درس من سلسلة "الخوارزميات الهندسية"

مرحبا عزيزي القارئ!

سنبدأ اليوم في تعلم الخوارزميات المتعلقة بالهندسة. والحقيقة هي أن هناك الكثير من مشاكل الأولمبياد في علوم الكمبيوتر المتعلقة بالهندسة الحسابية، وغالبًا ما يسبب حل مثل هذه المشكلات صعوبات.

على مدار عدة دروس، سننظر في عدد من المهام الفرعية الأولية التي يعتمد عليها حل معظم المشكلات في الهندسة الحسابية.

في هذا الدرس سوف نقوم بإنشاء برنامج ل إيجاد معادلة الخط، يمر عبر معين نقطتين. لحل المسائل الهندسية، نحتاج إلى بعض المعرفة بالهندسة الحسابية. وسنخصص جزءًا من الدرس للتعرف عليهم.

رؤى من الهندسة الحسابية

الهندسة الحسابية هي فرع من علوم الكمبيوتر يدرس الخوارزميات لحل المشكلات الهندسية.

يمكن أن تكون البيانات الأولية لمثل هذه المسائل عبارة عن مجموعة من النقاط على المستوى، أو مجموعة من القطاعات، أو مضلع (يتم تحديده، على سبيل المثال، من خلال قائمة رؤوسه بترتيب اتجاه عقارب الساعة)، وما إلى ذلك.

يمكن أن تكون النتيجة إما إجابة لبعض الأسئلة (مثل هل تنتمي نقطة إلى قطعة قطعة، أو هل يتقاطع قطعتان، ...)، أو كائن هندسي ما (على سبيل المثال، أصغر مضلع محدب يربط نقاط معينة، مساحة مضلع، وما إلى ذلك).

سننظر في مشاكل الهندسة الحسابية فقط على المستوى وفي نظام الإحداثيات الديكارتية فقط.

المتجهات والإحداثيات

لتطبيق أساليب الهندسة الحسابية، لا بد من ترجمة الصور الهندسية إلى لغة الأرقام. سنفترض أن المستوى مُعطى لنظام إحداثيات ديكارتي، حيث يُسمى اتجاه الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة موجبًا.

الآن تتلقى الكائنات الهندسية تعبيرًا تحليليًا. لذلك، لتحديد نقطة ما، يكفي الإشارة إلى إحداثياتها: زوج من الأرقام (x؛ y). يمكن تحديد القطعة من خلال الإشارة إلى إحداثيات طرفيها، ويمكن تحديد الخط المستقيم من خلال الإشارة إلى إحداثيات زوج من نقاطه.

لكن أداتنا الرئيسية لحل المشكلات ستكون المتجهات. ولذلك اسمحوا لي أن أذكر بعض المعلومات عنهم.

شريحة أ.ب، والتي لديها نقطة أتعتبر البداية (نقطة التطبيق)، والنقطة في- النهاية، تسمى المتجه أ.بويُشار إليه إما بحرف صغير غامق، على سبيل المثال أ .

للإشارة إلى طول المتجه (أي طول القطعة المقابلة)، سنستخدم رمز المعامل (على سبيل المثال، ).

سيكون للمتجه التعسفي إحداثيات مساوية للفرق بين الإحداثيات المقابلة لنهايته وبدايته:

,

هنا النقاط أو ب لها إحداثيات على التوالى.

للحسابات سوف نستخدم هذا المفهوم زاوية موجهةأي الزاوية التي تأخذ في الاعتبار الموقع النسبي للمتجهات.

الزاوية الموجهة بين المتجهات أ و ب موجب إذا كان الدوران من المتجه أ إلى المتجه ب يتم تنفيذه في اتجاه إيجابي (عكس اتجاه عقارب الساعة) وسالب في الحالة الأخرى. انظر الشكل 1 أ، الشكل 1 ب. ويقال أيضًا أن هناك زوجًا من المتجهات أ و ب موجهة بشكل إيجابي (سلبي).

وبالتالي فإن قيمة الزاوية الموجهة تعتمد على الترتيب الذي يتم به إدراج المتجهات ويمكن أن تأخذ قيمًا في الفاصل الزمني.

