العثور على معنى التعبير والأمثلة والحلول. إيجاد قيمة التعبير، الأمثلة، الحلول إيجاد قيم التعبيرات ذات المتغيرات

تتناول هذه المقالة كيفية العثور على قيم التعبيرات الرياضية. لنبدأ بالتعبيرات الرقمية البسيطة ثم نفكر في الحالات مع زيادة تعقيدها. في النهاية نقدم تعبيرا يحتوي على رموز الحروف والأقواس والجذور والرموز الرياضية الخاصة والدرجات والدوال وغيرها. ووفقا للتقليد، سنزود النظرية بأكملها بأمثلة وفيرة ومفصلة.

كيفية العثور على قيمة التعبير الرقمي؟

تساعد التعبيرات الرقمية، من بين أمور أخرى، في وصف حالة المشكلة في اللغة الرياضية. بشكل عام، يمكن أن تكون التعبيرات الرياضية إما بسيطة للغاية، وتتكون من زوج من الأرقام والرموز الحسابية، أو معقدة للغاية، وتحتوي على وظائف، وقوى، وجذور، وأقواس، وما إلى ذلك. كجزء من المهمة، غالبًا ما يكون من الضروري العثور على معنى تعبير معين. كيفية القيام بذلك سيتم مناقشتها أدناه.

أبسط الحالات

هذه هي الحالات التي لا يحتوي فيها التعبير إلا على أرقام وعمليات حسابية. للعثور على قيم هذه التعبيرات بنجاح، ستحتاج إلى معرفة ترتيب إجراء العمليات الحسابية بدون أقواس، وكذلك القدرة على إجراء العمليات بأرقام مختلفة.

إذا كان التعبير يحتوي فقط على أرقام وعلامات حسابية " + "، " · "، " - "، " ÷ " ، فسيتم تنفيذ الإجراءات من اليسار إلى اليمين بالترتيب التالي: أولًا الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح. دعونا نعطي أمثلة.

مثال 1: قيمة تعبير رقمي

تتيح لك العثور على قيم التعبير 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

لنقم بالضرب والقسمة أولاً. نحصل على:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

الآن نقوم بعملية الطرح ونحصل على النتيجة النهائية:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

مثال 2: قيمة تعبير رقمي

لنحسب: 0، 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

أولاً نقوم بإجراء تحويل الكسور والقسمة والضرب:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

الآن دعونا نقوم ببعض عمليات الجمع والطرح. دعونا نجمع الكسور ونضعها في قاسم مشترك:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

تم العثور على القيمة المطلوبة.

التعبيرات بين قوسين

إذا كان التعبير يحتوي على أقواس، فإنها تحدد ترتيب العمليات في هذا التعبير. يتم تنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين أولاً، ثم جميع الإجراءات الأخرى. دعونا نعرض هذا مع مثال.

مثال 3: قيمة تعبير رقمي

لنجد قيمة التعبير 0.5 · (0.76 - 0.06).

يحتوي التعبير على أقواس، لذلك نقوم أولاً بعملية الطرح بين الأقواس، وبعد ذلك فقط عملية الضرب.

0.5 · (0.76 - 0.06) = 0.5 · 0.7 = 0.35.

تم العثور على معنى التعبيرات التي تحتوي على أقواس داخل الأقواس وفقًا لنفس المبدأ.

مثال 4: قيمة تعبير رقمي

لنحسب القيمة 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

سنقوم بتنفيذ الإجراءات بدءًا من الأقواس الداخلية، وننتقل إلى الأقواس الخارجية.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

عند العثور على معاني التعبيرات بين قوسين، فإن الشيء الرئيسي هو اتباع تسلسل الإجراءات.

التعبيرات ذات الجذور

التعبيرات الرياضية التي نحتاج إلى إيجاد قيمها قد تحتوي على علامات الجذر. علاوة على ذلك، قد يكون التعبير نفسه تحت علامة الجذر. ماذا تفعل في هذه الحالة؟ تحتاج أولا إلى العثور على قيمة التعبير تحت الجذر، ثم استخراج الجذر من الرقم الذي تم الحصول عليه نتيجة لذلك. ومن الأفضل، إن أمكن، التخلص من الجذور في التعبيرات العددية، واستبدالها بقيم عددية.

مثال 5: قيمة تعبير رقمي

لنحسب قيمة التعبير ذي الجذور - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

أولا، نحسب التعبيرات الجذرية.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2، 2 + 0، 1 0، 5 = 2، 2 + 0، 05 = 2، 25 = 1، 5.

الآن يمكنك حساب قيمة التعبير بأكمله.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

في كثير من الأحيان، يتطلب العثور على معنى تعبير ذي جذور تحويل التعبير الأصلي أولاً. دعونا نشرح ذلك بمثال آخر.

