من أبسط الأشكال ثلاثية الأبعاد هو الهرم الثلاثي، لأنه يتكون من أقل عدد من الوجوه التي يمكن أن يتشكل منها شكل في الفضاء. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على الصيغ التي يمكن استخدامها للعثور على حجم الهرم المنتظم الثلاثي.
الهرم الثلاثي
وفقا للتعريف العام، الهرم هو مضلع، جميع رؤوسه متصلة بنقطة واحدة لا تقع في مستوى هذا المضلع. إذا كان الأخير مثلثا، فإن الشكل بأكمله يسمى الهرم الثلاثي.
يتكون الهرم المعني من قاعدة (مثلث) وثلاثة وجوه جانبية (مثلثات). تسمى النقطة التي تتصل عندها الوجوه الثلاثة برأس الشكل. العمودي من هذا الرأس الذي يسقط على القاعدة هو ارتفاع الهرم. إذا كانت نقطة تقاطع العمودي مع القاعدة تتطابق مع نقطة تقاطع متوسطات المثلث عند القاعدة، فإننا نتحدث عن هرم منتظم. وإلا فإنه سيكون مائلا.
كما ذكرنا سابقًا، يمكن أن تكون قاعدة الهرم الثلاثي نوعًا عامًا من المثلثات. ومع ذلك، إذا كان متساوي الأضلاع، والهرم نفسه مستقيم، فإنهم يتحدثون عن شكل منتظم ثلاثي الأبعاد.
أي هرم ثلاثي له 4 وجوه و 6 حواف و 4 رؤوس. إذا كانت أطوال جميع الحواف متساوية، فإن هذا الشكل يسمى رباعي السطوح.
النوع العام
قبل كتابة الهرم الثلاثي المنتظم، نعطي تعبيرًا عن هذه الكمية الفيزيائية لهرم من النوع العام. يبدو هذا التعبير كما يلي:
هنا S o هي مساحة القاعدة، h هو ارتفاع الشكل. ستكون هذه المساواة صالحة لأي نوع من قواعد المضلع الهرمي، وكذلك للمخروط. إذا كان هناك مثلث عند القاعدة طول ضلعه a وارتفاعه o منخفض عليه، فسيتم كتابة صيغة الحجم على النحو التالي:
صيغ حجم الهرم الثلاثي المنتظم
الهرم الثلاثي المنتظم له مثلث متساوي الأضلاع في القاعدة. ومن المعلوم أن ارتفاع هذا المثلث يرتبط بطول ضلعه بالمساواة:
باستبدال هذا التعبير في صيغة حجم الهرم الثلاثي المكتوبة في الفقرة السابقة، نحصل على:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
حجم الهرم المنتظم ذو القاعدة المثلثة هو دالة على طول جانب القاعدة وارتفاع الشكل.
نظرًا لأنه يمكن إدراج أي مضلع منتظم في دائرة، يحدد نصف قطرها بشكل فريد طول جانب المضلع، فيمكن كتابة هذه الصيغة بدلالة نصف القطر المقابل r:
يمكن الحصول على هذه الصيغة بسهولة من الصيغة السابقة، إذا أخذنا في الاعتبار أن نصف قطر الدائرة المحددة r عبر طول الضلع a للمثلث يتحدد بالتعبير:
مشكلة تحديد حجم رباعي الاسطح
سنوضح كيفية استخدام الصيغ المذكورة أعلاه عند حل مشاكل هندسية محددة.
من المعروف أن رباعي السطوح طول ضلعه 7 سم أوجد حجم الهرم الرباعي المنتظم.
تذكر أن الشكل الرباعي منتظم حيث تكون جميع قواعده متساوية مع بعضها البعض. لاستخدام صيغة الحجم الثلاثي، تحتاج إلى حساب كميتين:
- طول جانب المثلث؛
- ارتفاع الشكل.
تعرف الكمية الأولى من شروط المشكلة:
لتحديد الارتفاع، ضع في اعتبارك الشكل الموضح في الشكل.
المثلث المميز ABC هو مثلث قائم الزاوية، حيث قياس الزاوية ABC هو 90 درجة. الجانب AC هو الوتر وطوله أ. باستخدام المنطق الهندسي البسيط، يمكننا أن نبين أن طول الضلع BC هو:
لاحظ أن الطول BC هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(أ 2 - أ 2 /3) = أ*√(2/3).
