كيف يتم العثور على مساحة السطح الجانبية للمخروط؟ إجمالي مساحة سطح المخروط هو

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما بهذا العمل، يرجى تحميل النسخة الكاملة.

نوع الدرس:درس في تعلم مواد جديدة باستخدام عناصر طريقة التدريس التنموية القائمة على حل المشكلات.

أهداف الدرس:

• التعليمية:
  • التعرف على مفهوم رياضي جديد؛
  • إنشاء مراكز تدريب جديدة؛
  • تكوين مهارات حل المشكلات العملية.
• النامية:
  • تنمية التفكير المستقل للطلاب.
  • تنمية مهارات الكلام الصحيح لأطفال المدارس.
• التعليمية:
  • تطوير مهارات العمل الجماعي.

معدات الدرس:لوحة مغناطيسية، كمبيوتر، شاشة، جهاز عرض متعدد الوسائط، نموذج مخروطي، عرض الدرس، النشرات.

أهداف الدرس (للطلاب):

• التعرف على مفهوم هندسي جديد - المخروط؛
• استخلاص صيغة لحساب مساحة سطح المخروط.
• تعلم كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة عند حل المشكلات العملية.

تقدم الدرس

المرحلة الأولى. التنظيمية.

تسليم دفاتر الملاحظات مع عمل الاختبار المنزلي حول الموضوع الذي يتم تناوله.

الطلاب مدعوون لمعرفة موضوع الدرس القادم من خلال حل اللغز (الشريحة 1):

الشكل 1.

الإعلان عن موضوع الدرس وأهدافه للطلاب (الشريحة 2).

المرحلة الثانية. شرح مادة جديدة .

1) محاضرة المعلم.

يوجد على السبورة طاولة عليها صورة مخروط. يتم شرح المادة الجديدة مصحوبة بمواد البرنامج "القياس المجسم". تظهر صورة ثلاثية الأبعاد للمخروط على الشاشة. يعطي المعلم تعريف المخروط ويتحدث عن عناصره. (الشريحة 3). يقال أن المخروط هو جسم يتكون من دوران مثلث قائم الزاوية بالنسبة إلى الساق. (الشريحتان 4، 5).تظهر صورة لمسح السطح الجانبي للمخروط. (الشريحة 6)

2) العمل العملي.

تحديث المعرفة الأساسية: كرر الصيغ لحساب مساحة الدائرة، مساحة القطاع، طول الدائرة، طول قوس الدائرة. (الشرائح 7-10)

يتم تقسيم الفصل إلى مجموعات. تتلقى كل مجموعة مسحًا ضوئيًا للسطح الجانبي للمخروط المقطوع من الورق (قطاع من الدائرة برقم مخصص). يأخذ الطلاب القياسات اللازمة ويحسبون مساحة القطاع الناتج. تظهر على الشاشة تعليمات أداء العمل والأسئلة - بيانات المشكلة (الشرائح 11-14). يقوم ممثل كل مجموعة بتدوين نتائج الحسابات في جدول معد على السبورة. يقوم المشاركون في كل مجموعة بلصق نموذج مخروطي من النموذج الذي لديهم. (الشريحة 15)

3) بيان المشكلة وحلها.

كيفية حساب مساحة السطح الجانبية للمخروط إذا كان نصف قطر القاعدة وطول المخروط معروفين فقط؟ (الشريحة 16)

تأخذ كل مجموعة القياسات اللازمة وتحاول استخلاص صيغة لحساب المساحة المطلوبة باستخدام البيانات المتاحة. عند القيام بهذا العمل، يجب أن يلاحظ الطلاب أن محيط قاعدة المخروط يساوي طول قوس القطاع - تطور السطح الجانبي لهذا المخروط. (الشرائح 17-21)باستخدام الصيغ اللازمة، يتم اشتقاق الصيغة المطلوبة. يجب أن تبدو حجج الطلاب كما يلي:

نصف قطر اكتساح القطاع يساوي ل،قياس درجة القوس – φ. يتم حساب مساحة القطاع بالصيغة: طول القوس المحيط بهذا القطاع يساوي نصف قطر قاعدة المخروط R. طول الدائرة الواقعة عند قاعدة المخروط هو C = 2πR . لاحظ أنه بما أن مساحة السطح الجانبي للمخروط تساوي مساحة تطوير سطحه الجانبي، إذن

لذلك، يتم حساب مساحة السطح الجانبي للمخروط بواسطة الصيغة S BOD = πRl.