مثال 6: قيمة تعبير رقمي

ما هو 3 + 1 3 - 1 - 1

كما ترون، ليس لدينا القدرة على استبدال الجذر بقيمة محددة، مما يعقد عملية العد. ومع ذلك، في هذه الحالة، يمكنك تطبيق صيغة الضرب المختصرة.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

هكذا:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

التعبيرات مع القوى

إذا كان التعبير يحتوي على صلاحيات، فيجب حساب قيمها قبل متابعة جميع الإجراءات الأخرى. يحدث أن الأس أو أساس الدرجة نفسها عبارة عن تعبيرات. في هذه الحالة، يتم حساب قيمة هذه التعبيرات أولاً، ثم قيمة الدرجة.

مثال 7: قيمة تعبير رقمي

لنوجد قيمة التعبير 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

لنبدأ بالحساب بالترتيب.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

كل ما تبقى هو إجراء عملية الإضافة ومعرفة معنى التعبير:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

يُنصح أيضًا في كثير من الأحيان بتبسيط التعبير باستخدام خصائص الدرجة.

مثال 8: قيمة تعبير رقمي

لنحسب قيمة التعبير التالي: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

الأسس مرة أخرى بحيث لا يمكن الحصول على قيمها العددية الدقيقة. دعونا نبسط التعبير الأصلي لإيجاد قيمته.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

التعبيرات مع الكسور

إذا كان التعبير يحتوي على كسور، فعند حساب مثل هذا التعبير، يجب تمثيل جميع الكسور فيه ككسور عادية وحساب قيمها.

إذا كان بسط ومقام الكسر يحتوي على تعبيرات، يتم حساب قيم هذه التعبيرات أولاً، ويتم تدوين القيمة النهائية للكسر نفسه. يتم تنفيذ العمليات الحسابية بالترتيب القياسي. دعونا نلقي نظرة على الحل المثال.

مثال 9: قيمة تعبير رقمي

لنجد قيمة التعبير الذي يحتوي على كسور: 3، 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

كما ترون، هناك ثلاثة كسور في التعبير الأصلي. دعونا أولا نحسب قيمهم.

3، 2 2 = 3، 2 ÷ 2 = 1، 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

لنعيد كتابة تعبيرنا ونحسب قيمته:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

في كثير من الأحيان، عند العثور على معنى التعبيرات، يكون من المناسب تقليل الكسور. هناك قاعدة غير معلن عنها: قبل العثور على قيمتها، من الأفضل تبسيط أي تعبير إلى الحد الأقصى، وتقليل جميع الحسابات إلى أبسط الحالات.

مثال 10: قيمة تعبير رقمي

لنحسب التعبير 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

لا يمكننا استخراج جذر العدد خمسة بشكل كامل، لكن يمكننا تبسيط التعبير الأصلي من خلال التحويلات.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

التعبير الأصلي يأخذ الشكل:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

دعونا نحسب قيمة هذا التعبير:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

التعبيرات مع اللوغاريتمات

عندما تكون اللوغاريتمات موجودة في تعبير، يتم حساب قيمتها من البداية، إن أمكن. على سبيل المثال، في التعبير سجل 2 4 + 2 · 4، يمكنك على الفور كتابة قيمة هذا اللوغاريتم بدلاً من السجل 2 4، ثم تنفيذ جميع الإجراءات. نحصل على: سجل 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

يمكن أيضًا العثور على التعبيرات الرقمية تحت علامة اللوغاريتم نفسها وفي قاعدتها. في هذه الحالة، أول شيء يجب فعله هو العثور على معانيها. لنأخذ التعبير log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. لدينا:

سجل 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = سجل 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

إذا كان من المستحيل حساب القيمة الدقيقة للوغاريتم، فإن تبسيط التعبير يساعد في العثور على قيمته.

مثال 11: قيمة تعبير رقمي

لنجد قيمة التعبير log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

سجل 2 سجل 2 256 = سجل 2 8 = 3 .

بواسطة خاصية اللوغاريتمات:

سجل 6 2 + سجل 6 3 = سجل 6 (2 3) = سجل 6 6 = 1.

باستخدام خصائص اللوغاريتمات مرة أخرى، بالنسبة للكسر الأخير في التعبير نحصل على:

سجل 5729 سجل 0، 2 27 = سجل 5 729 سجل 1 5 27 = سجل 5 729 - سجل 5 27 = - سجل 27 729 = - سجل 27 27 2 = - 2.

يمكنك الآن المتابعة لحساب قيمة التعبير الأصلي.