يمكنك الآن استبدال h وa في الصيغة المقابلة للحجم:
V = √3/12*أ 2 *أ*√(2/3) = √2/12*أ 3 .
وهكذا حصلنا على صيغة حجم رباعي السطوح. يمكن ملاحظة أن الحجم يعتمد فقط على طول الحافة. إذا عوضنا بالقيمة من شروط المشكلة في التعبير، فسنحصل على الإجابة:
V = √2/12*7 3 ≈ 40.42 سم3.
وإذا قارنا هذه القيمة بحجم مكعب له نفس الحافة، نجد أن حجم رباعي الأسطح أقل بمقدار 8.5 مرة. وهذا يدل على أن رباعي السطوح هو شكل مضغوط يتواجد في بعض المواد الطبيعية. على سبيل المثال، جزيء الميثان له شكل رباعي السطوح، وكل ذرة كربون في الماس متصلة بأربع ذرات أخرى لتكوين رباعي السطوح.
مشكلة الهرم المتماثل
دعونا نحل مشكلة هندسية مثيرة للاهتمام. لنفترض أن هناك هرمًا منتظمًا ثلاثيًا بحجم معين V 1. كم مرة يجب تقليل حجم هذا الشكل للحصول على هرم متجانس بحجم أصغر بثلاث مرات من الحجم الأصلي؟
لنبدأ بحل المشكلة بكتابة صيغة الهرم المنتظم الأصلي:
V 1 = √3/12*أ 1 2 *ح 1 .
دع حجم الشكل الذي تتطلبه شروط المشكلة يتم الحصول عليه عن طريق ضرب معلماته في المعامل k. لدينا:
V 2 = √3/12*ك 2 *أ 1 2 *ك*h 1 = ك 3 *V 1 .
وبما أن نسبة أحجام الأشكال معروفة من الشرط، فإننا نحصل على قيمة المعامل k:
ك = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0.693.
لاحظ أننا سنحصل على قيمة مماثلة للمعامل k لأي هرم من أي نوع، وليس فقط للهرم الثلاثي المنتظم.
أهداف وغايات الدرس:
- اشتقاق صيغ حجم الهرم باستخدام الصيغة الأساسية لحجم الأجسام وحجم الهرم المقطوع.
- تنظيم المعرفة النظرية حول موضوع إيجاد حجم الهرم.
- تطوير مهارة إيجاد حجم الهرم الذي يقع رأسه في مركز دائرة منقوشة أو محددة بالقرب من القاعدة.
- تطوير المهارات في حل المشكلات القياسية باستخدام الصيغ الخاصة بأحجام الهرم والهرم المقطوع.
تقدم الدرس
أنا.توضيحمادة جديدة.
يتم إجراء إثبات النظرية باستخدام جهاز عرض الوسائط المتعددة
دعونا نثبت النظرية: حجم الهرم هوالثلث، حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.
دليل:
أولا نثبت نظرية الهرم الثلاثي، ثم الهرم الاعتباطي.
1. النظر في الهرم الثلاثي أوابكمع الحجم V، مساحة القاعدة سوالارتفاع ح. لنرسم المحور أوه (أوم 2- الارتفاع)، النظر في القسم أ1 ب1 ج1الهرم مع مستوى عمودي على المحور أوهوبالتالي، موازية لمستوى القاعدة. دعونا نشير بواسطة Xنقطة الإحداثي م 1
تقاطع هذا المستوى مع المحور x ومن خلاله س(س)- مساحة المقطع العرضي. دعونا نعرب س(س)خلال س, حو X. لاحظ أن 
بالفعل , لذلك، .
المثلثات الصحيحة 
، متشابهة أيضًا (لديها زاوية حادة مشتركة مع قمة الرأس عن).
دعونا الآن نطبق الصيغة الأساسية لحساب أحجام الأجسام أ = 0, ب =حنحصل عليها
2. دعونا الآن نثبت نظرية الهرم الاختياري مع الارتفاع حومنطقة القاعدة س. يمكن تقسيم هذا الهرم إلى أهرامات ثلاثية بارتفاع إجمالي ح.دعونا نعبر عن حجم كل هرم مثلث باستخدام الصيغة التي أثبتناها ونجمع هذه الحجوم. بإخراج العامل المشترك من الأقواس، نحصل بين قوسين على مجموع قواعد الأهرامات المثلثة، أي. المنطقة S من قواعد الهرم الأصلي.