تستخدم العديد من المشكلات في الهندسة الحسابية مفهوم نواتج المتجهات (الانحراف أو العددية الزائفة) للمتجهات.

حاصل ضرب المتجهين a وb هو حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما:

.

المنتج الاتجاهي للمتجهات في الإحداثيات:

التعبير الموجود على اليمين هو محدد من الدرجة الثانية:

على عكس التعريف الوارد في الهندسة التحليلية، فهو عددي.

تحدد علامة منتج المتجه موضع المتجهات بالنسبة لبعضها البعض:

أ و ب موجهة بشكل إيجابي.

إذا كانت القيمة هي زوج من المتجهات أ و ب موجهة سلبا.

الضرب الاتجاهي للمتجهات غير الصفرية يكون صفرًا إذا وفقط إذا كانت على خط مستقيم ( ). وهذا يعني أنهما يقعان على نفس الخط أو على خطوط متوازية.

دعونا نلقي نظرة على بعض المشاكل البسيطة الضرورية عند حل المشكلات الأكثر تعقيدًا.

دعونا نحدد معادلة الخط المستقيم من إحداثيات نقطتين.

معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين مختلفتين تحددهما إحداثياتهما.

لنفترض نقطتين غير متطابقتين على خط مستقيم: بإحداثيات (x1; y1) وبإحداثيات (x2; y2). وبناء على ذلك، فإن المتجه الذي يبدأ عند نقطة وينتهي عند نقطة له إحداثيات (x2-x1، y2-y1). إذا كانت P(x, y) نقطة عشوائية على خطنا، فإن إحداثيات المتجه تساوي (x-x1, y – y1).

باستخدام منتج المتجهات، يمكن كتابة شرط العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات على النحو التالي:

أولئك. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

نعيد كتابة المعادلة الأخيرة على النحو التالي:

الفأس + بواسطة + ج = 0، (1)

ج = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

لذلك يمكن تحديد الخط المستقيم بمعادلة على الصورة (1).

المشكلة 1. يتم إعطاء إحداثيات نقطتين. أوجد تمثيلها في الصورة ax + by + c = 0.

تعلمنا في هذا الدرس بعض المعلومات عن الهندسة الحسابية. لقد حللنا مسألة إيجاد معادلة الخط المستقيم من إحداثيات نقطتين.

في الدرس التالي سوف نقوم بإنشاء برنامج لإيجاد نقطة تقاطع خطين معطاة في معادلاتنا.

تعريف.يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

علاوة على ذلك، فإن الثوابتين A وB لا يساويان الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى المعادلة العامة للخط المستقيم.اعتمادًا على قيم الثوابت A وB وC، من الممكن حدوث الحالات الخاصة التالية:

C = 0، A ≠0، B ≠ 0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل

A = 0، B ≠0، C ≠0 (بواسطة + C = 0) - خط مستقيم موازٍ لمحور الثور

B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0) – خط مستقيم موازٍ لمحور Oy

ب = ج = 0، أ ≠0 – الخط المستقيم يتزامن مع محور أوي

أ = ج = 0، ب ≠0 – الخط المستقيم يتزامن مع محور الثور

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم من نقطة والمتجه العادي

تعريف.في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، يكون المتجه ذو المكونات (A، B) متعامدًا مع الخط المستقيم المعطى بالمعادلة Ax + By + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة A(1, 2) العمودي على (3, -1).

حل. مع A = 3 وB = -1، دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. للعثور على المعامل C، نعوض بإحداثيات النقطة A المعطاة في التعبير الناتج، ونحصل على: 3 – 2 + C = 0 ، وبالتالي C = -1 . المجموع: المعادلة المطلوبة: 3س – ص – 1 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين

دع النقطتين M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2) معطاة في الفضاء، فإن معادلة الخط الذي يمر بهذه النقاط هي:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر، على المستوى، يتم تبسيط معادلة الخط المكتوب أعلاه:

إذا كان x 1 ≠ x 2 و x = x 1، إذا كان x 1 = x 2.

الكسر = k يسمى المنحدرمباشر.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1, 2) وB(3, 4).