سجل 2 سجل 2256 + سجل 6 2 + سجل 6 3 + سجل 5729 سجل 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

التعبيرات مع الدوال المثلثية

يحدث أن يحتوي التعبير على الدوال المثلثية لجيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام، بالإضافة إلى وظائفها العكسية. يتم حساب القيمة من قبل تنفيذ كافة العمليات الحسابية الأخرى. خلاف ذلك، يتم تبسيط التعبير.

مثال 12: قيمة تعبير رقمي

أوجد قيمة التعبير: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

أولاً، نحسب قيم الدوال المثلثية المتضمنة في التعبير.

خطيئة - 5 π 2 = - 1

نستبدل القيم في التعبير ونحسب قيمته:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

تم العثور على قيمة التعبير.

في كثير من الأحيان، للعثور على قيمة تعبير يحتوي على دوال مثلثية، يجب أولاً تحويله. دعونا نشرح مع مثال.

مثال 13: قيمة تعبير رقمي

نحتاج إلى إيجاد قيمة التعبير cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

للتحويل سوف نستخدم الصيغ المثلثية لجيب تمام الزاوية المزدوجة وجيب تمام المجموع.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

الحالة العامة للتعبير الرقمي

بشكل عام، يمكن أن يحتوي التعبير المثلثي على جميع العناصر الموضحة أعلاه: الأقواس، والقوى، والجذور، واللوغاريتمات، والدوال. دعونا صياغة قاعدة عامة لإيجاد معاني مثل هذه التعبيرات.

كيفية العثور على قيمة التعبير

1. الجذور، القوى، اللوغاريتمات، الخ. يتم استبدالها بقيمهم.
2. يتم تنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين.
3. يتم تنفيذ الإجراءات المتبقية بالترتيب من اليسار إلى اليمين. أولا - الضرب والقسمة، ثم - الجمع والطرح.

دعونا نلقي نظرة على مثال.

مثال 14: قيمة تعبير رقمي

لنحسب قيمة التعبير - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

التعبير معقد للغاية ومرهق. لم يكن من قبيل المصادفة أننا اخترنا مثل هذا المثال، بعد أن حاولنا أن نلائم جميع الحالات الموضحة أعلاه. كيف تجد معنى هذا التعبير؟

من المعروف أنه عند حساب قيمة الصورة الكسرية المعقدة، يتم أولاً العثور على قيم البسط ومقام الكسر بشكل منفصل، على التوالي. سنقوم بتحويل وتبسيط هذا التعبير تباعا.

أولًا، دعونا نحسب قيمة التعبير الجذري 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على قيمة الجيب والتعبير الذي يمثل وسيطة الدالة المثلثية.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

الآن يمكنك معرفة قيمة الجيب:

خطيئة π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = خطيئة π 6 + 2 π = خطيئة π 6 = 1 2.

نحسب قيمة التعبير الجذري:

2 خط π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · خطيئة π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

مع مقام الكسر، كل شيء أبسط:

الآن يمكننا كتابة قيمة الكسر بأكمله:

2 · جا π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

ومع أخذ ذلك في الاعتبار، نكتب التعبير بأكمله:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

النتيجة النهائية:

2 · جا π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

في هذه الحالة، تمكنا من حساب القيم الدقيقة للجذور واللوغاريتمات والجيوب وما إلى ذلك. إذا لم يكن ذلك ممكنا، يمكنك محاولة التخلص منها من خلال التحولات الرياضية.

حساب قيم التعبير باستخدام الطرق العقلانية

يجب حساب القيم الرقمية بشكل متسق ودقيق. يمكن ترشيد هذه العملية وتسريعها باستخدام خصائص مختلفة للعمليات مع الأرقام. على سبيل المثال، من المعروف أن المنتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. مع أخذ هذه الخاصية في الاعتبار، يمكننا أن نقول على الفور أن التعبير 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 يساوي صفر. في الوقت نفسه، ليس من الضروري على الإطلاق تنفيذ الإجراءات بالترتيب الموضح في المقالة أعلاه.

ومن الملائم أيضًا استخدام خاصية طرح الأعداد المتساوية. دون تنفيذ أي إجراءات، يمكنك أن تأمر بأن قيمة التعبير 56 + 8 - 3، 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3، 789 ln e 2 هي أيضًا صفر.

أسلوب آخر لتسريع العملية هو استخدام تحويلات الهوية مثل تجميع المصطلحات والعوامل ووضع العامل المشترك خارج الأقواس. الطريقة العقلانية لحساب التعبيرات ذات الكسور هي تقليل نفس التعبيرات في البسط والمقام.

على سبيل المثال، خذ التعبير 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. بدون إجراء العمليات بين قوسين، ولكن بتبسيط الكسر، يمكننا القول أن قيمة التعبير هي 1 3 .

