أكبر وأصغر قيمة للدالة على القطعة. أكبر وأصغر قيمة للدالة

1. ابحث عن مجال تعريف الوظيفة وتحقق مما إذا كان يحتوي على المقطع بأكمله.

2. تحديد جميع النقاط الثابتة التي تقع ضمن المقطع. للقيام بذلك، نجد مشتقة الدالة، ونساويها بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة ونختار الجذور المناسبة.

3. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لم يقع أي منها في المقطع، فانتقل إلى النقطة التالية.

4. نحسب قيم الدالة عند نقاط ثابتة محددة (إن وجدت)، وكذلك عند x = a و x = b.

5. من قيم الوظائف التي تم الحصول عليها، حدد الأكبر والأصغر - سيكونان هما ما نبحث عنه.

10) حالة كافية للتحدب (التقعر).إذا كانت المشتقة الثانية لدالة قابلة للتفاضل مرتين موجبة (سالبة) في المجموعة X، فإن الدالة تكون محدبة للأسفل (للأعلى) في هذه المجموعة.

11) الشرط الضروري لنقاط انعطاف. المشتق الثاني f""(x) لدالة قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر عند نقطة الانقلاب x0 يساوي الصفر، أي و""(x0) = 0.

12) حالة كافية لنقاط انعطاف.إذا غيّر المشتق الثاني لدالة قابلة للتفاضل مرتين علامته عند المرور بالنقطة x0 حيث f""(x0) = 0، فإن x0 هي نقطة انعطاف الرسم البياني الخاص بها.

6. حساب التفاضل والتكامل لوظائف عدة متغيرات.

المشتقات الجزئية للوظائفض = و(x,y) تسمى حدود نسبة زيادات الدالة ض = ض (س، ص)لزيادة الحجة المقابلة في الاتجاهات أوهأو أوهفي Δس → 0و Δ → 0على التوالى:

مشتق جزئي فيما يتعلق بـ x:

عند الحساب، ضع في اعتبارك y = const.

مشتق جزئي فيما يتعلق بـ y:

عند الحساب، ضع في اعتبارك x = const.

يتم استدعاء المجموعة G لجميع أزواج قيم وسيطات دالة معينة لمتغيرين مجال تعريف هذه الوظيفة.

يتم استدعاء الدالة z = f(x,y). مستمرعند النقطة M0(x0,y0)، إذا تم تعريفها عند هذه النقطة وجوارها وتفي بها

الرقم أ يسمى حد الوظيفة z = f(x,y) عند النقطة M0(x0,y0):

يُطلق على الجزء الخطي (بالنسبة إلى دلتا x ودلتا ig) من الزيادة الإجمالية للوظيفة التفاضلية الكاملةويشار إليه بـ dz :

حيث deix وdeigric عبارة عن تفاضلات للمتغيرات المستقلة، والتي، حسب التعريف، تساوي الزيادات المقابلة

نقطة (س 0؛ ص 0)تسمى نقطة أقصى وظيفة ض = و (س؛ ص) (س 0؛ ص 0)ل

= <δ و (س؛ ص)≤ و(س 0؛ ص 0).

نقطة (س 0؛ ص 0)تسمى نقطة الحد الأدنى للدالة ض = و(س؛ ص) ، إذا كان في كل مكان في حي النقطة (س 0؛ ص 0)ل

= <δ و (س؛ ص) ≥ و(س 0؛ ص 0).

يجب أن يكون هناك سطح تعطى بالمعادلة . المستوى الذي توجد فيه جميع خطوط المماس للخطوط الموجودة على السطح والتي تمر عبر نقطة معينة ، مُسَمًّى طائرة الظلإلى السطح عند النقطة M0.

خط مستقيم مرسوم عبر نقطة الأسطح ، يسمى عمودي على مستوى الظل عادي على السطح.

إذا تم إعطاء السطح بواسطة المعادلة ثم معادلة مستوى المماس لهذا السطح عند النقطة مكتوبة على الصورة: ، ومعادلة العمودي على السطح عند نفس النقطة هي على الصورة:

الشروط اللازمة للتمايز:إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق عند نقطة x0، فهي عند هذه النقطة مشتقات جزئية بالنسبة لجميع المتغيرات. إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق عند نقطة x0، فهي متصلة عند هذه النقطة.

الشروط الكافية للتمييز:دع الدالة f() محددة في بعض أحياء النقطة x0. إذا كانت الدالة في هذا الحي لها مشتقات جزئية متصلة بالنسبة لجميع المتغيرات، فإن الدالة f تكون قابلة للاشتقاق في هذه المرحلة.

المتطلبات الأساسيةوجود الحد الأقصى : أو مشتق جزئي واحد على الأقل غير موجود.

الشروط الكافيةوجود الحد الأقصى وظائف اثنين من المتغيرات:إذا> 0

ثم ل) > 0 الدالة لديها الحد الأدنى ( دقيقة)

في) < 0 الدالة لديها الحد الأقصى ( الأعلى)

لو<0 الذي - التي لا أقصى.

