وبالمثل، نرسم خطًا مستقيمًا YZ، موازيًا للخط المستقيم XN. نقوم بتوصيل Z بـ P ونحصل على القسم المطلوب - MYZPNX.

تكون أقسام الهرم التي تمر بها المستويات التي تمر عبر قمته مثلثات. على وجه الخصوص، المثلثات هي أقسام قطرية. وهي عبارة عن أقسام من مستويات تمر عبر حافتين جانبيتين غير متجاورتين للهرم.

مثال 4. بناء قسم من الهرم ABCدالطائرة التي تمر عبر النقاط K،ل, م.

حل:

1. لنرسم طائرة مساعدة أخرىدكوإنشاء نقطة التقاطع BلودK - النقطة E. تنتمي هذه النقطة إلى كلا المستويين المساعدين (الشكل 7، ب)؛

   دعونا نجد نقطة تقاطع القطعإل إم.و EC (هذه الأجزاء تقع في المستوىبي إل سي، الشكل 7، ج) – النقطةF. نقطةFتقع في مستوى القسم وفي المستوىدك;

   دعونا نجعل مباشرةكفوالعثور على نقطة تقاطع هذا الخط معالعاصمة- نقطةن(نقطةنينتمي إلى القسم). رباعي الزواياكلنم– القسم المطلوب .

دعونا نحل هذا المثال نفسه بشكل مختلف .

لنفترض أنه عند النقاط K،ل، وقسم M المشيدكلنم(الشكل 7). دعونا نشير بواسطةFنقطة تقاطع قطري الشكل الرباعيكلنم. دعونا نجعل مباشرةمدافعو تدل علىF 1 نقطة تقاطعها مع الحافة ABC . نقطةF 1 يتزامن مع نقطة تقاطع الخطين المستقيمين AM و SC (F 1 ينتمي في وقت واحد إلى الطائرات AMدودكورونا). نقطةF 1 من السهل بناء. بعد ذلك نبني نقطةFكنقطة تقاطعمدافع 1 وإل إم.. التالي نجد هذه النقطةن.

التقنية التي يتم النظر فيها تسمىطريقة التصميم الداخلي . (في حالتنا نحن نتحدث عن التصميم المركزي. رباعي الزواياكMSA هو إسقاط رباعيكمنلمن النقطةد. في هذه الحالة، نقطة تقاطع الأقطاركمنل- نقطةF- يذهب إلى نقطة تقاطع أقطار الشكل الرباعيكMSA - نقطةF 1 .

مساحة مقطعية لمتعدد السطوح.

عادةً ما يتم حل مشكلة حساب مساحة المقطع العرضي لمتعدد السطوح على عدة مراحل. إذا كانت المشكلة تنص على إنشاء قسم (أو أنه تم رسم مستوى القطع، وما إلى ذلك)، ففي المرحلة الأولى من الحل يتم تحديد نوع الشكل الذي تم الحصول عليه في القسم.

يجب أن يتم ذلك لتحديد الصيغة المناسبة لحساب مساحة المقطع العرضي. بعد توضيح نوع الشكل الذي تم الحصول عليه في القسم واختيار صيغة لحساب مساحة هذا الشكل، ننتقل مباشرة إلى العمل الحسابي.

في بعض الحالات، قد يكون من الأسهل، دون معرفة نوع الشكل الذي تم الحصول عليه في القسم، أن تنتقل مباشرة إلى حساب مساحته باستخدام الصيغة التالية من النظرية.

نظرية مساحة الإسقاط المتعامد للمضلع: مساحة الإسقاط المتعامد للمضلع على المستوى تساوي حاصل ضرب مساحته وجيب تمام الزاوية بين مستوى المضلع ومستوى الإسقاط: .

الصيغة الصحيحة لحساب المساحة المقطعية هي: أين هي مساحة الإسقاط المتعامد للشكل الذي تم الحصول عليه في القسم، وهذه هي الزاوية بين مستوى القطع والمستوى الذي يتم إسقاط الشكل عليه. مع هذا الحل، من الضروري بناء إسقاط متعامد للشكل الذي تم الحصول عليه في القسم وحسابه

إذا نص بيان المشكلة على ضرورة إنشاء قسم ما ويجب العثور على مساحة القسم الناتج، فيجب في المرحلة الأولى بناء القسم المحدد بشكل مبرر، ومن ثم، بطبيعة الحال، تحديد نوع الشكل الذي تم الحصول عليه القسم، الخ.