إيجاد قيم التعبيرات ذات المتغيرات

تم العثور على قيمة التعبير الحرفي والتعبير ذو المتغيرات لقيم محددة من الحروف والمتغيرات.

إيجاد قيم التعبيرات ذات المتغيرات

للعثور على قيمة تعبير حرفي وتعبير بمتغيرات، تحتاج إلى استبدال القيم المعطاة من الحروف والمتغيرات في التعبير الأصلي، ثم حساب قيمة التعبير الرقمي الناتج.

مثال 15: قيمة تعبير بمتغيرات

احسب قيمة التعبير 0، 5 x - y بالنظر إلى x = 2، 4 وy = 5.

نستبدل قيم المتغيرات في التعبير ونحسب:

0.5 س - ص = 0.5 2.4 - 5 = 1.2 - 5 = - 3.8.

في بعض الأحيان يمكنك تحويل تعبير بطريقة تحصل على قيمته بغض النظر عن قيم الحروف والمتغيرات المضمنة فيه. للقيام بذلك، تحتاج إلى التخلص من الحروف والمتغيرات في التعبير، إن أمكن، باستخدام تحويلات متطابقة وخصائص العمليات الحسابية وجميع الطرق الأخرى الممكنة.

على سبيل المثال، من الواضح أن التعبير x + 3 - x له القيمة 3، ولحساب هذه القيمة ليس من الضروري معرفة قيمة المتغير x. قيمة هذا التعبير تساوي ثلاثة لجميع قيم المتغير x من نطاق القيم المسموح بها.

مثال آخر. قيمة التعبير x x تساوي واحدًا لجميع علامات x الموجبة.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

لذا، إذا كان التعبير الرقمي يتكون من أرقام وعلامات +، −، · و:، ثم بالترتيب من اليسار إلى اليمين، يجب عليك أولاً إجراء الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح، مما سيسمح لك بالعثور على القيمة المطلوبة للتعبير

دعونا نعطي بعض الأمثلة للتوضيح.

مثال.

احسب قيمة التعبير 14−2·15:6−3.

حل.

للعثور على قيمة التعبير، تحتاج إلى تنفيذ جميع الإجراءات المحددة فيه وفقًا للترتيب المقبول لتنفيذ هذه الإجراءات. أولاً، بالترتيب من اليسار إلى اليمين، نقوم بإجراء الضرب والقسمة، نحصل على 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. الآن نقوم أيضًا بتنفيذ الإجراءات المتبقية بالترتيب من اليسار إلى اليمين: 14−5−3=9−3=6. وهكذا وجدنا قيمة التعبير الأصلي، وهي تساوي 6.

إجابة:

14−2·15:6−3=6.

مثال.

العثور على معنى التعبير.

حل.

في هذا المثال، نحتاج أولًا إلى إجراء الضرب 2·(−7) والقسمة مع الضرب في التعبير . تذكر كيف نجد 2·(−7)=−14. وتنفيذ الإجراءات في التعبير أولا ، وبعد ذلك ، وتنفيذ: .

نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي: .

ولكن ماذا لو كان هناك تعبير عددي تحت علامة الجذر؟ للحصول على قيمة هذا الجذر، يجب عليك أولاً العثور على قيمة التعبير الجذري، مع الالتزام بالترتيب المقبول لتنفيذ الإجراءات. على سبيل المثال، .

في التعبيرات الرقمية، يجب أن يُنظر إلى الجذور على أنها بعض الأرقام، ومن المستحسن استبدال الجذور بقيمها على الفور، ثم العثور على قيمة التعبير الناتج بدون جذور، وتنفيذ الإجراءات بالتسلسل المقبول.

مثال.

العثور على معنى التعبير مع الجذور.

حل.

دعونا أولا العثور على قيمة الجذر . للقيام بذلك، أولًا، نحسب قيمة التعبير الجذري الذي لدينا −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. وثانيًا، نوجد قيمة الجذر.

الآن دعونا نحسب قيمة الجذر الثاني من التعبير الأصلي: .

وأخيرًا، يمكننا إيجاد معنى التعبير الأصلي عن طريق استبدال الجذور بقيمها: .

إجابة:

في كثير من الأحيان، من أجل العثور على معنى التعبير مع الجذور، فمن الضروري أولا تحويله. دعونا نعرض حل المثال.

مثال.

ما هو معنى التعبير .

حل.

لا يمكننا استبدال جذر الثلاثة بقيمته الدقيقة، مما يمنعنا من حساب قيمة هذا التعبير بالطريقة الموضحة أعلاه. ومع ذلك، يمكننا حساب قيمة هذا التعبير عن طريق إجراء تحويلات بسيطة. ملائم صيغة الفرق المربع: . مع الأخذ بعين الاعتبار نحصل على . وبالتالي فإن قيمة التعبير الأصلي هي 1.