لو= 0، فمن الضروري إجراء بحث إضافي باستخدام مشتقات من الرتب العليا.

أرقام معقدة

تعريفات:

1) رقم معقد- توسيع مجموعة الأعداد الحقيقية، والتي يشار إليها عادةً بـ . يمكن تمثيل أي عدد مركب كمجموع رسمي، حيث و هي أرقام حقيقية وهي الوحدة التخيلية.

2) تسمى كتابة عدد مركب على الصورة شكل جبريرقم معقد.

3) تسمى الزاوية (بالراديان) لمتجه نصف القطر للنقطة المقابلة للرقم دعوىالأرقام ويشار إليها بـ .

4) الوحدة النمطيةالرقم المركب هو طول متجه نصف القطر للنقطة المقابلة للمستوى المركب (أو، وهو نفس الشيء، المسافة بين نقطة المستوى المركب المقابلة لهذا الرقم وأصل الإحداثيات).

تتم الإشارة إلى معامل العدد المركب وتحديده بواسطة التعبير . غالبًا ما يُشار إليه بالحروف أو . إذا كان عددًا حقيقيًا، فإنه يتطابق مع القيمة المطلقة لهذا العدد الحقيقي.

5) إذا كان رقما مركبا، فيسمى الرقم مترافق(أو مترافق معقد) إلى (يُشار إليه أيضًا بـ ). على المستوى المركب، يتم الحصول على الأرقام المترافقة كصور مرآة لبعضها البعض بالنسبة للمحور الحقيقي. معامل العدد المرافق هو نفس الرقم الأصلي، وتختلف حججهم في الإشارة.

6) إذا تم التعبير عن الأجزاء الحقيقية والتخيلية لعدد مركب من خلال المقياس والوسيط ( , ) فيمكن كتابة أي عدد مركب باستثناء الصفر الأشكال المثلثيةه

7) التعريف منتجات الأعداد المركبةتم إنشاؤه بطريقة يمكن من خلالها ضرب الأعداد a + b·i و a' + b'·i كثنائيات جبرية، وأن الرقم i له الخاصية i 2 =−1.

8) اسمحوا أن يكون عددا طبيعيا تعسفيا . الجذر النوني لعدد مركب z هو عدد معقد بحيث .

9) الشكل الأسي لكتابة الأعداد المركبة

أين هو التوسع الأسي لحالة الأس المركب.

الخصائص والنظريات:

1) حاصل ضرب عددين مركبين في الصورة الجبريةهو عدد مركب معامله يساوي حاصل ضرب معاملات العوامل، وسعته تساوي مجموع معاملات العوامل.

2) من أجل ضرب عددين مركبين في شكل مثلثييجب ضرب السجلات بوحداتها وإضافة الوسائط. دع وأين وأين عددان مركبان عشوائيان مكتوبان في شكل مثلثي. ثم .

3) صيغة موافرللأعداد المركبة تنص على أنه لأي

4) من أجل قسمة عدد مركب (أ 1 + ب 1 أنا) إلى رقم مركب آخر ( أ 2 + ب 2 أنا) أي تجد ، فأنت بحاجة إلى ضرب كل من البسط والمقام في الرقم المرافق للمقام.

5)

8. حساب تكامل الدوال لمتغير واحد.

1) المشتق المضاد

تسمى الدالة F(x) القابلة للاشتقاق في فترة معينة (a,b) بمشتق عكسي للدالة f(x) في هذه الفترة إذا كانت المساواة صحيحة لكل x (a,b)

2) التكامل غير المحدد

إذا كانت F(x) مشتقة عكسية للدالة f(x) في فترة معينة، فإن التعبير F(x)+C يسمى التكامل غير المحدد للدالة f(x) ويشار إليه

3) التكامل المحدد

من خلال التكامل المحدد لدالة معينة f(x) على مقطع معين، نعني الزيادة المقابلة لمشتقها العكسي، أي.

4) التكامل غير الصحيح لدالة غير متصلة

دع الدالة f(x) تكون مستمرة a ≥x≥b ولها نقطة انقطاع عند x=b. ثم يتم تحديد التكامل غير الصحيح المقابل للدالة المتقطعة بواسطة الصيغة

ويسمى متقاربا أو متباعدا اعتمادا على ما إذا كانت النهاية على الجانب الأيمن من المساواة موجودة أم غير موجودة

5) التكامل غير الصحيح مع فترة التكامل اللانهائية

دع الدالة f(x) تكون مستمرة من أجل a≤x≤b+∞. ثم حسب التعريف

إذا كانت النهاية موجودة، فإن التكامل الموجود على الجانب الأيسر من المساواة يسمى متقاربًا ويتم تحديد قيمته بالصيغة؛ وإلا فإن المساواة تفقد معناها، ويسمى التكامل الموجود على اليسار متباعدًا ولا يتم تخصيص أي قيمة عددية له

الخصائص والنظريات

6) صيغة التكامل بالأجزاء في التكامل غير المحدد

7) صياغة قواعد تكامل الدوال الكسرية

1. اقسم البسط على المقام

2. س(س) =(س- )(س- )…

3. نقوم بتوسيع الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة؛ ; ; ;

يتم حساب تكامل الكسور من النوعين 1 و 2 عن طريق إدخال الدالة تحت علامة التفاضل 3 و 4، أولاً يتم تحديد مربع كامل في المقام.