وبالتالي فإن حجم الهرم الأصلي هو . لقد تم إثبات النظرية.
ثانيا. حل المشكلات باستخدام الرسومات الجاهزة.
المهمة 1. (الشكل 3)
منح:اي بي سيد- الهرم المنتظم أ ب = 3; م= . يجد:أ) سأساسي; ب) هيئة الأوراق المالية؛الخامس) يفعلز) V .
المهمة 2. (الشكل 4)
منح:اي بي سيمدافع- الهرم المنتظم .
المهمة 3. (الشكل 5)
منح:اي بي سيDEKF- الهرم المنتظم
يجد: أ) سأساسي ; ب) V.
مهمة4. (الشكل.. 6)
يجد: V.
يتم اختبار المشكلات باستخدام جهاز عرض الوسائط المتعددة مع تحليل تفصيلي للحل خطوة بخطوة.
المهمة 1. (الشكل 3)
أ) (يتم استخدام الصيغة لحساب مساحة المثلث المنتظم)
أ ب = = 3، لدينا 
ب) 
(صيغة نصف قطر الدائرة المقيدة باستخدام جانب مثلث متساوي الأضلاع) 
.
المهمة 2. (الشكل 4)
1) فلنتأمل إذن
- متساوي الساقين، OS = FO = 2.
المهمة 3. (الشكل 5)
المهمة 4. (الشكل 6)
ثالثا. التحقق من مخرجات الصيغة لحساب حجم الهرم المقطوع (يتم إرسال رسالة الطالب على السبورة باستخدام جهاز عرض الوسائط المتعددة)
إجابة الطالب:
يعتبر حجم الهرم المقطوع هو الفرق بين حجم الهرم الكامل والذي ينقطع عنه بمستوى موازٍ للقاعدة (الشكل 1).
دعونا نستبدل هذا التعبير بـ Xفي الصيغة الأولى،
العمل على شكل اختبار، مع التحقق من خلال جهاز عرض الوسائط المتعددة.
1. في المنشور المائل، طول الحافة الجانبية 7 سم، والقطاع العمودي عبارة عن مثلث قائم الزاوية له أرجل: 4 سم و3 سم.
أ) 10 سم3، ب) 42 سم3، ج) 60 سم3، د) 30 سم3.
2. في الهرم السداسي المنتظم طول ضلع قاعدته 2 سم وحجم الهرم 6 سم3. ما هو الارتفاع؟
3. حجم الهرم 56 سم3 ومساحة القاعدة 14 سم2. ما هو الارتفاع؟
أ) 14 سم، ب) 12 سم، ج) 16 سم.
4. في الهرم الثلاثي المنتظم ارتفاعه 5 سم، وطول أضلاع قاعدته 3 سم. ما حجم الهرم؟
5. في الهرم الرباعي المنتظم ارتفاع ضلع القاعدة 4 سم.
أ) 50 سم3، ب) 48 سم3، ج) 16 سم3.
6. حجم الهرم الرباعي المنتظم 27 سم 3، ارتفاعه 9 سم. أوجد ضلع القاعدة.
أ) 12 سم، ب) 9 سم، ج) 3 سم.
7. حجم الهرم المقطوع 210 سم3، مساحة القاعدة السفلية 36 سم2، العلوية 9 سم2. أوجد ارتفاع الهرم.
أ) 1 سم، ب) 15 سم، ج) 10 سم.
8. المنشور المتساوي الحجم والهرم الرباعي المنتظم لهما ارتفاعات متساوية. ما هو جانب قاعدة الهرم إذا كانت مساحة قاعدة المنشور هي S؟
جدول الإجابة.
| مهمة | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| إجابة | ب | أ | ب | أ | ب | V | V | V |
الواجب البيتي: 1. حل المسائل رقم 695ظ، رقم 697، رقم 690
2. النظر في المهام الأساسية
المهمة 1.
أثبت أنه إذا كانت الحواف الجانبية للهرم متساوية (أو تصنع زوايا متساوية مع مستوى القاعدة)، فإن الجزء العلوي من الهرم يتم إسقاطه في وسط الدائرة المحددة حول القاعدة.