إجابة:

.

بالدرجات

إذا كان الأساس والأس أرقامًا، فسيتم حساب قيمتها عن طريق تحديد الدرجة، على سبيل المثال، 3 2 =3·3=9 أو 8 −1 =1/8. هناك أيضًا إدخالات حيث يكون الأساس و/أو الأس عبارة عن بعض التعبيرات. في هذه الحالات، تحتاج إلى العثور على قيمة التعبير في الأساس، وقيمة التعبير في الأس، ثم حساب قيمة الدرجة نفسها.

مثال.

أوجد قيمة التعبير باستخدام قوى النموذج 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4.

حل.

في التعبير الأصلي هناك قوتان 2 3·4−10 و (1−1/2) 3.5−2·1/4. يجب حساب قيمها قبل تنفيذ إجراءات أخرى.

لنبدأ بالقوة 2 3·4−10. يحتوي مؤشرها على تعبير عددي، فلنحسب قيمته: 3·4−10=12−10=2. يمكنك الآن إيجاد قيمة الدرجة نفسها: 2 3·4−10 =2 2 =4.

يحتوي الأساس والأس (1−1/2) 3.5−2 1/4 على تعبيرات؛ نحسب قيمها لكي نجد قيمة الأس. لدينا (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

نعود الآن إلى التعبير الأصلي ونستبدل الدرجات الموجودة فيه بقيمها ونجد قيمة التعبير الذي نحتاجه: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

إجابة:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.

تجدر الإشارة إلى أن هناك حالات أكثر شيوعًا يُنصح فيها بإجراء تمهيدي تبسيط التعبير مع القوىفي القاعدة.

مثال.

العثور على معنى التعبير .

حل.

انطلاقا من الأسس في هذا التعبير، لن يكون من الممكن الحصول على القيم الدقيقة للأسس. دعونا نحاول تبسيط التعبير الأصلي، ربما سيساعد ذلك في العثور على معناه. لدينا

إجابة:

.

غالبًا ما تسير القوى في التعبيرات جنبًا إلى جنب مع اللوغاريتمات، لكننا سنتحدث عن إيجاد معنى التعبيرات ذات اللوغاريتمات في أحدها.

العثور على قيمة التعبير مع الكسور

قد تحتوي التعبيرات الرقمية على كسور في تدوينها. عندما تحتاج إلى إيجاد قيمة مثل هذا التعبير، يجب استبدال الكسور الأخرى غير الكسور بقيمها قبل متابعة باقي الخطوات.

يمكن أن يحتوي بسط ومقام الكسور (التي تختلف عن الكسور العادية) على بعض الأرقام والتعبيرات. لحساب قيمة هذا الكسر، تحتاج إلى حساب قيمة التعبير في البسط، وحساب قيمة التعبير في المقام، ثم حساب قيمة الكسر نفسه. يتم تفسير هذا الترتيب من خلال حقيقة أن الكسر a/b، حيث a و b عبارة عن بعض التعبيرات، يمثل بشكل أساسي خارج القسمة من النموذج (a):(b)، حيث أن .

دعونا نلقي نظرة على الحل المثال.

مثال.

العثور على معنى التعبير مع الكسور .

حل.

هناك ثلاثة كسور في التعبير العددي الأصلي و . لإيجاد قيمة التعبير الأصلي، علينا أولًا التعويض عن هذه الكسور بقيمها. دعونا نفعل هذا.

يحتوي البسط والمقام للكسر على أرقام. للعثور على قيمة هذا الكسر، استبدل شريط الكسر بعلامة القسمة وقم بتنفيذ الإجراء التالي: .

يوجد في بسط الكسر تعبير 7−2·3، ومن السهل العثور على قيمته: 7−2·3=7−6=1. هكذا، . يمكنك المتابعة لإيجاد قيمة الكسر الثالث.

يحتوي الكسر الثالث في البسط والمقام على تعبيرات رقمية، لذلك عليك أولاً حساب قيمها، وهذا سيسمح لك بإيجاد قيمة الكسر نفسه. لدينا .

يبقى استبدال القيم التي تم العثور عليها في التعبير الأصلي وتنفيذ الإجراءات المتبقية: .

إجابة:

.

في كثير من الأحيان، عند العثور على قيم التعبيرات مع الكسور، عليك القيام بذلك تبسيط التعبيرات الكسرية، على أساس إجراء العمليات مع الكسور وتقليل الكسور.

مثال.

العثور على معنى التعبير .

حل.