8) صياغة قاعدة تكامل الدوال المثلثية

9) صياغة خصائص التكامل المحدد

1. لا تعتمد قيمة التكامل المحدد على تسمية متغير التكامل، أي.

2. التكامل المحدد بنفس النهايتين يساوي صفراً

3. عند إعادة ترتيب حدود التكامل فإن التكامل المحدد يغير إشارته إلى العكس

4. إذا كانت فترة التكامل مقسمة إلى عدد منته من الفترات الجزئية، فإن التكامل المحدد المأخوذ على الفترة يساوي مجموع التكاملات المحددة المأخوذة على جميع فتراتها الجزئية

5. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التكامل المحدد

6. التكامل المحدد للمجموع الجبري لعدد محدود من الدوال المستمرة يساوي نفس المجموع الجبري للتكاملات المحددة لهذه الوظائف

10) صيغة نيوتن-لايبنتز

إذا كانت f متصلة على فترة وكانت F هي أي مشتقة عكسية لها في هذه الفترة، فإن المساواة تكون صحيحة

11) صيغة التكامل بالأجزاء في تكامل محدد

للاختصار، نستخدم الترميز

2) صياغة خصائص التكامل غير المحدد

1. تفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل، ومشتقة التكامل غير المحدد يساوي التكامل

2. التكامل غير المحدد لتفاضل دالة قابلة للتفاضل المستمر يساوي هذه الوظيفة نفسها حتى حد ثابت

3. يمكن إخراج عامل ثابت غير الصفر من إشارة التكامل غير المحدد

4. التكامل غير المحدد للمجموع الجبري لعدد محدود من الدوال المستمرة يساوي نفس المجموع الجبري للتكاملات غير المحددة لهذه الدوال

5) تغيير المتغير في التكامل غير المحدد

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد التكامل. دعونا نقدم متغيرًا جديدًا t، حيث نحدد x= (t)، حيث (t) هي دالة متصلة بمشتقة مستمرة، ولها دالة عكسية t=Ψ(t). ثم، على الجانب الأيمن بعد التكامل، يجب إجراء الاستبدال t=Ψ(x)

3) جدول التكاملات

اللوغاريتمات

الدوال الأسية

وظائف غير عقلانية

الدوال المثلثية

12) تغيير المتغير في تكامل محدد

الدالة f(x) مستمرة على الفاصل الزمني، والدالة x= (t) لها مشتق مستمر على الفاصل الزمني [، مع a≥ (t)≥b و=a، =b

13) حساب مساحة الشكل المسطح

دع الدالة f(x) تكون متصلة على الفترة. إذا كانت f(x)≥0 على ، فسيتم التعبير عن مساحة شبه منحرف منحني يحدها الخطوط y=f(x)، y=0، x=a، x=b، باستخدام التكامل:

إذا كان f(x)≥0 على ، فإن -f(x)≥0 على . لذلك، تم العثور على المساحة S لشبه المنحرف المنحني المقابل بواسطة الصيغة

في الإحداثيات القطبية

من الناحية العملية، الفائدة الأكبر هي استخدام المشتق للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة. ما علاقة هذا؟ تعظيم الأرباح وتقليل التكاليف وتحديد الحمل الأمثل للمعدات... بمعنى آخر، يتعين علينا في العديد من مجالات الحياة حل مشكلات تحسين بعض المعلمات. وهذه هي مهام إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة.

تجدر الإشارة إلى أنه عادة ما يتم البحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة في فترة معينة X، والتي تكون إما مجال الدالة بالكامل أو جزء من مجال التعريف. الفاصل الزمني X نفسه يمكن أن يكون قطعة، فاصل زمني مفتوح ، فاصل لا نهائي.

سنتحدث في هذه المقالة عن إيجاد أكبر وأصغر قيم لدالة محددة بوضوح لمتغير واحد y=f(x) .

التنقل في الصفحة.

أكبر وأصغر قيمة للدالة - التعريفات والرسوم التوضيحية.

دعونا نلقي نظرة سريعة على التعاريف الرئيسية.

أكبر قيمة للدالة ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.

أصغر قيمة للدالة y=f(x) على الفاصل الزمني X تسمى هذه القيمة ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.

هذه التعريفات بديهية: القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة هي أكبر (أصغر) قيمة مقبولة في الفترة قيد النظر عند الإحداثي السيني.

نقاط ثابتة– هذه هي قيم الوسيطة التي يصبح عندها مشتق الدالة صفراً.