بعد حساب مساحة السطح الجانبي للنموذج المخروطي باستخدام صيغة مشتقة بشكل مستقل، يقوم ممثل كل مجموعة بكتابة نتيجة الحسابات في جدول على السبورة وفقاً لأرقام النموذج. يجب أن تكون نتائج الحساب في كل سطر متساوية. وبناء على ذلك يحدد المعلم صحة استنتاجات كل مجموعة. يجب أن يبدو جدول النتائج كما يلي:

رقم الموديل	أنا مهمة	المهمة الثانية
	(125/3)π ~ 41.67π
	(425/9)π ~ 47.22π
	(539/9)π ~ 59.89π

معلمات النموذج:

1. ل=12 سم، φ =120°
2. ل=10 سم، φ =150°
3. ل=15 سم، φ =120°
4. ل=10 سم، φ =170°
5. ل=14 سم، φ =110°

يرتبط تقريب الحسابات بأخطاء القياس.

بعد التحقق من النتائج تظهر على الشاشة مخرجات الصيغ الخاصة بمساحات الأسطح الجانبية والإجمالية للمخروط (الشرائح 22-26)، يحتفظ الطلاب بالملاحظات في دفاتر الملاحظات.

المرحلة الثالثة. توحيد المواد المدروسة.

1) يتم تقديم الطلاب مشاكل الحل الشفوي على الرسومات الجاهزة.

أوجد مساحات الأسطح الكاملة للمخاريط الموضحة في الأشكال (الشرائح 27-32).

2) السؤال:هل مساحات أسطح المخاريط التي تتكون من تدوير مثلث قائم الزاوية حول جوانب مختلفة متساوية؟ يأتي الطلاب بفرضية ويختبرونها. يتم اختبار الفرضية عن طريق حل المسائل ويكتبها الطالب على السبورة.

منح:Δ ABC، ∠C=90°، AB=c، AC=b، BC=a؛

ВАА"، АВВ" – الأجسام الدورانية.

يجد:إس بي بي كيه 1، إس بي بي كيه 2.

الشكل 5. (الشريحة 33)

حل:

1) ص = قبل الميلاد = أ; S PPK 1 = S BOD 1 + S الرئيسي 1 = π أ ج + π أ 2 = π أ (أ + ج).

2) ص = التيار المتردد = ب; S PPK 2 = S BOD 2 + S قاعدة 2 = π ب ج+π ب 2 = π ب (ب + ج).

إذا كان S PPK 1 = S PPK 2، إذن أ 2 +أ = ب 2 + قبل الميلاد، أ 2 - ب 2 + أ - قبل الميلاد = 0، (أ-ب)(أ+ب+ج) = 0.لأن أ، ب، ج –الأعداد الموجبة (أطوال أضلاع المثلث)، تكون المساواة صحيحة فقط إذا كانت أ =ب.

خاتمة:تكون مساحات سطح المخروطين متساوية فقط إذا كانت أضلاع المثلث متساوية. (الشريحة 34)

3) حل المسألة من الكتاب المدرسي: رقم 565.

المرحلة الرابعة. تلخيص الدرس.

العمل في المنزل:الفقرتان 55 و56؛ رقم 548، رقم 561. (الشريحة 35)

إعلان الدرجات المقررة.

الاستنتاجات أثناء الدرس، وتكرار المعلومات الرئيسية التي تم تلقيها خلال الدرس.

الأدب (الشريحة 36)

1. درجات الهندسة 10-11 – Atanasyan, V.F Butuzov, S.B Kadomtsev et al., M., "Prosveshchenie"، 2008.
2. "الألغاز والحزورات الرياضية" - ن.ف. أودالتسوفا، مكتبة "الأول من سبتمبر"، سلسلة "الرياضيات"، العدد 35، م.، تشيستي برودي، 2010.

سنخبرك اليوم بكيفية العثور على المصفوفة المولدة للمخروط، والتي غالبًا ما تكون مطلوبة في مسائل الهندسة المدرسية.