لا يمكن استخراج جذر العدد خمسة بالكامل، لذا لإيجاد قيمة التعبير الأصلي، دعونا نبسطه أولًا. لهذا دعونا نتخلص من اللاعقلانية في القاسمالكسر الأول: . بعد ذلك، سوف يأخذ التعبير الأصلي النموذج . بعد طرح الكسور، ستختفي الجذور، مما سيسمح لنا بإيجاد قيمة التعبير المعطى في البداية: .

إجابة:

.

مع اللوغاريتمات

إذا كان التعبير الرقمي يحتوي على، وإذا كان من الممكن التخلص منها، يتم ذلك قبل تنفيذ الإجراءات الأخرى. على سبيل المثال، عند العثور على قيمة التعبير log 2 4+2·3، يتم استبدال اللوغاريتم log 2 4 بقيمته 2، وبعد ذلك يتم تنفيذ الإجراءات المتبقية بالترتيب المعتاد، أي log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

عندما تكون هناك تعبيرات رقمية تحت علامة اللوغاريتم و/أو عند قاعدته، يتم العثور على قيمها أولاً، وبعد ذلك يتم حساب قيمة اللوغاريتم. على سبيل المثال، فكر في تعبير يحتوي على لوغاريتم النموذج . عند قاعدة اللوغاريتم وتحت إشارته توجد تعبيرات عددية؛ الآن نجد اللوغاريتم وبعد ذلك نكمل الحسابات: .

إذا لم يتم حساب اللوغاريتمات بدقة، فسيتم التبسيط الأولي لها باستخدام . في هذه الحالة، يجب أن تكون لديك معرفة جيدة بمواد المقالة تحويل التعبيرات اللوغاريتمية.

مثال.

أوجد قيمة التعبير باستخدام اللوغاريتمات .

حل.

لنبدأ بحساب السجل 2 (سجل 2 256) . بما أن 256=2 8، إذن سجل 2256=8، وبالتالي، سجل 2 (سجل 2 256)=سجل 2 8=سجل 2 2 3 =3.

يمكن تجميع اللوغاريتمات log 6 2 و log 6 3. مجموع اللوغاريتمات log 6 2+log 6 3 يساوي لوغاريتم المنتج log 6 (2 3)، وبالتالي، سجل 6 2+سجل 6 3=سجل 6 (2 3)=سجل 6 6=1.

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر. في البداية، سنعيد كتابة قاعدة اللوغاريتم في المقام على شكل كسر عادي مثل 1/5، وبعد ذلك سنستخدم خصائص اللوغاريتمات، والتي ستسمح لنا بالحصول على قيمة الكسر:
.

كل ما تبقى هو استبدال النتائج التي تم الحصول عليها بالتعبير الأصلي والانتهاء من إيجاد قيمته:

إجابة:

كيفية العثور على قيمة التعبير المثلثي؟

عندما يحتوي تعبير رقمي على أو وما إلى ذلك، يتم حساب قيمها قبل تنفيذ إجراءات أخرى. إذا كانت هناك تعبيرات عددية تحت علامة الدوال المثلثية، فسيتم حساب قيمها أولاً، وبعد ذلك يتم العثور على قيم الدوال المثلثية.

مثال.

العثور على معنى التعبير .

حل.

بالانتقال إلى المقال، نحصل على و cosπ=−1 . نعوض بهذه القيم في التعبير الأصلي، فهو يأخذ الشكل . للعثور على قيمتها، عليك أولاً إجراء عملية الأس، ثم إكمال العمليات الحسابية: .

إجابة:

.

تجدر الإشارة إلى أن حساب قيم التعبيرات باستخدام الجيب وجيب التمام وما إلى ذلك. غالبا ما يتطلب مسبقا تحويل التعبير المثلثي.

مثال.

ما هي قيمة التعبير المثلثي .

حل.

لنقم بتحويل التعبير الأصلي باستخدام، في هذه الحالة سنحتاج إلى صيغة جيب تمام الزاوية المزدوجة وصيغة مجموع جيب التمام:

ساعدتنا التحولات التي أجريناها في العثور على معنى التعبير.

إجابة:

.

حالة عامة

بشكل عام، يمكن أن يحتوي التعبير الرقمي على جذور، وقوى، وكسور، وبعض الدوال، والأقواس. يتكون العثور على قيم هذه التعبيرات من تنفيذ الإجراءات التالية:

• الجذور الأولى، القوى، الكسور، الخ. ويتم استبدالهم بقيمهم،
• مزيد من الإجراءات بين قوسين،
• وبالترتيب من اليسار إلى اليمين، يتم تنفيذ العمليات المتبقية - الضرب والقسمة، تليها الجمع والطرح.