حل.وبتطبيق الصيغة المكتوبة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومنحدر

إذا كان مجموع Ax + Bu + C = 0، يؤدي إلى النموذج:

وتعيين ، ثم تسمى المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم مع الميلك.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه الاتجاه

عن طريق القياس مع النقطة التي تعتبر معادلة الخط المستقيم من خلال ناقل عادي، يمكنك إدخال تعريف الخط المستقيم من خلال نقطة ومتجه التوجيه للخط المستقيم.

تعريف.كل متجه غير صفري (α 1, α 2) تفي مكوناته بالشرط A α 1 + B α 2 = 0 يسمى متجهًا موجهًا للخط

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه (1، -1) ويمر بالنقطة أ(1، 2).

حل.سنبحث عن معادلة الخط المطلوب بالشكل: Ax + By + C = 0. ووفقاً للتعريف، يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1 * أ + (-1) * ب = 0، أي. أ = ب.

ثم معادلة الخط المستقيم لها الشكل: Ax + Ay + C = 0، أو x + y + C / A = 0. بالنسبة لـ x = 1، y = 2 نحصل على C/ A = -3، أي. المعادلة المطلوبة:

معادلة الخط في القطاعات

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С≠0، فبالقسمة على –С نحصل على: أو

المعنى الهندسي للمعاملات هو المعامل أهي إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع محور الثور و ب– إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور أوي.

مثال.المعادلة العامة للخط x – y + 1 = 0 معطاة.

ج = 1، أ = -1، ب = 1.

المعادلة العادية للخط

إذا تم ضرب طرفي المعادلة Ax + By + C = 0 في العدد الذي يسمى عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ص = 0 –

المعادلة العادية للخط. يجب اختيار العلامة ± لعامل التطبيع بحيث تكون μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

مثال. المعادلة العامة للخط 12x – 5y – 65 = 0 مطلوب كتابة أنواع مختلفة من المعادلات لهذا الخط.

معادلة هذا الخط في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

; كوس φ = 12/13؛ خطيئة φ= -5/13; ع = 5.

تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تمثيل كل خط مستقيم بمعادلة في قطاعات، على سبيل المثال، خطوط مستقيمة موازية للمحاور أو تمر بأصل الإحداثيات.

مثال. يقطع الخط المستقيم الأجزاء الموجبة المتساوية على محاور الإحداثيات. اكتب معادلة للخط المستقيم إذا كانت مساحة المثلث المكون من هذه القطع 8 سم2.

حل.معادلة الخط المستقيم لها الشكل: , ab /2 = 8; أب = 16؛ أ=4، أ=-4. أ = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

مثال. اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة A(-2, -3) ونقطة الأصل.

حل. معادلة الخط المستقيم هي : , حيث x 1 = y 1 = 0; س 2 = -2؛ ص2 = -3.

الزاوية بين الخطوط المستقيمة على المستوى

تعريف.إذا تم إعطاء خطين y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2، فسيتم تعريف الزاوية الحادة بين هذه الخطوط على أنها

.

خطان متوازيان إذا كان k 1 = k 2. يكون الخطان متعامدين إذا كان k 1 = -1/ k 2.

نظرية.الخطوط Ax + Bу + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 تكون متوازية عندما تكون المعاملات A 1 = lectA، B 1 = lectB متناسبة. وإذا كان C 1 = lect أيضًا، فإن الخطوط متطابقة. تم العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة عموديًا على مستقيم معين

تعريف.الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1, y 1) وعمودي على الخط المستقيم y = kx + b يمثل بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط

نظرية.إذا تم إعطاء نقطة M(x 0, y 0)، فسيتم تحديد المسافة إلى الخط Ax + Bу + C = 0 على النحو التالي

.

دليل.لتكن النقطة M 1 (x 1, y 1) قاعدة عمودي يسقط من النقطة M على خط مستقيم معين. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

(1)

يمكن إيجاد الإحداثيات x 1 و y 1 عن طريق حل نظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة M 0 عمودي على خط معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س – س 0) + ب(ص – ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

مثال. تحديد الزاوية بين السطور: y = -3 x + 7; ص = 2 س + 1.

ك 1 = -3؛ ك 2 = 2؛ تغφ = ; φ= π /4.