أثبت أنه إذا كانت الزوايا ثنائية السطوح عند قاعدة الهرم متساوية (أو تساوي ارتفاعات الأوجه الجانبية المرسومة من قمة الهرم)، فإن قمة الهرم تسقط في وسط الدائرة المرسومة في قاعدة الهرم.
هنا سوف نلقي نظرة على الأمثلة المتعلقة بمفهوم الحجم. لحل مثل هذه المهام، يجب أن تعرف صيغة حجم الهرم:
س
ح – ارتفاع الهرم
يمكن أن تكون القاعدة أي مضلع. لكن في معظم المسائل في امتحان الدولة الموحدة، تكون الحالة عادة متعلقة بالأهرامات المنتظمة. دعني أذكرك بإحدى خصائصه:
يتم عرض الجزء العلوي من الهرم العادي في وسط قاعدته
انظر إلى إسقاط الأهرامات المنتظمة المثلثة والرباعية والسداسية (عرض علوي):
يمكنك ذلك على المدونة، حيث تمت مناقشة المشكلات المتعلقة بإيجاد حجم الهرم.دعونا نفكر في المهام:
27087. أوجد حجم الهرم الثلاثي المنتظم الذي قاعدته تساوي 1 وارتفاعه يساوي جذر ثلاثة.
س– مساحة قاعدة الهرم
ح– ارتفاع الهرم
لنجد مساحة قاعدة الهرم، هذا مثلث منتظم. دعونا نستخدم الصيغة - مساحة المثلث تساوي نصف منتج الجوانب المجاورة وجيب الزاوية بينهما، وهو ما يعني:
الجواب: 0.25
27088. أوجد ارتفاع الهرم الثلاثي المنتظم الذي قاعدته تساوي 2 وحجمه يساوي جذر ثلاثة.
ترتبط مفاهيم مثل ارتفاع الهرم وخصائص قاعدته بصيغة الحجم:
س– مساحة قاعدة الهرم
ح– ارتفاع الهرم
نحن نعرف الحجم نفسه، ويمكننا إيجاد مساحة القاعدة، لأننا نعرف أضلاع المثلث، وهي القاعدة. بمعرفة القيم المشار إليها، يمكننا بسهولة العثور على الارتفاع.
لإيجاد مساحة القاعدة نستخدم الصيغة - مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب الأضلاع المجاورة وجيب الزاوية بينهما، مما يعني:
وبالتالي، من خلال استبدال هذه القيم في صيغة الحجم، يمكننا حساب ارتفاع الهرم:
الارتفاع ثلاثة.
الجواب: 3
27109. في الهرم الرباعي المنتظم، ارتفاعه 6 وحرفه الجانبي 10. أوجد حجمه.
يتم حساب حجم الهرم بالصيغة:
س– مساحة قاعدة الهرم
ح– ارتفاع الهرم
نحن نعرف الارتفاع. تحتاج إلى العثور على مساحة القاعدة. اسمحوا لي أن أذكركم أن قمة الهرم العادي تقع في وسط قاعدته. قاعدة الهرم الرباعي المنتظم هي مربعة. يمكننا إيجاد قطره. فكر في مثلث قائم الزاوية (مظلل باللون الأزرق):
القطعة التي تربط مركز المربع بالنقطة B هي ساق تساوي نصف قطر المربع. يمكننا حساب هذه الساق باستخدام نظرية فيثاغورس:
وهذا يعني BD = 16. لنحسب مساحة المربع باستخدام صيغة مساحة الشكل الرباعي:
لذلك:
وبالتالي فإن حجم الهرم هو:
الجواب: 256
27178. في الهرم الرباعي المنتظم، الارتفاع 12 والحجم 200. أوجد الحافة الجانبية لهذا الهرم.
ارتفاع الهرم وحجمه معروفان، مما يعني أنه يمكننا إيجاد مساحة المربع الذي هو القاعدة. وبمعرفة مساحة المربع يمكننا إيجاد قطره. بعد ذلك، بالنظر إلى المثلث القائم باستخدام نظرية فيثاغورس، نحسب الحافة الجانبية:
لنجد مساحة المربع (قاعدة الهرم):
دعونا نحسب قطري المربع. وبما أن مساحته 50 فإن ضلعه سيكون مساوياً لجذر خمسين ووفقاً لنظرية فيثاغورس:
النقطة O تقسم القطر BD إلى نصفين، مما يعني أن ساق المثلث القائم OB = 5.