يتم تنفيذ الإجراءات المذكورة حتى يتم الحصول على النتيجة النهائية.

مثال.

العثور على معنى التعبير .

حل.

شكل هذا التعبير معقد للغاية. في هذا التعبير نرى الكسور والجذور والقوى والجيب واللوغاريتمات. كيف تجد قيمتها؟

وبالانتقال عبر السجل من اليسار إلى اليمين، نصادف جزءًا صغيرًا من النموذج . نحن نعلم أنه عند التعامل مع الكسور المركبة، نحتاج إلى حساب قيمة البسط بشكل منفصل، والمقام بشكل منفصل، وأخيرًا إيجاد قيمة الكسر.

في البسط لدينا جذر النموذج . لتحديد قيمته، عليك أولاً حساب قيمة التعبير الجذري . هناك جيب هنا. ولا يمكننا إيجاد قيمته إلا بعد حساب قيمة التعبير . هذا يمكننا القيام به : . ثم من أين ومن .

القاسم بسيط: .

هكذا، .

بعد استبدال هذه النتيجة في التعبير الأصلي، فإنه سوف يأخذ الشكل . يحتوي التعبير الناتج على الدرجة. للعثور على قيمته، علينا أولاً العثور على قيمة المؤشر، لدينا .

لذا، .

إجابة:

.

إذا لم يكن من الممكن حساب القيم الدقيقة للجذور والقوى وما إلى ذلك، فيمكنك محاولة التخلص منها باستخدام بعض التحويلات، ثم العودة لحساب القيمة وفقًا للمخطط المحدد.

طرق عقلانية لحساب قيم التعبيرات

يتطلب حساب قيم التعبيرات الرقمية الاتساق والدقة. نعم، من الضروري الالتزام بتسلسل الإجراءات المسجلة في الفقرات السابقة، لكن لا داعي للقيام بذلك بشكل أعمى وآلي. ما نعنيه بهذا هو أنه من الممكن في كثير من الأحيان ترشيد عملية العثور على معنى التعبير. على سبيل المثال، يمكن لخصائص معينة للعمليات مع الأرقام تسريع وتبسيط عملية العثور على قيمة التعبير بشكل كبير.

على سبيل المثال، نحن نعرف خاصية الضرب هذه: إذا كان أحد عوامل حاصل الضرب يساوي صفرًا، فإن قيمة حاصل الضرب تساوي صفرًا. باستخدام هذه الخاصية، يمكننا أن نقول على الفور أن قيمة التعبير 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) يساوي صفرًا. إذا اتبعنا الترتيب القياسي للعمليات، فسيتعين علينا أولاً حساب قيم التعبيرات المرهقة الموجودة بين قوسين، الأمر الذي سيستغرق الكثير من الوقت، وستظل النتيجة صفرًا.

من السهل أيضًا استخدام خاصية طرح الأعداد المتساوية: إذا قمت بطرح عدد متساوٍ من رقم، تكون النتيجة صفرًا. يمكن النظر إلى هذه الخاصية على نطاق أوسع: الفرق بين تعبيرين رقميين متطابقين هو صفر. على سبيل المثال، بدون حساب قيمة التعبيرات الموجودة بين قوسين، يمكنك العثور على قيمة التعبير (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3)، فهو يساوي صفرًا، لأن التعبير الأصلي هو الفرق بين التعبيرات المتماثلة.

تحويلات الهوية يمكن أن تسهل الحساب العقلاني لقيم التعبير. على سبيل المثال، يمكن أن يكون تجميع المصطلحات والعوامل مفيدًا؛ كما أن وضع العامل المشترك خارج الأقواس ليس أقل استخدامًا. لذلك يمكن العثور بسهولة على قيمة التعبير 53·5+53·7−53·11+5 بعد إخراج العامل 53 من الأقواس: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. سوف يستغرق الحساب المباشر وقتًا أطول بكثير.

في ختام هذه النقطة، دعونا ننتبه إلى النهج العقلاني لحساب قيم التعبيرات ذات الكسور - يتم إلغاء العوامل المتطابقة في بسط ومقام الكسر. على سبيل المثال، تقليل نفس التعبيرات في بسط ومقام الكسر يسمح لك بالعثور على قيمته على الفور، والتي تساوي 1/2.

إيجاد قيمة التعبير الحرفي والتعبير ذو المتغيرات

تم العثور على قيمة التعبير الحرفي والتعبير ذو المتغيرات لقيم محددة من الحروف والمتغيرات. أي أننا نتحدث عن إيجاد قيمة تعبير حرفي لقيم أحرف معينة، أو عن إيجاد قيمة تعبير بمتغيرات لقيم متغيرة محددة.