مثال. بيّن أن الخطين 3x – 5y + 7 = 0 و 10x + 6y – 3 = 0 متعامدان.

حل. نجد: ك 1 = 3/5، ك 2 = -5/3، ك 1* ك 2 = -1، وبالتالي فإن الخطوط المتعامدة.

مثال. فيما يلي رؤوس المثلث A(0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1). أوجد معادلة الارتفاع المرسوم من الرأس C.

حل. نجد معادلة الجانب AB: ; 4 س = 6 ص - 6؛

2 س – 3 ص + 3 = 0;

معادلة الارتفاع المطلوبة لها الشكل: Ax + By + C = 0 أو y = kx + b. ك = . ثم ص = . لأن ويمر الارتفاع بالنقطة C، فإن إحداثياته ​​تحقق هذه المعادلة: من حيث ب = 17. المجموع: .

الإجابة: 3 س + 2 ص – 34 = 0.

خواص الخط المستقيم في الهندسة الإقليدية.

يمكن رسم عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة عبر أي نقطة.

من خلال أي نقطتين غير متطابقتين يمكن رسم خط مستقيم واحد.

خطان متباعدان في المستوى إما يتقاطعان في نقطة واحدة أو يتقاطعان

بالتوازي (يتبع من السابق).

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، هناك ثلاثة خيارات للموضع النسبي لخطين:

• تتقاطع الخطوط؛

• الخطوط متوازية

• تتقاطع الخطوط المستقيمة.

مستقيم خط— منحنى جبري من الدرجة الأولى: خط مستقيم في نظام الإحداثيات الديكارتية

يتم إعطاؤه على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى (معادلة خطية).

المعادلة العامة للخط المستقيم.

تعريف. يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

وثابت أ، بلا تساوي الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى عام

معادلة الخط المستقيم.اعتمادا على قيم الثوابت أ، بو معالحالات الخاصة التالية ممكنة:

. ج = 0، أ ≠0، ب ≠ 0- يمر خط مستقيم بنقطة الأصل

. أ = 0، ب ≠0، ج ≠0 (بواسطة + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = 0، أ ≠0، ج ≠ 0 (الفأس + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = ج = 0، أ ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور أوه

. أ = ج = 0، ب ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور أوه

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي معطى

الشروط الأولية.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه عادي.

تعريف. في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، متجه ذو مكونات (A، B)

عمودي على الخط الذي تعطيه المعادلة

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط الذي يمر بنقطة أ(1، 2)عمودي على المتجه (3, -1).

حل. مع A = 3 وB = -1، دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. لإيجاد المعامل C

لنعوض بإحداثيات النقطة A المعطاة في التعبير الناتج، وبذلك نحصل على: 3 - 2 + C = 0

ج = -1. المجموع: المعادلة المطلوبة: 3س - ص - 1 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين.

دعونا نعطي نقطتين في الفضاء م 1 (س 1 ، ص 1 ، ض 1)و م2 (س 2، ص 2، ض 2)،ثم معادلة الخط,

المرور عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر. على

المستوى، تم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

لو × 1 ≠ × 2و س = س 1، لو × 1 = × 2 .

جزء = كمُسَمًّى المنحدر مباشر.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1, 2) وB(3, 4).

حل. وبتطبيق الصيغة المكتوبة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة والمنحدر.

إذا كانت المعادلة العامة للخط الفأس + وو + C = 0يؤدي إلى:

وتعيين ، ثم تسمى المعادلة الناتجة

معادلة الخط المستقيم مع الميل ك.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه الاتجاه.

قياسا على النقطة التي تفكر في معادلة خط مستقيم من خلال المتجه العادي، يمكنك إدخال المهمة

خط مستقيم عبر نقطة ومتجه توجيه لخط مستقيم.

تعريف. كل ناقل غير الصفر (α 1 ، α 2)والتي تكون مكوناتها مستوفية للشرط

أألفا 1 + بألفا 2 = 0مُسَمًّى توجيه متجه لخط مستقيم.

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه (1، -1) ويمر بالنقطة أ(1، 2).