لماذا نحتاج إلى نقاط ثابتة عند إيجاد القيم الأكبر والأصغر؟ الجواب على هذا السؤال يأتي من نظرية فيرما. ويترتب على هذه النظرية أنه إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل لها حد أقصى (حد أدنى محلي أو حد أقصى محلي) في مرحلة ما، فإن هذه النقطة تكون ثابتة. وبالتالي، فإن الدالة غالبًا ما تأخذ أكبر (أصغر) قيمة لها على الفاصل الزمني X عند إحدى النقاط الثابتة من هذا الفاصل الزمني.

كما أن الدالة يمكن أن تأخذ قيمها الأكبر والأصغر في كثير من الأحيان عند نقاط لا يوجد فيها المشتق الأول لهذه الدالة، ويتم تعريف الدالة نفسها.

دعنا نجيب على الفور على أحد الأسئلة الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع: "هل من الممكن دائمًا تحديد القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة"؟ لا، ليس دائما. في بعض الأحيان تتطابق حدود الفاصل الزمني X مع حدود مجال تعريف الدالة، أو يكون الفاصل الزمني X لا نهائيًا. وبعض الدوال عند اللانهاية وعند حدود مجال التعريف يمكن أن تأخذ قيمًا كبيرة جدًا وصغيرة جدًا. في هذه الحالات، لا يمكن قول أي شيء عن القيمة الأكبر والأصغر للدالة.

من أجل الوضوح، سنقدم رسما توضيحيا. انظر إلى الصور وسيصبح الكثير أكثر وضوحًا.

على الجزء

في الشكل الأول، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل المقطع [-6;6].

النظر في الحالة المبينة في الشكل الثاني. دعونا نغير المقطع إلى . في هذا المثال، يتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عند نقطة ثابتة، والقيمة الأكبر عند النقطة التي يتوافق فيها الإحداثي الإحداثي مع الحد الأيمن للفاصل الزمني.

في الشكل 3، النقاط الحدودية للمقطع [-3;2] هي حدود النقاط المقابلة لأكبر وأصغر قيمة للدالة.

على فاصل زمني مفتوح

في الشكل الرابع، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل الفترة المفتوحة (-6;6).

في الفترة، لا يمكن استخلاص أي استنتاجات حول القيمة الأكبر.

في اللانهاية

في المثال الموضح في الشكل السابع، تأخذ الدالة القيمة الأكبر (max y) عند نقطة ثابتة مع الإحداثي السيني x=1، ويتم تحقيق أصغر قيمة (min y) على الحد الأيمن للفاصل الزمني. عند علامة ناقص اللانهاية، تقترب قيم الدالة بشكل مقارب من y=3.

خلال الفترة، لا تصل الدالة إلى القيمة الأصغر أو الأكبر. عندما تقترب x=2 من اليمين، تميل قيم الدالة إلى سالب ما لا نهاية (الخط x=2 هو خط مقارب عمودي)، وبما أن الإحداثي السيني يميل إلى زائد اللانهاية، فإن قيم الدالة تقترب بشكل غير مقارب من y=3. يظهر الرسم التوضيحي لهذا المثال في الشكل 8.

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة على القطعة.

دعونا نكتب خوارزمية تسمح لنا بالعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.

1. نجد مجال تعريف الوظيفة ونتحقق مما إذا كانت تحتوي على المقطع بأكمله.
2. نجد جميع النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول والموجودة في المقطع (عادةً ما توجد هذه النقاط في الوظائف ذات الوسيطة تحت علامة المعامل وفي وظائف القوة ذات الأس الكسرى). إذا لم تكن هناك مثل هذه النقاط، فانتقل إلى النقطة التالية.
3. نحدد جميع النقاط الثابتة التي تقع ضمن المقطع. للقيام بذلك، نساويه بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة ونختار الجذور المناسبة. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لم يقع أي منها في المقطع، فانتقل إلى النقطة التالية.
4. نحسب قيم الدالة عند نقاط ثابتة محددة (إن وجدت)، عند النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول (إن وجد)، وكذلك عند x=a وx=b.
5. من قيم الوظيفة التي تم الحصول عليها، نختار الأكبر والأصغر - ستكون القيم الأكبر والأصغر المطلوبة للوظيفة، على التوالي.

دعونا نحلل الخوارزمية لحل مثال للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على قطعة ما.

مثال.

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة

• على المقطع؛
• على المقطع [-4;-1] .

حل.

مجال تعريف الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها، باستثناء الصفر. كلا القطاعين يقعان ضمن مجال التعريف.

أوجد مشتقة الدالة بالنسبة إلى:

من الواضح أن مشتق الدالة موجود في جميع نقاط القطع و [-4;-1].

نحدد النقاط الثابتة من المعادلة. الجذر الحقيقي الوحيد هو x=2 تقع هذه النقطة الثابتة في الجزء الأول.

في الحالة الأولى، نحسب قيم الدالة عند نهايات المقطع وعند النقطة الثابتة، أي بالنسبة لـ x=1 وx=2 وx=4:

وبالتالي فإن القيمة الأكبر للدالة يتم تحقيقه عند x=1، وأصغر قيمة – عند س=2.