وهكذا يمكننا حساب ما تساويه الحافة الجانبية للهرم:
الجواب: 13
245353. أوجد حجم الهرم الموضح في الشكل. قاعدتها عبارة عن مضلع، أضلاعه المجاورة متعامدة، وأحد أضلاعه متعامد على مستوى القاعدة ويساوي 3.
كما قلنا عدة مرات، يتم حساب حجم الهرم بالصيغة:
س– مساحة قاعدة الهرم
ح– ارتفاع الهرم
الحافة الجانبية العمودية على القاعدة تساوي ثلاثة، مما يعني أن ارتفاع الهرم يساوي ثلاثة. قاعدة الهرم عبارة عن مضلع مساحته تساوي:
هكذا:
الجواب: 27
27086. قاعدة الهرم مستطيلة ضلعها 3 و 4 وحجمها 16. أوجد ارتفاع هذا الهرم.
هذا كل شيء. حظا سعيدا لك!
مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.
ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.
السمة الرئيسية لأي شكل هندسي في الفضاء هو حجمه. في هذه المقالة، سننظر إلى ما هو الهرم ذو المثلث في القاعدة، وسنوضح أيضًا كيفية العثور على حجم الهرم الثلاثي - العادي الكامل والمبتور.
ما هذا - الهرم الثلاثي؟
لقد سمع الجميع عن الأهرامات المصرية القديمة، لكنها ذات شكل رباعي منتظم وليست مثلثة. دعونا نشرح كيفية الحصول على الهرم الثلاثي.
لنأخذ مثلثًا عشوائيًا ونربط جميع رؤوسه بنقطة واحدة تقع خارج مستوى هذا المثلث. سيتم تسمية الشكل الناتج بالهرم الثلاثي. هو مبين في الشكل أدناه.
كما ترون، الشكل المعني يتكون من أربعة مثلثات، والتي في الحالة العامة مختلفة. وكل مثلث هو أضلاع الهرم أو وجهه. غالبًا ما يُطلق على هذا الهرم اسم رباعي السطوح، أي شكل رباعي السطوح ثلاثي الأبعاد.
بالإضافة إلى الجوانب، يحتوي الهرم أيضًا على حواف (توجد 6 منها) ورؤوس (من 4).
مع قاعدة الثلاثي
الشكل الذي يتم الحصول عليه باستخدام مثلث عشوائي ونقطة في الفضاء سيكون هرمًا مائلًا غير منتظم في الحالة العامة. تخيل الآن أن المثلث الأصلي له أضلاع متطابقة، وأن هناك نقطة في الفضاء تقع بالضبط فوق مركزه الهندسي على مسافة h من مستوى المثلث. سيكون الهرم الذي تم إنشاؤه باستخدام هذه البيانات الأولية صحيحًا.
من الواضح أن عدد الحواف والجوانب والقمم للهرم الثلاثي المنتظم سيكون هو نفس عدد الهرم المبني من مثلث عشوائي.
ومع ذلك، فإن الرقم الصحيح لديه بعض السمات المميزة:
- ارتفاعه المرسوم من قمة الرأس سوف يتقاطع تمامًا مع القاعدة عند المركز الهندسي (نقطة تقاطع المتوسطات)؛
- ويتكون السطح الجانبي لهذا الهرم من ثلاثة مثلثات متطابقة، وهي متساوية الساقين أو متساوية الأضلاع.
الهرم الثلاثي المنتظم ليس مجرد كائن هندسي نظري بحت. بعض الهياكل في الطبيعة لها شكلها، على سبيل المثال الشبكة البلورية الماسية، حيث ترتبط ذرة الكربون بأربع من نفس الذرات بواسطة روابط تساهمية، أو جزيء الميثان، حيث تتشكل رؤوس الهرم بواسطة ذرات الهيدروجين.
الهرم الثلاثي
يمكنك تحديد حجم أي هرم على الإطلاق باستخدام n-gon اختياري في القاعدة باستخدام التعبير التالي:
هنا الرمز S o يدل على مساحة القاعدة، h هو ارتفاع الشكل المرسوم على القاعدة المحددة من أعلى الهرم.