حل. سنبحث عن معادلة الخط المطلوب بالشكل: الفأس + بواسطة + C = 0.وفقا للتعريف ،

يجب أن تستوفي المعاملات الشروط التالية:

1 * أ + (-1) * ب = 0، أي. أ = ب.

ثم معادلة الخط المستقيم لها الشكل: الفأس + آي + ج = 0،أو س + ص + ج / أ = 0.

في س = 1، ص = 2نحصل عليها ج/أ = -3، أي. المعادلة المطلوبة:

س + ص - 3 = 0

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С≠0، فبالقسمة على -С نحصل على:

أو أين

المعنى الهندسي للمعاملات هو أن المعامل a هو إحداثي نقطة التقاطع

مستقيم مع المحور أوه،أ ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور أوه.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم س - ص + 1 = 0.أوجد معادلة هذا الخط مقسمة إلى شرائح.

ج = 1، أ = -1، ب = 1.

المعادلة العادية للخط.

إذا كان طرفا المعادلة الفأس + وو + C = 0القسمة على العدد الذي يسمى

عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ص = 0 -المعادلة العادية للخط.

يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ*ج< 0.

ص- طول العمود الذي يسقط من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم،

أ φ - الزاوية التي يشكلها هذا المتعامد مع الاتجاه الموجب للمحور أوه.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط 12س - 5ص - 65 = 0. مطلوب لكتابة أنواع مختلفة من المعادلات

هذا الخط المستقيم.

معادلة هذا الخط في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

معادلة الخط:

كوس φ = 12/13؛ خطيئة φ= -5/13; ع = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه ليس كل خط مستقيم يمكن تمثيله بمعادلة مقطعة، على سبيل المثال الخطوط المستقيمة،

موازية للمحاور أو مارة بنقطة الأصل.

الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة على المستوى.

تعريف. إذا تم إعطاء سطرين ص = ك 1 س + ب 1 , ص = ك 2 س + ب 2ثم الزاوية الحادة بين هذين الخطين

سيتم تعريفها على أنها

خطان متوازيان إذا ك 1 = ك 2. خطان متعامدان

لو ك 1 = -1/ ك 2 .

نظرية.

مباشر الفأس + وو + C = 0و أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0متوازي عندما تكون المعاملات متناسبة

أ 1 = α، ب 1 = κB. إذا أيضا ص 1 = ك، ثم تتطابق الخطوط. إحداثيات نقطة تقاطع خطين

تم العثور عليها كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة معينة وعمودي على مستقيم معين.

تعريف. خط يمر عبر نقطة م 1 (س 1، ص 1)وعمودي على الخط ص = ك س + ب

ممثلة بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا تم إعطاء نقطة م(س 0، ص 0)،ثم المسافة إلى الخط المستقيم الفأس + وو + C = 0تم تعريفها على أنها:

دليل. دع هذه النقطة م 1 (س 1، ص 1)- قاعدة عمودي سقط من نقطة ما مل معين

مباشر. ثم المسافة بين النقاط مو م 1:

(1)

الإحداثيات × 1و في 1يمكن إيجادها كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة M 0 بشكل عمودي

نظرا لخط مستقيم. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س - س 0) + ب(ص - ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة في اتجاه معين. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين معلومتين. الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين. حالة التوازي والتعامد بين خطين مستقيمين. تحديد نقطة تقاطع خطين

1. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة معينة أ(س 1 , ذ 1) في اتجاه معين يحدده المنحدر ك,

ذ - ذ 1 = ك(س - س 1). (1)

تحدد هذه المعادلة قلم رصاص من الخطوط التي تمر عبر نقطة ما أ(س 1 , ذ 1) وهو ما يسمى مركز الشعاع.