مفهوم المولدات المخروطية

المخروط الأيمن هو شكل يتم الحصول عليه عن طريق تدوير مثلث قائم الزاوية حول أحد أرجله. قاعدة المخروط تشكل دائرة. المقطع الرأسي للمخروط مثلث، والقسم الأفقي دائرة. ارتفاع المخروط هو الجزء الذي يربط الجزء العلوي من المخروط بمركز القاعدة. المولد المولد للمخروط هو الجزء الذي يصل قمة المخروط بأي نقطة على خط الدائرة الأساسية.

نظرًا لأن المخروط يتشكل عن طريق تدوير مثلث قائم الزاوية، فقد اتضح أن الضلع الأول لمثل هذا المثلث هو الارتفاع، والثاني هو نصف قطر الدائرة عند القاعدة، والوتر هو المولد للمخروط. ليس من الصعب تخمين أن نظرية فيثاغورس مفيدة لحساب طول المولد. والآن المزيد عن كيفية العثور على طول المولد للمخروط.

العثور على المولد

أسهل طريقة لفهم كيفية العثور على المولد هي باستخدام مثال محدد. لنفترض أن الشروط التالية للمشكلة معطاة: الارتفاع 9 سم، وقطر الدائرة الأساسية 18 سم، ومن الضروري العثور على المولد.

إذن ارتفاع المخروط (9 سم) هو أحد أرجل المثلث القائم الزاوية الذي تشكل به هذا المخروط. ستكون المحطة الثانية هي نصف قطر الدائرة الأساسية. نصف القطر هو نصف القطر. وبالتالي، نقسم القطر المعطى لنا إلى النصف ونحصل على طول نصف القطر: 18:2 = 9. نصف القطر هو 9.

الآن أصبح من السهل جدًا العثور على المولد المولد للمخروط. وبما أنه وتر، فإن مربع طوله سيكون مساوياً لمجموع مربعي الساقين، أي مجموع مربعي نصف القطر والارتفاع. إذن مربع طول المولد = 64 (مربع طول نصف القطر) + 64 (مربع طول الارتفاع) = 64x2 = 128. الآن نأخذ الجذر التربيعي لـ 128. في النتيجة، نحصل على ثمانية جذور لاثنين. سيكون هذا هو مولد المخروط.

كما ترون، لا يوجد شيء معقد في هذا الشأن. على سبيل المثال، أخذنا شروطًا بسيطة للمشكلة، ولكن في الدورة المدرسية يمكن أن تكون أكثر تعقيدًا. تذكر أنه لحساب طول المولد، عليك معرفة نصف قطر الدائرة وارتفاع المخروط. بمعرفة هذه البيانات، من السهل العثور على طول المولد.

الأجسام الدورانية المدروسة في المدرسة هي الأسطوانة والمخروط والكرة.

إذا كنت في مشكلة في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، فأنت بحاجة إلى حساب حجم المخروط أو مساحة الكرة، فاعتبر نفسك محظوظًا.

تطبيق الصيغ للحجم ومساحة السطح للأسطوانة والمخروط والكرة. كل منهم في طاولتنا. تعلم عن ظهر قلب. هذا هو المكان الذي تبدأ فيه معرفة القياس المجسم.

في بعض الأحيان يكون من الجيد رسم المنظر من الأعلى. أو، كما في هذه المشكلة، من الأسفل.

2. بكم مرة يكون حجم المخروط المحيط بهرم رباعي منتظم أكبر من حجم المخروط المحيط بهذا الهرم؟

الأمر بسيط - ارسم المنظر من الأسفل. نلاحظ أن نصف قطر الدائرة الكبرى أكبر من نصف قطر الدائرة الأصغر بثلاث مرات. ارتفاعات كلا المخاريط هي نفسها. وبالتالي، فإن حجم المخروط الأكبر سيكون ضعف حجمه.

نقطة أخرى مهمة. نتذكر أنه في مسائل الجزء ب من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، تتم كتابة الإجابة كعدد صحيح أو كسر عشري نهائي. ولذلك، لا ينبغي أن يكون هناك أي أو في إجابتك في الجزء ب. ليست هناك حاجة لاستبدال القيمة التقريبية للرقم أيضًا! يجب أن يتقلص بالتأكيد! ولهذا الغرض يتم صياغة المهمة في بعض المسائل، على سبيل المثال، على النحو التالي: "إيجاد مساحة السطح الجانبي للأسطوانة مقسومة على".

في أي مكان آخر يتم استخدام صيغ الحجم والمساحة السطحية لأجسام الثورة؟ بالطبع في المشكلة C2 (16). سنخبرك أيضًا بذلك.