في الحالة الثانية، نحسب قيم الدالة فقط في نهايات المقطع [-4;-1] (نظرًا لأنه لا يحتوي على نقطة ثابتة واحدة):

الدوال ذات اللوغاريتمات (القيمة الأكبر والأصغر). ستركز هذه المقالة على مشاكل العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة. هناك مجموعة من المشاكل المدرجة في امتحان الدولة الموحدة - وهي مشاكل في اللوغاريتمات. تتنوع المهام المتعلقة بوظائف البحث. بالإضافة إلى الدوال اللوغاريتمية، يمكن أن يكون هناك: دوال ذات دوال مثلثية، ودوال كسرية عقلانية وغيرها.

على أية حال، أوصي مرة أخرى بمراجعة النظرية الموضحة في المقال ““. إذا فهمت هذه المادة ولديك مهارة جيدة في إيجاد المشتقات، فيمكنك حل أي مشكلة في هذا الموضوع دون صعوبة.

اسمحوا لي أن أذكركم بالخوارزمية المستخدمة للعثور على أكبر أو أصغر قيمة لدالة في مقطع معين:

1. احسب المشتق.

2. نساويه بالصفر ونحل المعادلة.

3. تحديد ما إذا كانت الجذور الناتجة (أصفار المشتقة) تنتمي إلى هذه القطعة. نحن نحتفل بتلك التي تنتمي.

4. نحسب قيم الدالة عند حدود المقطع وعند النقاط (التي تم الحصول عليها في الفقرة السابقة) التابعة لهذا المقطع.

دعونا نفكر في المهام:

أوجد أصغر قيمة للدالة y=5x–ln (x+5) 5 على المقطع [-4.5;0].

من الضروري حساب قيمة الدالة في نهايات الفترة، وفي النقاط القصوى، إن وجدت في هذه الفترة، واختيار أصغرها.

نحسب المشتقة ونساويها بالصفر ونحل المعادلة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

لنجد أصفار المشتقة في مقطع معين:

*الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط يساوي صفرًا.

النقطة x= – 4 تنتمي إلى الفاصل الزمني المحدد.

وهكذا نحسب قيمة الدالة عند النقاط: – 4.5؛ – 4; 0.

يمكن حساب (أو تحليل) القيم ذات اللوغاريتمات التي حصلنا عليها. وستلاحظ أن أصغر قيمة للدالة في هذا المقطع هي "-20".

ولكن ليس من الضروري حسابها. لماذا؟ نحن نعلم أن الإجابة يجب أن تكون إما عددًا صحيحًا أو كسرًا عشريًا محدودًا (هذا هو شرط امتحان الدولة الموحدة في الجزء ب). لكن القيم ذات اللوغاريتمات: – 22.5 – ln 0.5 5 و – ln3125 لن تعطي مثل هذه الإجابة.

x=–4 تكتسب الدالة قيمة دنيا، ويمكنك تحديد علامات المشتق على فترات من (- 5: - 4) و(- 4؛ + ∞ ).

الآن معلومات لأولئك الذين ليس لديهم صعوبات في المشتقات وفهم كيفية حل مثل هذه المشاكل. كيف يمكنك الاستغناء عن حساب المشتق وبدون حسابات غير ضرورية؟

لذا، إذا أخذنا في الاعتبار أن الإجابة يجب أن تكون عددًا صحيحًا، أو كسرًا عشريًا منتهيًا، فلا يمكننا الحصول على مثل هذه القيمة إلا عندما يكون x عددًا صحيحًا، أو عددًا صحيحًا به كسر عشري منته، وتحت إشارة اللوغاريتم بين قوسين لدينا الوحدة أو الرقم e. وإلا فلن نتمكن من الحصول على القيمة المتفق عليها. وهذا ممكن فقط عند x = - 4.

هذا يعني أنه عند هذه النقطة ستكون قيمة الدالة هي الأصغر، فلنحسبها:

الجواب: – 20

قرر بنفسك:

أوجد أصغر قيمة للدالة y=3x– ln (x+3) 3 على القطعة [–2.5;0].

أوجد القيمة الأكبر للدالة y=ln (x+5) 5 – 5x على المقطع [-4.5;0].

أوجد القيمة الأكبر للدالة y=x 2 –13x+11∙lnx+12 على القطعة.

للعثور على أصغر قيمة للدالة في فترة ما، من الضروري حساب قيمة الدالة عند طرفيها، وعند النقاط القصوى، إن وجدت، في هذه الفترة.

لنحسب المشتقة ونساويها بالصفر ونحل المعادلة الناتجة:

حل المعادلة التربيعية نحصل عليها

النقطة x = 1 تنتمي إلى فترة زمنية معينة.

النقطة x = 22/4 لا تخصه.

وهكذا نحسب قيمة الدالة عند النقاط:

نحن نعلم أن الإجابة هي عدد صحيح أو كسر عشري منتهي، مما يعني أن أكبر قيمة للدالة هي 0. في الحالتين الأولى والثالثة لن نحصل على مثل هذه القيمة، لأن اللوغاريتم الطبيعي لهذه الكسور لن يكون تعطي مثل هذه النتيجة.