بما أن مساحة المثلث التعسفي تساوي نصف منتج طول ضلعه a والارتفاع h a المسقط على هذا الجانب، يمكن كتابة صيغة حجم الهرم الثلاثي بالشكل التالي:
V = 1/6 × أ × ح أ × ح
بالنسبة للنوع العام، فإن تحديد الارتفاع ليس بالمهمة السهلة. لحلها، أسهل طريقة هي استخدام صيغة المسافة بين نقطة (الرأس) ومستوى (قاعدة مثلثية)، ممثلة بمعادلة عامة.
وأما الصحيح فله مظهر محدد. مساحة القاعدة (مثلث متساوي الأضلاع) لها تساوي:
وبالتعويض في التعبير العام لـ V نحصل على:
V = √3/12 × أ 2 × ح
هناك حالة خاصة هي الموقف الذي تتحول فيه جميع جوانب رباعي السطوح إلى مثلثات متساوية الأضلاع. في هذه الحالة، لا يمكن تحديد حجمه إلا بناءً على معرفة معلمة حافته أ. يبدو التعبير المقابل كما يلي:
الهرم المقطوع
إذا تم قطع الجزء العلوي الذي يحتوي على قمة الرأس من هرم ثلاثي منتظم، فستحصل على شكل مقطوع. على عكس الشكل الأصلي، سيتكون من قاعدتين مثلثتين متساويتين الأضلاع وثلاثة شبه منحرف متساوي الساقين.
توضح الصورة أدناه كيف يبدو الهرم الثلاثي المقطوع المنتظم المصنوع من الورق.
لتحديد حجم الهرم الثلاثي المقطوع، عليك معرفة خصائصه الخطية الثلاث: كل جانب من جوانب القواعد وارتفاع الشكل يساوي المسافة بين القاعدتين العلوية والسفلية. تتم كتابة الصيغة المقابلة للحجم على النحو التالي:
V = √3/12 × ح × (أ 2 + أ 2 + أ × أ)
هنا h هو ارتفاع الشكل، A وa هما أطوال أضلاع المثلثات متساوية الأضلاع الكبيرة (السفلى) والصغيرة (العلوية)، على التوالي.
حل المشكلة
ولجعل المعلومات الواردة في المقال أكثر وضوحا للقارئ، سنوضح بمثال واضح كيفية استخدام بعض الصيغ المكتوبة.
ليكون حجم الهرم الثلاثي 15 سم3 . ومن المعروف أن هذا الرقم صحيح. ومن الضروري إيجاد الارتفاع a b للحافة الجانبية إذا علم أن ارتفاع الهرم 4 سم.
بما أن حجم الشكل وارتفاعه معروفان، فيمكنك استخدام الصيغة المناسبة لحساب طول جانب قاعدته. لدينا:
V = √3/12 × أ 2 × ح =>
أ = 12 × فولت / (√3 × ح) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 سم
أ ب = √(ح 2 + أ 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 سم
تبين أن الطول المحسوب لحجم الشكل أكبر من ارتفاعه، وهو ما ينطبق على أي نوع من الهرم.
من أبسط الأشكال ثلاثية الأبعاد هو الهرم الثلاثي، لأنه يتكون من أقل عدد من الوجوه التي يمكن أن يتشكل منها شكل في الفضاء. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على الصيغ التي يمكن استخدامها للعثور على حجم الهرم المنتظم الثلاثي.
الهرم الثلاثي
وفقا للتعريف العام، الهرم هو مضلع، جميع رؤوسه متصلة بنقطة واحدة لا تقع في مستوى هذا المضلع. إذا كان الأخير مثلثا، فإن الشكل بأكمله يسمى الهرم الثلاثي.
يتكون الهرم المعني من قاعدة (مثلث) وثلاثة وجوه جانبية (مثلثات). تسمى النقطة التي تتصل عندها الوجوه الثلاثة برأس الشكل. العمودي من هذا الرأس الذي يسقط على القاعدة هو ارتفاع الهرم. إذا كانت نقطة تقاطع العمودي مع القاعدة تتطابق مع نقطة تقاطع متوسطات المثلث عند القاعدة، فإننا نتحدث عن هرم منتظم. وإلا فإنه سيكون مائلا.
كما ذكرنا سابقًا، يمكن أن تكون قاعدة الهرم الثلاثي نوعًا عامًا من المثلثات. ومع ذلك، إذا كان متساوي الأضلاع، والهرم نفسه مستقيم، فإنهم يتحدثون عن شكل منتظم ثلاثي الأبعاد.