دعونا نلاحظ الحقيقة التالية: بما أن أقسام متعددات الوجوه المحدبة مبنية، فإن المضلع المقطعي سيكون محدبًا أيضًا، لذا يمكن إيجاد مساحته عن طريق تقسيمه إلى مثلثات، أي أن مساحة المقطع تساوي مجموع مساحات المثلثات التي يتكون منها.

مهمة 1.

– هرم مثلث منتظم ضلع قاعدته متساوي وارتفاعه متساوي. أنشئ قسماً من الهرم بمستوى يمر بالنقاط التي فيها منتصف الضلع، وأوجد مساحته (شكل 8).

حل.

المقطع العرضي للهرم مثلث. دعونا نجد مساحتها.

بما أن قاعدة الهرم مثلث متساوي الأضلاع والنقطة هي منتصف الضلع فهي الارتفاع ثم .

يمكن العثور على مساحة المثلث:

المهمة 2.

الحافة الجانبية للمنشور المنتظم تساوي جانب القاعدة. أنشئ مقاطع من المنشور بحيث تمر المستويات عبر نقطة ماأ، عمودي على الخط المستقيم إذا وجدنا مساحة المقطع العرضي للمنشور الناتج.

حل.

دعونا نبني القسم المحدد. دعونا نفعل ذلك من اعتبارات هندسية بحتة، على سبيل المثال، على النحو التالي.

في المستوى الذي يمر عبر خط معين ونقطة معينة، ارسم خطًا عموديًا على الخط المار بهذه النقطة (الشكل 9). لهذا الغرض، دعونا نستخدم حقيقة أنه في المثلث أي أن متوسطه هو أيضًا ارتفاع هذا المثلث. لذلك فهو مستقيم.

من خلال النقطة نرسم خطًا آخر عموديًا على الخط. لنرسمه، على سبيل المثال، في مستوى يمر بخط مستقيم. ومن الواضح أن هذا الخط هو الخط المستقيم

لذلك، يتم إنشاء خطين متقاطعين، متعامدين على الخط. تحدد هذه الخطوط مستوى يمر عبر نقطة متعامدة مع الخط، أي يتم تحديد مستوى قاطع.

لنقم ببناء جزء من المنشور بهذا المستوى. لاحظ أنه بما أن الخط موازي للمستوى. ثم يقطع المستوى المار بالخط المستقيم المستوى على طول خط مستقيم موازي للخط المستقيم، أي الخط المستقيم. لنرسم خطًا مستقيمًا عبر النقطة ونربط النقطة الناتجة بنقطة.

مقطع رباعي معطى. دعونا نحدد مساحتها.

ومن الواضح أن الشكل الرباعي مستطيل، أي مساحته

أرز. 9

هل تعرف ما يسمى قسم متعددات الوجوه بواسطة الطائرة؟ إذا كنت لا تزال تشك في صحة إجابتك على هذا السؤال، فيمكنك بسهولة اختبار نفسك. نقترح عليك إجراء اختبار قصير أدناه.

سؤال. ما رقم الشكل الذي يوضح مقطعًا من متوازي السطوح على مستوى؟

إذن الإجابة الصحيحة في الشكل 3.

إذا أجبت بشكل صحيح، فهذا يؤكد أنك تفهم ما تتعامل معه. لكن، لسوء الحظ، حتى الإجابة الصحيحة على سؤال الاختبار لا تضمن لك الحصول على أعلى الدرجات في الدروس حول موضوع "أقسام متعددات الوجوه". بعد كل شيء، أصعب شيء هو عدم التعرف على الأقسام في الرسومات النهائية، على الرغم من أن هذا مهم جدًا أيضًا، ولكن بنائها.

في البداية، دعونا نقوم بصياغة تعريف قسم من متعدد السطوح. إذن، جزء من متعدد السطوح هو مضلع تقع رؤوسه على حواف متعدد السطوح، وتقع جوانبه على وجوهه.