بالإضافة إلى ذلك، تأكد من أنه عند هذه النقطةx = 1 تكتسب الدالة قيمتها القصوى، يمكنك تحديد علامات المشتقة على فترات من (0:1 ) و (1 ; + ∞ ).

كيفية حل هذا النوع من المشاكل دون حساب المشتقة؟

إذا أخذنا في الاعتبار أن الإجابة يجب أن تكون عددًا صحيحًا أو كسرًا عشريًا منتهيًا، فإن هذا الشرط يتم ضمانه فقط عندما يكون x عددًا صحيحًا أو عددًا صحيحًا به كسر عشري منتهٍ وفي نفس الوقت يكون لدينا وحدة أو الرقم e تحت علامة اللوغاريتم.

وهذا ممكن فقط عندما تكون x = 1.

هذا يعني أنه عند النقطة x = 1 (أو 14/14) ستكون قيمة الدالة أكبر، فلنحسبها:

الجواب: 0

قرر بنفسك:

أوجد القيمة الأكبر للدالة y = 2x 2 –13x+9∙lnx+8 على القطعة.

ألاحظ أن طريقة حل مثل هذه المهام دون إيجاد مشتقات لا يمكن استخدامها إلا لتوفير الوقت عند حساب المهمة في امتحان الدولة الموحدة نفسه. وفقط إذا كنت تفهم تمامًا كيفية حل مثل هذه المشكلات من خلال إيجاد المشتق (باستخدام خوارزمية) وكنت جيدًا في القيام بذلك. لا شك أنه عند الحل بدون مشتقة، يجب أن يكون لديك بعض الخبرة في التحليلات.

هناك الكثير من التقنيات "المعقدة" التي تساعد أحيانًا في مهام محددة، ومن المستحيل تذكرها جميعًا. من المهم فهم مبادئ الحل وخصائصه. إذا علقت آمالك على بعض التقنيات، فقد لا تعمل ببساطة لسبب بسيط: سوف تنساها ببساطة أو ستحصل على نوع المهمة التي تراها لأول مرة في امتحان الدولة الموحدة.

سنستمر في النظر في المهام في هذا القسم، فلا تفوتها!

هذا كل شيء. حظا سعيدا لك!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

تكون قيمة الدالة عند النقطة القصوى أكبر فقط في حي معين من هذه النقطة وليس بالضرورة أن يكون الأمر كذلك. أكبر قيمة في مجال تعريف الوظيفة بأكمله. ويمكن قول الشيء نفسه عن الحد الأدنى. في هذه الحالة، غالبًا ما يطلق عليهم الحد الأقصى والحد الأدنى المحلي (المحلي) على عكس القيم المطلقة، أي. - القيمة الأكبر والأصغر. في جميع أنحاء منطقة التعريف. إذا كانت الدالة f(x) معطاة على а,в ومستمرة عليها فإنها تصل إلى قيمها العظمى والصغرى عليها في بعض النقاط. كيف تجدهم؟ إذا كان هناك عدة max على a,b، فإن max. القيمة الموجودة بالداخل (إذا تم الوصول إليها) تتطابق مع إحداها. وفي الوقت نفسه، يمكن للدالة أن تصل إلى أكبر قيمة لها لجميع a,b عند أحد الأطراف.

قاعدة..

من الضروري مقارنة جميع القيم الدنيا والحدود f (a) و f (b). أصغر قيمة ستكون أصغر قيمة للدالة في a,b.

عادة ما يتصرفون عندما يجدون أكثر. والاسم قيم أبسط:

ابحث عن جميع النقاط الحرجة داخل القطعة a,b، واحسب قيم الدالة فيها (دون تحديد ما إذا كان لها حد أقصى)، 2) احسب قيمة الدالة في النهايتين f(a) و f (ب)، 3) مقارنة القيم التي تم الحصول عليها بينهما هي: أصغر قيمة لهذه القيم ستكون أصغر قيمة للدالة، وأكبرها ستكون الأكبر على a,b.

مثال:

نيتي نايب. وأصغر قيمة للدالة y=na-1.2،

1. البحث عن النقاط الحرجة عند (-1,2).
ش"= =0، 2x+2x 3 -2x 3 =0، 2x=0،

=0. لا يوجد آخرون.

2. و(-1)=1/2، و(2)=4/5.

f(0)=0، أصغر قيمة، f(2)=4/5.- أكبر قيمة max، فهذه هي أكبر قيمة للدالة على а,в، إذا كانت min، فهذه هي أصغر قيمة على а,в. يعد هذا أمرًا مهمًا في الحالات التي يتضمن فيها تعبير الدالة تعبيرات حرفية، ويتبين أنه من الأسهل فحص الحدود القصوى بدلاً من مقارنة القيم في الأطراف.

ومن المهم أن نلاحظ أن كل ما قيل حول إيجاد القيم العظمى والصغرى ينطبق على كل من (a,b) والفترة اللانهائية ، فقط في هذه الحالة تكون القيم عند لا تؤخذ النهايات بعين الاعتبار.