قاعدةالعثور على قيمة تعبير حرفي أو تعبير بمتغيرات لقيم معينة من الحروف أو قيم متغيرات محددة هو كما يلي: تحتاج إلى استبدال القيم المعطاة من الحروف أو المتغيرات في التعبير الأصلي، وحساب قيمة التعبير الرقمي الناتج هي القيمة المطلوبة.

مثال.

احسب قيمة التعبير 0.5·x−y عند x=2.4 وy=5.

حل.

للعثور على القيمة المطلوبة للتعبير، عليك أولاً استبدال القيم المعطاة للمتغيرات في التعبير الأصلي، ثم تنفيذ الخطوات التالية: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

إجابة:

−3,8 .

كملاحظة أخيرة، أحيانًا يؤدي إجراء التحويلات على التعبيرات الحرفية والمتغيرة إلى الحصول على قيمها، بغض النظر عن قيم الحروف والمتغيرات. على سبيل المثال، يمكن تبسيط التعبير x+3−x، وبعد ذلك سيأخذ الشكل 3. ومن هذا يمكننا أن نستنتج أن قيمة التعبير x+3−x تساوي 3 لأي قيم للمتغير x من نطاق القيم المسموح بها (APV). مثال آخر: قيمة التعبير تساوي 1 لجميع القيم الموجبة لـ x، وبالتالي فإن نطاق القيم المسموح بها للمتغير x في التعبير الأصلي هو مجموعة الأرقام الموجبة، وفي هذا النطاق المساواة يحمل.

مراجع.

• الرياضيات: الكتاب المدرسي للصف الخامس. التعليم العام المؤسسات / N. Ya Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - الطبعة الحادية والعشرون، محذوفة. - م: منيموسين، 2007. - 280 ص: مريض. ردمك 5-346-00699-0.
• الرياضيات.الصف السادس: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات / [ن. يا فيلينكين وآخرون]. - الطبعة 22، المراجعة. - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00897-2.
• الجبر:كتاب مدرسي للصف السابع التعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ تم تحريره بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة 17. - م: التربية، 2008. - 240 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019315-3.
• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. التعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ تم تحريره بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• الجبر:الصف التاسع: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ تم تحريره بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2009. - 271 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-021134-5.
• الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. التعليم العام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف – الطبعة الرابعة عشرة – م: التعليم، 2004. – 384 صفحة: مريض – ISBN 5-09-013651-3.

تناولنا في مقرر الجبر للصف السابع تحويلات العبارات الصحيحة، أي العبارات المكونة من أرقام ومتغيرات باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب، وكذلك القسمة على عدد غير الصفر. لذا فإن التعبيرات هي أعداد صحيحة

وعلى النقيض من ذلك، فإن التعبيرات

بالإضافة إلى عمليات الجمع والطرح والضرب، فهي تحتوي على القسمة إلى تعبير ذو متغيرات. تسمى هذه التعبيرات بالتعبيرات الكسرية.

تسمى التعبيرات الصحيحة والكسرية بالتعبيرات العقلانية.

يكون التعبير بأكمله منطقيًا لأي قيم للمتغيرات المضمنة فيه، لأنه للعثور على قيمة التعبير بأكمله، عليك تنفيذ الإجراءات التي تكون ممكنة دائمًا.

قد لا يكون التعبير الكسري منطقيًا بالنسبة لبعض القيم المتغيرة. على سبيل المثال، التعبير - ليس له معنى عندما يكون a = 0. بالنسبة لجميع القيم الأخرى لـ a، يكون هذا التعبير منطقيًا. التعبير منطقي بالنسبة لقيم x و y عندما يكون x ≠ y.

تسمى قيم المتغيرات التي يكون التعبير منطقيًا لها قيمًا صالحة للمتغيرات.

يُعرف التعبير عن النموذج بالكسر.

الكسر الذي بسطه ومقامه متعددو الحدود يسمى كسرًا عقلانيًا.

أمثلة على الكسور العقلانية هي الكسور

في الكسر العقلاني، القيم المقبولة للمتغيرات هي تلك التي لا يختفي مقام الكسر فيها.

مثال 1.دعونا نجد القيم المقبولة للمتغير في الكسر

حلللعثور على قيم مقام الكسر الذي يصبح صفرًا، تحتاج إلى حل المعادلة أ(أ - 9) = 0. هذه المعادلة لها جذرين: 0 و 9. لذلك، جميع الأرقام باستثناء 0 و 9 هي قيم صالحة للمتغير a.

مثال 2.ما قيمة x هي قيمة الكسر يساوي الصفر؟

حليكون الكسر صفرًا إذا وفقط إذا كان a - 0 وb ≠ 0.