والآن دعونا نتدرب على إنشاء نقاط التقاطع بسرعة ودقة خط مستقيم معين مع مستوى معين. للقيام بذلك، دعونا نحل المشكلة التالية.

أنشئ نقاط تقاطع الخط المستقيم MN مع مستويات القاعدتين السفلية والعلوية للمنشور الثلاثي ABCA 1 B 1 C 1، على أن تكون النقطة M تنتمي إلى الحافة الجانبية CC 1، والنقطة N تنتمي إلى الحافة BB 1.

لنبدأ بمد الخط المستقيم MN في كلا الاتجاهين في الرسم (الشكل 1). ومن ثم، ومن أجل الحصول على نقاط التقاطع التي تتطلبها المشكلة، نقوم بمد الخطوط الواقعة في القواعد العلوية والسفلية. والآن تأتي اللحظة الأكثر صعوبة في حل المشكلة: ما هي الخطوط في كلا القاعدتين التي تحتاج إلى تمديد، لأن كل واحد منهم لديه ثلاثة خطوط.

من أجل إكمال الخطوة الأخيرة من البناء بشكل صحيح، من الضروري تحديد أي من القواعد المباشرة تقع في نفس مستوى الخط المستقيم MN الذي يهمنا. في حالتنا، هذا هو CB المستقيم في القواعد السفلية وC 1 B 1 في القواعد العلوية. وهذه هي بالتحديد التي نمدها حتى تتقاطع مع الخط المستقيم NM (الشكل 2).

النقطتان الناتجتان P و P 1 هما نقطتا تقاطع الخط المستقيم MN مع مستويات القاعدتين العلوية والسفلية للمنشور الثلاثي ABCA 1 B 1 C 1 .

بعد تحليل المشكلة المطروحة، يمكنك المتابعة مباشرة إلى إنشاء أقسام من متعددات الوجوه. النقطة الأساسية هنا هي التفكير الذي سيساعدك على الوصول إلى النتيجة المرجوة. ونتيجة لذلك، سنحاول في النهاية إنشاء قالب يعكس تسلسل الإجراءات عند حل المشكلات من هذا النوع.

لذلك، دعونا ننظر في المشكلة التالية. أنشئ مقطعًا من المنشور الثلاثي ABCA 1 B 1 C 1 بمستوى يمر بالنقاط X و Y و Z التابعة للحواف AA 1 و AC و BB 1 على التوالي.

الحل: لنرسم رسمًا ونحدد أزواج النقاط التي تقع في نفس المستوى.

يمكن توصيل أزواج من النقاط X وY وX وZ، لأن إنهم يكذبون في نفس الطائرة.

لنقم ببناء نقطة إضافية تقع على نفس وجه النقطة Z. وللقيام بذلك، سنقوم بتمديد الخطين XY وCC 1، لأن إنهم يقعون في مستوى الوجه AA 1 C 1 C. لنسمي النقطة الناتجة P.

تقع النقطتان P و Z في نفس المستوى - في مستوى الوجه CC 1 B 1 B. لذلك يمكننا توصيلهما. يتقاطع الخط المستقيم PZ مع الحافة CB عند نقطة معينة، دعنا نسميها T. تقع النقطتان Y وT في المستوى السفلي للمنشور، ونربطهما. وهكذا تم تشكيل YXZT الرباعي وهذا هو القسم المطلوب.

لخص. لبناء قسم من متعدد السطوح مع مستوى، يجب عليك:

1) ارسم خطوطًا مستقيمة من خلال أزواج من النقاط الموجودة في نفس المستوى.

2) ابحث عن الخطوط التي تتقاطع بها مستويات القسم ووجوه متعدد السطوح. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على نقاط تقاطع خط مستقيم ينتمي إلى مستوى القسم مع خط مستقيم يقع في أحد الوجوه.

إن عملية بناء أقسام متعددات الوجوه معقدة لأنها تختلف في كل حالة على حدة. ولا توجد نظرية تصفها من البداية إلى النهاية. في الواقع، هناك طريقة واحدة مؤكدة لتعلم كيفية إنشاء أقسام من أي متعددات وجوه بسرعة وبدقة - وهذه ممارسة مستمرة. كلما زاد عدد الأقسام التي تقوم بإنشائها، أصبح من الأسهل عليك القيام بذلك في المستقبل.

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.