§4. اتجاه تقعر المنحنى ونقطة الانعطاف

دع الدالة y=f(x) im. بما في ذلك المشتق النهائي. ثم قالت لهم. عند هذه النقطة المماس الذي معادلته y- =و "( )(X- ) أو ص=و( )+(س- )
.

في بعض الأحياء ( -يمكن تحديد موقع الرسم البياني للدالة بطرق مختلفة: إما فوق الظل أو أسفله أو على كلا الجانبين.

تعريف.

يقولون ذلك في t.M( ,) المنحنى y=f(x) مقعر للأسفل أو مقعر ببساطة (مقعر لأعلى أو محدب)، إذا كان لجميع x من بعض الأحياء ( - نقطة تقع جميع نقاط المنحنى فوق المماس (أسفل المماس).

إذا كان المنحنى في T.M يمر من أحد جانبي المماس إلى الجانب الآخر، فسيتم استدعاء T.M. نقطة انعطاف المنحنى.

في M1 - المنحنى مقعر، M2 محدب، M3 هو انعطاف.

عند نقطة الانعطاف يتغير المنحنى من محدب إلى مقعر أو العكس. نقطة الانعطاف هي الحد الفاصل بين المقاطع المحدبة والمقعرة للمنحنى.

يظل تعريف نقطة الانعطاف صالحًا في الحالة التي يكون فيها مماس المنحنى y = f (x) متعامدًا. محاور أوه، تلك الموجودة في ر. مشتق و "( )=، الخ. لا يافل. نقطة أعتاب المنحنى. على عكس الحالات (الموضحة في الرسم)،

س س

حيث ر. وx ليست نقاط انعطاف.

دعونا نجد الظروف التي في ظلها. موقع اتجاه معين من التقعر أو انعطاف المنحنى. y=f(x) بطريقة تعسفية t.x= .

لنفترض، على سبيل المثال، منحنى في t.M( ,) محدب. ثم يقع في بعض الأحياء ( - لهذه النقطة تقع تحت المماس y=f( )+و "( )(X- ). لنفكر في الوظيفة المساعدة (x)= f(x)-f( )-و"( )(X- ). بما في ذلك. ()=0, في-الجوار t.
. ويترتب على ذلك عند هذه النقطة وظيفة
hasmax. حتى عند هذه النقطة ""(). لكن ""( )=f ""(x) وبالتالي بما في ذلك. و ""( ).

وبالتالي، لكي يكون المنحنى y=f(x) محدبًا عند t.x0، فمن الضروري أن يكون f ""( ). إذا كان في t.x0 f ""( )، ثم مدفوع. -max وبالتالي فإن المنحنى محدب. الحالة و ""( .

) كافية للتحدب بما في ذلك. بالاستدلال بطريقة مشابهة تمامًا، نحصل على الشرط f ""( ) ضروري للتقعر عند t.x0 والشرط f ""(

) كافية للتقعر.

خاتمة: إذا كان في ر. المشتق الثاني موجب f ""( المشتق الثاني سالب f ""( ) فإن المنحنى يكون محدباً عند هذه النقطة.

قاعدة "الكأس" ملائمة:

عند نقاط الانقلاب لا يوجد تقعر أو تحدب محدد، وبالتالي يمكن أن تكون فقط عند النقاط حيث f ""( )=0. لكن الشرط f ""( ) لا يضمن ذلك بالضبط بعد - نقطة انعطاف. على سبيل المثال، بالنسبة للمنحنيات y=x 4 وy=-x 4، بما في ذلك. و ""( )=0، لكن فيه المنحنى الأول مقعر، والثاني محدب.

) كافية للتقعر. الشرط و ""( )=0 yavl. شرط ضروري لوجود انعطاف، بما في ذلك . ولكن، كما رأينا، يمكن أن يكون هناك تصريفات حيث المشتقة الثانية f""(

)=الطمي غير موجود إطلاقا. شرط كاف لانعطاف المنحنى، بما في ذلك. يافل. تغيير إشارة المشتقة الثانية f ""( ) عند المرور عبر ر. . علاوة على ذلك، إذا تغير المشتق الثاني عند المرور عبر t. التوقيع من + إلى -، ثم مدفوع. ينحني مع التغيير من التقعر إلى التحدب، Iff ""( ) يغير العلامة من - إلى + عند المرور عبر t. ، ثم بما في ذلك.

ينحني مع التحول من التحدب إلى التقعر.. تعريف

. إذا كان المنحنى مقعراً (محدباً) عند كل نقطة من فترة معينة فإنه يسمى. مقعرة (محدبة) في هذه الفترة.

تتم دراسة الدالة y=f(x) للتحدب والتقعر ونقاط الانقلاب وفق المخطط التالي:

1. ابحث عن جميع النقاط المشبوهة للانعطاف، والتي:

أ) أوجد المشتقة الثانية، وساويها بالصفر، وأوجد الجذور الحقيقية للمعادلة الناتجة،

ب) ابحث عن النقاط التي لا يوجد فيها المشتق المحدود f ""(x)،

2. افحص f ""(x) بحثًا عن تغيير في الإشارة عند المرور عبر كل نقطة مشبوهة في الانعطاف. إذا تغيرت العلامة، هناك انعطاف، وإذا لم يكن الأمر كذلك، فلا يوجد.