أي هرم ثلاثي له 4 وجوه و 6 حواف و 4 رؤوس. إذا كانت أطوال جميع الحواف متساوية، فإن هذا الشكل يسمى رباعي السطوح.
حجم الهرم الثلاثي العام
قبل كتابة صيغة حجم الهرم الثلاثي المنتظم، نعطي تعبيرًا عن هذه الكمية الفيزيائية لهرم من النوع العام. يبدو هذا التعبير كما يلي:
حول الموضوع: إنجا بودكيفيتش: السيرة الذاتية والسينمائية للممثلة
هنا S o هي مساحة القاعدة، h هو ارتفاع الشكل. ستكون هذه المساواة صالحة لأي نوع من قواعد المضلع الهرمي، وكذلك للمخروط. إذا كان هناك مثلث عند القاعدة طول ضلعه a وارتفاعه o منخفض عليه، فسيتم كتابة صيغة الحجم على النحو التالي:
الخامس = 1/6*أ*ح س*ح.
صيغ حجم الهرم الثلاثي المنتظم
الهرم الثلاثي المنتظم له مثلث متساوي الأضلاع في القاعدة. ومن المعلوم أن ارتفاع هذا المثلث يرتبط بطول ضلعه بالمساواة:
باستبدال هذا التعبير في صيغة حجم الهرم الثلاثي المكتوبة في الفقرة السابقة، نحصل على:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
حجم الهرم المنتظم ذو القاعدة المثلثة هو دالة على طول جانب القاعدة وارتفاع الشكل.
نظرًا لأنه يمكن إدراج أي مضلع منتظم في دائرة، يحدد نصف قطرها بشكل فريد طول جانب المضلع، فيمكن كتابة هذه الصيغة بدلالة نصف القطر المقابل r:
V = √3/4*ح*ص 2 .
يمكن الحصول على هذه الصيغة بسهولة من الصيغة السابقة، إذا أخذنا في الاعتبار أن نصف قطر الدائرة المحددة r عبر طول الضلع a للمثلث يتحدد بالتعبير:
مشكلة تحديد حجم رباعي الاسطح
سنوضح كيفية استخدام الصيغ المذكورة أعلاه عند حل مشاكل هندسية محددة.
من المعروف أن رباعي السطوح طول ضلعه 7 سم أوجد حجم الهرم الرباعي المنتظم.
تذكر أن رباعي السطوح هو هرم ثلاثي منتظم تكون جميع قواعده متساوية مع بعضها البعض. لاستخدام صيغة حجم الهرم الثلاثي المنتظم، عليك حساب كميتين:
حول الموضوع: محطة براغ الرئيسية: العنوان والوصف. السفر إلى براغ بالقطار
- طول جانب المثلث؛
- ارتفاع الشكل.
تعرف الكمية الأولى من شروط المشكلة:
لتحديد الارتفاع، ضع في اعتبارك الشكل الموضح في الشكل.
المثلث ABC هو مثلث قائم الزاوية، حيث قياس الزاوية ABC هو 90 درجة. الجانب AC هو الوتر وطوله أ. باستخدام المنطق الهندسي البسيط، يمكننا أن نبين أن طول الضلع BC هو:
لاحظ أن الطول BC هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(أ 2 - أ 2 /3) = أ*√(2/3).
يمكنك الآن استبدال h وa في الصيغة المقابلة للحجم:
V = √3/12*أ 2 *أ*√(2/3) = √2/12*أ 3 .
وهكذا حصلنا على صيغة حجم رباعي السطوح. يمكن ملاحظة أن الحجم يعتمد فقط على طول الحافة. إذا عوضنا بالقيمة من شروط المشكلة في التعبير، فسنحصل على الإجابة:
V = √2/12*7 3 ≈ 40.42 سم3.
وإذا قارنا هذه القيمة بحجم مكعب له نفس الحافة، نجد أن حجم رباعي الأسطح أقل بمقدار 8.5 مرة. وهذا يدل على أن رباعي السطوح هو شكل مضغوط يتواجد في بعض المواد الطبيعية. على سبيل المثال، جزيء الميثان له شكل رباعي السطوح، وكل ذرة كربون في الماس متصلة بأربع ذرات أخرى لتكوين رباعي السطوح.
مشكلة الهرم المتماثل