2. معادلة الخط الذي يمر بنقطتين: أ(س 1 , ذ 1) و ب(س 2 , ذ 2) تكتب هكذا:

يتم تحديد المعامل الزاوي لخط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين بواسطة الصيغة

3. الزاوية بين الخطوط المستقيمة أو بهي الزاوية التي يجب أن يدور بها الخط المستقيم الأول أحول نقطة تقاطع هذه الخطوط عكس اتجاه عقارب الساعة حتى تتزامن مع الخط الثاني ب. إذا تم إعطاء خطين مستقيمين بواسطة معادلات ذات ميل

ذ = ك 1 س + ب 1 ,

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين. في المقال" " لقد وعدتك بإلقاء نظرة على الطريقة الثانية لحل المسائل المطروحة لإيجاد المشتقة، مع إعطاء رسم بياني للدالة ومماس لهذا الرسم البياني. سنناقش هذه الطريقة في ، لا تفوت! لماذافي اليوم التالي؟

الحقيقة هي أنه سيتم استخدام صيغة معادلة الخط المستقيم هناك. بالطبع، يمكننا ببساطة أن نعرض هذه الصيغة وننصحك بتعلمها. لكن من الأفضل شرح مصدرها (كيف يتم اشتقاقها). هذا ضروري! إذا نسيت ذلك، يمكنك استعادته بسرعةلن يكون صعبا. كل شيء موصوف بالتفصيل أدناه. إذن، لدينا نقطتان A على المستوى الإحداثي(x 1;y 1) وB(x 2;y 2)، يتم رسم خط مستقيم من خلال النقاط المشار إليها:

هذه هي الصيغة المباشرة نفسها:

*أي أنه عند التعويض بإحداثيات محددة للنقاط نحصل على معادلة على الصورة y=kx+b.

**إذا قمت ببساطة "بحفظ" هذه الصيغة، فهناك احتمال كبير للخلط مع المؤشرات متى X. بالإضافة إلى ذلك، يمكن تعيين المؤشرات بطرق مختلفة، على سبيل المثال:

ولهذا السبب من المهم فهم المعنى.

الآن اشتقاق هذه الصيغة. انها بسيطة جدا!

المثلثان ABE وACF متشابهان في الزاوية الحادة (أول علامة على تشابه المثلثات القائمة). ويترتب على ذلك أن نسب العناصر المتناظرة متساوية، أي:

الآن نعبر ببساطة عن هذه المقاطع من خلال الفرق في إحداثيات النقاط:

بالطبع لن يكون هناك خطأ إذا كتبت علاقات العناصر بترتيب مختلف (الشيء الرئيسي هو الحفاظ على الاتساق):

وستكون النتيجة نفس معادلة الخط. هذا كل شيء!

أي أنه بغض النظر عن كيفية تحديد النقاط نفسها (وإحداثياتها)، فمن خلال فهم هذه الصيغة ستجد دائمًا معادلة الخط المستقيم.

يمكن اشتقاق الصيغة باستخدام خصائص المتجهات، لكن مبدأ الاشتقاق سيكون هو نفسه، لأننا سنتحدث عن تناسب إحداثياتها. في هذه الحالة، يعمل نفس التشابه في المثلثات القائمة. في رأيي أن الاستنتاج الموضح أعلاه أكثر وضوحًا)).

عرض الإخراج باستخدام إحداثيات المتجهات >>>

لنرسم خطًا مستقيمًا على المستوى الإحداثي الذي يمر عبر نقطتين محددتين A(x 1;y 1) وB(x 2;y 2). دعونا نحدد نقطة عشوائية C على الخط مع الإحداثيات ( س; ذ). نشير أيضًا إلى متجهين:

من المعروف أنه بالنسبة للمتجهات الواقعة على خطوط متوازية (أو على نفس الخط)، فإن إحداثياتها المقابلة تكون متناسبة، أي:

— نكتب المساواة في نسب الإحداثيات المقابلة:

دعونا نلقي نظرة على مثال:

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين إحداثياتهما (5;2) و(3:7).

ليس عليك حتى بناء الخط المستقيم نفسه. نحن نطبق الصيغة:

من المهم أن تفهم المراسلات عند رسم النسبة. لا يمكنك أن تخطئ إذا كتبت:

الإجابة: ص=-2/5س+29/5 ذ=-0.4س+5.8

من أجل التأكد من العثور على المعادلة الناتجة بشكل صحيح، تأكد من التحقق - استبدال إحداثيات البيانات في حالة النقاط الموجودة فيها. يجب أن تكون المعادلات صحيحة.

هذا كل شيء. آمل أن تكون المادة مفيدة لك.

مع أطيب التحيات، الكسندر.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.