تعريف.

بالنسبة لتلك النقاط التي يكون فيها المنحنى f ""(x0)  مقعرًا، على العكس من ذلك، فهو محدب. كما هو الحال في حالة القيم القصوى، إذا كان هناك عدد محدود من النقاط المشبوهة للانعطاف، يتم استخدام طريقة الفاصل الزمني.

إذا كان المنحنى محدبًا (مقعرًا) عند كل نقطة من فترة معينة يسمى. محدب (مقعر) في هذه الفترة.

مثال

افحص النتوء، التقعر، أي انعطاف f-iu = x 4 -6x 2 +5. منطقة مواطنه. X=.

1. ابحث عن y"=4x 3 -12x, y""=12x 2 -12=12(x 2 -1), y""=0, x 2 -1=0, x 1.2 =-t . مشبوه للانحناء، لا غيرها.

المنطقة كلها مواطنه. مقسمة إلى فترات (--1)، (-1،1)، (1، ، في كل منها f ""(x) لها إشارة ثابتة، لأنها متصلة فيها. وهي من السهل أن نرى أنه في (--1) +، في (-1,1) -، وفي (1,  +. من هنا يتضح أنه في النقطتين -1 و 1 يوجد انعطاف ، وفي ( -1) يكون الرسم البياني للدالة مقعرًا، في (-1,1) يكون محدبًا، في (1,  مقعرًا). مع هذه الخدمة يمكنكمتغير واحد f(x) مع الحل المنسق في Word. إذا تم إعطاء الدالة f(x,y)، فمن الضروري إيجاد الحد الأقصى لدالة متغيرين. يمكنك أيضًا العثور على فترات الزيادة والنقصان في الوظائف.

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة

ص=

على المقطع [ ;]

تشمل النظرية

قواعد لإدخال الوظائف:

شرط ضروري لأقصى دالة لمتغير واحد

المعادلة f" 0 (x *) = 0 هي شرط ضروري لأقصى دالة لمتغير واحد، أي عند النقطة x * يجب أن يختفي المشتق الأول للدالة. وتحدد النقاط الثابتة x c التي لا تختفي عندها الدالة زيادة أو نقصان.

الشرط الكافي لأقصى دالة لمتغير واحد

اجعل f 0 (x) قابلاً للتمييز مرتين فيما يتعلق بـ x الذي ينتمي إلى المجموعة D. إذا تم استيفاء الشرط عند النقطة x *:

و" 0 (س *) = 0
و"" 0 (س *) > 0

ثم النقطة x * هي نقطة الحد الأدنى المحلي (العالمي) للدالة.

إذا تم استيفاء الشرط عند النقطة x *:

و" 0 (س *) = 0
و"" 0 (س *)< 0

ثم النقطة x * هي الحد الأقصى المحلي (العالمي).

المثال رقم 1. ابحث عن أكبر وأصغر قيم للدالة: على القطعة.
حل.

النقطة الحرجة هي واحد × 1 = 2 (f'(x)=0). هذه النقطة تنتمي إلى هذا الجزء. (النقطة x=0 ليست حرجة، منذ 0∉).
نحسب قيم الدالة في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
الجواب: f min = 5 / 2 عند x=2; و ماكس = 9 في س = 1

المثال رقم 2. باستخدام المشتقات ذات الترتيب الأعلى، أوجد الحد الأقصى للدالة y=x-2sin(x) .
حل.
أوجد مشتقة الدالة: y'=1-2cos(x) . لنجد النقاط الحرجة: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. نجد y''=2sin(x)، احسب، مما يعني أن x= π / 3 +2πk، k∈Z هي الحد الأدنى من نقاط الدالة؛ ، وهو ما يعني x=- π / 3 +2πk، k∈Z هي النقاط القصوى للدالة.

المثال رقم 3. تحقق من الدالة القصوى في محيط النقطة x=0.
حل. هنا من الضروري العثور على الحد الأقصى للوظيفة. إذا كان الحد الأقصى x = 0، فاكتشف نوعه (الحد الأدنى أو الأقصى). إذا لم يكن هناك x = 0 بين النقاط التي تم العثور عليها، فاحسب قيمة الدالة f(x=0).
تجدر الإشارة إلى أنه عندما لا يغير المشتق على كل جانب من نقطة معينة إشارته، فإن المواقف المحتملة لا يتم استنفادها حتى بالنسبة للوظائف القابلة للتفاضل: يمكن أن يحدث ذلك بالنسبة لحي صغير بشكل تعسفي على جانب واحد من النقطة x 0 أو على كلا الجانبين علامة التغييرات المشتقة. في هذه النقاط من الضروري استخدام طرق أخرى لدراسة وظائف الحدود القصوى.